湖北省潜江市2016届九年级下月考数学试卷(3月)含答案解析

第 1 页（共 33 页） 2015年湖北省潜江市江汉油田油建学校九年级（下）月考数学试卷（ 3 月份） 一、选择题：（本大题共 8 个小题，每小题 3分，共 24 分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入第 卷选择题答题表中相应题号下的方格内，填错或不填均为零分 1 3 的负倒数是（ ） A B C 3 D 3 2如图，直线 m n，则 90 为（ ） A 70 B 65 C 50 D 40 3在下面的四个几何图形中，左视图与主视图不相同的几何体是（ ） A长方体 B正方体 C球 D圆锥 4下列计算正确的是（ ） A = B =2 C a6a2=（ 3= 为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表： 月用水量（吨） 3 4 5 8 户 数 2 3 4 1 则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误的是（ ） A众数是 4 B平均数是 调查了 10 户家庭的月用水量 D中位数是 如图，在平行四边形 ， ， ， 垂直平分线交 点 E，则 周长是（ ） 第 2 页（共 33 页） A 7 B 10 C 11 D 12 7根据如图中箭头的指向规律，从 2013 到 2014 再到 2015，箭头的方向是以下图示中的（ ） A B C D 8已知： 3a+1=0，则 a+ 2 的值为（ ） A +1 B 1 C 1 D 5 9如图，在四边形 ， 足为点 E，连接 点 F，点 G 为中点， ， ，则 长为（ ） A 2 B C 2 D 10已知抛物线 y=bx+c（ a0）经过点（ 1， 1）和（ 1， 0）下列结论： a b+c=0； 4 当 a 0 时，抛物线与 x 轴必有一个交点在点（ 1， 0）的右侧； 抛物线的对称轴为 x= 其中结论正确的个数有（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 二、填空题：（本题有 6个小题，每小题 3分，共 18分） 11世界文化遗产长城总长约 6700 000m，用科学记数法表示这个数为 12分解因式 2xy+4x+4y+3= 第 3 页（共 33 页） 13不等式组 的所有正整数解之和为 14如图，在 ，点 D 是 中点，点 E， F 分别在线段 其延长线上，且 F给出下列条件： C； 从中选择一个条件使四边形 菱形，你认为这个条件是 （只填写序号） 15如图，轮船在 A 处观测灯塔 C 位于北偏西 70方向上，轮船从 A 处以每小时 20 海里的速度沿南偏西 50方向匀速航行， 1 小时后到达码头 B 处，此时，观测灯塔 C 位于北偏西 25方向上，则灯塔 C 与码头 B 的距离是 海里（结果精确到个位，参考数据： 16如图，扇形 ， 0，扇形半径为 3，点 C 在 ， 足为点 D，当 面积最大时，图中阴影部分的面积为 三、解答题：（本题有 9个小题，共 72分） 17计算：（ ） 2 4 +（ ） 0 第 4 页（共 33 页） 18先化简，再代入一个自己喜欢的值计算：（ 2x） 19某市 “创建文明城市 ”活动如火如荼的展开某中学为了搞好 “创城 ”活动的宣传，校学生会就本校学生对当地 “市情市况 ”的了解程度进行了一次调查测试经过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（ A： 59 分及以下； B： 60 69 分； C： 70 79 分； D： 80 89 分； E： 90 100分）请你根据图中提供的信息解答以下问题： （ 1）求该校共有多少名学生； （ 2）将条形统计图补充完整； （ 3）在扇形统计图中 ，计算出 “70 79 分 ”部分所对应的圆心角的度数； （ 4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为 “90 100 分 ”的概率是多少？ 20如图， B， A， 证： B 21已知关于 x 的一元二次方程 （ m+1） x+1=0 （ 1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； （ 2）若方程两实数根分别为 满足（ 2=16 实数 m 的值 22如图，点 B（ 3， 3）在双曲线 y= （ x 0）上，点 D 在双曲线 y= （ x 0）上，点 A 和点 x 轴， y 轴的正半轴上，且点 A， B， C， D 构成的四边形为正方形 （ 1）求 k 的值； （ 2）求点 A 的坐标 第 5 页（共 33 页） 23某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价 M（元）与时间 t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一 件商品的成本 Q（元）与时间 t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中 6 月份成本最高（如图 2） （ 1）一件商品在 3 月份出售时的利润是多少元？