数项级数求和的若干方法

安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 题 目 中文 级数求和的若干方法 English Summation of several methods 姓 名 徐科 学 院 数理学院 专 业 信息与计算科学 班 级 2009 级 1 班 学 号 099084166 指导教师 张 敬 和 2013 年 6 月 8 日 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 安徽工业大学 毕业设计 论文 任务书 课题名称级数求和的若干方法 学 院 数理学院 专业班级信息与计算科学 091 班 姓 名徐科 学 号 099084166 毕业设计 论文 的主要内容及要求 1 了解正项级数 任意项级数 函数项级数 幂级数的相关概念 2 熟悉各种级数收敛的的理论 理解部分定理的证明过程 3 尽可能的对某些定理之间的区别以及联系稍加分析 4 借助幂级数 数列等知识给出数项级数求和的若干方法 5 参阅数学分析 常微分方程等与级数相关的教材或者文献 充分利用图书馆以及 电子阅览室 提高自己查阅资料的能力 6 论文必须符合科技论文的要求 格式严格按照本科毕业论文的规范来撰写 7 查阅相关文献资料 至少 10 篇 其中英文文献不少于 2 篇 8 翻译一篇跟本设计有关的外文文献 要求翻译无错误 可以通顺阅读 9 熟悉微软 Word 或者金山的 WPS 的使用方法和技巧 以期提高使用计算机的能 力 指导教师签字 指导教师签字 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 级数求和的若干方法级数求和的若干方法 安徽工业大学 数理学院 信息与计算科学系 091 班 徐科 学号 099084166 摘 要 级数 重要的数学工具 无论是对数学学科本身 还是在其他学科及技术的研 究与发展方面 都发挥着特别重要的作用和影响 且其与我们的日常生活息息相关 需要我们去掌握并利用 我们也应该去发掘出它更为广泛的应用领域 为我们的研 究与学习奠定基础 级数求和 作为级数理论及应用的主要板块之一 它有着比较繁多的方法和很 强的技巧性 而目前国内大多数数学教材及其他相关书籍中没有专门针对级数求和 的常用方法设立板块 若要理解并掌握它的方法和技巧 则需要借鉴一些国内外涉 及此内容的数学书籍 进行总结和提炼 本文对级数的有关概念 收敛的定义以及部分定理给与了证明 介绍了运用裂 项相消 错位相减 逐项微分 逐项积分 运用特殊级数求和等等这几种方法求数项 级数的和 并通过实例说明了这些方法的应用 关键词 关键词 级数 收敛 数项级数求和 幂级数 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 I Summation of several methods ANHUI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY The Mathematical Institute Information and computing science department Class 091 Xu Ke Student ID 099084166 Abstract Progression important mathematical tools Both for mathematics itself or in other disciplines and technology research and development has played a particularly important role and influence and its our daily lives We need to grasp and use we should go to discover its broader application areas for our research and learning foundation Summation as a series theory and application of the main plate It has a relatively strong variety of methods and techniques while most domestic mathematics textbooks and other books not specifically for the establishment of a common method Summation sector to understand and grasp its methods and techniques then needs to learn some of this content and abroad involved in the mathematical books were summarized and refined In this paper the concept series convergence theorems give some definitions and proved introduces the use of destructive Splitting dislocation subtract itemized differential itemized points