八年级数学希望杯第1-21届试题汇总(含答案与提示)

希望杯第一届（ 1990）第二试试题 . 1 希望杯第二届（ 1991 年）初中二年级第二试试题 . 5 希望杯第三届（ 1992 年）初中二年级第二试题 . 10 希望杯第四届（ 1993 年）初中二年级第一试试题 . 18 希望杯第四届（ 1993 年）初中二年级第二试试题 . 23 希望杯第五届 (1994 年 )初中二年级第一试试题 . 26 希望杯第五届 (1994 年 )初中二年级第二试试题 . 31 第六届 (1995 年 )初中二年级第一试试题 . 44 希望杯第六届 (1995 年 )初中二年级第二试试题 . 50 希望杯第七届（ 1996 年）初中二年级第一试试题 . 56 希望杯第七届（ 1996 年）初中二年级第二试试题 . 62 希望杯第八届（ 1997 年）初中二年级第一试试题 . 72 希望杯第八届（ 1997 年）初中二年级第二试试题 . 79 第九届（ 1998 年）初中二年级第一试试题 . 88 希望杯第九届（ 1998 年）初中二年级第二试试题 . 98 1999 年第十届 “希望杯”全国数学邀请赛 第二试 . 108 2000 年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试 . 111 2000 年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试 . 114 2001 年希望杯第十二届初中二年级第一试试题 . 119 2001 年希望杯第 12 届八年级第 2 试试题 . 122 2002 年第十三届全国数学邀请赛初二年级 第一试 . 129 2002 年度初二 “希望杯”全国数学邀请赛第二试 . 132 2003 年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第 1 试 . 139 2003 年第十四届“希望杯” (初二笫 2 试 ) . 142 2004 年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛 初二 . 148 2004 年第十五届 “希望杯 ”全国数学邀请赛初二第 2 试 . 151 2005 年第十六届希望杯初二第 1 试试题 . 157 2005 年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 . 159 2006 年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 . 163 2006年 第十七届“希望杯数学邀请赛第二试 . 166 2007 年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试 . 171 2007 年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 . 173 2008 年第 19 届“希望杯”全国数学邀请赛初二第 2 试试题 . 179 2009 年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 . 183 2009 年第 20 届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 . 186 2010 年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 . 193 2010 年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 . 195 希望杯第一届（ 1990）第二试试题 一、选择题 :（每题 1分，共 5分） 4腰中线将周长分成 5 3的两部分，那么这个三角形的底边长是 A 12. C 4. D 12或 4 = 2)1 9 8 9(11 9 9 11 9 9 01 9 8 91 9 8 8 ，那么 1987 B 1988. C 1989 D 1990 3 a b c， x y z， M=ax+by+N=az+by+P=ay+bz+Q=az+bx+ A M P Q N. B N P Q M C P M N Q. D Q M N P 4凸四边形 00, 1, 3 ,则 A 30 B 45 . C 60 . D不能确定 5把一个边长为 1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于 1的正三角形，满足上述性质的分割 A是不存在的 . B恰有一种 . C有有限多种，但不只是一种 无穷多种 二、填空题 :（每题 1分，共 5分） 1 B=90， ， 已知 ，则 _ 2 若 21 ( 2 ) 0a a b ,那么 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 9 9 0 ) ( 1 9 9 0 )a b a b a b _. 3 已知 a， b， a+b+c=0， ，则 _ 4 B=300,5 ,3 ,三个两两互相外切的圆全在 三个圆面积之和的最大值的整数部分是 _ 5 设 a,b,那么 a b c a b a c b c a b ca b c a b a c b c a b c 的值等于 _. 三、解答题 :（每题 5分，共 15分） 1从自然数 1， 2， 3， 354中任取 178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是 177 2平面上有两个边长相等的正方形 B C D，且正方形 A B C D的顶点 A在正方形 正方形 A B C D绕 A转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值这个结论对吗？