函数的有关概念

函数的有关概念函数的有关概念 1 函数的概念 设 A B 是非空的数集 如果按照某个确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意一个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应 那么就称 f A B 为 从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作 y f x x A 其中 x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函 数的值域 注意 2 如果只给出解析式 y f x 而没有指明它的定义域 则函数的定义域即是指 能使这个式子有意义的实数的集合 3 函数的定义域 值域要写成集合或区间的形式 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域 求函数的定义域时列不等式组 的主要依据是 1 分式的分母不等于零 2 偶次方根的被开方数不小于零 3 对数式的真 数必须大于零 4 指数 对数式的底必须大于零且不等于 1 5 如果函数是由一些基本函 数通过四则运算结合而成的 那么 它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 6 指数为零底不可以等于零 6 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 又注意 求出不等式组的解集即为函数的定义域 构成函数的三要素 定义域 对应关系和值域 再注意 1 构成函数三个要素是定义域 对应关系和值域 由于值域是由定义域和对 应关系决定的 所以 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致 即称这两个函数相等 或为同一函数 2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致 而与表示自 变量和函数值的字母无关 相同函数的判断方法 表达式相同 定义域一致 两点必须 同时具备 见课本 21 页相关例 2 值域补充 1 函数的值域取决于定义域和对应法则 不论采取什么方法求函数的值域都应先考 虑其定义域 2 应熟悉掌握一次函数 二次函数 指数 对数函数及各三角函数的值域 它是求解复杂函数值域的基础 3 函数图象知识归纳 1 定义 在平面直角坐标系中 以函数 y f x x A 中的 x 为横坐标 函数值 y 为 纵坐标的点 P x y 的集合 C 叫做函数 y f x x A 的图象 C 上每一点的坐标 x y 均满足函数关系 y f x 反过来 以满足 y f x 的每一组有 序实数对 x y 为坐标的点 x y 均在 C 上 即记为 C P x y y f x x A 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 或直线 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最 多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 2 画法 A 描点法 根据函数解析式和定义域 求出 x y 的一些对应值并列表 以 x y 为坐 标在坐标系内描出相应的点 P x y 最后用平滑的曲线将这些点连接起来 B 图象变换法 请参考必修 4 三角函数 常用变换方法有三种 即平移变换 伸缩变换和对称变换 3 作用 1 直观的看出函数的性质 2 利用数形结合的方法分析解题的思路 提高解题的速度 发现解题中的错误 4 快去了解区间的概念 1 区间的分类 开区间 闭区间 半开半闭区间 2 无穷区间 3 区间的数轴表示 5 什么叫做映射 一般地 设 A B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应法则 f 使对于集合 A 中的任意一个元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 那么就称对应 f AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记作 f AB 给定一个集合 A 到 B 的映射 如果 a A b B 且元素 a 和元素 b 对应 那么 我们把 元素 b 叫做元素 a 的象 元素 a 叫做元素 b 的原象 说明 函数是一种特殊的映射 映射是一种特殊的对应 集合 A B 及对应法则 f 是 确定的 对应法则有 方向性 即强调从集合 A 到集合 B 的对应 它与从 B 到 A 的对应 关系一般是不同的 对于映射 f A B 来说 则应满足 集合 A 中的每一个元素 在 集合 B 中都有象 并且象是唯一的 集合 A 中不同的元素 在集合 B 中对应的象可以是 同一个 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象 常用的函数表示法及各自的优点 常用的函数表示法及各自的优点 1 函数图象既可以是连续的曲线 也可以是直线 折线 离散的点等等 注意判断一 个图形是否是函数图象的依据 2 解析法 必须注明函数的定义域 3 图象法 描点法作图要 注意 确定函数的定义域 化简函数的解析式 观察函数的特征 4 列表法 选取的自变量要 有代表性 应能反映定义域的特征 注意啊 解析法 便于算出函数值 列表法 便于查出函数值 图象法 便于量出函 数值 补充一 分段函数 参见课本 P24 25 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数 在不同的范围里求函数值时必须 把自变量代入相应的表达式 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程 而就写函数值 几种不同的表达式并用一个左大括号括起来 并分别注明各部分的自变量的取值情况 1 分段函数是一个函数 不要把它误认为是几个函数 2 分段函数的定义域是各段定义域的 并集 值域是各段值域的并集 补充二 复合函数 如果 y f u u M u g x x A 则 y f g x F x x A 称为 f g 的复合函 数 例如 y 2sinXy 2cos X2 1 7 函数单调性 1 增函数 设函数 y f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 x2 当 x1 注意 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 2 图象的特点 如果函数 y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么说函数 y f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的 减函数的图象从左到右 是下降的 3 函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法 1 任取 x1 x2 D 且 x1 B 图象法 从图象上看升降 C 复合函数的单调性 8 函数的奇偶性 1 偶函数 一般地 对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么 f x 就叫做 偶函数 2 奇函数 一般地 对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么 f x 就叫 做奇函数 注意 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性 质 函数可能没有奇偶性 也可能既是奇函数又是偶函数 2 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 对于定义域内的任 意一个 x 则 x 也一定是定义域内的一个自变量 即定义域关于原点对称 3 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称 奇函数的图象关于原点对称 总结 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 1 首先确定函数的定义域 并判断其定 义域是否关于原点对称 2 确定 f x 与 f x 的关系 3 作出相应结论 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是偶函数 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是奇函数 注意啊 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 首先看函数的定义域 是否关于原点对称 若不对称则函数是非奇非偶函数 若对称 1 再根据定义判定 2 有 时判定 f x f x 比较困难 可考虑根据是否有 f x f x 0 或 f x f x 1 来 判定 3 利用定理 或借助函数的图象判定 9 函数的解析表达式 1 函数的解析式是函数的一种表示方法 要求两个变量之间的函数关系时 一是要 求出它们之间的对应法则 二是要求出函数的定义域 2 求函数的解析式的主要方法有 待定系数法 换元法 消参法等 如果已知函数 解析式的构造时 可用待定系数法 已知复合函数 f g x 的表达式时 可用换元法 这时 要注意元的取值范围 当已知表达式较简单时 也可用凑配法 若已知抽象函数表达式 则 常用解方程组消参的方法求出 f x 10 函数最大 小 值 定义见课本 p36 页 1 利用二次函数的性质 配