the use of these types of special summation etc method for solving a number of series and and through examples illustrate the application of these methods Keywords series convergence Summation power series 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 II 目 录 摘要摘要 Abstract 一 综述一 综述 1 1 1 级数的背景知识 1 1 2 研究现状 2 1 3 研究意义 2 二 基础知识二 基础知识 3 2 1 引言 3 2 2 级数的分类及定义 3 2 2 1 数项级数 3 2 2 2 函数项级数 3 2 2 3 三个重要级数 4 2 3 级数收敛的定义 4 2 4 级数收敛的判断 4 2 4 1 正项级数收敛的判断 5 2 4 1 0 级数收敛的必要条件 5 2 4 1 1 定理 02 5 2 4 1 2 正项级数的收敛原理 5 2 4 1 3 常用级数 5 2 4 1 4 正项级数的各种判别法 7 2 4 1 5 引理 11 2 4 2 任意项级数收敛的判断 14 2 4 3 函数项级数收敛的判断 16 2 4 4 幂级数 17 2 4 4 1 幂级数的基本概念和定理 18 2 4 4 2 函数的幂级数的展开 21 三 级数求和三 级数求和 26 简单易用的求和方法 26 3 1 根据定义求级数的和 26 3 2 首尾相加法 26 3 3 错位相减法 27 3 4 分组求和法 28 3 5 微分方程法 28 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 III 3 6 利用递推法求和 29 3 7 部分和子列 29 3 8 列项相消法 30 利用幂级数的知识求和 32 3 9 逐项微分求和 32 3 10 逐项积分求和 33 3 11 转化为已知的特殊的幂级数求和 34 四 致谢四 致谢 36 参考文献参考文献 37 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 0 页 共 43 页 一一 综述综述 1 11 1 级数的背景知识级数的背景知识 1 早在大约公元前 450 年 古希腊有一位名叫 Zero 的学者 曾提出若干个在数 学发展史上产生过重大影响的悖论 Achilles 希腊神话中的英雄 追赶乌龟 即是 其中较为著名的一个 设乌龟在 Achilles 前面 s1 米处向前爬行 Achilles 在后面追赶 当 Achilles 用 了 t1 秒时间 跑完了 s1 米时 乌龟早已向前爬了 s2 米 当 Achilles 再用 t2 秒时间 跑完了 s2 时 乌龟又向前爬了 s3 米 这样的过程一直继续下去 因此 Achilles 永远 也追不上乌龟 虽然 这一结论完全有悖于常识 是绝对荒谬的 没有人会怀疑 Achilles 必将 在 T 秒的时间内 跑了 S 米后追上乌龟 T 和 S 是常数 Zero 的诡辩之处就在于 把有限的时间 T 无限分割 或距离 S 分割成无穷段 t1 t2 或 s1 s2 然后一 段一段的加以叙述 从而造成一种假象 这样 追 爬 追 爬 的过程将随时间的流逝 而永无止境 事实上 如果将用掉的时间 t1 t2 或跑过的距离 s1 s2 加起来 即 或 2121 nn sssttt 尽管相加的项有无限个 但他们的和却是有限数 T 或 S 换言之 经过时间 T 秒 Achilles 跑完 S 米后 他已经追上乌龟了 这里 我们遇到了无限个数相加的问题 很自然地 我们要问 这种 无限个数 相加 是否一定有意义 若不一定的话 那怎么来判断 有限个数相加时的一些运 算法则 如加法交换律 加法结合律对于无限个数相加是否继续有效 如此等等 这正是本文要讨论的级数问题 其实 级数对于我们来说一点也不陌生 在我们学习数列时就已经接触到了她 当一个数列元素个数无限的时候就是最简单的的一种级数 级数是表示函数 研究 函数和数值计算的重要工具 我国古代数学家刘徵创立的 割圆术 对圆面积的近似 计算已具有了初步的无穷级数的概念 近代级数的发展 主要是在 17 世纪上半叶 这个时期标志着文艺复兴以来在资本 主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破阶段 这种综合与突破所 面临的数学困难 使微积分的基本问题空前的成为人们关注的焦点 在这个时期 几乎 所有的数学大师都致力于相关问题的研究 特别是描述运动与变化的无限小算法 并在 相当短时期内 取得了迅速的发展 开普勒 卡瓦列里 笛卡尔 费马 巴罗 沃利斯 等人作出了具有代表性的工作 牛顿和莱布尼兹以足够的敏锐和能力认识到微分和积 分的互逆关系 在微积分的真正创立上作出了伟大贡献 在 18 世纪 微积分进一步深入 发展并和广泛的应用紧密交织在一起 其中它的发展与无穷级数的研究密不可分 牛顿 在他的流数理论中自由运用无穷级数 他凭借二项式定理得到了许多函数的级数 泰勒 级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方法 在 18 世纪 各种初等函数的级数展开 陆续得到 并在解析运算中初等函数成为微积分的有力工具 其中 雅各布 伯努利撰写 了一系列无穷级数的论文 使他们成为当时这一领域的权威 