证明你的判断 3用 1， 9， 9， 0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数 除余数都不为 1，将所有满足上述条件的自然数 ， 试求： 答案与提示 择题 提示： 1若底边长为 12则其他二边之和也是 12，矛盾故不可能是 (B)或 (D) 又：底为 4时，腰长是 10符合题意故选 (C) =19882+3 1988+1(1988+1)2+1988988 3只需选 a=1， b=0， c=x=1， y=0， z=于这时 M=2， N=P=Q=而选 (A) 4由图 6可知：当 0时， 如图 7按 同心圆分成面积相等的四部分在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于 1的正三角形如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于 1的正三角形故选 (D) 二、填空题 提示： 1如图 8： B+ 1= + 1= 3 = N C=3 当 a， b， 为 7 当 a， b， 为 三、解答题 1证法一 把 1到 354的自然数分成 177个组： (1， 178)， (2， 179)， (3， 180)， (177， 354)这样的组中，任一组内的两个数之差为 177从 1354中任取 178个数，即是从这 177个组中取出 178个数，因而至少有两个数出自同一个组也即至少有两个数之差是 177从而证明了任取的 178个数中，必有两个数，它们的差是 177 证法二 从 1到 354的自然数中，任取 178个数由于任何数被 177除，余数只能是 0， 1， 2， 176这 177种之一 因而 178个数中，至少有两个数 a， 即至少有两个数 a， 77的倍数，即 177 又因 1354中，任两数之差小于 2 177=354所以两个不相等的数 a， 77即 从自然数 1， 2， 3， 354中任取 178个数，其中必有两个数，它们的差是 177 2如图 9，重合部分面积 证明：连 A B， A C，由 A为正方形 A A 5 又，当 A B与 A 有 A D与 A 知 B= C 在 A A A 两个正方形的重合部分面积必然是一个定值 3可能的四位数有 9种： 1990， 1909， 1099， 9091， 9109， 9910， 9901， 9019， 9190 其中 1990=7 284+2， 1909=7 272+5 1099=7 157,9091=7 1298+5,9109=7 1301+2, 1415+5， 9901=7 1414+3， 9019=7 1288+3， 9190=7 1312+6 即它们被 7除的余数分别为 2， 5， 0， 5， 2， 5， 3， 3， 6 即余数 只有 0， 2， 3， 5， 6五种 它们加 1， 2， 3都可能有余 1的情形出现如 0+1 1， 6+2 1， 5+3 ( 而加 4之后成为： 4， 6， 7， 9， 10，没有一个被 7除余 1，所以 4是最小的 n 又：加 5， 6有： 5+3 1， 6+2 1 (加 7之后成为 7， 9， 10， 12， 13没有一个被 7除余 1所以 7是次小的 n 即 ， 7=28 希望杯第二届（ 1991 年）初中二年级第二试试题 一、选择题 :（每题 1分，共 10分） 1如图 29，已知 ， ( ) A 1 ; B 2; C 3; D 4 2两个正数 m， t(t 1)若 m+n=s，则 m， ) 时 , 3等于 ( ) B.x ; D.x . 4 (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则 a， b， ) A a b c. B (+(=0. C c a b. D a=b c 5如图 30， D=C= ( ) A 4倍 . B 3倍 . C 2倍 . D 1倍 6 ) B C 2D 2 191 ( )1 0 1 0 的实根个数为 ( ) A 4 B 3. C 2 D 1 3值为 112 3 的 ) + 3 ， + 3 ; B. + 3 ， - 3 ; C. +4 3 ， ; D. +2 3 ， - 3 . 9在整数 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9中，设质数的个数为 x，偶数的个数为 y，完全平方数的个数为 z，合数的个数为 u则 x+y+z+( ) A 17 B 15. C 13 D 11 10两个质数 a， b，恰好是 t=0的两个根 ,则 于 ( ) 二、填空题（每题 1分，共 10分） 1991199119891988=_ _ 3.(a2+ba+bc+(b2+bc+ca+(c2+ca+ab+的平方根是 _ 4边数为 a， b， 在每个正多边形中取一个内角 ,其和为 1800,那么 1 1 1=_. 1x 有正整数解 ,则正整数 a=_. 3升 ,再加上等量的水 ,液体中还有酒精 _升 ;搅匀后 ,再倒 出 13升混合液 ,并加入等量的水 , 搅匀后 ,再倒出 13升混合液 , 并加入等量的水 ,这时 ,所得混合液中还有_升酒精 . 7如图 31，在四边形 厘米， 厘米， 4厘米， 6厘米且 0，则四边形 _ 8如图 32， 1+ 2+ 3 4+ 5+ 6=_ 9. 2 2 4 3 的最小值的整数部分是 _. 10已知两数积 1且 2234567890a+3=0,3234567890b+2=0,则 _. 