2016年天津市河西区高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年天津市河西区高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=xZ|1x5， A=1， 2， 3， 1， 2，则 AB（ ） A 1， 2B 1， 3C 3D 1， 2， 3 2函数 的定义域为（ ） A（ 0， 2） B 0， 2） C（ 0， 2D 0， 2 3已知命题 p： “x 0，有 成立，则 p 为（ ） A ，有 l 成立 B ，有 成立 C 0，有 1 成立 D 0，有 l 成立 4在边长为 8 的正方形 任取一点 M，则 90的概率为（ ） A B 1 C D 1 5已知直线 l 平面 ，直线 m平面 ，有下列四个命题： 若 ，则 l m； 若 ，则 l m； 若 l m，则 ； 若 l m，则 其中，正确命题的序号是（ ） A B C D 6已知双曲线 =1 的左焦点在抛物线 p 0）的准线上，则双曲线 离心率为（ ） A B C D 4 7将函数 f（ x） =22x+ ）的图象向右平移 （ 0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），所得图象关于直线 x= 对称，则 的最小值为（ ） A B C D 8若 “x 1”是 “不等式 2x a x 成立 ”的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是（ ） A a 3B a 3C a 4D a 4 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分把答案填在题中横线上 9统计某学校高三年级某班 40 名学生的数学期末考试成绩，分数均在 40 至 100 之间，得到的频率分布直方图如图所示则图中 a 的值为 第 2 页（共 18 页） 10已知 Z 是纯虚数， 是实数，（ i 是虚数单位），那么 z= 11执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 12一个圆经过椭圆 =1 的三个顶点且圆心在 x 轴的正半轴上则该圆标准方程为 13如图，四边形 接于圆， D， 点 C 的圆的切线与 延长线交 于点 E， E， ，则 14在直角梯形 ，已知 D=4， ，若 P 为线段 满足 ， =5，则 |= 三、解答题：本大题共 6小题， 共 80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第 3 页（共 18 页） 15在锐角 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 a= ， b=3， （ ） 求角 A 的大小； （ ） 求 面积 16某公司生产甲，乙两种桶装产品已知生产甲产品 1 桶需消耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2千克；生产乙产品 1 桶需消耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克每桶甲产品利润 300 元，每桶乙产品利润 400 元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A、 B 原料都不超过12 千克那么该公司每天如何生产获得利润最大？最大利润是多少？（作出图象） 17在如图所示的几何体中，平面 平面 F 是 中点， 0， C=1， （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： 平面 （ 3）求三棱锥 D 体积 18已知直线 y=x 与圆 x2+an+n 交于不同的两点 nN*数列 足： ， = （ ）求数列 通项公式 （ ）若 ，求数列 前 n 项和 19已知抛物线 C 的顶点为 O（ 0， 0），焦点 F（ 0， 1） （ ）求抛物线 C 的方 程； （ ）过 F 作直线交抛物线于 A、 B 两点若直线 别交直线 l： y=x 2 于 M、 |最小值 第 4 页（共 18 页） 20函数 f（ x） = ，若曲线 f（ x）在点（ e， f（ e）处的切线与直线 y+e=0 垂直（其中 e 为自然对数的底数） （ 1）若 f（ x）在（ m， m+1）上存在极值，求实数 m 的取值范围； （ 2）求证：当 x 1 时， 第 5 页（共 18 页） 2016年天津市河西区高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=xZ|1x5， A=1， 2， 3， 1， 2，则 AB（ ） A 1， 2B 1， 3C 3D 1， 2， 3 