高中数学必修2第二章知识点总结

第 1 页 共 32 页 高中数学必修 2 知识点总结 一 立体几何初步 特殊几何体表面积公式 c 为底面周长 h 为高 h 为斜高 l 为母线 chS 直棱柱侧面积 2 1 chS 正棱锥侧面积 2 1 21 hccS 正棱台侧面积 rhS 2 圆柱侧 lrrS 2 圆柱表 rlS 圆锥侧面积 lrrS 圆锥表 lRrS 圆台侧面积 22 RRlrlrS 圆台表 柱体 锥体 台体的体积公式柱体 锥体 台体的体积公式 VSh 柱 1 3 VSh 锥 1 3 VSS SS h 台 2 VShr h 圆柱 hrV 2 3 1 圆锥 22 11 33 VSS SS hrrRRh 圆台 4 球体的表面积和体积公式 球体的表面积和体积公式 V球 3 4 3 R S球面 2 4 R 第二章第二章 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 2 1 空间点 直线 平面之间的位置关系空间点 直线 平面之间的位置关系 1 平面含义 平面是无限延展的 2 三个公理 1 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 符号表示为 A L B L L A B 公理 1 作用 判断直线是否在平面内判断直线是否在平面内 2 公理 2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 符号表示为 A B C 三点不共线 有且只有一个平面 使 A B C 公理 2 作用 确定一个平面的依据 确定一个平面的依据 3 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号表示为 P L 且 P L 公理 3 作用 判定两个平面是否相交的依据判定两个平面是否相交的依据 2 1 2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系 相交相交直线 同一平面内 有且只有一个公共点 平行平行直线 同一平面内 没有公共点 异面异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点 2 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 符号表示为 设 a b c 是三条直线 a b L A C B A P L 共面直线 a c 第 2 页 共 32 页 c b 强调 公理 4 实质上是说平行具有传递性 在平面 空间这个性质都适用 公理 4 作用 判断空间两条直线平行的依据 判断空间两条直线平行的依据 3 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 4 注意点 a 与 b 所成的角的大小只由 a b 的相互位置来确定 与O的选择无关 为了简便 点O一般取在两直线中的一条上 两条异面直线所成的角 0 当两条异面直线所成的角是直角时 我们就说这两条异面直线互相垂直 记作 a b 两条直线互相垂直 有共面垂直与异面垂直两种情形 计算中 通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角 计算中 通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角 2 1 3 2 1 4 空间中直线与平面 平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面 平面与平面之间的位置关系 1 直线与平面有三种位置关系 1 直线在平面内 有无数个公共点 2 直线与平面相交 有且只有一个公共点 3 直线在平面平行 没有公共点 指出 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 可用 a 来表示 a a A a 2 2 2 直线 平面平行的判定及其性质直线 平面平行的判定及其性质 2 2 1 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定 1 直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 简记为 线线平行 则线面平行 线线平行 则线面平行 符号表示 a b a a b 2 2 2 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定 1 两个平面平行的判定定理 一个平面内的两条交直线与另一个平面平行 则这两个平面平行 符号表示 a b a b P a b 2 判断两平面平行的方法有三种 1 用定义 2 判定定理 3 垂直于同一条直线的两个平面平行 2 2 3 2 2 4 直线与平面 平面与平面平行的性质直线与平面 平面与平面平行的性质 2 第 3 页 共 32 页 1 直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 简记为 线面平行则线线平行 线面平行则线线平行 符号表示 a a a b b 作用 利用该定理可解决直线间的平行问题 2 两个平面平行的性质定理 如果两个平行的平面同时与第三个平面相交 那么它们的交线平行 符号表示 a a b b 作用 可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2 3 直线 平面垂直的判定及其性质 2 3 1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 1 定义 如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直 我们就说直线 L 与平面 互相垂直 记作 L 直线 L 叫做 平面 的垂线 平面 叫做直线 L 的垂面 如图 直线与平面垂直时 它们唯一公共点 P 叫做垂足 P a