直接证明与间接证明.doc

1.1.1正弦定理 学案【预习达标】在ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，1.在RtABC中，C=900, csinA= ,csinB= ，即 = 。2. 在锐角ABC中，过C做CDAB于D，则|CD|= = ，即 ，同理得 ，故有 。3. 在钝角ABC中，B为钝角，过C做CDAB交AB的延长线D，则|CD|= = ，即 ，故有 。【典例解析】一 新课导入，推导公式（1）直角三角形中（2）斜三角形中正弦定理是例1在中，已知，cm，解三角形。例2如图，在ABC中，A的平分线AD与边BC相交于点D，求证： ABCD【达标练习】1. 已知ABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）: D （2）已知ABC 已知A=450，B=750，b=8；求边（）A 8 B 4 C 4-3 D 8-8-（3）正弦定理的内容是（4）已知a+b=12 B=450 A=600则则则则a=-，b=-（5）已知在ABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为-（6）在ABC中，利用正弦定理证明参考答案【预习达标】1a,b,. 2.bsinA asinB , ,=.3. .bsinA asinB , =.【典例解析】在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图11-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又, A则 b c从而在直角三角形ABC中， C a B(图11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图11-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C同理可得， b a从而 A c B (图11-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点A作， C由向量的加法可得 则 A B ，即同理，过点C作，可得 从而 类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即例1解：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。ABCD1800 例2证明：如图在ABD和CAD中，由正弦定理，得，两式相除得【双基达标】1（1）C（2）D（3）=.（4）36-1212-24（5）2, 2.5, 3，2证明：设，则学校：临清二中 学科：数学 编写人：刘会志 一审：李其智 二审：马英济 1.1.2 正弦定理【三维目标】：一、知识与技能1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题2通过三角函数、正弦定理、等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。三、情感、态度与价值观1.培养学生处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：正弦定理的探索及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。【授课类型】：新授课四教学过程 一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？二、例题讲解 例 1试推导在三角形中 =2R其中R是外接圆半径证明 如图所示， 同理， =2R例2 在：，为锐角， 例3 解 ，五、巩固深化，反馈矫正 1试判断下列三角形解的情况：已知则三角形ABC有（）解A 一 B 两 C 无解2已知则三角形ABC有（）解A 一 B 两 C 无解3.在中，三个内角之比，那么等于_4.在中，, B=135 C=15 a=5则此三角形的最大边长为_5在中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是_6.在中，已知，求的度数 六、小结（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数使；（2）=等价于=，=，=，即可得正弦定理的变形形式：1）；2）；3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题： 1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如；2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角如。一般地，已知角A 边a和边b解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示）外接圆法）如图所示， a=bsinA有一解 absinA有两解 ab 有一解 ab有一解 七板书设计 略1.1.2正弦定理学案 预习达标1 正弦定理的内容是2 在三角形ABC中已知c=10 A=450 C=300，则边a=-，边b=-，角B=-3在三角形ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40，则角B=-（可借助计算器）二 典例解析例 1试推导在三角形中 =2R其中R是外接圆半径例2 在例3 三 达标练习1试判断下列三角形解的情况：已知则三角形ABC有（）解A 一 B 两 C 无解2已知则三角形ABC有（）解A 一 B 两 C 无解3.在中，三个内角之比，那么等于_4.在中， B=135 C=15 a=5 ,则此三角形的最大边长为_5.在中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是_6.在中，已