四川省广元市2020届高三数学第二次适应性统考试题 理（含解析）

四川省广元市2020届（2020级）高三第二次高考适应性统考数学理试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，求出集合U与A，由补集的定义计算可得答案【详解】解：根据题意，则；故选：D【点睛】本题考查集合的运算，涉及不等式的解法，关键是求出集合A与U，属于基础题2.复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】化简复数，求出它的共轭复数，写出在复平面内所对应的点位于第几象限【详解】解：复数；则z的共轭复数，它在复平面内所对应的点位于第三象限故选：C【点睛】本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题3. 我国南宋数学家秦九韶所著数学九章中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）A. 164石B. 178石C. 189石D. 196石【答案】C【解析】试题分析：由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为，则由此估计总体中谷的含量约为石. 故选C.考点：抽样中的用样本去估计总体.4.下列命题中，真命题是A. ，B. ，C. 的充要条件是D. 若x，且，则x，y至少有一个大于1【答案】D【解析】【分析】利用全称命题和特称命题的定义判断A，利用充要条件和必要条件的定义判断利用反证法证明D【详解】解：A，根据指数函数的性质可知恒成立，所以A错误B.当时，所以B错误C.若时，无意义0，即充分性不成立，所以C错误D.假设x，y都小于1，则，所以与矛盾，所以假设不成立，所以D正确故选：D【点睛】本题主要考查命题的真假判断，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.5.已知直线1过点且与x轴垂直，则以直线l为准线、顶点在原点的抛物线的方程是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的性质可知该抛物线的形式为：，依题意可求p的值，从而可得答案【详解】解：依题意，设抛物线的方程为：，准线方程为，抛物线的方程是故选：B【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线方程的的求法，属于基础题6.执行如图所示程序框图，若输入的a、b分别为5，2，则输出的n等于A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】当n=1时，当n=2时，当n=3时，当n=4时，点睛：本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.数列中，且数列是等差数列，则等于A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】求出数列的公差，首项，由此能求出【详解】解：数列中，且数列是等差数列，数列的公差，解得故选：A【点睛】本题考查数列的某一项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.已知的展开式中含的项的系数为25，则A. B. C. 5D. 【答案】D【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于，求得r的值，可得含的项的系数，再根据含的项的系数为25，求得m的值【详解】解：已知的展开式的通项公式为，令，求得整数，可得中含的项的系数为，则，故选：D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题9.函数的图象为C，如下结论正确的是的最小正周期为；对任意的，都有；在上是增函数；由的图象向右平移个单位长度可以得到图象CA. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用倍角公式，结合辅助角公式进行化简，利用三角函数的周期性，对称性，单调性以及三角函数图象变换关系分别进行判断即可【详解】解：，的最小正周期为，故正确；，即函数关于对称，即对任意的，都有成立，故正确；当，则，此时函数为增函数，即在上是增函数正确，故正确；由的图象向右平移个单位长度得到，故错误，故正确的是，故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的化简，以及三角函数周期性，单调性，对称性以及图象变换关系，综合性较强10.平面直角坐标系xOy中，双曲线：的两条渐近线与抛物线C：交于O，A，B三点，若的垂心为的焦点，则的离心率为A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】由三角形垂心的性质，得，即，由此可得的离心率【详解】解：联立渐近线与抛物线方程得，抛物线焦点为，由三角形垂心的性质，得，即，所以，所以，所以，所以的离心率为故选：B【点睛】本题考查双曲线的性质，联立方程组，根据三角形垂心的性质，得是解决本题的关键，考查学生的计算能力11.如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.12.已知函数，若与的图象上存在关于直线对称的点，则实数m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数图象的性质得：设的图象与的图象关于直线对称，则，由与的图象上存在关于直线对称的点，由利用导数求曲线过点的切线方程得：由，则切线方程为：，又此直线过点，所以，即，由图可知：，得解【详解】解：设的图象与的图象关于直线对称，则，由与的图象上存在关于直线对称的点，设过原点的直线与相切于点，由，则切线方程为：，又此直线过点，所以，即，由图可知：，即实数m的取值范围是：，故选：C【点睛】本题考查了函数图像的作法及利用导数求曲线过点的切线方程，属中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足，则的最大值是_【答案】2【解析】【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义可知，z为可行域内的动点与定点连线的斜率，求出斜率得答案【详解】解：由实数x，y满足作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率，的最大值是：2故答案为：2【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14.已知，若成立，则实数t的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得，即函数为偶函数，当时，求出函数的导数，分析可得在为增函数，据此分析可得，解可得t的取值范围，即可得答案【详解】解：根据题意，则，则函数为偶函数，当时，其导数，则函数在为增函数，则，解可得：，即t的取值范围为；故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数的奇偶性与单调性，属于基础题15.