L 2 直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直 注意点 a 定理中的 两条相交直线 这一条件不可忽视 b 定理体现了 直线与平面垂直 与 直线与直线垂直 互相转化的数学思想 2 3 2 平面与平面垂直的判定 1 二面角的概念 表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2 二面角的记法 二面角 l 或 AB 3 两个平面互相垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直 2 3 3 2 3 4 直线与平面 平面与平面垂直的性质直线与平面 平面与平面垂直的性质 1 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 2 两个平面垂直的性质定理 两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 第三章第三章 直线与方程直线与方程 1 直线的倾斜角 直线的倾斜角 定义 x 轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 特别地 当直线与 x 轴平行或重合时 我们规定它的倾斜角 为 0 度 因此 倾斜角的取值范围是 0 180 2 直线的斜率 直线的斜率 定义 倾斜角不是倾斜角不是 90 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 直线的斜率常用 k 表示 即tank 斜率 反映直线与轴的倾斜程度 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 0 k tan0 0 当直线 l 与 x 轴垂直时 90 k 不存在 第 4 页 共 32 页 当 90 0 时 0 k 当 180 90 时 0 k 当 90 时 k不存在 过两点的直线的斜率公式过两点的直线的斜率公式 21 12 12 xx xx yy k P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 注意下面四点 1 当 21 xx 时 公式右边无意义 直线的斜率不存在 倾斜角为 90 2 k 与 P1 P2的顺序无关 3 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得 4 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到 3 直线方程 直线方程 点斜式 点斜式 11 xxkyy 直线斜率 k 且过点 11 y x 注意 注意 当直线的斜率为 0 时 k 0 直线的方程是 y y1 当直线的斜率为 90 时 直线的斜率不存在 它的方程不能用点斜式表示 但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1 所 以它的方程是 x x1 斜截式 斜截式 bkxy 直线斜率为k 直线在y轴上的截距为b 两点式 两点式 11 2121 yyxx yyxx 1212 xxyy 直线两点 11 y x 22 y x 截矩式 截矩式 1 xy ab 其中直线l与x轴交于点 0 a 与y轴交于点 0 b 即l与x轴 y轴的截距截距分别为 a b 一般式 一般式 0 CByAx A B 不全为不全为 0 注意 注意 各式的适用范围 特殊的方程如 1 2 平行于 x 轴的直线 by b 为常数 平行于 y 轴的直线 ax a 为常数 6 两直线平行与垂直 两直线平行与垂直 当 111 bxkyl 222 bxkyl 时 212121 bbkkll 1 2121 kkll 注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否 注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否 7 两条直线的交点 两条直线的交点 0 1111 CyBxAl 0 2222 CyBxAl相交 交点坐标即方程组 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 的一组解 方程组无解 21 l l 方程组有无数解 1 l与 2 l重合 8 两点间距离公式两点间距离公式 设 1122 A x yB xy 是平面直角坐标系中的两个点 则 22 2121 ABxxyy 9 点到直线距离公式点到直线距离公式 一点 00 y xP到直线0 1 CByAxl的距离 22 00 BA CByAx d 10 两平行直线距离公式两平行直线距离公式 已知两条平行线直线和的一般式方程为 1 l 2 l 1 l0 1 CByAx 则与的距离为 2 l0 2 CByAx 1 l 2 l 22 21 BA CC d 第四章 圆与方程 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆 定点为圆心 定长为圆的半径 2 圆的方程 圆的方程 1 标准方程标准方程 2 22 rbyax 圆心 ba 半径为 r 第 5 页 共 32 页 点与圆的位置关系 00 M xy 222 xaybr 当 点在圆外 当 点在圆上 22 00 xayb 2 r 22 00 xayb 2 r 当 点在圆内 22 00 xayb 2 r 2 一般方程一般方程0 22 FEyDxyx 当当04 22 FED时 方程表示圆 此时圆心为时 方程表示圆 此时圆心为 2 2 ED 半径为 半径为 FEDr4 2 1 22 当当04 22 FED时 表示一个点 时 表示一个点 当当04 22 FED时 方程不表示任何图形 时 方程不表示任何图形 3 求圆方程的方法 求圆方程的方法 一般都采用待定系数法 先设后求 一般都采用待定系数法 先设后求 确定一个圆需要三个独立条件 若利用圆的标准方程 