北京市海淀区高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合p=x|x2x20，m=1，0，3，4，则集合pm中元素的个数为( )a1b2c3d42下列函数中为偶函数的是( )ay=by=lg|x|cy=（x1）2dy=2x3在abc中，a=60，|=2，|=1，则的值为( )a1b1cd4数列an的前n项和为sn，若snsn1=2n1（n2），且s2=3，则a1+a3的值为( )a1b3c5d65已知函数f（x）=cos4xsin4x，下列结论错误的是( )af（x）=cos2xb函数f（x）的图象关于直线x=0对称cf（x）的最小正周期为df（x）的值域为，6“x0”是“x+sinx0”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件7如图，点o为坐标原点，点a（1，1），若函数y=ax（a0，且a1）及logbx（b0，且b1）的图象与线段oa分别交于点m，n，且m，n恰好是线段oa的两个三等分点，则a，b满足( )aab1bba1cba1dab18已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2x+1，若函数y=f（x）g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是( )a（0，+）b（，0）（2，+）c（，）（1，+）d（，0）（0，1）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）92xdx=_10在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c若c=4，sinc=2sina，sinb=，则a=_，sabc=_11已知等差数列an的公差d0，且a3+a9=a10a8若an=0，则n=_12已知向量=（1，1），点a（3，0），点b为直线y=2x上的一个动点若，则点b的坐标为_13已知函数f（x）=sin（x+）（0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为_14对于数列an，若m，nn*（mn），都有t（t为常数）成立，则称数列an具有性质p（t）（1）若数列an的通项公式为an=2n，且具有性质p（t），则t的最大值为_；（2）若数列an的通项公式为an=n2，且具有性质p（10），则实数a的取值范围是_三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15（13分）已知等比数列an的公比q0，其n前项和为sn，若a1=1，4a3=a2a4（）求公比q和a5的值；（）求证：216（13分）已知函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）（）求f（）的值；（）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间17（13分）如图，在四边形abcd中，ab=8，bc=3，cd=5，a=，cosadb=（）求bd的长；（）求证：abc+adc=18（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线为l（）若直线l的斜率为3，求函数f（x）的单调区间；（）若函数是f（x）区间2，a上的单调函数，求a的取值范围19（14分）已知由整数组成的数列an各项均不为0，其前n项和为sn，且a1=a，2sn=anan+1（1）求a2的值；（2）求an的通项公式；（3）若n=15时，sn取得最小值，求a的值20（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如1，2=1，1.2=2，1=1，对于函数f（x），若存在mr且mz，使得f（m）=f（m），则称函数f（x）是函数（）判断函数f（x）=x2x，g（x）=sinx是否是函数；（只需写出结论）（）设函数f（x）是定义r在上的周期函数，其最小正周期为t，若f（x）不是函数，求t的最小值 （）若函数f（x）=x+是函数，求a的取值范围2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合p=x|x2x20，m=1，0，3，4，则集合pm中元素的个数为( )a1b2c3d4【考点】交集及其运算 【专题】计算题；集合【分析】求出p中不等式的解集确定出p，找出p与m的交集，即可确定出交集中元素的个数【解答】解：由p中不等式变形得：（x2）（x+1）0，解得：1x2，即p=x|1x2，m=1，0，3，4，pm=1，0，则集合pm中元素的个数为2，故选：b【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2下列函数中为偶函数的是( )ay=by=lg|x|cy=（x1）2dy=2x【考点】函数奇偶性的判断 【专题】证明题；对应思想；函数的性质及应用【分析】根据奇偶函数的定义，可得结论【解答】解：根据奇偶函数的定义，可得a是奇函数，b是偶函数，c，d非奇非偶故选：b【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，比较基础3在abc中，a=60，|=2，|=1，则的值为( )a1b1cd【考点】平面向量数量积的运算 