【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(三十八) 理 新人教版

课时作业(三十八)1设f(n)1(nN*)，那么f(n1)f(n)等于()A.B.C. D.答案D2在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A. B.C. D.答案C解析由a1，Snn(2n1)an，得S22(221)a2，即a1a26a2，a2，S33(231)a3，即a315a3.a3，a4.故选C.3n为正奇数时，求证：xnyn被xy整除，当第二步假设n2k1命题为真时，进而需证n_，命题为真答案2k14设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn1)2anSn.(1)求S1，S2，S3；(2)猜想Sn的表达式并证明解析(1)由(S11)2S得：S1；由(S21)2(S2S1)S2得：S2；由(S31)2(S3S2)S3得：S3.(2)猜想：Sn.证明：当n1时，显然成立；假设当nk(k1且kN*)时，Sk成立则当nk1时，由(Sk11)2ak1Sk1得：Sk1，从而nk1时，猜想也成立综合得结论成立5在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：.解析(1)由条件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立假设当nk时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2.那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.所以当nk1时，结论也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立(2)2(n1)n.故()()().6已知数列an的各项都是正数，且满足：a01，an1an(4an)，(nN)证明：anan12，(nN)证明解法一用数学归纳法证明：(1)当n0时，a01，a1a0(4a0)，所以a0a12，命题正确(2)假设nk时命题成立，即ak1ak2.则当nk1时，akak1ak1(4ak1)ak(4ak)2(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(4ak1ak)而ak1ak0，所以akak10.又ak1ak(4ak)4(ak2)22.所以nk1时命题成立由(1)(2)可知，对一切nN时有anan12.解法二用数学归纳法证明：(1)当n0时，a01，a1a0(4a0)，所以0a0a12；(2)假设nk时有ak1ak2成立，令f(x)x(4x)，f(x)在0,2上单调递增，所以由假设有：f(ak1)f(ak)f(2)，即ak1(4ak1)ak(4ak)2(42)，也即当nk1时，akak12成立所以对一切nN，有akak1(nN*)解析(1)当a2时，f(x)lnx，其定义域为(0，)令h(x)f(x)1lnx1，h(x)0，h(x)在(0，)上是增函数当x1时，h(x)h(1)0，即f(x)1；当0x1时，h(x)h(1)0，即f(x)1时，lnx1，即lnx.令x(kN*)，则有ln，ln .ln(n1)ln，ln(n1)(nN*)证法二：当n1时，ln(n1)ln2.3ln2ln81，ln2，即n1时命题成立假设当nk时，命题成立，即ln(k1).当nk1时，ln(n1)ln(k2)ln(k1)lnln.根据(2)的结论，当x1时，lnx1，即lnx.令x，则有ln，则有ln(k2)，即nk1时命题也成立8已知等差数列an的公差d大于0，且a2，a5是方程x212x270的两根，数列bn的前n项和为Tn，且Tn1bn.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)设数列an的前n项的和为Sn，试比较与Sn1的大小，并说明理由思路(1)求得a2、a5的值即可得an的表达式，再利用TnTn1bn求出bn的通项公式；(2)首先求出Sn1与的表达式，先进行猜想，再进行证明解析(1)由已知得又an的公差大于0，a5a2.a23，a59.d2，a11.Tn1bn，b1，当n2时，Tn11bn1，bnTnTn11bn(1bn1)，化简，得bnbn1，bn是首项为，公比为的等比数列，即bn()n1，an2n1，bn.(2)Snnn2，Sn1(n1)2，以下比较与Sn1的大小：当n1时，S24，S2.当n2时，S39，S3.当n3时，S416，则S5.猜想：n4时，Sn1.下面用数学归纳法证明：当n4时，已证假设当nk(kN*，k4)时，Sk1，即(k1)2，那么，nk1时，33(k1)23k26k3(k24k4)2k22k1(k1)12S(k1)1，nk1时，Sn1也成立由可知nN*，n4时，Sn1成立综上所述，当n1,2,3时，Sn1.1F(n)是一个关于自然数n的命题，若F(k)(kN*)是真命题，则F(k1)是真命题，现已知F(7)是假命题，则有：F(8)是假命题；F(8)是真命题；F(6)是假命题；F(6)是真命题；F(5)是假命题；F(5)是真命题其中真命题的是()ABC D答案A解析用反证法，假设F(6)真，则F(7)真，与已知矛盾；假设F(5)真，则F(6)真，进而F(7)真，与已知矛盾2(2020山东济南模拟)设函数f(x)x2ex1x3x2(xR)(1)求函数yf(x)的单调区间；(2)求yf(x)在1,2上的最小值；(3)当x(1，)时，用数学归纳法证明：nN*，ex1.解析(1)f(x)2xex1x2ex1x22xx(x2)(ex11)，令f(x)0，可得x12，x20，x31.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,0)0(0,1)1(1，)f(x)000f(x)极小值 极大值极小值函数yf(x)的增区间为(2,0)和(1，)，减区间为(，2)和(0,1)(2)当x1,2时，f(1)0，f(x)极小值f(1)f(1)，f(x)极大值f(0)0.所以f(x)在1,2上的最小值为.(3)证明：设gn(x)ex1，当n1时，只需证明g1(x)ex1x0，当x(1，)时，g1(x)ex110，所以g1(x)ex1x在(1，)上是增函数g1(x)g1(1)e010，即ex1x.当x(1，)时，假设nk时不等式成立，即gk(x)ex10，当nk1时，因为gk1(x)ex1ex10，所以gk1(x)在(1，)上也是增函数所以gk1(x)gk1(1)e010，即当nk1时，不等式成立所以当x(1，)时，nN*，ex1.3已知函数f(x)xsin x，数列an满足：0a11，an1f(an)，n1,2,3，.证明：(1)0an1an1，(2)an1a.解析(1)先用数学归纳法证明0an1，n1,2,3，.()当n1时，由已知结论成立()假设当nk时结论成立，即0ak1.因为0x0，所以f(x)在(0,1)上是增函数又f(x)在0,1上连续，从而f(0)f(ak)f(1)，即0ak11sin 11.故当nk1时，结论成立由()()可知，0an1对一切正整数都成立又因为0an1时，an1an