需求出 a b r 若利用一般方程 需要求出 D E F 另外要注意多利用圆的几何性质 如弦的中垂线必经过原点 以此来确定圆心的位置 另外要注意多利用圆的几何性质 如弦的中垂线必经过原点 以此来确定圆心的位置 3 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有相离 相切 相交相离 相切 相交三种情况 1 设直线0 CByAxl 圆 2 22 rbyaxC 圆心 baC 到 l 的距离为 22 BA CBbAa d 则有相离与Clrd 相切与Clrd 相交与Clrd 2 过圆外一点的切线过圆外一点的切线 k 不存在 验证是否成立 k 存在 设点斜式方程 用圆心到该直线距离 半径 求解 k 得到 方程 一定两解 3 过圆上一点的切线过圆上一点的切线方程 圆 x a 2 y b 2 r2 圆上一点为 x0 y0 则过此点的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 4 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 通过两圆半径的和 差 与圆心距 d 之间的大小比较来确定 设圆 2 2 1 2 11 rbyaxC 2 2 2 2 22 RbyaxC 两圆的位置关系常通过两圆半径的和 差 与圆心距 d 之间的大小比较来确定 当当rRd 时两圆外离 此时有公切线四条 时两圆外离 此时有公切线四条 当当rRd 时两圆外切 连心线过切点 有外公切线两条 内公切线一条 时两圆外切 连心线过切点 有外公切线两条 内公切线一条 当当rRdrR 时两圆相交 连心线垂直平分公共弦 有两条外公切线 时两圆相交 连心线垂直平分公共弦 有两条外公切线 当当rRd 时 两圆内切 连心线经过切点 只有一条公切线 时 两圆内切 连心线经过切点 只有一条公切线 当当rRd 时 两圆内含 时 两圆内含 当当0 d时 为同心圆 时 为同心圆 注意 已知圆上两点 圆心必在中垂线上 已知两圆相切 两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 第一章第一章 空间几何体题空间几何体题 一 选择题一 选择题 1 有一个几何体的三视图如下图所示 这个几何体可能是一个 主视图 左视图 俯视图 第 6 页 共 32 页 第 1 题 A 棱台B 棱锥C 棱柱D 正八面体 2 如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 腰和上底均为 的等腰梯形 那么原平面图形的1 面积是 A 2 B C D 2 2 21 2 2 2 2 1 3 棱长都是 的三棱锥的表面积为 1 A B 2C 3D 43333 4 长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3 4 5 且它的 8 个顶点都在同一球面上 则这个球的表面积是 A 25 B 50 C 125 D 都不对 5 正方体的棱长和外接球的半径之比为 A 1B 2C 2 D 33333 6 在 ABC 中 AB 2 BC 1 5 ABC 120 若使 ABC 绕直线旋转一周 则所形成的几何体的体积是 BC A B C D 2 9 2 7 2 5 2 3 7 若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面 且侧棱长为 5 它的对角线的长分别是 9 和 15 则这个棱柱的侧面积是 A 130B 140C 150D 160 8 如图 在多面体 ABCDEF 中 已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形 EF AB EF 且 EF 与平面 ABCD 的 2 3 距离为 2 则该多面体的体积为 A B 5 C 6D 2 9 2 15 9 下列关于用斜二测画法画直观图的说法中 错误的是 A 用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B 几何体的直观图的长 宽 高与其几何体的长 宽 高的比例相同 C 水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D 水平放置的圆的直观图是椭圆 第8题 第 7 页 共 32 页 10 如图是一个物体的三视图 则此物体的直观图是 第 10 题 二 填空题 11 一个棱柱至少有 个面 面数最少的一个棱锥有 个顶点 顶点最少的一个棱台有 条侧棱 12 若三个球的表面积之比是 1 2 3 则它们的体积之比是 13 正方体 ABCD A1B1C1D1 中 O 是上底面 ABCD 的中心 若正方体的棱长为 a 则三棱锥 O AB1D1 的体积为 14 如图 E F 分别为正方体的面 ADD1A1 面 BCC1B1 的中心 则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是 第 14 题 15 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 则这个长方体的对角线长是 它的体 236 积为 16 一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球 球全部没入水中后 水面升高 9 厘米则此球的半径为 厘 米 三 解答题 17 有一个正四棱台形状的油槽 可以装油 190 L 假如它的两底面边长分别等于 60 cm 和 40 cm 求它的深度 18 已知半球内有一个内接正方体 求这个半球的体积与正方体的体积之比 提示 过正方体的对角面作截面 第 8 页 共 32 页 19 如图 在四边形 ABCD 中 DAB 90 ADC 135 AB 5 CD 2 AD 2 求四边形 ABCD 绕2 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积 