（利润 =售价成本） （ 2）求图 2 中表示一件商品的成本 Q（元）与时间 t（月）之间的函数关系式； （ 3）你能求出 3 月份至 7 月份一件商品的利润 W（元）与时间 t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品 30 000 件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？ 24如图 1， 半圆的直径， O 为 圆心， C 为圆弧上一点， 直于过 C 点的切线，垂足为 D，延长线交直线 点 E （ 1）求证： 分 （ 2）若 ， B 为 中点， 足为点 F，求 长； （ 3）如图 2，连接 点 G，若 = ，求 E 的值 第 6 页（共 33 页） 25已知抛物线 y=a（ x+1） 2 2 的顶点为 A，且经过点 B（ 2， 1） （ 1）求 A 点的坐标和抛物线 解析式； （ 2）如图 1，将 抛物线 下平移 2 个单位后得到抛物线 抛物线 B 相交于 C，D 两点，求 S S （ 3）如图 2，若过 P（ 4， 0）， Q（ 0， 2）的直线为 l，点 E 在（ 2）中抛物线 顶点）运动，直线 m 过点 C 和点 E问：是否存在直线 m，使直线 l， m 与 x 轴围成的三角形和直线 l， m 与 y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线 m 的解析式；若不存在，说明理由 第 7 页（共 33 页） 2015年湖北省潜江市江汉油田油建学校九年级（下）月考数学试卷（ 3 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 8 个小题，每小题 3分，共 24 分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入第 卷选择题答题表中相应题号下的方格内，填错或不填均为零分 1 3 的负倒数是（ ） A B C 3 D 3 【考点】倒数 【专题】计算题 【分析】根据倒数的定义直接求出 3 的负倒数 【解答】解： 3 的负 倒数为 故选 B 【点评】本题考查了倒数的定义： a 与 互为倒数 2如图，直线 m n，则 90 为（ ） A 70 B 65 C 50 D 40 【考点】平行线的性质 【专题】推理填空题 【分析】如图根据平行线的性质先求出 2，再根据对顶角相等求出 ，即可解决问题 【解答】解：如图， 第 8 页（共 33 页） m n， 1+ 2=180， 1=130， 2=50， 2= ， =50， 90 =40， 故选 D 【点评】本题考查平行线的性质、记住两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，属于中考常考题型 3在下面的四个几何图形中，左视图与主视图不相同的几何体是（ ） A长方体 B正方体 C球 D圆锥 【考点】简单几何体的三视图 【专题】常规题型 【分析】根据几何体的三种视图，对各图形的主视图与左视图 分析后进行选择即可 【解答】解： A、长方体的主视图的长方形的长与宽分别是长方体的长与高，左视图的长方形的长与宽分别是长方体的宽与高，两图形不一定相同； B、正方体的主视图与左视图是全等的正方形； C、球的主视图与左视图是半径相等的圆； D、圆锥的主视图与左视图是全等的等腰三角形 故选 A 【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力 4下列计算正确的是（ ） A = B =2 C a6a2= 3= 第 9 页（共 33 页） 【考点】同底数幂的除法；实数的运算；幂的乘方与积的乘方 【专题】计算题 【分析】根据二次根式的运算法则判断，开算术平方根，同底数幂的除法及幂的乘方运算 【解答】解： A、不是同类二次根式，不能合并，故 A 选项错误； B、 =22，故 B 选项错误； C、 a6a2=a4 C 选项错误； D、（ 3= D 选项正确 故选： D 【点评】本题主要考查了二次根式的运算法则判断，开算术平方根，同底数幂的除法及幂的乘方运算熟记法则是解题的关键 5为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表： 月用水量（吨） 3 4 5 8 户 数 2 3 4 1 则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误的是（ ） A众数是 4 B平均数是 调查了 10 户家庭的月用水量 D中位数是 考点】众数；统计表；加权平均数；中位数 【专题】常规题型 【分析】根据众数、中位数和平均数的定义分别对每一项进行分析即可 【解答】解： A、 5 出现了 4 次，出现的次数最多，则众数是 5，故 A 选项错误； B、这组数据的平均数是：（ 32+43+54+81） 10= B 选项正确； C、调查的户数是 2+3+4+1=10，故 C 选项正确； D、把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是（ 4+5） 2=中位数是 故选： A 【点评】此题考查了众数、中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新 