傅里叶级数的推导

傅里叶级数的推导傅里叶级数的推导 2016 年年 12 月月 14 日日 09 27 47 傅里叶级数的数学推导傅里叶级数的数学推导 首先 隆重推出傅里叶级数的公式 不过这个东西属于 文物 级别的 诞生于 19 世纪初 因为傅里叶他老人家生于 1768 年 死于 1830 年 但傅里叶级数在数论 组合数学 信号处理 概率论 统计学 密码学 声学 光学等领域都有着广泛的应用 这不由得让人肃然起敬 一打开 信号 与系统 锁相环原理 等书籍 动不动就跳出一个 傅里叶级数 或 傅 里叶变换 弄一长串公式 让人云山雾罩 如下就是傅里叶级数的公式 不客气地说 这个公式可以说是像 臭婆娘的裹脚布 又臭又长 而且来 历相当蹊跷 不知那个傅里叶什么时候灵光乍现 把一个周期函数 f t 硬生生 地写成这么一大堆东西 单看那个 式 就是把周期函数 f t 描述成一个常数 系数 a0 及 1 倍 的 sin 和 cos 函数 2 倍 的 sin 和 cos 函数等 到 n 倍 的 sin 和 cos 函数等一系列式子的和 且每项都有不同的系数 即 An 和 Bn 至于这些系数 需要用积分来解得 即 式 不过为了积分方便 积 分区间一般设为 也相当一个周期 T 的宽度 能否从数学的角度推导出此公式 以使傅里叶级数来得明白些 让我等能 了解它的前世今生呢 下面来详细解释一下此公式的得出过程 把一个周期函数表示成三角级数 把一个周期函数表示成三角级数 首先 周期函数是客观世界中周期运动的数学表述 如物体挂在弹簧上作 简谐振动 单摆振动 无线电电子振荡器的电子振荡等 大多可以表述为 f x Af x A sin t sin t 这里 t 表示时间 A 表示振幅 为角频率 为初相 与考察时设置原点位 置有关 然而 世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单 如方波 三角波等 傅叶里就想 能否用一系列的三角函数 An sin n t 之和来表示那个较复 杂的周期函数 f t 呢 因为正弦函数 sin 可以说是最简单的周期函数了 于是 傅里叶写出下式 关于傅里叶推导纯属猜想 这里 t 是变量 其他都是常数 与上面最简单的正弦周期函数相比 5 式中多 了一个 n 且 n 从 1 到无穷大 这里 f t 是已知函数 也就是需要分解的原周 期函数 从公式 5 来看 傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线 性叠加 这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量 即式中 An 有不同的 周期或说是频率 是原周期函数的整数倍 即 n 有不同的初相角 即 当然还有一项常数项 即 A0 要命的是 这个 n 是从 1 到无穷大 也就是是 一个无穷级数 应该说 傅里叶是一个天才 想得那么复杂 一般人不太会把一个简单的 周期函数弄成这么一个复杂的表示式 但傅里叶认为 式子右边一大堆的函数 其实都是最简单的正弦函数 有利于后续的分析和计算 当然 这个式能否成 立 关键是级数中的每一项都有一个未知系数 如 A0 An 等 如果能把这些系 数求出来 那么 5 式就可以成立 当然在 5 式中 唯一已知的就是原周期函数 f t 那么只需用已知函数 f t 来表达出各项系数 上式就可以成立 也能计 算了 于是乎 傅里叶首先对式 5 作如下变形 这样 公式 就可以写成如下公式 的形式 这个公式 就是通常形式的三角级数 接下来的任务就是要把各项系数 an 和 bn 及 a0 用已知函数 f t 来表达出来 三角函数的正交性 三角函数的正交性 这是为下一步傅里叶级数展开时所用积分的准备知识 一个三角函数系 一个三角函数系 1 1 cosxcosx sinxsinx cos2xcos2x sin2xsin2x cosnxcosnx sinnxsinnx 如果这一堆函如果这一堆函 数 包括常数数 包括常数 1 1 中任何两个不同函数的乘积在区间 中任何两个不同函数的乘积在区间 上的积分等于零 上的积分等于零 就说三角函数系在区间就说三角函数系在区间 上正交上正交即有如下式子 以上各式在区间 的定积分均为 0 第 第 式可视为三角函数 cos 和 sin 与 相乘的积分 第 3 5 式则为 sin 和 cos 的不同组合相乘的积分式 除 了这 5 个式子外 不可能再有其他的组合了 注意 第 4 第 5 两个式中 k 不 能等于 n 否则就不属于 三角函数系中任意两个不同函数 的定义了 变成 同一函数的平方了 但第 3 式中 k 与 n 可以相等 相等时也是二个不同函数 下面通过计算第 4 式的定积分来验证其正确性 第 4 式中二函数相乘可以写成 可见在指定 的区间里 该式的定积分为 0 其他式也可逐一验证 函数展开成傅里叶级数 函数展开成傅里叶级数 先把傅里叶级数表示为下式 即 式 对 式从 积分 得 这就求得了第一个系数 a0 的表达式 即最上边傅里叶级数公式里的 式 接下 来再求 an 和 bn 的表达式 用 cos k t cos k t 乘 式的二边得 至此 已经求得傅里叶级数中各系数的表达式 只要这些积分都存在 那么 式等号右侧所表示的傅里叶级数就能用来表达原函数 f t 上述过程就是整个 傅里叶级数的推导过程 事实上 如果能够写出 式 不难求出各个系数的表 达式 关键是人们不会想到一个周期函数竟然可以用一些简单的正弦或余弦函 数来表达 且这个表达式是一个无穷级数 这当然就是数学家傅里叶的天才之 作了 我等只有拼命理解的份了 综上 傅里叶级数的产生过程可以分为以下三步 综上 傅里叶级数的产生过程可以分为以下三步 1 1 设想可以把一个周期函数 设想可以把一个周期函数 f t f t 通过最简单的一系列正弦函数来表示 即通过最简单的一系列正弦函数来表示 即 5 5 式 式 2 2 通过变形后用三角级数 含 通过变形后用三角级数 含 sinsin 和和 coscos 来表示 来表示 3 3 通过积分 把各未知系数用 通过积分 把各未知系数用 f t f t 的积分式来表达 的积分式来表达 4 4 最后得到的 最后得到的 4 4 个表达式就是傅里叶级数公式 个表达式就是傅里叶级数公式 在电子学中 傅里叶级数是一种频域