第19题 20 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐 供融化高速公路上的积雪之用 已建的仓库的底面直径为 12 m 高 4 m 养路处拟建一个更大的圆锥形仓库 以存放更多食盐 现有两种方案 一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m 高不变 二是高度增加 4 m 底面直径不变 1 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积 2 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积 3 哪个方案更经济些 第 9 页 共 32 页 第二章第二章 点 直线 平面之间的位置关系点 直线 平面之间的位置关系A 组 一 选择题 1 设 为两个不同的平面 l m 为两条不同的直线 且 l m 有如下的两个命题 若 则 l m 若 l m 则 那么 A 是真命题 是假命题 B 是假命题 是真命题 C 都是真命题D 都是假命题 2 如图 ABCD A1B1C1D1为正方体 下面结论错误的是 A BD 平面 CB1D1 B AC1 BD C AC1 平面 CB1D1 D 异面直线 AD 与 CB1角为 60 3 关于直线 m n 与平面 有下列四个命题 m n 且 则 m n m n 且 则 m n m n 且 则 m n m n 且 则 m n 其中真命题的序号是 A B C D 4 给出下列四个命题 垂直于同一直线的两条直线互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行 若直线 l1 l2与同一平面所成的角相等 则 l1 l2互相平行 若直线 l1 l2是异面直线 则与 l1 l2都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 5 下列命题中正确的个数是 若直线 l 上有无数个点不在平面 内 则 l 若直线 l 与平面 平行 则 l 与平面 内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行 那么另一条直线也与这个平面平行 若直线 l 与平面 平行 则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点 A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 6 两直线 l1与 l2异面 过 l1作平面与 l2平行 这样的平面 A 不存在B 有唯一的一个C 有无数个D 只有两个 7 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起 当以 A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时 直线 BD 和平面 ABC 所 成的角的大小为 A 90 B 60 C 45 D 30 8 下列说法中不正确的是 第 2 题 第 10 页 共 32 页 A 空间中 一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B 同一平面的两条垂线一定共面 C 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直 且这些直线都在同一个平面内 D 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9 给出以下四个命题 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的一个平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面 那么这两条直线互相平行 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 10 异面直线 a b 所成的角 60 直线 a c 则直线 b 与 c 所成的角的范围为 A 30 90 B 60 90 C 30 60 D 30 120 二 填空题二 填空题 11 已知三棱锥 P ABC 的三条侧棱 PA PB PC 两两相互垂直 且三个侧面的面积分别为 S1 S2 S3 则这个三棱 锥的体积为 12 P 是 ABC 所在平面 外一点 过 P 作 PO 平面 垂足是 O 连 PA PB PC 1 若 PA PB PC 则 O 为 ABC 的 心 2 PA PB PA PC PC PB 则 O 是 ABC 的 心 3 若点 P 到三边 AB BC CA 的距离相等 则 O 是 ABC 的 心 4 若 PA PB PC C 90 则 O 是 AB 边的 点 5 若 PA PB PC AB AC 则点 O 在 ABC 的 线上 13 如图 在正三角形 ABC 中 D E F 分别为各边的中点 G H I J 分 别为 AF AD BE DE 的中点 将 ABC 沿 DE EF DF 折成三棱锥以后 GH 与 IJ 所成角的度数为 14 直线 l 与平面 所成角为 30 l A 直线 m 则 m 与 l 所成角的 取值范围是 15 棱长为 1 的正四面体内有一点 P 由点 P 向各面引垂线 垂线段长度分别为 d1 d2 d3 d4 则 d1 d2 d3 d4的 值为 16 直二面角 l 的棱上有一点 A 在平面 内各有一条射线 AB AC 与 l 成 45 AB AC 则 J 第 13 题 第 11 页 共 32 页 BAC 三 解答题三 解答题 17 在四面体 ABCD 中 ABC 与 DBC 都是边长为 4 的正三角形 1 求证 BC AD 2 若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3 求二面角 A BC D 的正弦值 3 设二面角 A