湖南省邵阳市2016届高三上期末数学试卷(理科)含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2015年湖南省邵阳市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 有一个是符合题目要求的） 1设集合 A=x|x 3， B=y|y=2x， x 0），则 AB=（ ） A（ 0， 1） B（ 0， 3） C（ 1， +） D（ 1， 3） 2已知 “aR，则 “a=2”是 “复数 z=（ a 2） +（ a+1） i（ i 为虚数单位）为纯虚数 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知容量为 9 的 4 个样本，它们的平均数都是 5，频率条形图分别如图所示，则标准差最大的是（ ） A B C D 4下列有关命题正确的是（ ） A若命题 p： ， x 0，则 p： xR， x+10 B命题 “若 x=y，则 逆否命题为真命题 C已知相关变量（ x， y）满足线性回归方程 =2 3x，若变量 x 增加一个单位，则 y 平均增加 3 个单位 D已知随机变量 X N（ 2， 2），若 P（ X a） = P（ X 4 a） =把边长为 1 的正方形 对角线 起，使得平面 平面 成三棱锥 C 正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（ ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 6某台小型晚会由 6 个不同的节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲和节目乙排在一起，节目乙和节目丙不能排在一起，该台晚会节目演出顺序的编排方案有（ ） A 194 种 B 193 种 C 192 种 D 191 种 7执行如图所示的程序框图，输出的 S 值是（ ） A 10 B 20 C 100 D 120 8已知 ，则 ）的值是（ ） A B C D 9如图所示，直线 x y+2=0 与抛物线 y=交于 A， D 两点，分别过 A，D 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于 B， C 两点，随机向梯形 投一点 P，则点 P 落在抛物线弓形 （图中阴影部分）的概率是（ ） A B C D 10已知二项式（ 3 x） n（ nN*）展开式中所有项的系数之和为 a，所有项的系数的绝对值之和为 b，则 + 的最小值为（ ） A B 2 C D 11已知 O 是锐角 外接圆圆心， A=60， + =m ，则 m 的值为（ ） 第 3 页（共 21 页） A B C 1 D 1 12定义在 R 上的奇函数 f（ x），当 x0 时， f（ x） = ， 则关于 x 的函数 F（ x） =f（ x） a（ 0 a 1）的所有零点之和为（ ） A 1 22a 1 C 1 2 2 a 1 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知幂函数 f（ x）图象过点 P（ 4， 8），则 f（ 16） = 14已知 mR，向量 =（ m， 1）， =（ 12， 4）， =（ 2， 4）且 ，则向量 在向量 方向上的投影为 15已知实数 x， y 满足 ，若目标函数 z=x+得最小值的最优解有无数个，则 的最大值是 16观察下面的算式： 23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19 ， 根据以上规律，把 mN*且 m2）写成这种和式形式，则和式中最大的数为 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分 明过程或演算步骤） 17已知向量 =（ 21）， =（ 设函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若（ 2a c） b f（ ）的取值范围 18我市为了检测空气质量，每天都要记录空气质量指数（指数采用 10 分制，保留一位小数），现随机抽取 20 天的指数，绘制成如图所示的统计图（以整数部分为茎，小数部分为叶），设指数 不低于 视为当天空气质量为优良 （ 1）求从这 20 天中随机抽取 3 天，至少有 2 天空气质量为优良的概率； （ 2）以这 20 天的数据估计我市总体空气质量（天数很多）若从我市总体空气质量指数中随机抽取 3 天的指数，用 X 表示抽到空气质量为优良的天数，求 X 的分布列及数学期望 第 4 页（共 21 页） 19如图所示，在三棱锥 P ，点 P 在平面 的射影 D 与 中点重合，已知 ， （ 1）证明： 平面 平面 （ 2）若直线 平面 成角的正弦值为 ，求三棱锥 P 体积 20已知数列 公差为 d 的等差数列； （ 1）若 ， ， 构成等比数列，求 d 的值； （ 2）在（ 1）题条件下，若 ，设 bn= ） n，数列 n 项和为 证： 21已知函数 f（ x） =x， g（ x） = m+2） x（ xR） （ 