江西省抚州市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

江西省抚州市 2015 2016 学年度高一上学期期末数学试卷 一、选择题（每题 5分，共 60分） 1设集合 U=1， 2， 3， 4， A=1， 2， B=2， 4，则（ （ =（ ） A 1， 4 B 3 C a= b= 等于（ ） A B C D 3若 =（ 1， 2）， =（ 4， k）， = ，则（ ） =（ ） A 0 B C 4+2k D 8+k 4要得到函数 y=图象，只需将 y=2x ）的图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 5已知 f（ = f（ 1）的值是（ ） A 1 B 1 C D 0 6已知 ， ，则 与 的夹角（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 7函数 f（ x） =| 零点个数为（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 8函数 y=x+）的部分图象如图，则 ， 可以取的一组值是（ ） A B C D 9（中应用举例）已知偶函数 f（ x）满足： f（ x） =f（ x+2），且当 x0， 1时， f（ x） =图象与直线 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 则 等于（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 10若 ，则 ） A B C D 11已知函数 y=f（ x）是（ 1， 1）上的偶函数，且在区间（ 1， 0）上是单调递增的， A， B， 三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ） A f（ f（ B f（ f（ C f（ f（ D f（ f（ 12 若 x 是三角形的最小内角，则函数 y=最小值是（ ） A + B + C 1 D 二、填空题（每题 5分，共 20分） 13已知 ） = ， ） = ，则 14已知向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 2）则向量 在向 量 方向上的投影为 15某同学在借助计算器求 “方程 x 的近似解（精确到 ”时，设 f（ x） =x 2，算得f（ 1） 0， f（ 2） 0；在以下过程中，他用 “二分法 ”又取了 4 个 x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是 x=么他所取的 x 的 4 个值中最后一个值是 16关于下列命题： 函数 f（ x） =|21|最小正周期是 ； 函数 y= x）是偶函数； 函数 y=42x ）的一个对称中心是（ ， 0）； 关于 x 的方程 a（ 0x ）有两相异实根，则实数 a 的取值范围是（ 1， 2） 写出所有正确的命题的题号： 三、解答题（共六题，共 70分） 17 化简求值： （ 1）（ ） （ 0（ ） + ； （ 2） （ 1+ 18已知向量 =（ 3， 4）， =（ 6， 3）， =（ 5 x， 3） （ 1）若点 A， B， C 三点共线，求 x 的值； （ 2）若 直角三角形，且 B 为直角，求 x 的值 19已知： =（ 2 =（ 2设函数 f（ x） = （ xR）求： （ 1） f（ x）的最小正周期及最值； （ 2） f（ x）的对称轴及单调递增区间 20已知 A、 B、 C 是 内角，向量 =（ 1， ）， =（ 且 =1 （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 = 2，求 21已知幂函数 f（ x） =（ k2+k 1） x（ 2 k）（ 1+k） 在（ 0， +）上单调递增 （ 1）求实数 k 的值，并写出相应的函数 f（ x）的解析式； （ 2）对于（ 1）中的函数 f（ x），试判断是否存在整数 m，使函数 g（ x） =1 x） +（ 2m 1） x，在区间 0， 1上的最大值为 5，若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由 22已知函数 f（ x） =9x+1） +kR）是偶函数 （ 1）求 k 的值； （ 2）若方程 f（ x） = x+b 有实数根，求 b 的取值范围； （ 3）设 h（ x） =a3x a），若函数 f（ x）与 h（ x）的图象有且只有一个公共点，求实数 江西省抚州市 2015 2016学年度高一上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 5分，共 60分） 1设 集合 U=1， 2， 3， 4， A=1， 2， B=2， 4，则（ （ =（ ） A 1， 4 B 3 C a= b=考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 集合 【分析】 由已知利用补集运算求出 3， 4， 1， 3，然后直接利用并集运算得答案 【解答】 解： U=1， 2， 3， 4， A=1， 2， B=2， 4， 则 3， 4， 1， 3， （ （ =1， 3， 4 故选： D 【点评】 本题考查交、并、补集的 混合运算，是基础的计算题 2 等于（ ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【专题】 计算题；转化思想；三角函数的求值 【分析】 由 0，去掉根号，利 用诱导公式即可化简求值 【解答】 解： = 故选： B 【点评】 本题主要考查了特殊角的三角函数值，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 3若 =（ 1， 2）， =（ 