排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数 第 10 页（共 33 页） 6如图，在平行四边形 ， ， ， 垂直平分线交 点 E，则 周长是（ ） A 7 B 10 C 11 D 12 【考点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质 【专题】计算题 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得 C，再根据平行四边形的性质可得 B=4，C=6，进而可以算出 周长 【解答】解： 垂直平分线交 E， C， 四边形 平行四边形， B=4， C=6， 周长为： D+D+4=10， 故选： B 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等 7根据如图中箭头的指向规律，从 2013 到 2014 再到 2015，箭头的方向是以下图示中的（ ） A B C D 【考点】规律型：数字的变化类 【专题】规律型 【分析】观察不难发现，每 4 个数为一个循环组依次循环，用 2013 除以 4，根据商和余数的情况解答即可 【解答】解：由图可知，每 4 个数为一个循环组依次循环， 20124=503， 第 11 页（共 33 页） 即 0 到 2011 共 2012 个数，构成前面 503 个循环， 2012 是第 504 个循环的第 1 个数， 2013 是第 504 个循环组的第 2 个数， 从 2013 到 2014 再到 2015，箭头的方向是 故选： D 【点评】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，发现每 4 个数为一个循环组依次循环是解题的关键 8已知： 3a+1=0，则 a+ 2 的值为（ ） A +1 B 1 C 1 D 5 【考点】分式的混合运算 【专题】计算题 【分析】已知等式变形求出 a+ 的值，代入原式计算即可得到结果 【解答】解： 3a+1=0，且 a0， 同除以 a，得 a+ =3， 则原式 =3 2=1， 故选： B 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 9如图，在四边形 ， 足为点 E，连接 点 F，点 G 为中点， ， ，则 长为（ ） A 2 B C 2 D 【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 【专题】几何图形问题 第 12 页（共 33 页） 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得 G，根据等腰三角形的性质可得 据三角形外角的性质可得 根据平行线的性质和等量关系可得 据等腰三角形的性质可得 G，再根据勾股定理即可求解 【解答】解： 0， 又 点 G 为 中点， G， G=3， 在 ， =2 故选： C 【点评】综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明 G=3 10已知抛物线 y=bx+c（ a0）经过点（ 1， 1）和（ 1， 0）下列结论： a b+c=0； 4 当 a 0 时，抛物线与 x 轴必有一个交点在点（ 1， 0）的右侧； 抛物线的对称轴为 x= 其中结论正确的个数有（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 【考点】二次函数图象与系数的关系 【专题】常规题型 【分析】将点（ 1， 0）代入 y=bx+c，即可判断 正确； 第 13 页（共 33 页） 将点（ 1， 1）代入 y=bx+c，得 a+b+c=1，又由 得 a b+c=0，两式相加，得 a+c= ，两式相减，得 b= 由 4 4a（ a） = 2a+4 2a ） 2，当 a= 时， 4，即可判断 错误； 由 4 2a ） 2 0，得出抛物线 y=bx+c 与 x 轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为 x，根据一元二次方程根与系数的关系可得 1x= = 1，即 x=1 ，再由 a 0 得出 x 1，即可判断 正确； 根据抛物线的对称轴公式为 x= ，即可判断 正确 【解答】解： 抛物线 y=bx+c（ a0）经过点（ 1， 0）， a b+c=0，故 正确； 抛物线 y=bx+c（ a0）经过点（ 1， 1）， a+b+c=1，又 a b+c=0， 两式相加，得 2（ a+c） =1， a+c= ， 两式相减，得 2b=1， b= 4 4a（ a） = 2a+4 2a ） 2， 当 2a =0，即 a= 时， 4，故 错误； 当 a 0 时， 4 2a ） 2 0， 抛物线 y=bx+c 与 x 轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为 x， 则 1x= = = 1，即 x=1 ， a 0， 0， x=1 1， 即抛物线与 x 轴必有一个交点在点（ 1， 0）的右侧，故 正确； 抛物线的对称轴为 x= = ，故 正确 故选： B 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数 