这一时期 借助于级数这 个工具微积分不断取得各种显著的成就 得到各种更强有力的应用 18 世纪先后出现 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 1 页 共 43 页 了一些级数收敛判别法则 莱布尼兹判定法 达朗贝尔级数绝对收敛判别法等等 这些 说明 18 世纪的数学家已开始注意到无穷级数的收敛问题 尽管对这一问题真正严格 的处理要等到 19 世纪 柯西对无穷级数进行了严格化的处理 明确定义了级数的收敛 性 并研究了级数收敛的判别条件 1 21 2 研究现状研究现状 作为最古老的学科之一 数学其研究者历来众多 关于级数的求和 更是有许多 专家和学者对此产生了浓厚的兴趣 他们对某些具体的题目做出了具体的解法 像定义 法 解微分方程法 特殊函数的展开式 逐项微分积分法等等 级数求和有着比较繁多的 方法和很强的技巧性 而目前国内大多数数学教材及其他相关书籍中没有专门针对 级数求和的常用方法设立板块 都是对一些特殊的数项级数求和 而对一般普通的数 项级数的求和方法问题很少有学者提及 因此在这方面我们有研究的必要 并且有很大 的研究空间 对此内容进行总结和提炼 1 31 3 研究意义研究意义 级数在数学方面的计算中有着广泛的应用 无论是对数学这一学科本身还是在其他 学科及技术的研究与发展方面 级数的理论及其应用更是发挥着特别重要的作用和影响 且其与我们的日常生活息息相关 不仅在自然科学和工程技术中能解决许多问题 同时 也是研究分析数学的重要工具 1 其原因是很多函数能用数项级数表示 同时又能借助于数项级数来研究函数逼近 的问题 利用多项式来逼近一般的函数 借助级数表示很多有用的非初等函数 2 解微分方程 3 实数的近似计算 因此数项级数理论在分析数学或者实际应用中是研究函数的一种 必要的数学工具 因而数项级数的求和问题非常重要 需要我们去掌握并利用 我们也应 该去发掘出它更为广泛的应用领域 为我们的研究与学习奠定基础 因此数项级数的求和 问题就成为实际应用中亟待解决的课题了 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 2 页 共 43 页 二二 基础知识基础知识 2 12 1 引言引言 级数是数学分析的基本内容之一 它是表示函数 研究函数性质以及进行数值计算的 一种重要工具 它包含常数项级数与函数项级数 2 常数项级数与数列之间有着一一 对应的关系 而在函数项级数中 幂级数是最常见 也是最有用的级数 谈到级数 便不能不谈级数求和的问题 首先就要判断级数的收敛问题 这里我们将系统的介 绍很多判断级数收敛的定理和方法 以及他们所要求的条件 凡是收敛的级数都是 可求和的 问题就在于我们应该采取什么样的方法来简化级数的求和问题 我们将 在本文里系统的介绍求和方法和技巧 2 22 2 级数的分类及定义级数的分类及定义 2 2 12 2 1 数项级数数项级数 定义定义 01 设是无穷可列个实数 我们称它们的和 n XXX 21 n XXX 21 为无穷数项级数 简称级数 记为 其中称为级数的通项或一般项 当 1n n X n X 然我们无法直接对无穷个实数逐一进行加法运算 所以必须对上述的级数求和给出 合理的定义 为此作级数的 部分和数列 1n n X n S 11 XS 212 XXS 3213 XXXS n k knn XXXXXS 1 321 定义定义 02 如果级数的各项都是非负实数 即则称此级 n n X 1 2 1 0 nXn 数为正项级数正项级数 定义定义 03 如果级数既有无限个正项 又有无限个负项 那么此类级数就 n n X 1 是任意项级数 2 2 22 2 2 函数项级数函数项级数 现在我们将级数的概念从数推广到函数上去 对于前面讨论的数项级数 n n X 1 如果它的每一项都换成函数那又会变成什么呢 我们且看下面的定义 n X 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 3 页 共 43 页 定义 定义 设是具有公共定义域 E 的一列函数 我们将这无穷个 3 2 1 u nx n 函数的 和 u u u u 321 xxxx n 称为函数项级数 记为 1n n U 2 2 32 2 3 三个重要级数三个重要级数 2 级数级数 0101 几何级数 几何级数 几何级数又称为等比级数 定义格式 其 12 1 1n n n arararaar 中 是公比 0 ar 2 级数级数 0202 调和级数 调和级数 nn n 1 3 1 2 1 1 1 1 2 级数级数 0303 p p 级数级数 ppp n p nn 1 3 1 2 1 1 1 1 2 32 3 级数收敛的定义级数收敛的定义 定义定义 01 如果无穷级数的部分和数列收敛于有限数则称无穷级数 n SS 收敛 且称它的和为记为 如果部分和数列发散 则称无穷 n n X 1 S 1n n XS n S 级数发散 由上定义可知 只有当无穷级数收敛时 无穷多个实数的加法才 n n X 1 是有意义 的 并且他们的和就是级数的部分和的极限 当级数收敛时 称为级数的余项 21nnnn uuSSR 定义定义 02 设设在 E 上有定义 对于任意固定的 若数 3 2 1 u nx n Ex 0 项级数收敛 则称函数项级数在点收敛 或称是的收 1 0 n n xu 1 xu n n 0 x 0 x 1 xu n n 敛点 函数项级数的收敛点全体所构成的集合称为的收敛域 1 xu n n 1 xu n n 设的收敛域为 