4， k）， = ，则（ ） =（ ） A 0 B C 4+2k D 8+k 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 整体思想；综合法；平面向量及应用 【分析】 计算结果表示一个数字与零向量的乘积，故表示零向量 【解答】 解： = ， （ ） = 故选： B 【点评】 本题考查了向量的数量积和数乘的意义，属于基础题 4要得到函数 y=图象，只需将 y=2x ）的图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由条件利用诱导公式，以及函 数 y=x+）的图象变换规律，可得结论 【解答】 解： y=2x ） =（ x ） ， 将函数 y=（ x ） 的图象向左平移 个单位，可得函数 y=（ x + ） =图象 故选： A 【点评】 本题主要考查诱导公式的应用，函数 y=x+）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题 5已知 f（ = f（ 1）的值是（ ） A 1 B 1 C D 0 【考点】 函数的值 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由已知得 f（ 1） =f（ = 1 【解答】 解： f（ = f（ 1） =f（ = 1 故选： B 【点评】 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用 6已知 ， ，则 与 的夹角（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【专题】 常规题 型 【分析】 利用向量的多项式乘法展开，利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式，求出向量夹角的余弦，利用向量夹角的范围，求出向量的夹角 【解答】 解：设两个向量的夹角为 9+163+1243 0， =120 故选 C 【点评】 求向量的夹角问题一般应该先求出向量的数量积，再利用向量的数 量积公式求出向量夹角的余弦，注意夹角的范围，求出夹角 7函数 f（ x） =| 零点个数为（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用 【分析】 本题即求函数 y=|图象和函数 y=图象的交点个数，数形结合可得结论 【解答】 解：函数 f（ x） =| 零点的个数， 即函数 y=图象和函数 y=图象的交点个数， 如图所示： 显然，函数 y=|图象和函 数 y=图象的交点个数为 4， 故选： D 【点评】 本题主要考查函数的两点个数的判断方法，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题 8函数 y=x+）的部分图象如图，则 ， 可以取的一组值是（ ） A B C D 【考点】 y=x+）中参数的物理意义；由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 由图象可知 T/4=3 1=2，可求出 ，再由最大值求出 【解答】 解： =3 1=2， T=8， ， 又由 得 故选 D 【点评】 本题考查函数 y=x+）的部分图象求解析式，由最值与平衡位置确定周期求 ，由最值点求 的方法 9（中应用举例）已知偶函数 f（ x）满足： f（ x） =f（ x+2），且当 x0， 1时， f（ x） =图象与直线 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 则 等于（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 【考点】 函数奇偶性的性质；平面向 量数量积的运算 【专题】 计算题 【分析】 本题考查的知识是函数性质的综合应用及平面向量的数量积运算，我们可以由已知中函数f（ x）满足： f（ x） =f（ x+2），且当 x0， 1时， f（ x） =出其图象与直线 在 y 轴右侧的交点 的关系，由于 与 同向，我们求出两个向量的模代入平面向量数量积公式，即可求解 【解答】 解：依题意 与 同向， 且 3， 4的横坐标都相差一个周期， 所以 ， ， 故选 B 【点评】 如果两个非量平面向量平行（共线），则它们的方向相同或相反，此时他们的夹角为 0 或 当它们同向时，夹角为 0，此 时向量的数量积，等于他们模的积；当它们反向时，夹角为 ，此时向量的数量积，等于他们模的积的相反数如果两个向量垂直，则它们的夹角为 ，此时向量的数量积等于 0 10若 ，则 ） A B C D 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【分析】 题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论 【解答】 解： ， ， 故选 C 【点评】 本题解法巧妙，能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用 11已知函数 y=f（ x）是（ 1， 1）上的偶函数，且在区间（ 1， 0）上是单调递增的， A， B， 三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ） A f（ f（ B f（ f（ C f（ f（ D f（ f（ 【考点】 奇偶性与单调性的综合；解三角形 【专题】 计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质 【分析】 由于 f（ x）定义在（ 1， 1）上的偶函数，且在区间（ 1， 0）上单调递增，可得 f（ x）在（ 0， 1）上是减函数而锐角三角形中 ，任意一个角的正弦要大于另外角的余弦，由此对题中各个选项依此加以判断，可得本题的答案 【解答】 解：对于 A，由于不能确定 