2011高考数学 解析几何高考真题分类解析素材 新人教版

用心 爱心 专心1 20112011 年高三冲刺阶段解答题训练题集年高三冲刺阶段解答题训练题集 4 4 解析几何部分 一 理科解析几何解答题及参考答案 1 已知实数m 1 定点A m 0 B m 0 S为一动点 点S与A B两点连线斜率之积为 Error Error 1 求动点S的轨迹C的方程 并指出它是哪一种曲线 2 当m 时 问t取何值时 直线l 2x y t 0 t 0 与曲线C有且只有一个交 点 解 1 设S x y 则kSA Error Error kSB Error Error 由题意得Error Error Error Error 即Error Error y2 1 x m m 1 轨迹C是中心在坐标原点 焦点在x轴上的椭圆 除去x轴上的两顶点 其中长轴长为 2m 短轴长为 2 2 当m 时 曲线C的方程为Error Error y2 1 x 由Error Error 消去y得 9x2 8tx 2t2 2 0 令 64t2 36 2 t2 1 0 得t 3 t 0 t 3 此时直线l与曲线C有且只有一个公共点 令 0 且直线 2x y t 0 恰好过点 0 时 t 2 此时直线与曲线C有且只有一个公共点 综上所述 当t 3 或 2 时 直线l与曲线C有且只有一个公共点 2 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点 焦点在x轴上 它的一个顶点到两个焦点 的距离分别是 7 和 1 求椭圆 C 的方程 若 P 为椭圆 C 上的动点 M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点 求点 M 的 轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 w w w k s 5 u c o m 解 设椭圆长半轴长及半焦距分别为 由已知得 w w 用心 爱心 专心2 所以椭圆的标准方程为 设 其中 由已知及点在椭圆上可得 整理得 其中 i 时 化简得 w w w k s 5 u c o m 所以点的轨迹方程为 轨迹是两条平行于轴 的线段 ii 时 方程变形为 其中 当时 点的轨迹为中心在原点 实轴在轴上的双曲线满足 的部分 当时 点的轨迹为中心在原点 长轴在轴上的椭圆满足 的部分 当时 点的轨迹为中心在原点 长轴在轴上的椭圆 3 矩形的两条对角线相交于点 边所在直线的方程为 点在边所在直线上 I 求边所在直线的方程 II 求矩形外接圆的方程 III 若动圆过点 且与矩形的外接圆外切 求动圆的圆心的轨迹方 程 解 I 因为边所在直线的方程为 且与垂直 用心 爱心 专心3 所以直线的斜率为 又因为点在直线上 所以边所在直线的方程为 即 II 由解得点的坐标为 因为矩形两条对角线的交点为 所以为矩形外接圆的圆心 又 从而矩形外接圆的方程为 III 因为动圆过点 所以是该圆的半径 又因为动圆与圆外切 所以 即 故点的轨迹是以为焦点 实轴长为的双曲线的左支 因为实半轴长 半焦距 所以虚半轴长 从而动圆的圆心的轨迹方程为 4 已知菱形ABCD的顶点A C在椭圆x2 3y2 4 上 对角线BD所在直线的斜率为 1 1 当直线BD过点 0 1 时 求直线AC的方程 2 当 ABC 60 时 求菱形ABCD面积的最大值 解 1 由题意得直线BD的方程为y x 1 因为四边形ABCD为菱形 所以AC BD 于是可设直线AC的方程为y x n 由Error Error 得 4x2 6nx 3n2 4 0 因为A C在椭圆上 所以 12n2 64 0 解得 Error Error n0 解得kError Error 即k的取值范围为Error Error Error Error 2 设P x1 y1 Q x2 y2 则 由方程 得x1 x2 Error Error 又y1 y2 