BC D 的大小为 猜想 为何值时 四 面体 A BCD 的体 积最大 不要求证明 18 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BB1 BC 1 E 为 D1C1的中点 连结 ED EC EB 和 DB 1 求证 平面 EDB 平面 EBC 2 求二面角 E DB C 的正切值 19 如图 在底面是直角梯形的四棱锥 ABCD 中 AD BC ABC 90 SA 面 ABCD SA AB BC AD 2 1 1 求四棱锥 S ABCD 的体积 2 求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值 提示 延长 BA CD 相交于点 E 则直线 SE 是 第 18 题 第 17 题 第 12 页 共 32 页 所求二面角的棱 20 斜三棱柱的一个侧面的面积为 10 这个侧面与它所对棱的距离等于 6 求这个棱柱的体积 提示 在 AA1 上 取一点 P 过 P 作棱柱的截面 使 AA1 垂直于这个截面 第 20 题 第三章 直线与方程 A 组 一 选择题 1 若直线 x 1 的倾斜角为 则 A 等于 0B 等于 C 等于D 不存在 2 2 图中的直线 l1 l2 l3的斜率分别为 k1 k2 k3 则 A k1 k2 k3B k3 k1 k2 C k3 k2 k1D k1 k3 k2 3 已知直线 l1经过两点 1 2 1 4 直线 l2经过两点 2 1 x 6 且 l1 l2 则 x A 2B 2C 4D 1 4 已知直线 l 与过点 M N 的直线垂直 则直线 l 的倾斜角是 3223 A B C D 3 3 2 4 4 3 5 如果 AC 0 且 BC 0 那么直线 Ax By C 0 不通过 A 第一象限B 第二象限 C 第三象限D 第四象限 6 设 A B 是 x 轴上的两点 点 P 的横坐标为 2 且 PA PB 若直线 PA 的方程为 x y 1 0 则直线 PB 的方 程是 A x y 5 0B 2x y 1 0 C 2y x 4 0 D 2x y 7 0 7 过两直线 l1 x 3y 4 0 和 l2 2x y 5 0 的交点和原点的直线方程为 第 2 题 第 13 页 共 32 页 A 19x 9y 0B 9x 19y 0 C 19x 3y 0D 3x 19y 0 8 直线 l1 x a2y 6 0 和直线 l2 a 2 x 3ay 2a 0 没有公共点 则 a 的值是 A 3B 3C 1D 1 9 将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a a 0 个单位 再沿 x 轴正方向平移 a 1 个单位得直线 l 此时直线 l 与 l 重合 则直线 l 的斜率为 A B C D 1 a a 1 a a a a1 a a1 10 点 4 0 关于直线 5x 4y 21 0 的对称点是 A 6 8 B 8 6 C 6 8 D 6 8 二 填空题二 填空题 11 已知直线 l1的倾斜角 1 15 直线 l1与 l2的交点为 A 把直线 l2绕着点 A 按逆时针方向旋转到和直线 l1重合时 所转的最小正角为 60 则直线 l2的斜率 k2的值为 12 若三点 A 2 3 B 3 2 C m 共线 则 m 的值为 2 1 13 已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A 0 1 B 1 0 C 3 2 求第四个顶点 D 的坐标为 14 求直线 3x ay 1 的斜率 15 已知点 A 2 1 B 1 2 直线 y 2 上一点 P 使 AP BP 则 P 点坐标为 16 与直线 2x 3y 5 0 平行 且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程是 17 若一束光线沿着直线 x 2y 5 0 射到 x 轴上一点 经 x 轴反射后其反射线所在直线的方程是 三 解答题三 解答题 18 设直线 l 的方程为 m2 2m 3 x 2m2 m 1 y 2m 6 m R m 1 根据下列条件分别求 m 的值 l 在 x 轴上的截距是 3 斜率为 1 19 已知 ABC 的三顶点是 A 1 1 B 3 1 C 1 6 直线 l 平行于 AB 交 AC BC 分别于 E F CEF 的面积是 CAB 面积的 求直线 l 的方程 4 1 第 14 页 共 32 页 20 一直线被两直线 l1 4x y 6 0 l2 3x 5y 6 0 截得的线段的中点恰好是坐标原点 求该直线方程 21 直线 l 过点 1 2 和第一 二 四象限 若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6 求直线 l 的方程 第四章 圆与方程 一 选择题 1 若圆 C 的圆心坐标为 2 3 且圆 C 经过点 M 5 7 则圆 C 的半径为 A B 5C 25D 510 2 过点 A 1 1 B 1 1 且圆心在直线 x y 2 0 上的圆的方程是 A x 3 2 y 1 2 4B x 3 2 y 1 2 4 C x 1 2 y 1 2 4D x 1 2 y 1 2 4 3 以点 3 4 为圆心 且与 x 轴相切的圆的方程是 A x 3 2 y 4 2 16 B x 3 2 y 4 2 16 C x 3 2 y 4 2 9 D x 3 2 y 4 2 19 4 若直线 x y m 0 与圆 x2 y2 m 相切 则 m 为 A 0 或 2B 2C D 无解2 5 圆 x 1 2 y 2 2 20 在 x 轴上截得的弦长是 A 8B 6C 6D 423 6 两个圆 C1 x2 y2 2x 2y 2 0 与 C2 x2 y2 4x 2y 1 0 的位置关系为 A 内切B 相交C 外切D 相离 7 圆 x2 y2 2x 5 0 与圆 x2 y2 2x 4y 4 0 的交点为 A B 则线段 AB 的垂直平分线的方程是 A x y 1 0B 2x