大小， 故不能确定 f（ f（ 大小，可得 A 不正确； 对于 B， A， B， C 是锐角三角形 三个内角， A+B ，得 A B 注意到不等式的两边都是锐角，两边取正弦， 得 B），即 f（ x）定义在（ 1， 1）上的偶函数，且在区间（ 1， 0）上单调递增 f（ x）在（ 0， 1）上是减函数 由 得 f（ f（ 故 B 不正确 对于 C， A， B， C 是锐角三角形 三个内角， B+C ，得 C B 注意到不等式的两边都是锐角，两边取余弦， 得 B），即 f（ x）在（ 0， 1）上是减函数 由 得 f（ f（ 得 C 正确； 对于 D，由对 B 的证明可得 f（ f（ 故 D 不正确 故选： C 【点评】 本题给出抽象函数，求用锐角三角形的内角的正、余弦作为自变量时，函数值的大小关系着重考查了函数的单调性、奇偶性和锐角三角形中三角函数值的大小比较等知识，属于中档题 12若 x 是三角形的最小内角，则函数 y=最小值是（ ） A + B + C 1 D 【考点】 三角函数的化简求值；三角函数的最值 【专题】 函数思想；换元法；三角函数的求值 【分析】 令 t，则 ，则 y 是关于 t 的 二次函数，根据 x 的范围得出 t 的范围，利用二次函数性质推出 y 的最小值 【解答】 解：令 t，则 ， y=t = （ t 1） 2+1 x 是三角形的最小内角， x（ 0， ， t=x+ ）， t（ 1， ， 当 t= 时， y 取得最小值 故选： A 【点评】 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值，二次函数的性质，属于中档题 二、填空题（每题 5分，共 20分） 13已知 ） = ， ） = ，则 【考点】 两角和与差的正切函数 【专题】 计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值 【分析】 直接利用两角和与差的正切函数求解即可 【解答】 解： ） = ， ） = ， 则 ） +（ ） = = = 故答案为： ， 【点评】 本题考查两角和的正切函数的应用，考查计算能力 14已知向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 2）则向量 在向量 方向上的投影为 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 对应思想；综合法；平面向量及应用 【分析】 求出两向量夹角，代入投影公式即可 【解答】 解： | |=2 ， = 2 4= 6 = 向量 在向量 方向上的投影 | | = = = 故答案为： 【点评】 本题考查了平面向量的数量积运算，模长计算及投影的含义，属于基础题 15某同学在借助计算器求 “方程 x 的近似解（精确到 ”时，设 f（ x） =x 2，算得f（ 1） 0， f（ 2） 0；在以下过程中，他用 “二分法 ”又取了 4 个 x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是 x=么他所取的 x 的 4 个值中最后一个值是 【考点】 二分法求方程的近似解 【专题】 对应思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据 “二分法 ”的定义，每次把原区间缩小一 半，且保证方程的近似解不能跑出各个小的区间即可 【解答】 解：根据 “二分法 ”的定义，最初确定的区间是（ 1， 2），又方程的近似解是 x 故后 4 个区间分别是（ 2），（ 2），（ （ 故它取的 4 个值分别为 后一个值是 故答案为： 【点评】 本题考查了二分法的定义，以及利用二分法求方程的近似解的问题，是基础题 16关于下列命题： 函数 f（ x） =|21|最小正周期是 ； 函数 y= x）是偶函数； 函数 y=42x ）的一个对称中心是（ ， 0）； 关于 x 的方程 a（ 0x ）有两相异实根，则实数 a 的取值范围是（ 1， 2） 写出所有正确的命题的题 号： 【考点】 余弦函数的图象 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由条件利用正弦函数的、余弦函数的周期性、奇偶性、图象的对称性，以及方程的根的存在性，正弦函数、余弦函数的图象特征，得出结论 【解答】 解： 函数 f（ x） =|21|=|小正周期是 = ，故排除 ； 函数 y= x） = 2x） =2x ） =奇函数，故排除 ； 令 2x =得 x= + ， kZ， 可得函数 y=42x ）的一个对称中心是（ ， 0），故 正确； 关于 x 的方程 a（ 0x ）有两相异实根， 即 2x+ ） =a 有两相异实根，即 y=2x+ ）的图象和直线 y=a 有两个不同的交点 0x ， x+ ，故 a 2， 即实数 a 的取值范围是 ， 2），故排除 ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查正弦函数的、余弦函数的周期性、奇偶性、图象的对称性，以及方程的根的存在性 ，正弦函数、余弦函数的图象特征，属于中档题 三、解答题（共六题，共 70分） 17化简求值： （ 1）（ ） （ 0（ ） + ； （ 2） （ 1+ 【考点】 根式与分数指数幂的互化及其化简运算；三角函数的化简求值 【专题】 计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值 【分析】 （ 1）化负指数为正指数，化 0 指数幂为 1，然后结合对数的运算性质化简求值； （ 2）化切为弦，通分后，利用两角和与差的正弦化简得答案 【解答】 解：（ 1）（ ） （ 0（ ） + = = = ； （ 2） （ 1+ = = = = 【点评】 本题考查根式与分数指数幂的互化及化简求值，考查了三角函数的化简求值，训练了两角和与差的正弦，是中档题 18已知向量 =（ 3， 4）， =（ 6， 3）， =（ 