则 就定义了集合 D 上的一个函数 1 xu n n ED 1 xu n n S 1 Dxxux n n 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 4 页 共 43 页 称为的和函数 由于这是通过逐点定义的方式得到的 因此称 xS 1 xu n n 在 D 上点态收敛于 1 xu n n xS 2 42 4 级数收敛的判断级数收敛的判断 2 4 12 4 1 正项级数收敛的判断正项级数收敛的判断 1 2 4 1 02 4 1 0 定理定理 0101 级数收敛的必要条件 设级数收敛 其通项所构 1n n X 成的数列是无穷小量 即 n X0lim n n X 证明 由级数收敛的基本判别定理 柯西收敛准则 级数收敛 1n n u 有 取特殊的 可得出 0NpNnNN pnnn uuu 21 1 p 该定理 若级数收敛 则 1n n X0lim n n X 2 4 1 12 4 1 1 定理定理 0202 若则级数发散 0lim n n X 1n n X 其实 本定理是2 4 1 0定理定理 01 的逆否命题 作用或者意义作用或者意义 2 4 1 02 4 1 0定理定理 0101 只是级数收敛的必要条件 而非充分条件 换言之 数列 为无穷小量并不能保证级数收敛 本定理可以用来判断某些级数发散 n X 1n n X 例如当时不是无穷小量 因此级数发散 1 q qn 1 n n q 1 2 4 1 22 4 1 2 定理定理 0303 正项级数的收敛原理 内容 正项级数收敛的充分必要条件是他的部分和数列有上界 1n n X n S 证明 由于所以是单调递增数列 而单调数列收敛的充分必 2 1 0 nXn n S 要条件是该数列有界 单调有界定理 从而本定理得证 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 5 页 共 43 页 收敛原理的作用收敛原理的作用 他解决了一个级数的收敛问题 不必研究 而只需粗略sSn n lim 地估计 Sn 的值当 N 时是否保持有界就可以了 它是判断正项级数收敛 或发散 的最基本方法 几乎所有其它的判别法都是由它导出 2 4 1 32 4 1 3 常用级数常用级数 在介绍比较判别法 柯西判别 达朗贝尔判别法 积分判别法等方法之前 我 们先讨论一下针对前面的那三种重要级数的收敛性 他们是正项级数敛散性的判别 方法中经常要用到的三个比较因子 下面简单介绍它们敛散性的证明 便于后面能更好 的应用 级数级数 0101 几何级数 几何级数 如前所述它的形式为 的敛散性 其中 a 不 12 1 1n n n arararaar 等于 0 q 是公比 下面讨论它的敛散性 时时 已知几何级数的项部分和1 r n 12n n arararas 当时 存在极限 且1 r 11 limlim r a r ara s n n n n 因此 当时 几何级数收敛 其和是 即 1 r r a 1r a ar n n 1 1 1 当时 不存在极限 1 r 1 limlim r ara s n n n n 因此 当时 几何级数发散 1 r 当当时时 有两种情况 1 r 当时 几何级数是 a 0 1 r aaaa 即部分和数列发散 naaaas n n 个 nas n n n limlim n s 当时 几何级数是 1 r 1 1 aaaaa n 0 是偶数 是奇数 n nan s 部分和数列 Sn 发散 于是 当 r 1 时 几何级数发散 综上所述 几何级数 当时收敛 其和是 当时发散 1 1 n n ar1 r r a 1 1 r 级数级数 02 调和级数 调和级数 如前所述它的形式为 下面我们证明调和级数 nn n 1 3 1 2 1 1 1 1 是发散的 nn n 1 3 1 2 1 1 1 1 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 6 页 共 43 页 3 证明 设调和级数的项部分和是 即由于 1 1 n n n n s 1 3 1 2 1 1 n sn 3 2 1 1 1 1ln n nn 于是调和级数的前项部分和满足n 1 1ln 3 1 1ln 2 1 1ln 11ln 1 3 1 2 1 1 nn sn 1ln 1 3 4 2 3 2ln 1 ln 3 4 ln 2 3 ln 2ln n n n n n 由于 即当时 调和级数的部分和 1ln limlimnS n n n n 与是等价无穷大 即调和级数发散 所以的极限不存在 n sn 1 3 1 2 1 1 nln 1 1 n n n s 调和级数发散 级数级数 0303 P P 级数级数 如前所述它的形式为 其中是任意实数 ppp n p nn 1 3 1 2 1 1 1 1 p 下面讨论 p 级数的敛散性 ppp n p nn 1 3 1 2 1 1 1 1 当当时时 就是调和级数 发散 1 p 1 1 n n 当当时时 有 已知调和级数发散 根据比较判别法可知 当1 p Nn nn p 11 1 1 n n p 1 时 p 级数发散 当当时时 有 于是 有1 p2 n 1 1 1 1 11 11 ppp nnpn Nn 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 11 ppppp n pn s 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1111 pppp nnpp 