与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质，不等式的性质，难度适中 第 14 页（共 33 页） 二、填空题：（本题有 6个小题，每小题 3分，共 18分） 11世界文化遗产长城总长约 6700 000m，用科学记数法表示这个数为 06 【考点】科学记数法 表示较大的数 【专题】常规题型 【分析】科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】解：将 6700 000m 用科学记数法表示为： 06 故答案为： 06 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 12分解因式 2xy+4x+4y+3= （ x y 1）（ x y 3） 【考点】因式分解 【专题】计算题；因式分解 【分析】原式结合后，利用完全平方公式分解，再利用十字相乘法分解即可 【解答】解：原式 =（ x y） 2 4（ x y） +3=（ x y 1）（ x y 3）， 故答案为：（ x y 1）（ x y 3） 【点评】此题考查了因式分解分组分解法，将原式进行适当的分组是解本题的关键 13不等式组 的所有正整数解之和为 3 【考点】一元一次不等式组的整数解 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再将所有正整数解相加可得 【解答】解：解不等式 x 2x+1，得： x 1， 解 不等式 3x 2（ x 1） 4，得： x2， 不等式组的解集为： 1 x2， 则其所有正整数解之和为： 1+2=3， 故答案为： 3 第 15 页（共 33 页） 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 ”的原则是解答此题的关键 14如图，在 ，点 D 是 中点，点 E， F 分别在线段 其延长线上，且 F给出下列条件： C； 从中选择一个条件使四边形 菱形，你认为这个条件是 （ 只填写序号） 【考点】菱形的判定 【专题】推理填空题 【分析】首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后结合菱形的判定得到答案即可 【解答】解：由题意得： D， D， 四边形 平行四边形， 据这个条件只能得出四边形 矩形， 据 平行四边形已可以得出 此不能根据此条件得出菱形， C， ， E， 四边形 菱形 故答案为： 【点评】本题考查了菱形的判定，解题的关键是了解菱形的判定定理，难度不是很大 第 16 页（共 33 页） 15如图，轮船在 A 处观测灯塔 C 位于北偏西 70方向上，轮船从 A 处以每小时 20 海里的速度沿南偏西 50方向匀速航行， 1 小时后到达码头 B 处，此时，观测灯塔 C 位于北偏西 25方向上，则灯塔 C 与码头 B 的距离是 24 海里（结果精确到个位，参考数据： 【考点】解直角三角形的应用 【专题】几何图形问题 【分析】作 点 D，在直角 ，利用三角函数求得 长，然后在直角 用三角函数即可求得 长 【解答】解： 5+50=75 作 点 D 则 90 70） +（ 90 50） =20+40=60， 0， 5 30=45 在直角 ， B020 =10 在直角 ， 5， 则 0 =10 104（海里） 故答案是： 24 第 17 页（共 33 页） 【点评】本题主要考查了方向角含义，正确求得 及 度数是解决本题的关键 16如图，扇形 ， 0，扇形半径为 3，点 C 在 ， 足为点 D，当 面积最大时，图中阴影部分的面积为 【考点】扇形面积的计算 【分析】由 ，点 C 在 上， 得 = ，运用 S D ，求得 时 面积最大， 运用阴影部分的面积 =扇形 面积 面积求解 【解答】解： ，点 C 在 上， = S S 9 = （ ） 2+ 当 ，即 时 面积最大， = = ， 5， 阴影部分的面积 =扇形 面积 面积 = = ， 故答案为： 【点评】本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，解题的关键是求出 时 面积最大 三、解答题：（本题有 9个小题，共 72分） 第 18 页（共 33 页） 17计算：（ ） 2 4 +（ ） 0 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】计算题；实数 【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用算术平方根定义，以及除法法则计算，第三项利用零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果 【解答】解：原式 =9 + =9 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18先化简，再代入一个自己喜欢的值计算：（ 2x） 【 考点】分式的化简求值 【分析】根据分式的除法法则把原式进行化简，选取 x 的值代入进行计算即可 【解答】解：原式 =x（ x 2） =x， 当 x=1 时，原式 =1 【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意 x 的取值保证分式有意义 19某市 “创建文明城市 ”活动如火如荼的展开某中学为了搞好 “创城 ”活动的宣传，校学生会就本校学生对当地 “市情市况 ”的了解程度进行了一次调查测试经过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（ A： 59 分及以下； B： 60 69 分； C： 70 79 分； D： 80 89 分； E： 90 100分）请你根据图中提供的信息解答以下问题： 第 19 页（共 33 页） （ 1）求该校共有多少名学生； （ 2）将条形统计图补充完整； （ 3）在扇形统计图中，计算出 “70 79 分 ”部分所对应的圆心角的度数； （ 4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为 “90 100 分 ”的概率是多少？ 【考点】概率公式；扇形统计图；条形统计图 【分析】（ 1）根据 C 的人数和所占的百分比列式计算即可得解； （ 2）求出 D 的 总人数，然后补全统计图即可； （ 3）用 360乘以 C 所占的百分比计算即可得解； （ 4）根据全校总人数和 E 的人数，计算即可求出概率 【解答】解：（ 1）该校共有学生： 30030%=1000 名； （ 2） D 的人数为： 100035%=350 名， 补全条形统计图如图所示； （ 3） “70 79 分 ”部分所对应的圆心角的度数 360 30%=108； （ 4）成绩为 “90 100 分 ”的概率是： = 【点评】本题考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，还考查了条形统计图与扇形统计图的知识 20如图， B， A， 证： B 第 20 页（共 33 页） 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】求出 据 据全等三角形的性质即可推出答案 【解答】证明： 在 ， B 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生能否运用全等三角形的性质和判定进行推理，题目比较典型，难度适中 21已知关于 x 的一元二次方程 （ m+1） x+1=0 （ 1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； （ 2）若方程两实数根分别为 满足（ 2=16 实数 m 的值 【考点】根的判别式；根与系数的关系 【专题】判别式法 【分析】（ 1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式 =4，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围； （ 2）由 x1+ 2（ m+1）， 1；代入（ 2=16 立关于 m 的方程，据此即可求得 m 的值 【解答】解：（ 1）由题意有 =2（ m+1） 2 4（ 1） 0， 整理得 8m+80， 解得 m 1， 第 21 页（共 33 页） 实数 m 的取值范围是 m 1； （ 2）由两根关系，得 x1+ 2（ m+1）， x1x2=1， （ 2=16 x1+2 316=0， 2（ m+1） 2 3（ 1） 16=0， m 9=0， 解得 m= 9 或 m=1 m 1 m=1 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足 0 的条件 22如图，点 B（ 3， 3）在双曲线 y= （ x 0）上，点 D 在双曲线 y= （ x 0）上，点 A 和点 x 轴， y 轴的正半轴上，且点 A， B， C， D 构成的四边形为正方形 （ 1）求 k 的值； （ 2）求点 A 的坐标 【考点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质 【专题】综合题 【分析】（ 1）把 B 的坐标代入求出即可； （ 2）设 MD=a， OM=b，求出 ，过 M ，过 N ，证 出 M=3， N=a，求出 a=b，求出 a 的值即可 【解答】解：（ 1） 点 B（ 3， 3）在双曲线 y= 上， k=33=9； 第 22 页（共 33 页） （ 2） B（ 3， 3）， N=3， 设 MD=a， OM=b， D 在双曲线 y= （ x 0）上， ， 过 D 作 x 轴于 M，过 B 作 x 轴于 N， 则 0， 四边形 正方形， 0， B， 0， 0， 在 ， ， M=3， N=a， 0A=3 a， 即 AM=b+3 a=3， a=b， ， a=b=2， 2=1， 即点 A 的坐标是（ 1， 0） 第 23 页（共 33 页） 【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目 比较好，难度适中 23某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价 M（元）与时间 t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本 Q（元）与时间 t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中 6 月份成本最高（如图 2） （ 1）一件商品在 3 月份出售时的利润是多少元？