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 列举出全集 U 中的元素，根据 B 的补集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解： 全集 U=xZ|1x5=1， 2， 3， 4， 5， A=1， 2， 3， 1， 2， B=3， 4， 5， 则 AB=3 故选： C 2函数 的定义域为（ ） A（ 0， 2） B 0， 2） C（ 0， 2D 0， 2 【考点】 对数函数的定义域 【分析】 由对数式的真数大于 0，被开放数大于等于 0，求解 x 的取值范围，然后用集合或区间表示即可得到函数的定义域 【解答】 解：要使原函数有意义，则 ，解得： 0x 2 所以原函数的定义域为 0， 2） 故选 B 3已知命题 p： “x 0，有 成立，则 p 为（ ） A ，有 l 成立 B ，有 成立 C 0，有 1 成立 D 0，有 l 成立 【考点】 命题的否定 【分析】 利用 p 的定义即可得出 【解答】 解：命题 p： “x 0，有 ， 则 p 为 0，有 1 成立 故选： C 4在边长为 8 的正方形 任取一点 M，则 90的概率为（ ） A B 1 C D 1 【考点】 几何概型 【分析】 本题为几何概型，由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即 【解答】 解：以 直径圆内的区域为满足 90的区域，则 P 落在半圆内， 半圆的面积为 42=8； 正方形 面积为 64 第 6 页（共 18 页） 满足 90的概率为 = ； 故选： A 5已知直线 l 平面 ，直线 m平面 ，有下列四个命题： 若 ，则 l m； 若 ，则 l m； 若 l m，则 ； 若 l m，则 其中，正确命题的序号是（ ） A B C D 【考 点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 利用线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答 【解答】 解：已知直线 l 平面 ，直线 m平面 ， 对于 ，若 ，得到直线 l 平面 ，所以 l m；故 正确； 对于 ，若 ，直线 l 在 内或者 l ，则 l 与 m 的位置关系不确定； 对于 ，若 l m，则直线 m ，由面面垂直的性质定理可得 ；故 正确； 对于 ，若 l m，则 与 可能相交；故 错误； 故选 C 6已知双曲线 =1 的左焦点在抛物线 p 0）的准线上，则双曲线 离心率为（ ） A B C D 4 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线左焦点坐标与抛物线准线之间的关系建立方程条件，结合双曲线的离心率的公式进行计算即可 【解答】 解：双曲线的标准方程为 =1， 第 7 页（共 18 页） 则 ， ， + ， 双曲线的左焦点 F（ c， 0）， 抛物线的准线为 x= ， 双曲线 左焦点在抛物线 准线上， = c，即 =c， 则 ， 即 3+ = ， 即 =3， 则 =1， 则 p=4， 即 ， + =3+1=4， 则 a= ， c=2， 即离心率 e= = = ， 故选： C 7将函数 f（ x） =22x+ ）的图象向右平移 （ 0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），所得图象关于直线 x= 对称，则 的最小值为（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件利用函数 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得 的最小值 【解答】 解：将函数 f（ x） =22x+ ）的图象向右平移 （ 0）个单位，可得函数y=2（ x ） + =22x+ 2）的图象； 再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），可得函数 y=24x+ 2）的图象； 再根据所得图象关 于直线 x= 对称，可得 + 2=（ kz），即 = kz， 第 8 页（共 18 页） 的最小值为 ， 故选： D 8若 “x 1”是 “不等式 2x a x 成立 ”的必要不充分条件，则实数 a 的取 值范围是（ ） A a 3B a 3C a 4D a 4 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 设 f（ x） =2x+x，从而 2x a xf（ x） a，根据题意便知 x 1 得不到 f（ x）a，而 f（ x） a 能得到 x 1，并且能知道函数 f（ x）为增函数，并且有 f（ x） 3 时， x 