三、解答题 :（每题 5分，共 10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整） 1. 已知两个正数的立方和是最小的质数求证：这两个数之和不大于 2 块四边形的地（如图 33） (有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠 即两边都是直线）但进水口 渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以 节省工时那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明 答案与提示 一、选择题 提示： 3由 y 0，可知 x 0故选 (C) 4容易看到 a=b=式成为 3(x+a)2，是完全平方式故选 (B) 5 故知 0 ,而 20 ,所以选 (A) 6以等边三角形为例，当 故有 2选 (D) 故选 (C) (C) 9 x=4， y=5， z=4， u=4选 (A) 10由 a+b=21， a， a， 与 19两数 二、填空题 提示： 1 1989 1991199119891988=1989 (1991 104+1991)989 104+1988) =1989 19911988=1991 2原式 =a2+b2+ca+c2+(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c) =(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c) =(a+b+c)(a+2b+3c) 3原式 =(a+c)(a+b) (b+a)(b+c) (c+a)(c+b) 平方根为 (a+c) 4正多边形中，最小内角为 60，只有 a， b， 时，所取的内角和才可能为 180 5两式相加有 (1+a)y=6，因为 a， ，这时 y=1，这与 矛盾，舍去；可能值还有 a=2， a=1，这时 y=2， y=3与 无矛盾 a=1或 2 在直角三角形 勾股定理可知 0 边长分别是 10， 24， 26，由勾股定理的逆定理可 而有面积为 8 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6，正好是以 2， 3， 5为 3个内角的四边形的 4个内角之和 和为 360 10由已知条件可知 234567890x+3=0的一个根， 234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成： 三、解答题 1设这两个正数 为 a， b则原题成为已知 a3+，求证 a+b 2 证明（反证法）： 若 a+b 2由于 a3+，必有一数小于或等于 1，设为 b 1， a ，这个不等式两边均为正数， 2 8 a3+8 6 0 0 ( 0 矛盾 a+b 2即本题的结论是正确的 2本题以图 33为准 由图 34知 长 K，即得所求新渠这时， M（都等于 且 新渠占地面积与原渠面积相等而且只挖了 我们再看另一种方法，如图 35 作法：连结 过 ，过 连结 M，则 又： 从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多即新渠面积与原渠的面积相等 由图 35可知，第二种作法用工较多（要挖的面积较大） 故应选第一 种方法。 希望杯第三届（ 1992 年）初中二年级第二试题 一、选择题 （ :每题 1分，共 10分） 1 73282 A 47249 B 45829. C 43959 D 44969 2长方形如图 43已知 ， ，则长方形的内 接三角形的面积总比数 ( )小或相等 3当 x=6， y=8时， x6+ 1200000 B 1020000 1200000 D 1020000等腰三角形的周长为 a(一腰的中线将周长分成 5 3，则三角形的底边长为 C. 65a; 22x x y y+3y+=0的 x、 y、 y zx y zx y z ; 602 3 2x y zx y zx y z ; 6202 3 2x y zx y zx y z ; 2x y zx y zx y z 4,32, A= B= C=300,则 7在 式子 |x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的 到对应的值，在这些对应值中，最小的值是 A 1 B 2. C 3 D 4 8一个等腰三角形如图 45顶角为 A,作 D， 1= 2= 3），若 BD=x， DE=y， EC=z，则有 A x y z B x=z y. C x=z y D x=y=z 9已知方程 (a+1)|a+2|-|x+a=5有两个不同的实根，则 A 5 B 9. C 10 D 11 6, 是以 1为半径的圆弧 , 则无阴影的两部分的面积的差是 A. 12; ; C. 13; . 二、填空题（每题 1分，共 10分） 361x x 的所有根的和的值是 _. a+b= 1 9 9 2 1 9 9 1 ,1 9 9 2 1 9 9 1 ,那么 _. 3如图 47，在 0， 5， ， ， ，则 _ x= 121,那么 323 5 54 2 4x x x+1的值是 _ 5如图 48，已知边长为 么 _ 6. 已知 x+y=4,4, 那么 3333=_. 7在正 图 49）， ，若四边形 等，那么 _ 的一个正根为 a,那么 11+ 112 + 123 + 11 9 9 9 2 0 0 0 =_. 