高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法教材基础素材 北师大版选修22.doc

4 数学归纳法 我们已经学习了使用反证法、分析法、比较法、综合法来证明命题,但是在数列和函数中,有大量的关于自然数的不等式,如何证明它们呢？这节课就讨论另一种证明方法数学归纳法.高手支招1细品教材一、数学归纳法状元笔记 数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须是真实可靠;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继传递性的保证,即命题只要对某个正整数成立,就能保证该命题对后继正整数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法.特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性.如果没有第一步,而仅有第二步,命题也有可能是假命题.一般地,证明一个与正整数n有关的数学命题,可按下列步骤进行:(1)证明当n=1时命题成立.(2)假设n=k(k1,kn*)时命题成立,证明当n=k+1的命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对一切正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.【示例】用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1),其中nn*.思路分析：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题,关键是第二步,要注意当n=k+1时,等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系,或增加了哪些项或减少了哪些项,问题就容易解决.证明：(1)当n=1时,左边1+1=2,右边=211=2,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2n-1).则当n=k+1时,(k+2)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)(k+k)2(2k+1)=2k13(2k-1)2(2k+1)=2k+113(2k-1)(2k+1)，即当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对一切nn*,等式成立.二、数学归纳法的特点1.基本特点(1)无穷性:数学归纳法所证明的与正整数有关的命题,实际上就是关于正整数的无穷性命题,命题的无穷性是我们用演绎法无法证明的,所以数学归纳法恰恰就是有效地利用递推关系证明了命题无穷性的正确性.数学归纳法以之独特而简约的语言向我们展示了一种精简的“形”,并且没有损害论证的“神”,反而提供了一种把握“无限”趋势的有常形式,成为“沟通无限同有限的桥梁”.(2)有穷性:与正整数有关的命题具有无穷性,但是数学归纳法的基本步骤是有穷的,仅仅只有两个步骤,但这两个步骤是缺一不可的.数学归纳法是在可靠的基础上利用命题本身具有的传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题.数学归纳法之美,就在于由有限推证无限,把无限转化为有限.2.数学归纳法的核心 在验证命题n=1正确的基础上,证明命题具有传递性,第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法,实现了有限到无限的飞跃.虽然刚开始接触会觉得“模式固定、呆板”,但经过一定的接触学习后,其各步骤及各步骤间体现出非同寻常的逻辑力量的哲学观点,让人深深体会到其凝练的论证中散发着的简洁和思辨.归纳基础与归纳假设及证明,此二者缺一不可,构成数归法的灵魂,同时,指出了数学归纳法的具体表现:正整数有无穷多个，这也是数学归纳法的精华.对于认识数学归纳法的内涵是十分重要的.三、数学归纳法的主要应用1.用数学归纳法证明不等式问题对与正整数有关的不等式的证明,如果用其他方法比较困难,此时可考虑利用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二个步骤上,这时除了一定要运用归纳假设外,还要较多地运用不等式的证明等其他方法,对所要证明的不等式加以变形,寻求其与归纳假设的联系是问题的突破口.状元笔记 在数学归纳法中,由n=k时成立推证n=k+1也成立是关键和难点,在推证时一般要用到比较法、放缩法、配凑法、分析法等.【示例】求证:+,(n2,nn*).思路分析：本题可在由n=k到n=k+1时的推证过程中应用“放缩”的技巧,使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式常用的方法之一.证明：(1)当n=2时,左边=+,不等式成立.(2)假设当n=k(k2,kn*)时命题成立,即+.则当n=k+1时,+=+(-)+(-)+(3-)=,所以当n=k+1时不等式也成立.由(1)(2)知,原不等式对一切n2,nn*均成立.2.用数学归纳法证明整除问题状元笔记 用数学归纳法证明整除问题,p(k)p(k+1)的整式变形是难点,找出它们之间的差异,从而决定n=k时,p(k)做何种变形.一般地,将n=k+1时p(k+1)的整式分拆配凑成p(k)的形式,再利用归纳假设和基本事实,这个变形是难点. 对于整数a,b,如果a=bc,c为整数,则能称a能被b整除;对于多项式a,b,如果a=bc,c为整式,则称a能被b整除.由多项式的定义容易得出:对多项式a,b,c,p,如果a能被c整除,那么pa也能被c整除;如果a,b能被c整除,那么a+b或a-b也能被c整除.【示例】用数学归纳法证明下述整除问题:求证:11n+2+122n+1(nn*)被133整除.思路分析：数学归纳法证明有关数或式的整除问题时,要充分利用整除的性质,若干个数(或整式)都能被某一个数(或整式)整除,则其和、差、积也能被这个数(或整式)整除.证明：(1)当n=1时,113+123=1 331+1 728=3 059=13323能被133整除,当n=1时命题正确;(2)假设当n=k时命题正确,即11k+2+122k+1能被133整除,当n=k+1时,11k+3+122k+3=11(11k+2+122k+1)+122k+3-11122k+1=11(11k+2+122k+1)+122k+1(122-11)=11(11k+2+122k+1)+122k+1133,能被133整除,即当n=k+1时命题也正确;由前面可知命题对nn*都正确.3.用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题时,难点就是在p(k)p(k+1)递推时,找出n=k 到n=k+1时递推公式,这是关键所在.分析增加一条曲线或直线后,点、线段、曲线段、平面块在p(k)的基础上增加了多少,就找出了相应的递推关系.【示例】平面内有n(n2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一个点,证明交点的个数f(n)等于.思路分析：本例的关键是弄清增加一条直线能够增加多少个不同的交点,解此类问题时常运用几何图形的性质.证明：(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=2(2-1)=1,因此,当n=2时,命题成立.(2)假设当n=k时(k2)命题成立,就是说,平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f(k)= k(k-1).现在来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的1条直线,记为1(如右图).由上面的假设,除1以外的其他k条直线的交点的个数f(k)=k(k-1).另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线1必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不同,且与平面内其他的k(k-1)个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数为k(k-