y 1 0 C x 2y 1 0D x y 1 0 第 15 页 共 32 页 8 圆 x2 y2 2x 0 和圆 x2 y2 4y 0 的公切线有且仅有 A 4 条B 3 条C 2 条D 1 条 9 在空间直角坐标系中 已知点 M a b c 有下列叙述 点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1 a b c 点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是 M2 a b c 点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3 a b c 点 M 关于原点对称的点的坐标是 M4 a b c 其中正确的叙述的个数是 A 3B 2C 1D 0 10 空间直角坐标系中 点 A 3 4 0 与点 B 2 1 6 的距离是 A 2B 2C 9D 432186 二 填空题二 填空题 11 圆 x2 y2 2x 2y 1 0 上的动点 Q 到直线 3x 4y 8 0 距离的最小值为 12 圆心在直线 y x 上且与 x 轴相切于点 1 0 的圆的方程为 13 以点 C 2 3 为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 14 两圆 x2 y2 1 和 x 4 2 y a 2 25 相切 试确定常数 a 的值 15 圆心为 C 3 5 并且与直线 x 7y 2 0 相切的圆的方程为 16 设圆 x2 y2 4x 5 0 的弦 AB 的中点为 P 3 1 则直线 AB 的方程是 三 解答题三 解答题 17 求圆心在原点 且圆周被直线 3x 4y 15 0 分成 1 2 两部分的圆的方程 18 求过原点 在 x 轴 y 轴上截距分别为 a b 的圆的方程 ab 0 第 16 页 共 32 页 19 求经过A 4 2 B 1 3 两点 且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程 20 求经过点 8 3 并且和直线 x 6 与 x 10 都相切的圆的方程 期末测试题 考试时间 90 分钟 试卷满分 100 分 一 选择题 本大题共 14 小题 每小题 4 分 共 56 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合要求的 1 在直角坐标系中 已知 A 1 2 B 3 0 那么线段 AB 中点的坐标为 A 2 2 B 1 1 C 2 2 D 1 1 2 右面三视图所表示的几何体是 A 三棱锥 B 四棱锥 C 五棱锥 D 六棱锥 3 如果直线 x 2y 1 0 和 y kx 互相平行 则实数 k 的值为 A 2B C 2D 2 1 2 1 正视图侧视图 俯视图 第 2 题 第 17 页 共 32 页 4 一个球的体积和表面积在数值上相等 则该球半径的数值为 A 1B 2C 3D 4 5 下面图形中是正方体展开图的是 A B CD 第 5 题 6 圆 x2 y2 2x 4y 4 0 的圆心坐标是 A 2 4 B 2 4 C 1 2 D 1 2 7 直线 y 2x 1 关于 y 轴对称的直线方程为 A y 2x 1B y 2x 1 C y 2x 1D y x 1 8 已知两条相交直线 a b a 平面 则 b 与 的位置关系是 A b平面 B b 平面 C b 平面 D b 与平面 相交 或 b 平面 在空间中 a b 是不重合的直线 是不重合的平面 则下列条件中可推出 a b 的是 A a b B a b C a b D a b 10 圆 x2 y2 1 和圆 x2 y2 6y 5 0 的位置关系是 A 外切B 内切C 外离D 内含 11 如图 正方体 ABCD A B C D 中 直线 D A 与 DB 所成的角可以表示为 A D DBB AD C C ADBD DBC 12 圆 x 1 2 y 1 2 2 被轴截得的弦长等于 x A 1B C 2D 3 2 3 13 如图 三棱柱 A1B1C1 ABC 中 侧棱 AA1 底面 A1B1C1 底面三角形 A1B1C1是正三角形 E 是 BC 中点 则下列叙述正确的是 A CC1与 B1E 是异面直线 B AC 平面 A1B1BA C BA D A B C D 第 11 题 A1 B1 C1 A B E C 第 13 题 第 18 页 共 32 页 C AE B1C1为异面直线 且 AE B1C1 D A1C1 平面 AB1E 14 有一种圆柱体形状的笔筒 底面半径为 4 cm 高为 12 cm 现要为 100 个这种相同规格的笔筒涂色 笔筒内外均要 涂色 笔筒厚度忽略不计 如果每 0 5 kg 涂料可以涂 1 m2 那么为这批笔筒涂色约需涂料 A 1 23 kgB 1 76 kgC 2 46 kgD 3 52 kg 二 填空题 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 15 坐标原点到直线 4x 3y 12 0 的距离为 16 以点 A 2 0 为圆心 且经过点 B 1 1 的圆的方程是 17 如 图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 棱锥 A1 ABCD 的体积与长方体的 体积之比为 18 在平面几何中 有如下结论 三边相等的三角形内任意一点到三 边的距离之和为定值 拓展到空间 类比平面几何的上述结论 可得 四个面均为等边三角形的四面体内任意一点 三 解答题 三 解答题 本大题共 3 小题 共 28 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 19 已知直线 l 经过点 0 2 其倾斜角是 60 1 求直线 l 的方程 2 求直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积 20 如图 在三棱锥 P ABC 