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 111111 pppppp nnp 11 1 1 1 1 1 1 1 1 p P pnp p 即 p 级数的部分和数列 Sn 有上界 而且 依据2 4 1 1定理定理 03 正项级0 1 p n 数的收敛原理 可知 p 级数收敛 综上所述 当时 p 级数发散 当时 p 收敛 1 p1 p 这三个重要技术的作用 这三个重要技术的作用 在正项级数敛散性的证明中常借助于这三个级数敛散性为 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 7 页 共 43 页 桥梁来判断其它级数的敛散性 也就是经常性的被拿来当做工具使用 下面借助于以上三个重要工具我们来探讨一下正项级数的各种判别法 2 4 1 42 4 1 4 正项级数的各种判别法正项级数的各种判别法 判别法判别法 0101 比较判别法 比较判别法 设与是两个正项级数 若存在常数使得 n 1 2 则 1 x n n 1 y n n 0 A nn Ayx 若级数收敛 则级数也收敛 1 y n n 1 x n n 若级数发散 则级数也发散 1 x n n 1 y n n 证明 设级数的部分和数列为级数的部分和数列为则显 1 x n n n S 1 y n n n T 然有 于是当有上界时也有上界 而当无上界时 2 1 nTS nn n T n S n S 必定无上界 因此我们有 n T AT yyy AAyAyAyxxxS 212121nnnnn 若级数收敛 依据2 4 1 1定理定理 02 正项级数的收敛原理 数列 1 y n n 有上界 从而数列也有上界 再依据2 4 1 1定理定理 02 正项级数的收敛原理 n T n S 级数收敛 1 x n n 若级数发散 依据2 4 1 1定理定理 02 正项级数的收敛原理 数列 1 x n n 无上界 从而数列也无上界 再根据定理 1 级数发散 n S n T 1 y n n 注 注 由于改变级数有限个项的数值 并不会改变他的收敛性或发散性 虽然在收敛 的情况下可能改变他的 和 所以本定理的条件可以放宽为 存在正整数 N 与常 数 A 0 使得对一切成立 nn Ayx Nn 判别法判别法 01 01 比较判别法的极限形式 比较判别法的极限形式 设有两个正项级数与 且 1 x n n 0y y 1 n n n L y x lim n n n L0 若级数收敛 且 则级数也收敛 1 y n n L0 1 x n n 若级数发散 且 则级数也发散 1 y n n l0 1 x n n 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 8 页 共 43 页 证明 若级数收敛 且 由已知条件 1 y n n L0 NnNN 0 0 有 对他变形我们可以得到 即 有 0 L y x n n 0 L y x n n Nn nn y L x 0 依据判别法 01 比较判别法 我们可以得到级数也收敛 1 x n n 若级数发散 且 由已知条件 1 y n n L0NnNN 0 0 有 对他变形我们可以得到而且 即 有 0 L y x n n 0 L y x n n 0L 0 Nn 依据判别法 01 比较判别法 我们可以得到级数也发散 nn x L 1 y 0 1 x n n 由已知条件 有 即 有 0NnNNM M n n y x NnNN 依据判别法 01 比较判别法 我们可以得到级数也发散 nn M x 1 y 1 x n n 注 比较法的使用条件以及与其他方法的联系注 比较法的使用条件以及与其他方法的联系 比较判别法只适用于正项级数敛散性的判断 比较判别法的比较对象常常就是几何级数 调和级数 P 级数三种级数 在比较的过程中通常使用放缩方法 当用等比级数作为比较对象时 就得到了下面的达朗贝尔判别法及柯西判别法 用比较判别法判断正项级数的敛散性 先要根据问题的条件作一个大概的估计 猜 想原级数可能是收敛的 还是发散的呢 如果猜想原级数收敛 就找一个适当的收敛级 数来比较 使得原级数的各项小于或等于比较级数的对应项 如果猜想原级数发散 就 找一个适当的发散级数来比较 使得原级数的各项大于或等于比较级数的对应项 但要另外找到一个适当的正项级数作为比较级数 在实际生活中往往不是一件轻 而易举的事情 于是我们便设想在比较判别法的基础上寻找到直接用待判级数的通项 构造判别式 不必另找比较级数 只需研究这个判别式就可判定级数的敛散性 研究的 结果获得了由比较判别法派生出来的种种正项级数敛散性的判别法 柯西判别法 与达朗贝尔判别法 下面我们就来探讨一下达朗贝尔判别法及柯西判别法 判别法判别法 0202 柯西判别法 柯西判别法 4 设有正项级数 存在常数 1 u n n 0u n q 若 不等式 成立 则级数收敛 NnNN 1 qu n n 1n n u 若对一切 不等式 成立 则级数发散 Nn 1 n n u 1n n u 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 9 页 共 43 页 证明 已知有 或 又已知几何级数 NnNN qu n n n n qu 收敛 于是级数收敛 10 0 qq n n 1n n u 已知存在无限个 n 有 或 即不趋近于 于是级数1 n n u1 n u n u 0 n 发散 1n n u 判别法判别法 02 柯西判别法的极限形式 柯西判别法的极限形式 4 正项级数 若 则 1n n