（利润 =售价成本） （ 2）求图 2 中表示一件商品的成本 Q（元）与时间 t（月）之间的函数关系式； （ 3）你能求出 3 月份至 7 月份一件商品的利润 W（元）与时间 t（月） 之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品 30 000 件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？ 【考点】二次函数的应用 【专题】数形结合 【分析】（ 1）从图易知 3 月份每件商品售价 6 元，成本 1 元，易求利润； （ 2）根据图象特征抛物线的顶点为（ 6， 4），可设抛物线的解析式为 Q=a（ t 6） 2+4，将点（ 3，1）代入可得出函数解析式 （ 3）根据利润的计算方法，显然需求直线解析式，再求差，运用函数性质计算利润 【解答】解：（ 1）由图 象知： 3 月份每件商品售价 6 元，成本 1 元， 故可得，一件商品在 3 月份出售时的利润为 5 元 （ 2）由图知，抛物线的顶点为（ 6， 4）， 故可设抛物线的解析式为 Q=a（ t 6） 2+4 抛物线过（ 3， 1）点， a（ 3 6） 2+4=1 第 24 页（共 33 页） 解得 故抛物线的解析式为 Q= （ t 6） 2+4， 即 ，其中 t=3， 4， 5， 6， 7 （ 3）设每件商品的售价 M（元）与时间 t（月）之间的函数关系式为 M=kt+b 线段经过（ 3， 6）、（ 6， 8）两点， 解得 ，其中 t=3， 4， 5， 6， 7 故可得：一件商品的利润 W（元）与时间 t（月）的函数关系式为： W=MQ= = 即 ， 其中 t=3， 4， 5， 6， 7 当 t=5 时， W 有最小值为 元， 即 30000 件商品一个月内售完至少获利 =110000（元） 答：该公司一个月内至少获利 110000 元 【点评】此题考查了二次函数的应用，及待定系数法求二次函数解析式的知识，难点在第 3 个问题：表示利润，注意配方法求二次函数最值的应用，难度较大 24如图 1， 半圆的直径， O 为圆心 ， C 为圆弧上一点， 直于过 C 点的切线，垂足为 D，延长线交直线 点 E （ 1）求证： 分 （ 2）若 ， B 为 中点， 足为点 F，求 长； （ 3）如图 2，连接 点 G，若 = ，求 E 的值 第 25 页（共 33 页） 【考点】圆的综合题；平行线的性质；含 30 度角的直角三角形；切线的性质；锐角三角函数的定义 【专题】几何综合题 【分析】（ 1）连结 图 1， 根据切线的性质得 据平行线的性质得以 2= 3，加上 1= 3，则 1= 2，所以 分 （ 2）如图 1，由 B 为 中点， 直径得到 E=2， ，在 ，由于 据含 30 度的直角三角形三边的关系得 0，则 0，由 0，所以 0，再根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 ， ； （ 3）连结 图 2，先证明 用相似的性质得 = = ，再证明 用相似比得到 = = ，设 O 的半径为 R， OE=x，代入求得 R；最后在 ，根据正弦的定义求解 【解答】（ 1）证明：连结 图 1， O 切于点 C， 2= 3， C， 1= 3， 1= 2， 即 分 （ 2）解：如图 1， 直径 ， B 为 中点， 第 26 页（共 33 页） E=2， ， 在 ， 0， 0， 0， 0， ， ； （ 3）解：连结 图 2， = = ， = = ， 设 O 的半径为 R， OE=x， = ， 解得 R， 在 ， E= = = 第 27 页（共 33 页） 【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、平行线的性质和锐角三角函数的定义；会根据含 30 度的直角三角形三边的关系和相似比进行几何计算 25已知抛物线 y=a（ x+1） 2 2 的顶点为 A，且经过点 B（ 2， 1） （ 1）求 A 点的坐标和抛物线 解析式； （ 2）如图 1，将抛物线 下平移 2 个单位后得到抛物 线 抛物线 B 相交于 C，D 两点，求 S S （ 3）如图 2，若过 P（ 4， 0）， Q（ 0， 2）的直线为 l，点 E 在（ 2）中抛物线 顶点）运动，直线 m 过点 C 和点 E问：是否存在直线 m，使直线 l， m 与 x 轴围成的三角形和直线 l， m 与 y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线 m 的解析式；若不存在，说明理由 【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；锐 角三角函数的增减性 【专题】压轴题；存在型 【分析】（ 1）由抛物线的顶点式易得顶点 A 坐标，把点 B 的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题 （ 2）根据平移法则求出抛物线 解析式，用待定系数法求出直线 解析式，再通过解方程组求出抛物线 直线 交点 C、 D 的坐标，就可以求出 S S 第 28 页（共 33 页） （ 3）设直线 m 与 y 轴交于点 G，直线 l， m 与 x 轴围成的三角形和直线 l， m