中 PC 底面 ABC AB BC D E 分别是 AB PB 的中点 1 求证 DE 平面 PAC 2 求证 AB PB 3 若 PC BC 求二面角 P AB C 的大小 AB C D D1 C1 B1 A1 第 17 题 A C P B D E 第 20 题 第 19 页 共 32 页 21 已知半径为 5 的圆 C 的圆心在 x 轴上 圆心的横坐标是整数 且与直线 4x 3y 29 0 相切 1 求圆 C 的方程 2 设直线 ax y 5 0 与圆 C 相交于 A B 两点 求实数 a 的取值范围 3 在 2 的条件下 是否存在实数 a 使得过点 P 2 4 的直线 l 垂直平分弦 AB 若存在 求出实数 a 的值 若不 存在 请说明理由 期末测试题期末测试题 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 B 2 D3 D4 C5 A6 D7 A8 D9 C 10 A11 D12 C13 C14 D 二 填空题二 填空题 15 5 12 16 x 2 2 y2 10 17 1 3 18 到四个面的距离之和为定值 三 解答题三 解答题 19 解 1 因为直线 l 的倾斜角的大小为 60 故其斜率为 tan 60 又直线 l 经过点 0 2 所以其方程为3 x y 2 0 3 2 由直线 l 的方程知它在 x 轴 y 轴上的截距分别是 2 所以直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积 S 3 2 2 1 2 3 2 3 32 20 1 证明 因为 D E 分别是 AB PB 的中点 所以 DE PA 因为 PA平面 PAC 且 DE平面 PAC A C P B D E 第 20 题 第 20 页 共 32 页 所以 DE 平面 PAC 2 因为 PC 平面 ABC 且 AB平面 ABC 所以 AB PC 又因为 AB BC 且 PC BC C 所以 AB 平面 PBC 又因为 PB平面 PBC 所以 AB PB 3 由 2 知 PB AB BC AB 所以 PBC 为二面角 P AB C 的平面角 因为 PC BC PCB 90 所以 PBC 45 所以二面角 P AB C 的大小为 45 21 解 1 设圆心为 M m 0 m Z 由于圆与直线 4x 3y 29 0 相切 且半径为 5 所以 5 5 294 m 即 4m 29 25 因为 m 为整数 故 m 1 故所求的圆的方程是 x 1 2 y2 25 2 直线 ax y 5 0 即 y ax 5 代入圆的方程 消去 y 整理 得 a2 1 x2 2 5a 1 x 1 0 由于直线 ax y 5 0 交圆于 A B 两点 故 4 5a 1 2 4 a2 1 0 即 12a2 5a 0 解得 a 0 或 a 12 5 所以实数 a 的取值范围是 0 12 5 3 设符合条件的实数 a 存在 由 2 得 a 0 则直线 l 的斜率为 l 的方程为 y x 2 4 即 a 1 a 1 x ay 2 4a 0 由于 l 垂直平分弦 AB 故圆心 M 1 0 必在 l 上 所以 1 0 2 4a 0 解得 a 由于 4 3 故存在实数 a 使得过点 4 3 12 5 4 3 P 2 4 的直线 l 垂直平分弦 AB 第一章第一章 空间几何体参考答案空间几何体参考答案 A 组组 一 选择题 第 21 页 共 32 页 1 A 解析 从俯视图来看 上 下底面都是正方形 但是大小不一样 可以判断可能是棱台 2 A 解析 解析 原图形为一直角梯形 其面积 S 1 1 2 2 2 1 22 3 A 解析 解析 因为四个面是全等的正三角形 则 S表面 4 4 3 3 4 B 解析 解析 长方体的对角线是球的直径 l 5 2R 5 R S 4 R2 50 222 5 4 322 2 25 5 C 解析 解析 正方体的对角线是外接球的直径 6 D 解析 解析 V V大 V小 r2 1 1 5 1 3 1 2 3 7 D 解析 解析 设底面边长是 a 底面的两条对角线分别为 l1 l2 而 152 52 92 52 2 1 l 2 2 l 而 4a2 即 152 52 92 52 4a2 a 8 S侧面 4 8 5 160 2 1 l 2 2 l 8 D 解析 解析 过点 E F 作底面的垂面 得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱 V 2 3 2 3 2 3 1 4 3 2 1 2 3 2 15 9 B 解析 解析 斜二测画法的规则中 已知图形中平行于 x 轴的线段 在直观图中保持原长度不变 平行于 y 轴的线段 长 度为原来的一半 平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变 10 D 解析 解析 从三视图看底面为圆 且为组合体 所以选 D 二 填空题 11 参考答案 5 4 3 解析 符合条件的几何体分别是 三棱柱 三棱锥 三棱台 12 参考答案 参考答案 1 2 3 23 r1 r2 r3 1 13 3 3 1 2 3 23 3 1 r 3 2 r 3 3 r2323 13 参考答案 参考答案 3 6 1 a 解析 解析 画出正方体 平面 AB1D1与对角线 A1C 的交点是对角线的三等分点 三棱锥 O AB1D1的高 h a V Sh 2a2 a a3 3 3 3 1 3 1 4 3 3 3 6 1 另法 三棱锥 O AB1D1也可以看成三棱锥 A OB1D1 它的高为 AO 等腰三角形 OB1D1为底面 14 参考答案 参考答案 平行四边形或线段 15 参考答案 参考答案 66 解析 解析 设 ab bc ac 则 V abc c a b 1 236632 第 22 页 共 32 页 l 1 2 36 16 参考答案 参考答案 12 解析 解析 V Sh r2h R3 R 12 3 4 3 2764 三 解答题三 解答题 17 参考答案 参考答案 V S S h h 