u lu n n n lim 当时 级数收敛 1 l 1n n u 当时 级数发散 1 l 1n n u 证明 由数列极限定义 有1 qlqNnNNlq 0 0 或 根据判别法 02 柯西判别法可以得到级数收敛 lqlu n n 1 qu n n 1n n u 已知 根据数列极限的保号性 有 根据判别法1 lNnNN 1 n n u 02 柯西判别法可以得到级数发散 1n n u 注 注 多数情况下正项级数的通项开 n 次方根不会直接得出一个常数 或者计算复杂 所以通常情况下使用柯西判别法的极限形式判别级数的敛散性 判别法判别法 03 达朗贝尔判别法 达朗贝尔判别法 4 设正项级数 存在常数 0 1 n n n uu 若 有 则级数收敛 NnNN 1 1 n n u u 1n n u 若 有 则级数发散 NnNN 1 1 n n u u 1n n u 证明 不妨设 有 或 Nn n n u u 1 nn uu 1 l 3 l 2 1 11 3 134 2 123 12 k kk uquukn uuun uuun uun 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 10 页 共 43 页 已知几何级数收敛 根据判别法 01 比较判别法 则级数收敛 10 1 1 k k qu 1n n u 已知 有 或 即正项数列从项以后NnNN 1 1 n n u u nn uu 1 n uN 单调增加 不趋近于 则级数发散 n u 0 n 1n n u 判别法判别法 03 03 达朗贝尔判别法 达朗贝尔判别法 4 设有正项级数 且 0 1 n n n uu lim 1 l u u n n n 当时 级数收敛 1 l 1n n u 当时 级数发散 1 l 1n n u 证明 由数列极限定义 有1 qlqNnNNlq 0 0 或 根据判别法 03 达朗贝尔判别法 级数收敛 lql u u n n 1 1 1 q u u n n 1n n u 已知 根据数列极限的保号性 有 根据判别法 03 达1 l NnNN 1 1 n n u u 朗贝尔判别法 级数发散 1n n u 注 注 在柯西判别法和达朗贝尔判别法中只讨论了的情况 并没有考虑 11 ll或 的情况 也没有考虑 l 不存在又是怎样的情况 这说明这两种判别法存在着一定的 1 l 不足 下面看一个引理 2 4 1 52 4 1 5 引理引理 1 设正项级数 那么有 0 1 n n n uu n n n n n n n n nn n n u u uu u u 11 limlim limlim 证明 证明 设 n n n u u r 1 lim 由上下极限的知识我们可知 对任意给定的 存在正整数 N 使得对一切 成立 于是 从而Nn r u u n n 1 1 1 1 Nnuu N Nn nr ruu n N Nn n n n n r1 1 limlim 由的任意性 即得到 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 11 页 共 43 页 n n n n n n x x ru 1 limlim 类似的可以证明 n n nu u 1 lim n n n u lim 该引理告诉我们该引理告诉我们 若一个正级数的敛散情况可以由达朗贝尔判别法判定 那么他也 一定能用柯西判别法判定 但是 能用柯西判别法判定的级数 却未必能用达朗贝 尔判别法判定 这就是说柯西判别法的适用范围比达朗贝尔判别法判别范围广 但 是对某些具体例子而言 两种判别法都适用 而达朗贝尔判别法比柯西判别法更方 便一些 读者应根据级数的具体情况来选择合适的判别法 注 注 达朗贝尔判别法判与柯西判别法的本质都是比较判别法 与之相比较的是几何 级数 把所有要判断的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的 也 0 1 1 aar n n 就是说 只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一等比级数收敛速度快的级数 这两 种方法才能鉴定出它的收敛性 如果级数的通项收敛速度较慢 它们就无能为力了 在 判定级数收敛时 要求级数的通项受到 1 n r 0 r 0 对一切 k 成立则 2 1 1 kbBB k i ikk M B k 2 1 1 p p k kk aaMba 0505 级数的级数的 A D 判别法 判别法 若下列两个条件之一满足 则级数收敛 1n nnb a Abel 判别法 单调有界 收敛 n a 1 n n b Dirichlet 判别法 单调趋于 0 有界 n a 1 i n i b 0606 条件收敛与绝对收敛 条件收敛与绝对收敛 如果级数收敛 则称为绝对收敛级数 如果级数收敛而 1 n n x 1 n n x 1 n n x 1 n n x 发散 则称为条件收敛级数 1 n n x 0707 绝对收敛与更序级数绝对收敛与更序级数 若级数绝对收敛 则它的更序级数也绝对收敛 且和不变 即 1 n n x 1 n n x 1 n n x 1 n n x 0808 Riemann 定理定理 设级数条件收敛 则对任意给定的 必定存在的更 1 n n x a 1 n n x 序数列满足 a 1 n n x 1 n n x 2 4 32 4 3 函数项级数收敛的判断函数项级数收敛的判断 定义定义 0101 一致收敛 一致收敛 设函数列与函数定义在同一数集数集 D 上 若对任给的正数 总存在 n ff 