k x1 x2 2 而 所以 与共线等价于x1 x2 y1 y2 将 代入上式 解得k Error Error 用心 爱心 专心5 由 1 知kError Error 故没有符合题意的常数k 6 已知向量 动点 M 到定直线的距离等于 并且满足 其中 O 为坐标原点 K 为参数 1 求动点 M 的轨迹方程 并判断曲线类型 2 当 k 时 求的最大值和最小值 3 在 2 的条件下 将曲线向左平移一个单位 在 x 轴上是否存在一点 P m 0 使 得过点 P 的直线交该曲线于 D E 两点 并且以 DE 为直径的圆经过原点 若存在 请求出的最小值 若不存在 请说明理由 解解 1 设 则由 且 O 为原点得 A 2 0 B 2 1 C 0 1 从而 代入得 为所求轨迹方程 当 K 1 时 0 轨迹为一条直线 当 K1 时 若 K 0 则为圆 若 K 则为双曲线 2 当 K 时 若或则为椭圆 方程为 即且 从而 又 当时 取最小值 当 时 取最大值 16 用心 爱心 专心6 故 3 在 2 的条件下 将曲线向左平移一个单位后曲线方程为 假设存在过 P m 0 直线满足题意条件 不妨设过 P m 0 直线方程为 设 D x1 y1 E x2 y2 消去 x 得 即 由韦达定理 得 由于以 DE 为直径的圆都过原点则 即 又因为 即显然能满足 故当 7 已知椭圆C的中心在坐标原点 焦点在x轴上 离心率为Error Error 它的一个顶点恰好是 抛物线y Error Error x2的焦点 1 求椭圆C的标准方程 2 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A B 两点 交 y 轴于 M 点 若 求 1 2的值 解 1 设椭圆C的方程为Error Error Error Error 1 a b 0 抛物线方程为x2 4y 其焦点为 0 1 椭圆C的一个顶点为 0 1 即b 1 由e Error Error Error Error Error Error 得a2 5 椭圆C的标准方程为Error Error y2 1 2 由 1 得椭圆C的右焦点为F 2 0 用心 爱心 专心7 设A x1 y1 B x2 y2 M 0 y0 显然直线l的斜率存在 设直线l的方程为y k x 2 代入Error Error y2 1 并整理得 1 5k2 x2 20k2x 20k2 5 0 x1 x2 Error Error x1x2 Error Error 又 x1 y1 y0 x2 y2 y0 2 x1 y1 2 x2 y2 由 得 x1 y1 y0 1 2 x1 y1 x2 y2 y0 2 2 x2 y2 1 Error Error 2 Error Error 1 2 Error Error Error Error Error Error 10 8 设椭圆 E a b 0 过 M 2 N 1 两点 O 为坐标原点 I 求椭圆 E 的方程 II 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 若存在 写出该圆的方程 若不存在说明理由 解 1 因为椭圆 E a b 0 过 M 2 N 1 两点 所以解得所以 椭圆 E 的方程为 用心 爱心 专心8 2 假设存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 设该圆的切线方程为解方程组得 即 则 即 要使 需使 即 所以 所以又 所以 所以 即或 因为直线为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 所求的圆为 此时圆的切线都满足或 而当切线的斜率不存在时切线方程为 与椭圆的两个交点为 用心 爱心 专心9 或满足 综上 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 9 已知抛物线 