9某校男生若干名住校，若每间宿舍住 4名，则还剩 20名未住下；若每间宿舍住 8名，则一部分宿舍未住满，且无空房，该校共有住校男生 _名 10 19n+14与 10n+3都是某个不等于 1的自然数 d=_ 三、解答题 （写出推理、运算的过程及最后结果，每题 5分，共 10分） 1 若 a， b， c， d 0，证明：在方程 21 202 x a d x c d , 21 202 x b c x d a , 21 202 x a b x a b 21 202 x d a x b c 中 ,至少有两个方程有不相等的实数根 . 2 (1)能否把 1， 2， 1992这 1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一 组各数之和多 10，第三组各数之和比第二组各数之和多 10，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多 10？ 请加以说明 (2)把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加以说明如果能够，请给出一种分组法 一、选择题 提示： 5等式 2x+x2+=x+1)2+()2=0 x+1=0， =0解之得 x=y=1则 x+y=0应选 (B) 6由题设得： ， x+y=4n+2由 297993，得 2(x+y)2+193993将 ， x+y=4n+2代入上式得： (4n+2)2=900，即 4n+2=30 n=7应选 (A) 7由 A=36， C，可得 B= C=72 6， 2 D=题意，1=(D+(C+D=应选 (B) 8原方程化为 ()-5|6=0即 |-5|6=0 |2，或 |3 1， ， 2， 则 x1+x2+x3+应选 (D) 9连结 , B , S C=S ,又 =2S B =2S C=2 S C =3 A =8,S A B A=6 S A B C =3+8+6+1=17应选 (D) 10原方程为 |3x|= (1)若 a=3，则 |3x|=3x+1 当 x 0时， 3x=3x+1，不成立 (2)若 a 3 综上所述， a 3时， 原方程的根是负数 应选 (B) 另解：（图象解法） 设 3x|， y2=。分别画出它们的图象从图 87中看出，当 a 3时， 3x|的图象直线 y2=的交点在第二象限 二、填空题 提示： 1 49=7 7，所求两数的最大公约数为 7，最小公倍数为 42设 a=7m， b=7n， (m n)，其中 (m， n)=1由a， b) a， b 7m 7n=7 42，故 又 (m， n)=1， m=2， n=3，故 a=14， b=21经检验， 142+212=637这两个数为 14， 21 2 1993=1 1993=( ( (1993为质数 )而 993，且 1，1993或 1993， 1则 设 S ，则 S S 0S 于 S (610解之得 S=4 6 432=1849 1900 1936=442，又 1936 1993 2025=452 其他都不合适此时所求方程为 144=0 8过 H H， F， F即可推出 B=40 4 10设初一获奖人数为 n+1人，初二获奖人数为 m+1人 (n m)依题意有 3+7n=4+9m，即 7n=9m+1 由于 50 3+7n 100， 50 4+9m 100得 ， 8， 9， 10， 11， 12， 13 m=6， 7， 8， 9， 10 但满足式的解为唯一解： n=13， m=10 n+1=14， m+1=11获奖人数共有 14+11=25（人） 三、解答题 1解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条： 其中 记 d( d( d(别为三条路线的距离在 B =结 则 O O d(d(=(B+O)-(C+O) =B O = C+B O) 0 同理可得， d(d( 0 所以路线 因此 关于 解二：由已知条件得 边加上 ，得 显然 0 a 1， 0 1 1993 年）初中二年级第一试试题 一、选择题 :（每题 1分，共 15分） 1如果 a b 0，那么在下列结论中正确的是 A.a+2已知四个命题： 是 1的平方根负数没有立方根 . 无限小数不一定是无理数 . 3a 一定没有意义 A 1 B 2 C 3 D 4 个数 : 12,3 8 ,2(1 2) , ,3 174 27, 213232, 其中无理数的个数是 A 3 B 4C 5 D 6 = 24( 9)a ,则 A B ()2. C ()2 D 5下列各组数可以成为三角形的三边长度的是 A 1， 2， 3. B a+1， a+2， a+3，其中 a 0 C a， b， c，其中 a+b c. D 1， m， n，其中 n 6方程 x|的最大根与最小根的差是 A 6 B 5. C 4 D 3 7等腰三角形的某个内角的外角是 130，那么这个三角形的三个内角的大小是 A 50 ,50 ,80 . B 50 ,50 ,80或 130 ,25 ,25 C 50 ,65 ,65 D 50 ,50 ,80或 50 ,65 ,65 x+y= 7 3 5 2 ,7 2 5 3 ,那么 3 2 ; 3 2 ; 5 2 ; 5 3 . 9如 图 67，在 C， ， 40，那么 A 55 B 60 . C 65 D 70 120bc,a+b+c=1,M=N=P=则 M,N, A M N P ; B N P M. C P M N D M P N 6已知： m 1 0，那么代数式 21997的值是 A 1997 B 1997. C 1996 D 1996 7如图 1， A 96，延长 ， 1点， 2点，依次类 推， 5，则 A 3 . B 5 . C 8 D 8如图 2，已知四边形 ，连接 D A C 无法确定 9已知菱形 C