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 16 页 共 43 页 某一正数 N 使得当时对一切 都有 则称函数列Nn Dx xfxfn 在 D 上一致收敛于 记作 n ffDxnxf n xf 定理定理 0202 一致收敛的柯西准则 一致收敛的柯西准则 函数项级数在数集 D 上一致收敛的充要条件为 对任给的正数 总 xun 存在某一正数 N 使得当时对一切 和一切正数 p 都有 Nn Dx xSxS npn 或 21 xuxuxu pnnn 定理定理 0303 一致收敛的充要条件 一致收敛的充要条件 函数项级数在数集 D 上一致收敛的充要条件是 xun 0 sup lim sup lim xSxSxR n Dx n n Dx n 定理定理 0404 魏尔斯特拉斯判别法 魏尔斯特拉斯判别法 设函数项级数定义在数集 D 上 为收敛的正项级数 若对一切 xun n M 有 则函数项级数在 D 上一致收敛 Dx 2 1 nMxu nn xun 定理定理 0505 阿贝尔判别法 阿贝尔判别法 设 在区间 I 上一致收敛 xun 对于每一个是单调的 xvIx n 在 I 上一致有界 即对一切和正整数 n 存在正数 M 使得 xvnIx Mxvn 则级数在 I 上一致收敛 2211 xvxuxvxuxvxuxvxu nnnn 定理定理 0606 狄利克雷判别法 狄利克雷判别法 设 的部分和数列 xun 2 1 1 nxuxU n k kn 在 I 上一致有界 对于每一个是单调的 xvIx n 在 i 上 0 n n xv 则级数 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 17 页 共 43 页 2211 xvxuxvxuxvxuxvxu nnnn 在 I 上一致收敛 定理定理 07 连续性 连续性 若函数项级数在区间上一致收敛 且每一项都连续 则其和函数 xun ba 在上也连续 ba 注 这个定理指出 在一致收敛条件下 无限项 求和运算与求极限运算可以交换 顺序 即 limlim 00 xuxu n xx n xx 定理定理 0808 逐项求积 逐项求积 若函数项级数在区间上一致收敛 且每一项都连续 则 xun ba b a n b a n xuxu 定理定理 0909 逐项求导 逐项求导 若函数项级数在区间上每一项都有连续的导数 为 xun ba 0 bax 的收敛点 且在上一致收敛 则 xun xu n ba xu dx d xu dx d nn 2 4 42 4 4 幂级数幂级数 2 4 4 12 4 4 1 幂级数的基本概念和定理幂级数的基本概念和定理 本篇将讨论有幂级数序列产生的函数项级数 0 xx n n a n n n n n xxaxxaxxaaaxx 0 0 2 02010 0 1 它称为幂级数 是一类最简单的函数项级数 从某种意义上说 他也可以看作是多 项式函数的延伸 下面将着重讨论 即0 0 x 2 n n n n n xaxaxaaa x 2 210 0 的情形 因为只要把 2 中的 x 换成 即得到 1 0 xx 定理定理 0101 阿贝尔定理 阿贝尔定理 若幂级数 2 在处收敛 则对满足不等式的任何 x 幂级数0 xx xx 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 18 页 共 43 页 2 收敛而且绝对收敛 若幂级数 2 在处发散 则对满足不等式的xx xx 任何 x 幂级数 2 发散 注 注 由此定理知道幂级数 2 的收敛域是以原点为中心的区间 若以 2R 表示 区间的长度 则 R 为幂级数的收敛半径收敛半径 实际上 它就是使得幂级数 2 收敛的 那些收敛点的绝对值的上确界 我们称 R R 为幂级数 2 的收敛区间 收敛区间 定理定理 0202 有关收敛半径 有关收敛半径 对于幂级数 2 若 n n n a lim 则当 时 幂级数 2 的收敛半径 0 1 R 时 幂级数 2 的收敛半径0 R 时 幂级数 2 的收敛半径 0 R 定理定理 0303 有关收敛半径和一致收敛 有关收敛半径和一致收敛 若幂级数 2 的收敛半径为 则幂级数 2 在他的收敛区间内 0 R RR 任意闭区间上都一致收敛 ba 定理定理 0404 有关收敛半径和一致收敛 有关收敛半径和一致收敛 若幂级数 2 的收敛半径为 且在 或 时收敛 则级数 0 RRx Rx 2 在 或 上一致收敛 0 R 0 R 定理定理 0505 幂级数的性质 幂级数的性质 幂级数 2 的和函数是上的连续函数 RR 若幂级数 2 在收敛区间的左 右 端点上收敛 则其和函数也在这一端点上 左 右 连续 在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前 先要确定幂级数 2 在收敛区间 上逐项求导与逐项积分后所得到的函数 RR 3 12 21 32 n nx naaxxaa 与 4 13 2 2 1 0 132 n n x n a x a x a xa 的收敛区间 定理定理 0505 幂级数的性质 幂级数的性质 幂级数 2 与幂级数 3 4 具有相同的收敛区间 定理定理 0606 幂级数逐项积分 求导 幂级数逐项积分 求导 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 19 页 共 43 页 设幂级数 2 在收敛区间 R R 上的和函数为 f 若 x 为 R R 上任意 一点 则 f 在点 