已知等比数列的前n项和为，若，则数列的前2020项的和为_【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得数列的通项公式，可得，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和【详解】解：等比数列的公比设为q，若，可得，解得，即有，可得，则前2020项的和为故答案为：【点睛】本题考查等比数列的通项公式及运用，考查数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于基础题16.在等腰梯形ABCD中，已知，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由梯形性质可求，结合已知及向量加法的三角形法则可表示，然后由向量数量积的性质及基本不等式即可求解【详解】解：等腰梯形ABCD中，已知，则当且仅当即时有最小值故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算及向量数量积的性质的应用，还考查了基本不等式在求解最值中的应用，试题具有一定的综合性三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角的对边分别为，且满足（1）求角的大小；（2）若且，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和两角和与差的正弦公式化已知等式中的解为单角，可求得，从而得；（2）由可得，再由正弦定理可得，从而，两样利用两角和与差的公式化此式为一个角的一个三角函数形式，最后利用正弦函数的性质可求得取值范围试题解析：（1）由已知得 化简得 又 故或 （2）由 又 故 的取值范围为）18.随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走人大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元不足1小时的部分按1小时计算甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过三小时求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望【答案】（）；（）详见解析.【解析】【分析】甲、乙两人所付费用相同，即为2，4，6元，都付2元的概率为，都付4元的概率为，都付6元的概率为，利用互斥事件概率加法公式能求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率依题意，的可能取值为4，6，8，10，12，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和【详解】解：甲、乙两人所付费用相同，即为2，4，6元，都付2元的概率为，都付4元的概率为，都付6元的概率为，甲、乙两人所付租车费用相同的概率：依题意，的可能取值为4，6，8，10，12，的分布列为：4681012P【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，平面平面ABCD证明：平面ABCD；若二面角的大小为，求PB与平面PAD所成角的大小【答案】（）详见解析；（）【解析】【分析】推导出平面PBC，从而，同理可证，由此能证明平面ABCD以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与平面PAD所成角的大小【详解】证明：平面平面ABCD，平面平面，且，平面PBC，同理可证，平面ABCD如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，设，则1，1，0，0，1，1，0，设平面PAB的法向量y，则，即，取，得a，同理求出平面PAD的法向量0，由，得，1，0，与平面PAD所成角的大小为【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为B，且满足求椭圆的离心率e；设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过点，问是否存在过的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由【答案】（）；（）存在满足条件的直线，斜率为.【解析】【分析】根据可得，即可求出椭圆的离心率，由已知得，故椭圆方程为，设，求出点P的坐标，再求出线段PB为直径的圆的圆心坐标，根据直线和圆的位置关系可得【详解】解：，右顶点为B，为等腰三角形，由，椭圆的离心率由已知得，故椭圆方程为，设由，又因为点P在椭圆上，故，由以上两式可得，点P不在椭圆的顶点，故，设圆的圆心为，则，则圆的半径，假设存在过的直线满足题设条件，并设该直线的方程为，由相切可知，即得，解得故存在满足条件的直线【点睛】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题21.已知函数若时，求函数的单调区间；若，则当时，记的最小值为M，的最大值为N，判断M与N的大小关系，并写出判断过程【答案】（）详见解析；（）,证明见解析.【解析】【分析】求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；令，讨论m的范围，根据函数的单调性求出的最大值和的最小值，结合函数恒成立分别判断即可证明结论【详解】解：函数定义域为R，分当，即时，此时在R递增，当即，时，递增，时，递减，时，递增；，即时，和，递增，时，递减；综上所述，时，在R递增，时，在，递增，在递减，时，在，递增，在递减；，当时，由知在递增，在递减，当时，函数单调递减，所以其最小值为，最大值为，所以下面判断与的大小，即判断与的大小，其中，令，令，则，因，所以，单调递增；所以，故存在使得，所以在上单调递减，在单调递增所以，所以时，即也即【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查学生的计算能力，是一道综合题22.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为：，为参数点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C的焦点在直角坐标系下的坐标；设直线l与曲线C相交于两点A，B，点M为AB的中点，求的值【答案】（）曲线C的直角坐标方程为，焦点坐标为；（）【解析】【分析】把，代入曲线C的方程，可得曲线C的直角坐标方程设点A，B，M对应的参数为，由题意可知把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，利用韦达定理求得的值，可得的值【详解】解：把，代入，可得曲线C的直角坐标方程为，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为点P的直角坐标为，它在直线l上，在直线l的参数方程中，设点A，B，M对应的参数为，由题意可知把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程