75 3 1 S S SSSS V 3 6001 4002 6003 0001903 18 参考答案 参考答案 如图是过正方体对角面作的截面 设半球的半径为 R 正方体的棱长为 a 则 CC a OC a OC R 2 2 C A COA 第 18 题 在 Rt C CO中 由勾股定理 得 CC 2 OC2 OC 2 即 a2 a 2 R2 2 2 R a V半球 a V正方体 a 2 6 2 6 33 V半球 V正方体 2 6 19 参考答案 参考答案 S表面 S下底面 S台侧面 S锥侧面 52 2 5 5 2 22 60 4 2 V V台 V锥 r1r2 h r2h1 3 1 2 1 r 2 2 r 3 1 3 148 20 解 解 1 参考答案 参考答案 如果按方案一 仓库的底面直径变成 16 m 则仓库的体积 V1 Sh 2 4 m3 3 1 3 1 2 16 3 256 如果按方案二 仓库的高变成 8 m 则仓库的体积 第 23 页 共 32 页 V2 Sh 2 8 m3 3 1 3 1 2 12 3 288 2 参考答案 参考答案 如果按方案一 仓库的底面直径变成 16 m 半径为 8 m 棱锥的母线长为 l 4 22 4 85 仓库的表面积 S1 8 4 32 m2 55 如果按方案二 仓库的高变成 8 m 棱锥的母线长为 l 10 22 6 8 仓库的表面积 S2 6 10 60 m2 3 参考答案 参考答案 V2 V1 S2 S1 方案二比方案一更加经济些 第二章 点 直线 平面之间的位置关系参考答案 A 组 一 选择题 1 D 解析 命题 有反例 如图中平面 平面 直线 n l m 且 l n m n 则 m l 显然平面 不垂直平面 第 1 题 故 是假命题 命题 显然也是假命题 2 D 解析 异面直线 AD 与 CB1角为 45 3 D 解析 在 的条件下 m n 的位置关系不确定 4 D 解析 利用特殊图形正方体我们不难发现 均不正确 故选择答案 D 5 B 解析 学会用 长方体模型分析问题 A1A 有无数点在平面 ABCD 外 但 AA1与平面ABCD 相交 不正确 A1B1 平面 ABCD 显然 A1B1不平行于 BD 不正确 A1B1 AB A1B1 平面 ABCD 但 AB平面 ABCD 内 不正确 l 与平面 平 行 则 l 与 无公共点 l 与平面 内的所有直线都没有公共点 正确 应选 B 第 5 题 6 B 解析 设平面 过 l1 且 l2 则 l1上一定点 P 与 l2 确定一平面 与 的交线 l3 l2 且 l3 过点 P 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条 即 l3 有唯一性 所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的 即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一 的 第 24 页 共 32 页 7 C 解析 当三棱锥 D ABC 体积最大时 平面 DAC ABC 取 AC 的中点 O 则 DBO 是等腰直角三角形 即 DBO 45 8 D 解析 A 一组对边平行就决定了共面 B 同一平面的两条垂线互相平行 因而共面 C 这些直线都在同一个平面 内即直线的垂面 D 把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 9 B 解析 因为 正确 故选 B 10 A 解析 异面直线 所成的角为 60 直线 过空间任一点 P 作直线 a a b b c c 若 a b abca c 共面则 b 与 c 成 30 角 否则 与 所成的角的范围为 30 90 所以直线 b 与 c 所成角的范围为 30 bc 90 二 填空题二 填空题 11 3 1 321 2SSS 解析 设三条侧棱长为 a b c 则 ab S1 bc S2 ca S3 三式相乘 2 1 2 1 2 1 a2 b2 c2 S1S2S3 8 1 abc 2 321 2SSS 三侧棱两两垂直 V abc 3 1 2 1 3 1 321 2SSS 12 外 垂 内 中 BC边的垂直平分 解析 1 由三角形全等可证得 O 为 ABC 的外心 2 由直线和平面垂直的判定定理可证得 O 为 ABC 的垂心 3 由直线和平面垂直的判定定理可证得 O 为 ABC 的内心 4 由三角形全等可证得 O 为 AB 边的中点 5 由 1 知 O 在 BC 边的垂直平分线上 或说 O 在 BAC 的平分线上 13 60 解析 将 ABC 沿 DE EF DF 折成三棱锥以后 GH 与 IJ 所成角的度数为 60 14 30 90 解析 直线 l 与平面 所成的 30 的角为 m 与 l 所成角的最小值 当 m 在 内适当旋转就可以得到 l m 即 m 与 l 所 第 25 页 共 32 页 成角的的最大值为 90 15 3 6 解析 作等积变换 d1 d2 d3 d4 h 而 h 4 3 3 1 4 3 3 1 3 6 16 60 或 120 解析 不妨固定 AB 则 AC 有两种可能 三 解答题三 解答题 17 证明 1 取 BC 中点 O 连结 AO DO ABC BCD 都是边长为 4 的正三角形 AO BC DO BC 且 AO DO O BC 平面 AOD 又 AD平面 AOD BC AD 第 17 题 解 2 由 1 知 AOD 为二面角 A BC D 的平面角 设 AOD 则过点 D 作 DE AD 垂足为 E BC 平面 ADO 且 BC平面 ABC 平面 ADO 平面 ABC 又平面 ADO 平面 ABC AO DE 平面 ABC 线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离 即 DE 3 又 DO BD 2 2 3 3 在 Rt DEO 中 sin DO DE 2 3 故二面角 A BC D 的正弦值为 2 3 3 当 90 时 四面体 ABCD 的体