1）当曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与曲线 y=g（ x）相切于点（ 2， g（ 2），求 m 的值； （ 2）若 x1=a， x2=b 是函数 g（ x）的两个极值点，且 4 求实数 m 的取值范围； 求 g（ b） g（ a）的最大值 22已知二次函数 f（ x） = （ a 1） b 4） x+1，其中 a 0， b 0 （ 1）当 a=3， b=8 时，求不等式 f（ x） 0 的解集； （ 2）若函数 f（ x）在区间 ， 2上单调递减，求 最大值 第 5 页（共 21 页） 2015年湖南省邵阳市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案 与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 有一个是符合题目要求的） 1设集合 A=x|x 3， B=y|y=2x， x 0），则 AB=（ ） A（ 0， 1） B（ 0， 3） C（ 1， +） D（ 1， 3） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中 y 的范围确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 B 中 y=2x， x 0，得到 y 1，即 B=（ 1， +）， A=（ ， 3）， AB=（ 1， 3）， 故选： D 2已知 “aR，则 “a=2”是 “复数 z=（ a 2） +（ a+1） i（ i 为虚数单位）为纯虚数 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 结合复数的概念，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】 解：若复数 z=（ a 2） +（ a+1） i（ i 为虚数单位）为纯虚数， 则 a 2=0 且 a+10， 解得 a=2， 当 a=2 时，复数 z=（ a 2） +（ a+1） i=3i，（ i 为虚数单位）为纯虚数，成立， “a=2”是 “复 数 z=（ a 2） +（ a+1） i（ i 为虚数单位）为纯虚数 ”的充要条件， 故选： C 3已知容量为 9 的 4 个样本，它们的平均数都是 5，频率条形图分别如图所示，则标准差最大的是（ ） 第 6 页（共 21 页） A B C D 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 由频率分布条形图，分析四个选项中的数据 数据分布离散情况，得出对应方差与标准差的大小 【解答】 解：由所给的几个选项观察数据的波动情况， 得到方差之间的大小关系， A 的 9 个数据都是 5，方差为 0， B 和 C 数据分布比较均匀，前者的方差较小，后者的方差较大， D 数据主要分布在 2 和 8 处，距离平均数是最远的一组， 所以最后一个频率分布直方图对应数据的方差最大，标准差也最大 故选： D 4下列有关命题正确的是（ ） A若命题 p： ， x 0，则 p： xR， x+10 B命题 “若 x=y，则 逆否命题为真命题 C已知相关变量（ x， y）满足线性回归方程 =2 3x，若变量 x 增加一个单位，则 y 平均增加 3 个单位 D已知随机变量 X N（ 2， 2），若 P（ X a） = P（ X 4 a） =考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 A 对存在命题的否定，把存在改为任意，再否定结论即可； B 根据原命题与逆否命题为等价命题； C 根据线性回归方程判断即可； D 根据正态分布的概念可得 【解答】 解： A 若命题 p： ， x 0，则 p 应为 xR， x+10，故错误； B 命题 “若 x=y，则 命题为真命题，故逆否命题也为真命题，故正确； C 已知相关变量（ x， y）满足线性回归方程 =2 3x，若变量 x 增加一个单位，则 y 平均减少 3 个单位，故错误； D 随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2）， =2， 第 7 页（共 21 页） p（ x a） =p（ x 4 a） =错误 故选 B 5把边长为 1 的正方形 对角线 起，使得平面 平面 成三棱锥 C 正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（ ） A B C D 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 根据三棱锥的正视 图和俯视图确定三棱锥的侧视图，根据侧视图的结构计算面积即可 【解答】 解：取 中点 E，连结 平面 平面 三角形直角 三棱锥的侧视图， ， E= ， 面积 S= ， 故选： B 6某台小型晚会由 6 个不同 的节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲和节目乙排在一起，节目乙和节目丙不能排在一起，该台晚会节目演出顺序的编排方案有（ ） A 194 种 B 193 种 C 192 种 D 191 种 【考点】 计数原理的应用 【分析】 利用间接法，求出节目甲和节目乙排在一起的所有的排列，再排除甲乙丙或丙乙甲在一起的种数，问题得以解决 【解答】 解：节目甲和节目乙捆绑在一起看做一个复合元素，再和其它节目任意排有 40， 第 8 页（共 21 页） 节目甲和节目乙和节目丙捆绑在一起看做一个复合元素（排成甲乙丙或丙乙甲的方式），再和其它节目任意排 有 =48， 则节目甲和节目乙排在一起，节目乙和节目丙不能排在一起，该台晚会节目演出顺序的编排方案 240 48=192 种， 故选： C， 7执行如图所示的程序框图，输出的 S 值是（ ） A 10 B 20 C 100 D 120 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体后， a=1，满足继续 循环的条件，故 S=1， i=2； 第二次执行循环体后， a=3，满足继续循环的条件，故 S=2， i=3； 第三次执行循环体后， a=5，满足继续循环的条件，故 S=3， i=4； 第四次执行循环体后， a=7，满足继续循环的条件，故 S=4， i=5； 第五次执行循环体后， a=9，满足继续循环的条件，故 S=5， i=6； 第六次执行循环体后， a=11，满足继续循环的条件，故 S=6， i=7； 第七次执行循环体后， a=13，满足继续循环的条件，故 S=7， i=8； 第八次执行循环体后， a=15，满足继续循环的条件，故 S=8， i=9； 第九次执行循环体后， a=17，满足继续循环的条件，故 S=9， i=10； 第十次执行循环体后， a=19，满足继续循环的条件，故 S=10， i=11； 第十一次执行循环体后， a=21，不满足继续循环的条件， 故输出的 S 值为 10， 故选： A 8已知 ，则 ）的值是（ ） A B C D 【考点】 二倍角的余弦 【分析】 由条件利用二倍角的余弦公式求得 ）的值 第 9 页（共 21 页） 【解答】 解： ，则 ） = = = ， 故选： D 9如图所示，直线 x y+2=0 与抛物线 y=交于 A， D 两点，分别过 A，D 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于 B， C 两点，随机向梯形 投一点 P，则点 P 落在抛物线弓形 （图中阴影部分）的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型；定积分在求面积中的应用 【分析】 根据几何概型的概率公式结合积分的应用求出阴影部分的面积，进行求解即可 【解答】 解：由 得 x 2=0 得 x= 1，或 x=2， 即 A（ 1， 1）， D（ 2， 4）， 则梯形 面积 ， 则阴影部分的面积 S= （ x+2 x） | = ， 则随机向梯形 投一点 P，则点 P 落在抛物线弓形 （图中阴影部分）的概率 P= = ， 故选： C 10已知二项式（ 3 x） n（ nN*）展开式中所有项的系数之和为 a，所有项的系数的绝对值之和为 b，则 + 的最小值为（ ） A B 2 C D 【考点】 二项式定理的应用 第 10 页（共 21 页） 【分析】 令 x=1，可得 a=2n，令 x= 1，可得 b=4n，然后利用函数的单调性求得 + 的最小值 【解答】 解：解：令 x=1，可得 a=2n，令 x= 1，可得 b=4n =（ ） n， =2n， + =（ ） n+2n +2= ， 故选： D 11已知 O 是锐角 外接圆圆心， A=60， + =m ，则 m 的值为（ ） A B C 1 D 1 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 作出图形，取 点 D，并连接 而有 ，可设 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，然后在的两边同时乘以 ，进行数量积的运算便可得到，由正弦定理即可得到，从而解出 ，而 A+C），这样便可求出 m= 2而便得出 m 的值 【解答】 解：如图，取 点 D，则 ， ； 设 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c； 由 得， ； 两边同乘以 得： = ； 即 ； ； 由正弦定理 ， b=2c=2入上式整理得： ； = = 2 又 A=60； 故选： A 第 11 页（共 21 页） 12定义在 R 上的奇函数 f（ x），当 x0 时， f（ x） = ， 则关于 x 的函数 F（ x） =f（ x） a（ 0 a 1）的所有零点之和为（ ） A 1 22a 1 C 1 2 2 a 1 【考点】 函数的零点 【分析】 函数 F（ x） =f（ x） a（ 0 a 1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（ x）， y=a 的图象交点的横坐标 作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数 f（ x）在 x0 