x 可导 且 1 1 n n nx naxf f 在 0 与 x 之间的这个区间上可积 且 0 1 0 1 n n n x x n a dttf 推论推论 0707 记 f 为幂级数 2 在收敛区间 R R 上的和函数 则在 R R 上 f 具有任 何阶导数 且可逐项求导任何次 即 12 21 32 n nx naaxxaaxf 2 2 1 232 n nx annaxaxf 2 1 1 1 xannnanxf nn n 推论推论 0808 记 f 为幂级数 2 在点 x 0 某邻域上的和函数 则幂级数 2 的系数与 f 在 x 0 处的各阶导数有如下关系 2 1 0 0 0 n n f afa n n 这个推论表明 若级数 2 在 R R 上有和函数 f 则幂级数 2 由 f 在点 x 0 处的各阶导数所唯一确定 可往证定理定理 09 定理定理 0909 若幂级数 2 与 5 在点 x 0 n n n n n xaxaxaaa x 2 210 0 的某邻域内相等 则他们的同次幂项的系数相等 即 2 1 nba nn 定理定理 1010 若幂级数 2 与 5 的收敛半径分别为和 则有 a R b R 00 a n n n n n n Rxxaxa 000 Rxxbaxbxa n n nn n n n n n n 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 20 页 共 43 页 000 Rxxcxbxa n n n n n n n n n 式中为常数 n k knknba bacRRR 0 min 定理定理 1111 Abel 第二定理第二定理 设幂级数的收敛半径为 R 则 n n nx a 0 在上内闭一致收敛 即在任意闭区间上一致收敛 n n nx a 0 RR RRba 若在收敛 则在任意闭区间上一致收敛 n n nx a 0 Rx RRRa 证 证 记成立由于 max baxba 对一切 n n n n axa 收敛 由 Weierstrass 判别法 可知在上一致收敛 0 n n n aR 所以 n n nx a 0 ba 先证明在上一致收敛 n n nx a 0 0 R 当收敛时 由于在一致有界 且关于 n 单调 根据 n n nR a 0 n R x 0 R 1 0 n R x Abel 判别法在上一致收敛 于是当时 在 nn n n n n n R x Raxa 00 0 R0 a n n nx a 0 上一致收敛 当时 由 在上一致 RRRa 0 aR n n nx a 0 n n nx a 0 0 a 收敛 结合在上的一致收敛性即得到在上一致收 n n nx a 0 0 R n n nx a 0 RRRa 敛 2 4 4 22 4 4 2 函数的幂级数的展开函数的幂级数的展开 学过泰勒定理我们晓得 若函数 f 在的某邻域上存在直至 n 1 阶的连续导数 0 x 则 1 2 0 0 2 0 0 000 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n 这里为拉格朗日型余项 xRn 2 1 1 0 1 n n n xx n f xR 其中在 x 和之间 称 1 为 f 在处的泰勒公式 0 x 0 x 如果在 1 中抹去余项 那么在点附近 f 可用 1 右边的多项式来近似代 xRn 0 x 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 21 页 共 43 页 替 如果函数 f 在处存在任意阶的导数 这时称级数 0 x 3 2 0 0 2 0 0 000 n n xx n xf xx xf xxxfxf 为函数 f 在处的泰勒级数 我们探讨一下下面的定理 0 x 定理定理 0101 设 f 在点具有任意阶导数 那么 f 在区间等于它的泰勒级数的和 0 x 00 rxrx 函数的充分条件是 对一切满足不等式的 x 有rxx 0 0 lim xRn n 这里是 f 在处的泰勒公式余项 xRn 0 x 如果 f 能在点的某邻域上等于其泰勒级数的和函数 则称函数 f 在点的这一领 0 x 0 x 域上可以展开成泰勒级数 并称等式 4 2 0 0 2 0 0 000 n n xx n xf xx xf xxxfxfxf 的右边为 f 在处的泰勒展开式 或称幂级数展开式 0 x 由上一节中的推论 8 可知 若 f 为幂级数在收敛区间 R R 上的和函数 0n n nx a 则就是 f 在 R R 上的泰勒展开式 即幂级数展开式是唯一的 0n n nx a 在实际应用上 主要讨论函数在处的展开式 这时 3 式可以写作0 0 x 0 2 0 0 0 2 n n x n f x f xff 称为 f 的迈克劳林级数 下面我们就一些常用的展开式进行探讨 0202 直接法 直接法 要把函数展开成 x 的幂级数 可以按照下列步骤进行 xf 第一步 求出的各阶导数 如果在处的 xf xf xf xf n 0 x 某阶导数不存在 就停止进行 第二步 求出函数及其各阶导数在的值 0 x 0 f 0 f 0 f 0 n f 第三步 写出幂级数 0 2 0 0 0 2 n n x n f x f xff 并求出收敛半径 R 安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文 装 订 线 第 22 页 共 43 页 第五步 利用余项的表达式 考察当 x 在区 xRn 10 1 1 1 n n n x n xf xR 间内时逇余项的极限