平面与圆锥面的截线PPT课件.ppt

三平面与圆锥面的截线 1 理解圆锥面的概念 2 了解圆锥面被平面截得的圆锥曲线的各种情况 1 如图1 AD是等腰三角形底边BC上的高 BAD 直线l与AD相交于点P 且与AD的夹角为 则 1 l与AB 或AB的延长线 AC相交 2 l与AB不相交 3 l与BA的延长线 AC都相交 2 在空间中 取直线l为轴 直线l 与l相交于点O 夹角为 l 围绕l旋转得到以O为顶点 l 为母线的圆锥面 任取平面 若它与轴l的交角为 当 与l平行时 记 0 则 1 平面 与圆锥的交线为椭圆 2 平面 与圆锥的交线为抛物线 3 平面 与圆锥的交线为双曲线 1 1 2 3 2 1 2 3 研究圆锥的截线 说明双曲线为 时 平面 与圆锥的交线 解析 当 时 平面 与圆锥的两部分相交 在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球 与平面 的两个切点分别是F1 F2 与圆锥两部分截得的圆分别为S1 S2 在截口上任取一点P 连接PF1 PF2 过点P和圆锥的顶点O作母线 分别与两个球相切于点Q1 Q2 则PF1 PQ1 PF2 PQ2 所以 PF1 PF2 PQ1 PQ2 Q1Q2 由于Q1Q2为两圆S1 S2所在平行平面之间的母线段长 因此Q1Q2的长为定值 由上述可知 双曲线的结构特点是 双曲线上任意一点到两个定点 即双曲线的两个焦点 的距离之差的绝对值为常数 如图所示 平面ABC是圆锥面的正截面 PAB是圆锥的轴截面 已知 APC 60 BPC 90 PA 4 1 求二面角A PC B的余弦值 2 求正截面圆圆心O到平面PAC的距离 已知 圆锥侧面展开图扇形的中心角为 AB CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径 过CD和母线VB的中点E作一截面 求截面与圆锥的轴线所夹角的大小 并说明截线是什么圆锥曲线 1 圆锥的顶角为60 截面与母线所成的角为60 则截面所截得的截线是 A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线2 圆锥的顶角为50 圆锥的截面与轴线所成的角为30 则截线是 A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 A B C 4 用一个平面去截一个正圆锥 而且这个平面不通过圆锥的顶点 则会出现四种情况 和 5 用平面截球面和圆柱面所产生的截线形状分别是 4 圆椭圆抛物线双曲线5 圆圆或椭圆 6 已知一圆锥面S的轴线为Sx 轴线与母线的夹角为30 在轴上取一点O 使SO 3cm 球O与这个锥面相切 求球O的半径和切圆的半径 7 已知圆锥面S 其母线与轴线所成的角为30 在轴线上取一点C 使SC 5 通过点C作一截面 使它与轴线所成的角为45 截出的圆锥曲线是什么样的图形 求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和 8 顶角为90 的圆锥面中 有一个半径为2的内切球 以该球为Dandelin球作一个截面 截线为抛物线 建立适当的平面直角坐标系 求抛物线的方程 解析 如图是几何体的轴截面 其中点P为抛物线的顶点 点Q为抛物线的焦点 以PQ所在直线为x轴 P为坐标原点建立平面直角坐标系 9 顶角为60 的圆锥面中有一个半径为2的内切球 以该球为焦球作一截面 使截线为抛物线 求该抛物线的顶点到焦点的距离和截面与轴的交点到圆锥顶点的距离 解析 如图所示是圆锥的截面的轴面 其中P为抛物线的顶点 Q为抛物线的焦点 M为截面与轴的交点 设A B为球与圆锥的母线的切点 10 已知圆锥面S 母线与轴线所成的角为45 在轴线上取一点C 使SC 5 过点C作一平面与轴线的夹角等于30 所截得的曲线是什么样的图形 求两个焦球的半径 1 圆锥面锥面 设空间有一条定曲线 和不在 上的一定点A 动点P在 上运动时 直线AP上的点的轨迹 叫做以A为顶点 以 为准线的锥面 每条直线AP都叫做此锥面的母线 如甲图所示 为一锥面 其中曲线 为锥面的准线 定点A为锥面的顶点 准线上任一点P与点A的连线都是锥面的母线 圆锥面 若锥面的准线为一圆 锥面的顶点在过圆心且垂直于圆所在平面的直线上 则此锥面叫做圆锥面 过圆锥面的顶点和它的准线圆的圆心的直线 叫做此圆锥面的轴线 如乙图所示 为一圆锥面 其准线为 O 顶点为A 过点A和点O的直线是圆锥面的轴线 且圆锥面上只存在母线的直线 直线l垂直于 O所在的平面 由旋转面和圆锥面的关系知 圆锥面可以看作是两条相交直线 其中一条直线a绕另一条直线l旋转而得到 于是也可将圆锥面定义为 一条直线绕着与它相交成定角 的另一条直线旋转一周 形成的曲面叫做圆锥面 这条直线叫做圆锥面的母线 另一条直线叫做圆锥面的轴 性质1 圆锥面的轴线和每一条母线的夹角相等 轴线上任一点到每条母线的距离相等 如丙图所示 设 O为圆锥面的准线 B C是 O上任两点 则AB AC为圆锥面的母线 由OB OC OA OA Rt AOB Rt AOC OAB OAC 即轴线与每一条母线的夹角相等 又设M为轴线l上任一点 MN AB于点N OAB 则MN AMsin 故点M到每一条母线的距离为定值 2 垂直截面轴截面 经过圆锥面的轴的平面叫做圆锥面的轴截面 与轴截面相交的两条母线的夹角叫做圆锥面的顶角 轴与母线的夹角叫做圆锥面的半顶角 如果一平面垂直于圆锥面的轴线 那么这个平面叫做圆锥面的正截面 性质2 圆锥面的顶点到正截面之间所截的母线上的线段相等 正截面截圆锥的截线是圆 其半径等于dtan 这里d是圆锥面的顶