上一点到其焦点的距离为 I 求与的值 II 设抛物线上一点的横坐标为 过的直线交于另一点 交轴于点 过点作的垂线交于另一点 若是的切线 求 的最小值 解析 由抛物线方程得其准线方程 根据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离 即 解得抛物线方程为 将代入抛物线方程 解得 由题意知 过点的直线斜率存在且不为 0 设其为 则 当 则 联立方程 整理得 即 解得或 而 直线斜率为 用心 爱心 专心10 联立方程 整理得 即 解得 或 而抛物线在点 N 处切线斜率 MN 是抛物线的切线 整理得 解得 舍去 或 10 已知抛物线 直线交于两点 是线段的中 点 过作轴的垂线交于点 证明 抛物线在点处的切线与平行 是否存在实数使 若存在 求的值 若不存在 说明理由 解 如图 设 把代入 得 由韦达定理得 用心 爱心 专心11 点的坐标为 设抛物线在点处的切线 的方程为 将代入上式得 直线 与抛物线相切 即 假设存在实数 使 则 又是的中点 由 知 轴 轴 又又 解得 即存在 使 用心 爱心 专心12 11 设动点到点和的距离分别为和 且存在 常数 使得 1 证明 动点的轨迹为双曲线 并求出的方程 2 过点作直线双曲线的右支于两点 试确定 的范围 使 其中点为坐标原点 解 1 在中 即 即 常数 点的轨迹是以为焦点 实轴长的双曲线 方程为 2 设 当垂直于轴时 的方程为 在双曲线上 即 因为 所以 当不垂直于轴时 设的方程为 由得 由题意知 所以 于是 用心 爱心 专心13 因为 且在双曲线右支上 所以 由 知 12 已知双曲线的左 右焦点分别为 过点的动直线与双曲线相交 于两点 I 若动点满足 其中为原点 求点的轨迹方程 II 在轴上是否存在定点 使 为常数 若存在 求出点的坐标 若不存 在 请说明理由 解 由条件知 设 解 I 设 则则 由得 即 于是的中点坐标为 当不与轴垂直时 即 又因为两点在双曲线上 所以 两式相减得 即 将代入上式 化简得 当与轴垂直时 求得 也满足上述方程 用心 爱心 专心14 所以点的轨迹方程是 II 假设在轴上存在定点 使为常数 当不与轴垂直时 设直线的方程是 代入有 则是上述方程的两个实根 所以 于是 因为是与无关的常数 所以 即 此时 当与轴垂直时 点的坐标可分别设为 此时 故在轴上存在定点 使为常数 13 已知椭圆的左 右焦点分别是 F1 c 0 F2 c 0 Q 是椭圆外的动点 满足点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点 点 T 在线段 F2Q 上 并且满足 设为点 P 的横坐标 证明 求点 T 的轨迹 C 的方程 用心 爱心 专心15 讨论在点 T 的轨迹 C 上 是否存在点 M 使 F1MF2的面积 S 证明 设点 P 的坐标为由 P在椭圆上 得 由 所以 解 设点 T 的坐标为 当时 点 0 和点 0 在轨迹上 当 时 由 得 又 所以 T 为线段 F2Q 的中点 在 QF1F2中 所以有 综上所述 点 T 的轨迹 C 的方程是 解 C 上存在点 M 使 S 的充要条件是 由 得 由 得 所以 当时 存在点 M 使 S 当时 不存在满足条件的点 M 14 已知椭圆的中心为坐标原点 O 焦点在轴上 斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交 椭圆于 A B 两点 与共线 用心 爱心 专心16 求椭圆的离心率 设 M 为椭圆上任意一点 且 证明为定值 I 解 设椭圆方程为 则直线 AB 的方程为 化简得 令 则 共线 得 II 证明 由 I 知 所以椭圆可化为 在椭圆上 用心 爱心 专心17 即 由 I 知 又又 代入 得 故为定值 定值为 1 15 已知双曲线的中心在坐标原点 焦点在 x 轴上 离心率 焦点到渐近线的距 离为 1 求双曲线的方程 设直线 