5 x， 3） （ 1）若点 A， B， C 三点共线，求 x 的值； （ 2）若 直角三角形，且 B 为直角，求 x 的值 【考点】 三点共线 【专题】 函数思想；数形结合法；直线与圆 【分析】 （ 1）由点 A， B， C 三点共线可得 和 共线，解关于 x 的方程可得； （ 2）由 直角三角形可得 ，即 =0，解关于 x 的方程可得 【解答】 解：（ 1） =（ 3， 4）， =（ 6， 3）， =（ 5 x， 3）， = =（ 3， 1）， = =（ 1 x， 6） 点 A， B， C 三点共线， 和 共线， 36= 1 x，解得 x= 19； （ 2） 直角三角形，且 B 为直角， ， =3（ 1 x） +6=0， 解得 x=1 【点评】 本题考查向量的平行和垂直关系，属基础题 19已知： =（ 2 =（ 2设函数 f（ x） = （ xR）求： （ 1） f（ x）的最小正周期及最值； （ 2） f（ x）的对称轴及单调递增区间 【考点】 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【专题】 函数思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）使用向量的数量积公式得出 f（ x）并化简，利用正弦函数的性质得出 f（ x）的周期和最值； （ 2）令 2x+ = 解出 f（ x）的对称轴，令 2x+ 解出 f（ x）的增区间 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2 = + =22x+ ） f（ x）的最小正周期 T= =， f（ x）的最大值为 2， f（ x）的最小值为 2 （ 2）令 2x+ = 得 x= + ， f（ x）的对称轴为 x= + 令 2x+ ，解得 +kx + f（ x）的单调增区间是 + kZ 【点评】 本题考查了三角函数的恒等变换和正弦函数的性质，属于中档题 20已知 A、 B、 C 是 内角，向量 =（ 1， ）， =（ 且 =1 （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 = 2，求 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值 【专题】 计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；平面向量及应用 【分析】 （ 1）利用向量共线定理、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出； （ 2）由已知，利用平方差（和）公式化简，整理可求得 值，再利用三角形的内角和定理、诱导公式、两角和的正切函数公式化简所求，由特殊角的三角函数值即可计算得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1）因为 =（ 1， ）， =（ 且 =1， 所以 ，即 ， 所以 2A ） =1， A ） = ， 因为 A（ 0， ）， 所以 A （ ， ）， 所以 A = ， 故 A= （ 2） = 2 = 2 ， 2， （ A+B） = A+B） = = = 【点评】 本题考查了向量共线定理、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、三角形的内角和定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题 21已知幂函数 f（ x） =（ k2+k 1） x（ 2 k）（ 1+k） 在（ 0， +）上单调递增 （ 1）求实数 k 的值，并写出相应的函数 f（ x）的解析式； （ 2）对于（ 1）中的函数 f（ x），试判断是否存在整数 m，使函数 g（ x） =1 x） +（ 2m 1） x，在区间 0， 1上的最大值为 5，若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由 【考点】 函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法 【专题】 分类讨论；分析法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）由幂函数的定义和单调性，可得（ 2 k）（ 1+k） 0，又 k2+k 1=1，即可得到 k 的值和 f（ x） 的解析式； （ 2）求出 g（ x）的解析式，讨论 m 的符号，结合二次函数的对称轴和区间的关系，运用单调性，解方程可得 m 的值 【解答】 解：（ 1） 幂函数 f（ x） =（ k2+k 1） x（ 2 k）（ 1+k） 在（ 0， +）上单调递增， 可得（ 2 k）（ 1+k） 0，解得 1 k 2， 又 k2+k 1=1，可得 k= 2 或 1， 即有 k=1，幂函数 f（ x） = （ 2）由（ 1）可知： g（ x） = 2m 1） x+1， 当 m=0 时， g（ x） =1 x 在 0， 1递减， 可得 g（ 0）取得最大值，且为 1，不成立； 当 m 0 时， g（ x）图象开口向上，最大值在 g（ 0）或 g（ 1）处取得， 而 g（ 0） =1，则 g（ 1） =5，即为 m=5，不成立； 当 m 0，即 m 0， g（ x） = m（ x ） 2+ 当 0， m 0 时，解得 0 m ， 则 g（ x）在 0， 1上单调递减，因此在 x=0 处取得最大值， 而 g（ 0） =15 不符合要 求，应舍去； 当 1， m 0 时，解得 m 不存在； 当 0 1， m 0 时，解得 m ， 则 g（ x）在 x= 处取得最小值，最大值在 x=0 或 1 处取得， 而 g（ 0） =1 不符合要求； 由 g（ 1） =5，即 m=5，满足 m 的范围 综上可知：满足条件的 m 存在且 m=5 【点评】 本题考查幂函数的定