习题2.2（1） (2).docx

蓦然回首，那“圆”却在灯火阑珊处“隐形圆”解题策略研究顾金 （江苏省苏州实验中学 215011）江苏数学高考中圆的方程每年都有所涉及，是C级考点，其中一类题目的条件中没有直接给出圆的方程，但是却隐藏在题目中，需要通过分析和转化去发现圆，将题目中特定的条件化“隐性”为“显性”，进而利用圆的知识解决问题，此类问题便是“隐形圆”问题。其中涉及“隐形圆”的高考题可参考：2017年第13题、2016年第19题、2013年第17题等。本文以最新的高考及模拟题为例，总结了部分“隐形圆”的解题策略。策略一：利用圆的定义确定“隐形圆”利用圆的定义，就是找到某个定点的距离为定值，简单讲就是找定点，找定长。题1 已知圆O：x2+y2=1，圆：，若圆M上存在点P，过点P作圆的两条切线，切点为A,B，使得,则的取值范围为 解析 提取条件“过点P作圆的两条切线，切点为A,B，使得” 图 （1），如图（1），在直角ABC中，,则PO长为2，而O点为定点，所以P所在轨迹方程为x2+y2=4，记该圆为圆C，按照题意只要圆O和圆C有交点即可求出a的范围是。点评：该题可以再进行一个动态的模拟，特别地，可以将点P先设定在x轴的正半轴上，点P从（1,0）运动到无穷远处，能取到，所以在运动的过程中一定存在，使得（），固定这一状态，将整个图形绕点O旋转一周，那么形成的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆。并且在旋转的任意位置都满足，即P的轨迹是圆，从这一动态过程直观感受“隐形圆”的存在。可以推广，过圆外的点作定圆的两条切线，形成的张角为定值的点的轨迹是圆，方程为。策略二：到两定点A、B距离的比值为定值确定“隐形圆”题2（江苏2013高考17题改编）在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上. 若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围为 解析 设C(a,2a-4)，M(x,y)，带入MA2MO有，化简有，这就是题中的隠圆，和圆C：有交点，解出。分析：已知A、B为定点，点P满足，则P的轨迹是圆，即阿波罗尼斯圆。若设M、N分别为线段AB按定比分割的内分点和外分点,则MN为阿波罗尼斯圆的直径,且满足。策略三：到两定点A、B的张角为直角确定“隐形圆”题3(扬州2018期末调研) 已知正ABC的边长为2，点P为线段AB中垂线上任意一点，Q为射线AP上一点，且满足，则CQ的最大值为_。图（2）解析 思路一 如图（2）建立坐标系，O为AB中点，则AO=1，就满足，从而AOPAQO，则从，即点Q相对于定点A、O的张角为直角，所以Q在以AO为直径的圆上，该“隐形圆”的方程为，C的坐标为，所以CQ的最大值为。分析：若A、B为定点，P到两定点A、B的张角为直角，即，那么P的轨迹是以AB为直径的圆（去除A、B两个点）。除此以外该条件还有其他的叙述方法，如：（P的轨迹是以AB为直径的整圆），。可以探讨若P到两定点A、B的张角是定值，但不是直角，那么P的轨迹是什么？例如：若A(-1，0),B(1，0)，点P满足，试考虑P的轨迹。图（3） 从正面讨论，在圆O1中，AB是弦，若P在优弧上，均相等，只要满足，P即为所求的点，如图（3），圆心角，此时O1坐标为(0 ,1)，半径为，则P的轨迹图形为圆O1上的优弧，方程为，其中，由对称性，圆O2上的优弧，方程为，。分析得出，若为锐角，P的轨迹由两个对称的优弧组成；若为钝角，P的轨迹由两个对称的劣弧组成。从向量的角度讲，若，则点P在以AB为直径的圆外；若，则点P在以AB为直径的圆内；，满足一定的条件也能确定“隐形圆”。策略四：通过圆的方程确定“隐形圆”仍考虑题3，思路二：建立如图（2）的直角坐标系，设直线,点P坐标为（0，k），设Q（x,y）满足（*），消去k得到：，去分母后有，有题意得，就有P的轨迹方程为，即P的轨迹是一个圆。思路二中的（*）式化简稍显繁琐，因为该题考虑的是线段的长度，因此可以建立极坐标系。图（4） 思路三：如图（4），建立以A为极点，射线AB为极轴的极坐标系。设，由题意得点P的极坐标为(，)，则Q的坐标为(，)，即Q点的轨迹方程为，通过这个方程知道Q的轨迹是以AO为直径的圆。分析：此类“隐形圆”在题目中没有明显的标志，是通过计算化简才能确定最终的轨迹是一个圆，从技巧性来讲，应该注意计算的难易，是选择什么样的坐标系，设点还是设直线，包括一些对称性的分析都能给计算带来方便。策略五：通过变量代换确定“隐形圆”题4(2018南京盐城二模) 在平面直角坐标系中，已知AB为圆C:(x+4)2+(y-a)2=16上两个动点,且.若直线l : y=2x上存在唯一的一个点P，使得,则实数a的取值为 .解析：分解来看本题，首先设AB中点为M，因为AB长为定值，由垂径定理可得,根据策略1，得到M的轨迹是一个圆(如图（5）)，这是题目中的第一个“隐形圆”，方程为(x+4)2+(y-a)2=5。下面寻找P的轨迹，所以图（5） ，设，且满足(x0+4)2+(y0-a)2=5。由向量等式可以出关系，用x,y 替代x0,y0，有，即P的轨迹是一个圆，这是题目中的第二个“隐形圆”，存在唯一的P，即这个圆与直线y=2x相切，a的取值为2或-18。分析：用变量代换的技巧求“隐形圆”运用的数学思想就是转化和划归，题目中有些点的轨迹是已知的，要做的就是寻找未知点和已知点的关系，用未知点的坐标表示已知点的坐标，带入方程即可得到“隐形圆”。变量代换在向量、不等式、函数等领域也有重要应用，可以简化题目信息，凸显隐性条件，从而可以更好地发现本质信息，对优化解题过程有积极影响。策略六：到两定点A、B距离的平方和是定值确定“隐形圆”图（6）题5 (2017南京盐城一模)：在ABC中，A，B，C所对应的边为a，b，c，若a2+b2+2c2=8，则ABC面积的最大值是 解析：将a2+b2+2c2=8化成，c看成是常数，建立图（6）所示直角坐标系，则设，有，化简得，该方程即为点C所在的“隐形圆”，又因为ABC 要构成三角形，则C的轨迹要去除与x轴的两个交点，C的最终轨迹为，当且仅当时取等号，即当点C位于y轴上，时面积最大，等于。分析：本题呈现出的是三角的题型，直接用余弦定理处理，对计算的要求较高，这里“隐形圆”更多的是作为一个工具，通过转化，将三角问题转化成解析几何的问题 。此间，需要熟练掌握个知识点，融会贯通各知识板块的联系，通过不同的