过点且斜率为 问 在双曲线的右支上是否存在唯一点 它到直线 的距离等于 1 若存在 则求出符合条件的所有的值及相应点的坐标 若不存在 请说明理由 解 依题意 可设双曲线的方程为 则 即双曲线的方程为 用心 爱心 专心18 依题意 直线 的方程为 设为双曲线上到直线 的距离等于 1 的点 则 若 则直线 与双曲线右支相交 故双 曲线的右支上有两个点到直线 的距离等于 1 与题意矛盾 若 如图所示 则直线 在双曲线的右支的上方 故 从而有 又因为 所以有 整理 得 若 则由 得 即 若 则方程 必有相等的两个实数根 故由 解之得 不合题意 舍去 此时有 即 用心 爱心 专心19 综上所述 符合条件的的值有两个 此时 此时 二 文科解析几何解答题及参考答案 1 已知双曲线的右焦点为 过点的动直线与双曲线相交于两点 点的坐标是 1 证明 为常数 2 若动点满足 其中为坐标原点 求点的轨迹方程 解 由条件知 设 1 当与轴垂直时 可设点的坐标分别为 此时 当不与轴垂直时 设直线的方程是 代入 有 则是上述方程的两个实根 所以 于是 综上所述 为常数 II 解法一 设 则 由得 用心 爱心 专心20 即 于是的中点坐标为 当不与轴垂直时 即 又因为两点在双曲线上 所以 两式相减得 即 将代入上式 化简得 当与轴垂直时 求得 也满足上述方程 所以点的轨迹方程是 解法二 同解法一得 当不与轴垂直时 由 I 有 由 得 当时 由 得 将其代入 有 整理得 用心 爱心 专心21 当时 点的坐标为 满足上述方程 当与轴垂直时 求得 也满足上述方程 故点的轨迹方程是 2 已知椭圆的左 右焦点分别为 过的直线交椭圆于B D两点 过的直线交椭圆于A C两点 且 垂足为P 1 设P点的坐标为 证明 2 求四边形ABCD的面积的最小值 解 1 椭圆的半焦距 由知点在以线段为直径的圆上 故 所以 2 当的斜率存在且时 的方程为 代入椭圆方程 并化简得 设 则 因为与相交于点 且的斜率为 用心 爱心 专心22 所以 四边形的面积 当时 上式取等号 当的斜率或斜率不存在时 四边形的面积 综上 四边形的面积的最小值为 3 在直角坐标系中 以 O 为圆心的圆与直线 相切 1 求圆 O 的方程 2 圆 O 与 x 轴相交于 A B 两点 圆内的动点 P 使 PA PO PB 成等比数列 求的取值范围 解 1 依题设 圆的半径等于原点到直线的距离 即 得圆的方程为 2 不妨设 由即得 设 由成等比数列 得 即 用心 爱心 专心23 由于点在圆内 故 由此得 所以的取值范围为 4 求F1 F2分别是横线的左 右焦点 若r是第一象限内该数轴上的一点 求点P的作标 设过定点M 0 2 的直线l与椭圆交于同的两点A B 且 ADB为锐角 其中O为作标原点 求直线 的斜率的取值范围 解 易知 设 则 又 联立 解得 用心 爱心 专心24 显然不满足题设条件 可设 的方程为 设 联立 由 得 又为锐角 又 综 可知 的取值范围是 5 双曲线的中心为原点 焦点在轴上 两条渐近线分别为 经过右焦点垂 直于的 直线分别交于两点 已知成等差数列 且与同 向 求双曲线的离心率 用心 爱心 专心25 设被双曲线所截得的线段的长为 4 求双曲线的方程 解 1 设 由勾股定理可得 得 由倍角公式 解得 则离心率 2 过直线方程为 与双曲线方程联立 将 代入 化简有 将数值代入 有 解得 最后求得双曲线方程为 用心 爱心 专心26 6 设椭圆中心在坐标原点 是它的两个顶点 直线与AB 相交于点D 与椭圆相交于E F两点 若 求的值 求四边形面积的最大值 解 依题设得椭圆的方程为 直线的方程分别为 2 分 如图 设 其中 且满足方程 故 由知 得 由在上知 得 所以 化简得 解得或 6 分 根据点到直线的距离公式和 式知 点到的距离分别为 9 分 用心 爱心 专心27 又 所以四边形的面积为 当 即当时 上式取等号 所以的最大值为 12 分 7 已知双曲线 1 求双曲线的渐近线方程 