【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用【分析】运用数量积公式则=|cos60求解即可【解答】解：a=60，|=2，|=1，则=|cos60=21=1故选：a【点评】本题考察了向量的数量积的运算，属于简单计算题，关键记住公式即可4数列an的前n项和为sn，若snsn1=2n1（n2），且s2=3，则a1+a3的值为( )a1b3c5d6【考点】数列递推式 【专题】计算题；转化思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法【分析】直接代入计算即得结论【解答】解：依题意，s2s1=3，a1=s1=s23=33=0，又a3=s3s2=5，a1+a3=0+5=5，故选：c【点评】本题考查数列的通项，涉及通项与数列和之间的关系，注意解题方法的积累，属于基础题5已知函数f（x）=cos4xsin4x，下列结论错误的是( )af（x）=cos2xb函数f（x）的图象关于直线x=0对称cf（x）的最小正周期为df（x）的值域为，【考点】二倍角的余弦 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=cos2x，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解【解答】解：由f（x）=cos4xsin4x=（cos2x+sin2x）（cos2xsin2x）=cos2x，故a正确；由利用余弦函数的图象可知f（x）=cos2x为偶函数，故b正确；由周期公式可得f（x）的最小正周期为：t=，故c正确；由余弦函数的性质可得f（x）=cos2x的值域为1，1，故d错误；故选：d【点评】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题6“x0”是“x+sinx0”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】函数思想；综合法；简易逻辑【分析】问题转化为y=x和y=sinx的图象的位置，画出函数的图象，读图即可得到答案【解答】解：若x+sinx0，只需y=x的图象在y=sinx的下方即可，画出函数y=x和y=sinx的图象，如图示：，由图象得：x0是x+sinx0的充要条件，故选：c【点评】本题考查了充分必要条件，考查数形结合思想，是一道基础题7如图，点o为坐标原点，点a（1，1），若函数y=ax（a0，且a1）及logbx（b0，且b1）的图象与线段oa分别交于点m，n，且m，n恰好是线段oa的两个三等分点，则a，b满足( )aab1bba1cba1dab1【考点】指数函数的图像与性质 【专题】函数的性质及应用【分析】先由图象得到0a1，0b1，再根据反函数的定义可以得出y=ax经过点m，则它的反函数y=logax也经过点m，根据对数函数的图象即可得到ab【解答】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0a1，0b1，因为点o为坐标原点，点a（1，1），所以直线oa为y=x，因为y=ax经过点m，则它的反函数y=logax也经过点m，又因为logbx（b0，且b1）的图象经过点n，根据对数函数的图象和性质，ab，ab1故选：a【点评】本题考查了对数函数和指数函数的图象及性质，以及反函数的概念和性质，属于基础题8已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2x+1，若函数y=f（x）g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是( )a（0，+）b（，0）（2，+）c（，）（1，+）d（，0）（0，1）【考点】根的存在性及根的个数判断 【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】化函数y=f（x）g（x）恰好有2个不同零点为函数f（x）+x1与函数y=ax2的图象有两个不同的交点，从而解得【解答】解：f（x）（ax2x+1）=0，f（x）+x1=ax2，而f（x）+x1=，作函数y=f（x）+x1与函数y=ax2的图象如下，结合选项可知，实数a的取值范围是（，0）（0，1），故选：d【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）92xdx=3【考点】定积分 【专题】函数思想；导数的概念及应用【分析】由题意可得2xdx=x2，代值计算可得【解答】解：由定积分的计算可得：2xdx=x2=2212=3故答案为：3【点评】本题考查定积分的计算，属基础题10在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c若c=4，sinc=2sina，sinb=，则a=2，sabc=【考点】正弦定理；余弦定理 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由正弦定理化简可得：c=2a，利用已知即可解得a的值，根据三角形面积公式即可得解【解答】解：sinc=2sina，由正弦定理可得：c=2a，c=4，解得：a=2，sabc=acsinb=故答案为：2，【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题11已知等差数列an的公差d0，且a3+a9=a10a8若an=0，则n=5【考点】等差数列的通项公式 