1，从而得出 a 3 【解答】 解：若 2x a x，即 2x+x a； 设 f（ x） =2x+x，该函数为增函数； 根据题意 “不等式 2x+x a 成立，即 f（ x） a 成立 ”能得到 “x 1”，并且反之不成立； x 1 时， f（ x） 3； a 3 故选 A 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分把答案填在题中横线上 9统计某学校高三年级某班 40 名学生的数学期末考试成绩，分数均在 40 至 100 之间，得到的频率分布直方图如图所示则图中 a 的值为 【考点】 频率分布直方图 【分析】 利用频率为 1，建立方程，即可得出结论 【解答】 解：由（ +a） 10=1， 解得 a= 故答案为： 10已知 Z 是纯虚数， 是实数，（ i 是虚数单位），那么 z= 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 设纯虚数 z=m0），代入 并整理，由虚部等于 0 求得 m 的值，则答案可求 【解答】 解：设 z=m0）， 第 9 页（共 18 页） 则 = 是实数， 2+m=0， m= 2 z= 2i 故答案为： 2i 11执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 6 【考点】 循环结构 【分析】 根据题意， i、 S 的初始值分别为 1， 0该程序的意图是：当 i3 时，用（ 1） i值代替 S，直到 i=4 时输出 S 的值，由此不难得到本题的答案 【解答】 解：该程序从 i=1 开始，直到 i=4 结束输出 S 的值，循环体被执行了 3 次 i=1，满足 i 4，由于 i 是奇数，用 S 替 S，得 S= 1，用 i+1 代替 i，进入下一步； i=2，满足 i 4，由于 i 是偶数，用 S+，得 S=3，用 i+1 代替 i，进入下一步； i=3，满足 i 4，由于 i 是奇数，用 S 替 S，得 S= 6，用 i+1 代替 i，进入下一步； i=4，不满足 i 4，结束循环体，并输出最后一个 S 值 故答案为： 6 12一个圆经过椭圆 =1 的三个顶点且圆心在 x 轴的正半轴上则该圆标准方程为 （ x ） 2+ 【考点】 椭圆的标准方程 【分析】 利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程 【解答】 解：一个圆经过椭圆 =1 的三个顶点且圆心在 x 轴的正半轴上 第 10 页（共 18 页） 可知椭圆的右顶点坐标（ 4， 0），上下顶点坐标（ 0， 2）， 设圆的圆心（ a， 0），则 ，解得 a= ， 圆的半径为： ， 所求圆的方程为：（ x ） 2+ 故答案为：（ x ） 2+ 13如图，四边形 接于圆， D， 点 C 的圆的切线与 延长线交于点 E， E， ，则 1 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 由已知得 B，由 E，得 C由切割线定理得 E此能求出 长 【解答】 解：因为 边形 接于圆， 所以 D，可得： B 因为 E， 所以 所以 C 由切割线定理得 E E（ 由 ，可得： 4=0， 解得 1 故答案为： 1 第 11 页（共 18 页） 14在直角梯形 ，已知 D=4， ，若 P 为线段 满足 ， =5，则 |= 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意和向量的线性运算求出 ， ， ，再求出 和 ，代入 ，利用向量的数量积运算化简即可 【解答】 解：由题意可得， ， ，则 ， 所以 = ， 因为 P 为 中点，所以 = = （ ）， 因为 = = 2 ， = ，则 =（ ） （ + ） =（ + 2 ） （ 1 ） （ ） =5，又 =0，且 ， ， 所以 = ； 所以 = = 2 ， |= = ； 故答案为： 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15在锐角 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 a= ， b=3， （ ） 求角 A 的大小； （ ） 求 面积 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ ）锐角 ，由条件利用正弦定理求得 根据 ，求得 值，可得角 A 的值 （ ） 锐角 ，由条件利用余弦定理 求得 c 的值，再根据 面积为 bc算求得结果 【解答】 解：（ ）锐角 ，由条件利用正弦定理可得 = ， 第 12 页（共 18 页） 再根据 ，求得 ， 角 A= （ ） 锐角 ，由条件利用余弦定理可得 = 6c解得 c=1 或 c=2 当 c=1 时， = 0，故 B 为钝角，这与已知 锐角三角形相矛盾，故不满足条 件 当 c=2 时， 面积为 bc32 = 16某公司生产甲，乙两种桶装产品已知生产甲产品 1 桶需消耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2千克；生产乙产品 1 桶需消耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克每桶甲产品利润 300 元，每桶乙产品利润 400 元公司在生产这两种产品的计划中，要 求每天消耗 A、 B 原料都不超过12 千克那么该公司每天如何生产获得利润最大？