时的解析式，作出函数的图象，结合图象及 其对称性，求出答案 【解答】 解： 当 x0 时， f（ x） = ； 即 x0， 1）时， f（ x） = （ x+1） （ 1， 0； x1， 3时， f（ x） =x 2 1， 1； x（ 3， +）时， f（ x） =4 x（ ， 1）； 画出 x0 时 f（ x）的图象， 再利用奇函数的对称性，画出 x 0 时 f（ x）的图象，如图所示； 则直线 y=a，与 y=f（ x）的图象有 5 个交点，则方程 f（ x） a=0 共有五个实根， 第 12 页（共 21 页） 最左边两根之和为 6，最右边两根之和为 6， x（ 1， 0）时， x（ 0， 1）， f（ x） = （ x+1）， 又 f（ x） = f（ x）， f（ x） = （ x+1） = （ 1 x） 1=1 x）， 中间的一个根满足 1 x） =a，即 1 x=2a， 解得 x=1 2a， 所有根的和为 1 2a 故选： A 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知幂函数 f（ x）图象过点 P（ 4， 8），则 f（ 16） = 64 【考点】 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【分析】 设出幂函数 f（ x）的解析式，根据图象过点（ 4， 8），求出 f（ x）的解析式，从而求出 f（ 16）的值 【解答】 解：设幂函数 f（ x） = 幂函数 f（ x）图象过点（ 4， 8）， 4=8，解得 = ， f（ x） = ， f（ 16） = = =64 故答案为： 64 14已知 mR，向量 =（ m， 1）， =（ 12， 4）， =（ 2， 4）且 ，则向量 在向量 方向上的投影为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 运用向量共线的坐标表示，求得 m= 3，再由数量积公式求得向量a， c 的数量积，及向量 a 的模，再由向量 在向量 方向上的投 影为 ，代入数据即可得到 【解答】 解：由于向量 =（ m， 1）， =（ 12， 4），且 ， 则 4m= 12，解得， m= 3 则 =（ 3， 1）， = 32 4= 10， 则向量 在向量 方向上的投影为 = = 故答案为： 第 13 页（共 21 页） 15已知实数 x， y 满足 ，若目标函数 z=x+得最小值的最优解有无数个，则 的最大值是 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，得到满足题意的 a 值，再由 的几何意义求得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 化目标函数 z=x+ ， 若 a 0，不满足题意； a 0，要使目标函数 z=x+得最小值的最优解有无数个， 则 ， a= 1 的几何意义为可行域内的动点与定点 P（ 1， 0）连线的斜率， 联立 ，解得 A（ 4， 2）， 的最大值为 故答案为： 16观察下面的算式： 23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19 ， 第 14 页（共 21 页） 根据以上规律，把 mN*且 m2）写成这种和式形式，则和式中最大的数为 m+1 【考点】 归纳推理 【分析】 根据 23=3+5， 33=7+9+11， 43=13+15+17+19，可知从 23 起， 分解规律恰为数列 3， 5， 7， 9，若干连续项之和， 23 为前两项 和， 33 为接下来三项和，故 首数为 m+1 【解答】 解：根据 23=3+5， 33=7+9+11， 43=13+15+17+19， 从 23 起， 分解规律恰为数列 3， 5， 7， 9，若干连续项之和， 23 为前两项和， 33 为接下来三项和， 故 首数为 m+1， 故答案为： m+1 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分 明过程或演算步骤） 17已知向量 =（ 21）， =（ 设函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若（ 2a c） b f（ ）的取值范围 【考点】 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图 象 【分析】 （ 1）由向量的数量积的坐标表示，由二倍角公式和辅助角公式，结合正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到所求； （ 2）运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，化简可得 ，求得 B= ， A（ 0， ），再由正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围 【解答】 解：（ 1） f（ x） = =2 2x+ ）， 由 22x+ 2， kZ， 可得 x， 即有 f（ x）的单调递增区间为 ， ， kZ； （ 2）（ 2a c） b 由正弦定理可得，（ 2 即为 2B+C）， 即有 2 可得 （ 0）， 第 15 页（共 21 页） 由 0 B ，可得 B= ， 故 A（ 0， ）， 则 f（ ） =2A+ ），且 A+ （ ， ）， 即有 A+ ） （ ， 1， 故 f（ ）的取值范围是（ 1， 2 18我市为了检测空气质量，每天都要记录空气质量指数（指数采用 10 分制，保留一位小数），现随机抽取 20 天的指数，绘制成如图所示的统计图（以整数部分为茎，小数部分为叶），设指数不低 于 视为当天空气质量为优良 （ 1）求从这 20 天中随机抽取 3 天，至少有 2 天空气质量为优良的概率； （ 2）以这 20 天的数据估计我市总体空气质量（天数很多）若从我市总体空气质量指数中随机抽取 3 天的指数，用 X 表示抽到空气质量为优良的天数，求 X 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）由茎叶图，利用对立事件的概率计算公式即可从这 20 天中随机抽取 3 天，至少有 2 天空气质量为优良的概 率； （ 2）利用超几何分布即可得到分布列，再利用数学期望的计算公式即可得出 【解答】 解：（ 1）记 “至少有 2 天空气质量为优良的概率 ”为事件 A， 则所求事件概率为： P（ A） =1 = （ 2） X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3， X B（ 3， ） P（ X=0） =（ ） 3= ， P（ X=1） =（ ） 2= ， P（ X=2） = ） 2 = ， P（ X=3） =（ ） 3= ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 第 16 页（共 21 页） +1 +2 +3 = 19如图所示，在三棱锥 P ，点 P 在平面 的射影 D 与 中点重合，已知 ， （ 1）证明：平面 平面 （ 2）若直线 平面 成角的正弦值为 ，求三棱锥 P 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）利用勾股定理的逆定理可得 平面 得 平面 出平面 平面 （ 2）建立空间直角坐标系，设 PD=h，则平面 法向量与 的夹角的正弦等于 ，列方程解出棱锥的高 【解答】 （ 1）证明： 点 P 在平面 的射影 D 是 中点， 平面 面 ， ， 又 面 面 C=D， 平面 面 平面 平面 （ 2）解：建立如图所示的空间直角坐标系 C 设 PD=h，则 =（ 2， 0， h）， =（ 0， 8， 0）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ， ， ，令 z= 2，得 =（ h， 0， 2） =（ 4， 8， 0），设 平面 成的角为 ， 则 = = ，解得 h=2 三棱锥 P 体积 V= = = 第 17 页（共 21 页） 20已 知数列 公差为 d 的等差数列； （ 1）若 ， ， 构成等比数列，求 d 的值； （ 2）在（ 1）题条件下，若 ，设 bn= ） n，数列 n 项和为 证： 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式 【分析】 （ 1） ， ， 构成等比数列，可得 =（ ）（ ），即 =（ ）（ d+5），解得 d （ 2） （ n 1） =4 n， bn= ） n=（ 4 n） ，利用 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出 利用数列的单调性即可得出 【解答】 （ 1）解： ， ， 构成等比数列， =（ ）（ ）， =（ ）（ d+5），化为（ d+1） 2=0，解得 d= 1 （ 2）证明： （ n 1） =4 n， bn= ） n=（ 4 n） ， +2 + ， = +2 +（ 5 n） +（ 4 n） ， = （ 4 n） = （ 4 n） =1+（ n 2） ， +（ n 2） 1 = ， 第 18 页（共 21 页） 当 1n3 时，数列 单调递增数列，当 n4 时，数列 单调递减数列 即 4 又 =，且 n3， 2 最小值为 ；当 n=3 或 4 时， 最大值为 故： 21已知函数 f（ x） =x， g（ x） = m+2） x（ xR） （ 1）当曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与曲线 y=g（ x）相切于点（ 2， g（ 2），求 m 的值； （ 2）若 x1=a， x2=b 是函数 g（ x）的两个极值点，且 4 求实数 m 的取值范围； 求 g（ b） g（ a）的最大值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，计算 f（ 1）， g（ 2），得到关于 m 的方程组，无解，从而判断 m 不存在； （ 2） 求出（ m+2） 2=（ a+b） 2= + +2，令 t= ，则 t4， +），令 （ t）=t+ +2，通过求导判断 （ x）的范围，从而求出 m 的范围即可；