【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列【分析】由题意可得a1=4d，可得an=（n5）d，令（n5）d=0解方程可得【解答】解：a3+a9=a10a8，a1+2d+a1+8d=a1+9d（a1+7d），解得a1=4dan=4d+（n1）d=（n5）d，令（n5）d=0可解得n=5（d0）故答案为：5【点评】本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公差的关系是解决问题的关键，属基础题12已知向量=（1，1），点a（3，0），点b为直线y=2x上的一个动点若，则点b的坐标为（3，6）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用【分析】利用向量共线定理的坐标运算性质即可得出【解答】解：设b（x，2x），=（x3，2x），x32x=0，解得x=3，b（3，6），故答案为：（3，6）【点评】本题考查了向量共线定理的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13已知函数f（x）=sin（x+）（0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为4【考点】函数y=asin（x+）的图象变换 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用函数y=asin（x+）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得的最小值【解答】解：函数f（x）=sin（x+）（0），把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin（x+）+=sin（x+），把f（x）的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin（x）+=sin（x+），根据题意可得，y=sin（x+）和y=sin（x+）的图象重合，故 +=2k+，求得=4k，故的最小值为4，故答案为：4【点评】本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，终边相同的角，属于基础题14对于数列an，若m，nn*（mn），都有t（t为常数）成立，则称数列an具有性质p（t）（1）若数列an的通项公式为an=2n，且具有性质p（t），则t的最大值为2；（2）若数列an的通项公式为an=n2，且具有性质p（10），则实数a的取值范围是36，+）【考点】数列与函数的综合 【专题】新定义；函数的性质及应用【分析】（1）由题意可得0，即数列2nnt单调递增，运用单调性的定义，计算即可得到t的最大值；（2）由题意可得10，即有0，即为数列n210n为单调递增，由单调性即可得到所求范围【解答】解：（1）由题意可得t恒成立，即有0，即数列2nnt单调递增，即有2n+1（n+1）t（2nnt）0，即t2n，由于2n的最小值为2，则t2故t的最大值为2；（2）由题意可得10，即有0，即为数列n210n为单调递增，即有（n+1）210（n+1）（n210n）0，即为an（n+1）（2n9），由f（n）=n（n+1）（2n9，n=3时，取得最小值36，则a36，即有a36故答案为：2，36，+）【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15（13分）已知等比数列an的公比q0，其n前项和为sn，若a1=1，4a3=a2a4（）求公比q和a5的值；（）求证：2【考点】等比数列的通项公式 【专题】综合题；方程思想；作差法；等差数列与等比数列【分析】（i）数列an为等比数列且q0，且a1=1，4a3=a2a4可得4q2=q4，解出即可得出（ii）an=2n1，sn=2n1，作差2化简即可得出【解答】（i）解：数列an为等比数列且q0，且a1=1，4a3=a2a44q2=q4，解得q=2a5=q4=16（ii）证明：an=2n1，sn=2n1，2=2=220，2【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式的性质及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（13分）已知函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）（）求f（）的值；（）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间【考点】三角函数中的恒等变换应用 【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（i）利用和差角（辅助角）公式，将函数化为正弦型函数的形式，再由诱导公式可得f（x）=2cos2x，将x=代入可得答案；（）由 （i）得：f（x）=2cos2x，结合余弦函数的图象和性质，可得函数的最小正周期和单调递增区间【解答】解：（）f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=2sin（2x+）+=2sin（2x+）=2cos2xf（）=2cos（2）=2cos=1；（）由 （i）得：f（x）=2cos2x，=2，周期t=，由2k2x2k，kz得：kxk，kzf（x）的单调递增区间为k，k，kz【点评】本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，三角函数求值，余弦型函数的图象和性质，难度中档17（13分）如图，在四边形abcd中，ab=8，bc=3，cd=5，a=，cosadb=（）求bd的长；（）求证：abc+adc=【考点】正弦定理；余弦定理 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形【分析】（）由已知可求sinadb的值，根据正弦定理即可解得bd的值（）根据已知及余弦定理可求cosc=，结合范围c（0，）可求c，可得a+c=，即可得证【解答】解：（）在abd中，因为cosadb=，adb（0，），所以sinadb=根据正弦定理，有，代入ab=8，a=解得bd=7（）在bcd中，根据余弦定理cosc=代入bc=3，cd=5，得cosc=，c（0，）所以，所以a+c=，而在四边形abcd中a+abc+c+adc=2，所以abc+adc=（13分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了余弦函数的图象和性质，同角的三角函数关系式的应用，属于中档题18（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线为l（）若直线l的斜率为3，求函数f（x）的单调区间；（）若函数是f（x）区间2，a上的单调函数，求a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【专题】转化思想；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a=3，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（）由题意可得当函数在2，a递增（或递减），即有f（x）0（或0）对x2，a成立，只要f（x）=x2+2x+a在2，a上的最小值（或最大值）大于等于0即可求出二次函数的对称轴，讨论区间2，a和对称轴的关系，求得最小值（或最大值），解不等式即可得到所求范围【解答】解：（）因为f（0）=1，所以曲线y=f（x）经过点（0，1），又f（x）=x2+2x+a，曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为3，所以f（0）=a=3，所以f（x）=x2+2x3当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，3）3（3，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）增极大值减极小值减所以函数f（x）的单调递增区间为（，3），（1，+），单调递减区间为（3，1）；（）因为函数f（x）在区间2，a上单调，当函数f（x）在区间2，a上单调递减时，f（x）0对x2，a成立，即f（x）=x2+2x+a0对x2，a成立，根据二次函数的性质，只需要，解得3a0又a2，所以2a0；当函数f（x）在区间2，a上单调递增，所以f（x）0对x2，a成立，只要f（x）=x2+2x+a在2，a上的最小值大于等于0即可因为函数f（x）=x2+2x+a的对称轴为x=1，当2a1时，f（x）在2，a上的最小值为f（a），解f（a）=a2+3a0，得a0或a3，所以此种情形不成立；当a1时，f（x）在2，a上的最小值为f（1），解f（1）=12+a0得a1，所以a1，综上，实数a的取值范围是2a0或a1【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题19（14分）已知由整数组成的数列an各项均不为0，其前n项和为sn，且a1=a，2sn=anan+1（1）求a2的值；（2）求an的通项公式；（3）若n=15时，sn取得最小值，求a的值【考点】数列递推式；数列的求和 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由已知得2a1=a1a2，由此能求出a2=2（2）由2sn=anan+1，得2sn1=an1an，n2，从而an+1an1=2，由此能利用等差数列的通项公式求出an的通项公式（3）由（2）得sn=，从而s15为最小值等价于s13s15，s15s17，由此结合已知条件能求出a的值【解答】解：（1）2sn=anan+1，2s1=a1a2，即2a1=a1a2，a1=a0，a2=2（2）2sn=anan+1，2sn1=an1an，n2，两式相减，得：2an=an（an+1an1），an0，an+1an1=2，a2k1，a2k都是公差为2的等差数列，当n=2k1，kn*时，an=a1+（k1）2=a+n1，当n=2k，kn*时，an=2+（k1）2=2k=n（3）2sn=anan+1，sn=，所有奇数项构成的数列是一个单调递增数列，所有的偶数项构成的是一个单调递增数列，当n为偶数时，an0，此时snsn1，s15为最小值等价于s13s15，s15s17，a14+a150，a16+a170，14+15+a10，16+17+a10，解得32a28，数列an是由整数组成的，a32，31，30，29，28，a0，对所有的奇数n，an=n+a10，a不能取偶数，a=31，或a=29【点评】本