最大利润是多少？（作出图象） 【考点】 根据实际问题选择函数类型 【分析】 根据题设中的条件可设每天生产甲种产品 x 桶，乙种产品 y 桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可 【解答】 解：设分别生产甲乙两种产品为 x 桶， y 桶，利润为 z 元 则根据题意可得 ， z=300x+400y 作出不等式组表示的平面区域，如图所示 作直线 L： 3x+4y=0，然后把直线向可行域平移， 由 可得 x=y=4， 此时 z 最大 z=2800 17在如图所示的几何体中，平面 平面 F 是 中点， 0， C=1， （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： 平面 （ 3）求三棱锥 D 体积 第 13 页（共 18 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）取 点 M，利用三角形的中位线的性质可得四边形 平行四边形，从而得到 由线面平行的判定得到 平面 （ 2）由已知求解直角三角形证明 面面垂直的性质可得 由线面垂直的判定得到 平面 而 ，由 C， M 为 点， 得 一步得到 平面 合（ 1）知 平面 （ 3）由（ 2）可 知 三棱锥 B 高，然后利用等积法求得三棱锥 D 体积 【解答】 证明：（ 1）设 M 为 点，连结 在 ，又 F 为 点， 又 ， M 则四边形 平行四边形 故 面 面 平面 （ 2）在 ， C=1， 在 ， ， ， 直角三角形 又 平面 平面 面 面 C，且 0， 故 平面 即 B=B， 平面 面 故 在 ， C， M 为 点， B=A， 平面 由（ 1）知 平面 （ 3）由（ 2）可知 平面 三棱锥 B 高， 第 14 页（共 18 页） B 18已知直线 y=x 与圆 x2+an+n 交于不同的两点 nN*数列 足： ， = （ ）求数列 通项公式 （ ）若 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ ）由已知求出 |代入 = ，可得数列 首项为 1，公比为 2 的等比数列，则数列 通项公式 求； （ ）把数列 通项公式代入 ，然后利用错位相减法求得数列 前 n 项和 【解答】 解：（ ）圆 距离 ，半径 ， = ，即 ， 又 ， 数列 首项为 1，公比为 2 的等比数列， ； （ ）由（ ）知， = ， ， ， 第 15 页（共 18 页） 两式相减，得 ， 19已知抛物线 C 的顶点为 O（ 0， 0），焦点 F（ 0， 1） （ ）求抛物线 C 的方程； （ ） 过 F 作直线交抛物线于 A、 B 两点若直线 别交直线 l： y=x 2 于 M、 |最小值 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程 【分析】 （ I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点 F（ 0， 1）可直接求得 p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程； （ 题意，可 A（ B（ 直线 方程为 y=，将直线方程与（ I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出 |根据所得的形式作 出判断，即可求得最小值 【解答】 解：（ I）由题意可设抛物线 C 的方程为 p 0）则 =1，解得 p=2，故抛物线 C 的方程为 y （ A（ B（ 直线 方程为 y=， 由 消去 y，整理得 44=0， 所以 x1+k， 4，从而有 | =4 ， 由 解得点 M 的横坐标为 = = ， 同理可得点 N 的横坐标为 ， 第 16 页（共 18 页） 所以 | | | |=8 |= ， 令 4k 3=t， t0，则 k= ， 当 t 0 时， |2 2 ， 当 t 0 时， |2 =2 综上所述，当 t= ，即 k= 时， |最小值是 20函数 f（ x） = ，若曲线 f（ x）在点（ e， f（ e）处的切线与直线 y+e=0 垂直（其中