2 已知点的坐标为 设是双曲线上的点 是点关于原点的对称点 记 求的取值范围 3 已知点的坐标分别为 为双曲线上在第一象 限内的点 记 为经过原点与点的直线 为截直线 所得线段的长 试将表示为直线 的斜率的函数 解 1 所求渐近线方程为 3 分 2 设 P 的坐标为 则 Q 的坐标为 4 分 6 分 的取值范围是 8 分 3 若 P 为双曲线 C 上第一象限内的点 用心 爱心 专心28 则直线 的斜率 9 分 由计算可得 当 当 13 分 s 表示为直线 的斜率 k 的函数是 14 分 8 设椭圆的左右焦点分别为 离心率 点到右准线为 的距离为 求的值 设是 上的两个动点 证明 当取最小值时 解 因为 到 的距离 所以由题设得 解得 由 得 由得 的方程为 故可设 由知知 得 所以 用心 爱心 专心29 当且仅当时 上式取等号 此时 所以 9 已知曲线 C 是到点 P 和到直线距离相等的点的轨迹 是过点 Q 1 0 的直线 M 是 C 上 不在 上 的动点 A B 在 上 轴 如图 求曲线 C 的方程 求出直线 的方程 使得为常数 解 设为上的点 则 到直线的距离为 由题设得 化简 得曲线的方程为 解法一 用心 爱心 专心30 设 直线 则 从而 在中 因为 所以 当时 从而所求直线 方程为 解法二 设 直线 则 从而 过垂直于 的直线 用心 爱心 专心31 因为 所以 当时 从而所求直线 方程为 10 如图 M 2 0 和 N 2 0 是平面上的两点 动点 P 满足 求点 P 的轨迹方程 设 d 为点 P 到直线 l 的距离 若 求的值 解 I 由双曲线的定义 点P的轨迹是以M N为焦点 实轴长 2a 2 的双曲线 因此半焦距c 2 实半轴a 1 从而虚半轴b 所以双曲线的方程为x2 1 II 解法一 由 I 由双曲线的定义 点 P 的轨迹是以M N为焦点 实轴长 2a 2 的双曲线 因此半焦距 e 2 实半轴 a 1 从而虚半轴 b 用心 爱心 专心32 R 所以双曲线的方程为x2 1 II 解法一 由 I 及答 21 图 易知 PN 1 因 PM 2 PN 2 知 PM PN 故 P 为双曲线右支上的点 所以 PM PN 2 将 代入 得 2 PN 2 PN 2 0 解得 PN 所以 PN 因为双曲线的离心率 e 2 直线l x 是双曲线的右准线 故 e 2 所以 d PN 因此 解法 设P x y 因 PN 1 知 PM 2 PN 22 PN PN 故 P 在双曲线右支上 所以x1 由双曲线方程有y2 3x2 3 因此 从而由 PM 2 PN 2得 2x 1 2 4x2 4x 1 即 8x2 10 x 1 0 所以x 舍去x 有 PM 2x 1 d x 故 用心 爱心 专心33 11 如图 已知抛物线与圆相交于 A B C D 四个点 求 r 的取值范围 当四边形 ABCD 的面积最大时 求对角线 AC BD 的交点 P 的坐标 解 I 将代入 并化简得 E 与 M 有四个交点的充要条件是方程 有两个不等的正根 由此得 解得 又 所以的取值范围是 不妨设 E 与 M 的四个交点的坐标为 则直线 的方程分别为 解得点的坐标为 设由及 1 知 由于四边形为等腰梯形 因而其面积 用心 爱心 专心34 则 将 代入上式 并令 得 求导数 令 解得 舍去 当时 时 时 故且仅当时 有最大值 即四边形的面积最大 故所求的点P 的坐标 为 12 求 a b 的值 C 上是否存在点 P 使得当 l 绕 F 转到某一位置时 有成立 若存在 求出所有的 P 的坐标与 l 的方程 若不存在 说明理由 解 设 当 的斜率为 1 时 其方程为到 的距离为 故 用心 爱心 专心35 由 得 C 上存在点 使得当 绕转到某一位置时 有成立 由 知 C 的方程为 6 设 C 成立的充要条件是 且 整理得 故 将 于是 代入 解得 此时 于是 即 w w w k s 5 u c o m 因此 当时 当时 用心 爱心