等差等比性质,通项及求和.doc

等差数列、等比数列的性质及应用 一填空题：1是数列中的第 项2若,则“”是“成等差数列”的 条件3首项为的等差数列从第10项起为正数，则公差的范围是 4设等差数列的前项和为,若,则 5如果等差数列的第5项为5，第10项为，则此数列的第个负数项是第 项 6已知数列是公差不为零的等差数列， 若成等比数列，则 7 数列是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，则有 ( ，= ，不能确定)8“”是“成等比数列”的 条件9若是等比数列,前项和,则 10已知等比数列的通项公式为，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和 11等比数列an的前n项和Sn，已知成等差数列，则an的公比为 12在等比数列中，N*)且，则 13从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精升14若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是 二、解答题：15 已知等比数列与数列满足N*（1）判断是何种数列，并给出证明；（2）若16等差数列中，前项和为，首项（1）若，求；(2) 设,求使不等式的最小正整数的值17设数列（1）证明：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足，bn=f (bn-1)(nN*,n2),求数列的通项公式；（3）记，求数列的前n项和n18数列中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式19已知数列的前n项和为Sn，且成等差数列，函数（I）求数列的通项公式；（II）设数列满足，记数列的前n项和为Tn，试比较的大小20的各个顶点分别为，设为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点对每一个正整数为线段的中点令的坐标为，（1）求及； （2）证明： （3）记，证明：是等比数列数列通项与求和一、填空题：1数列的前n项和为Sn，若，则等于 2设等差数列的前项和为，若，则 3已知数列的前项和，第项满足，则k= 4已知an是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d = 5的值为 6已知数列的前n项和为，满足，令，则= 7设数列是首项为m，公比为的等比数列，是它的前n项和，则对任意N*，点 所在的轨迹方程是：8数列的前99项之和为 9由给出数列的第34项是 10数列中，当时，恒成立，则 11已知数列的前n项和为N*，现从前项中抽出一项（不是，也不是），余下各项的算术平均数为，则抽出来的是第 项12已知正数列的前n项和为，且，则为 13有限数列，为其前n项的和，定义为的“凯森和”；如有99项的数列的“凯森和”为1000，则有100项的数列的“凯森和”为 1464个正整数排成8行8列，如图示：在符号中，表示该数所在的行数，表示该数所在的列数，已知每一行都成等差数列，每一列都成等比数列，（且每列公比都相等），则的通项公式=二、解答题：15 设数列满足（）求数列的通项；（）设 =，求数列的前n项和16设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04)17已知各项全不为零的数列ak的前k项和为Sk，且SkN*），其中a1=1（）求数列ak的通项公式；（）对任意给定的正整数n（n2），数列bk满足（k=1，2，n-1），b1=1 求b1+b2+bn18等差数列的前项和为，（I）求数列的通项与前项和为；（II）设（），求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列19某地今年年初有居民住房面积为a m2,其中需要拆除的旧房面积占了一半当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除x m2的旧住房，又知该地区人口年增长率为49（1）如果10年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x是多少？ （2）依照(1)拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧住房？ 下列数据供计算时参考：119=238100499=1041110=2601004910=1051111=2851004911=10620在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数n，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式等差数列、等比数列的性质及应用一填空题1是数列中的第 334 项2若,则“”是“成等差数列”的 充要 条件3首项为的等差数列从第10项起为正数，则公差的范围是4设等差数列的前项和为,若,则 45 点拨1：要求只要求出首项与公差即可，而由,根据求和公式即可解出点拨2:考虑到为等差数列,而题目中分别出现了要求的就是,所以我们可以利用性质若为等差数列,则成等差数列解: 由为等差数列,则也成等差数列故即, =点评:等差数列,等比数列在08高考中难度为C级那么我们对这两类数列不紧要对基本的公式概念熟悉,对出现的各种性质也要熟练掌握,对性质的掌握有利于我们更便捷的解决问题与提高准确性变式: 设等差数列的前项和为,若求（1）反思：同样一个题目采用不同的方法所需时间不相同，现在的高考题趋向于可以有很多方法解题，但是要在两个小时做20个题目就要求我们必须尽可能的采用简洁的方法，而对性质的掌握往往能加快解题的速度，提高准确性5如果等差数列的第5项为5，第10项为-5，则此数列的第1个负数项是第 8 项 6 已知数列是公差不为零的等差数列，若成等比数列，则2n-1 7 数列是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，则有 (,，= ,不能确定)8“”是“成等比数列”的 必要不充分 条件9若是等比数列,前项和,则10已知等比数列的通项公式为，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和11等比数列的前n项和Sn，已知成等差数列，则的公比为12在等比数列中，N*)且，则 5 点拨:本题考察对数公式和等比数列性质的应用,根据在等比数列中,若,则可以把解出,再把要求的问题中的真数都转化为即可解:由为等比数列,所以,故,则+=点评:一个题目可能蕴含的知识点都不难,但是当把这些知识有机的结合以后可能就是一个中等题或者难题因此要会各个击破把每个知识点都理清,找准他们之间的关系,最终解决问题这个问题的关键就是利用等比数列中的性质,则把问题都转化成变式:设数列满足,若,则 102 反思：对数的性质是个重点也是难点，学生在这一块往往掌握的不是很好，因此要有针对的加强训练一个问题可能蕴含的几个知识点都不难，但是把他们有机的结合后问题就可能难度上升，而有的时候我们没有解决问题的原因可能就是这诸多知识中的一个不熟练造成的，所以对基本的知识的掌握要熟练、全面13从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精a (1- )n升14若三角形三边成等比数列，则公比q的范围是二、解答题15 已知等比数列与数列满足N*（1）判断是何种数列，并给出证明；（2）若解：（1）设的公比为q，,所以是以为公差的等差数列（2），所以由等差数列性质可得16等差数列中，前项和为，首项（1）若，求(2) 设,求使不等式的最小正整数的值点拨:在等差数列中知道其中三个就可以求出另外一个,由已知可以求出首项与公差,把分别用首项与公差,表示即可对于求和公式,采用哪一个都可以,但是很多题目要视具体情况采用哪一个可能更简单一些例如:已知判断的正负问题2在思考时要注意加了绝对值时负项变正时,新的数列首项是多少一共多少项解：（1）由，得：，又由即，得到（2）由，若5,则,不合题意故5，即，所以15，使不等式成立的最小正整数的值为15点评：第一问要注意采用哪个求和公式第二问加了绝对值以后要注意从第六项开始,就由负的变正的,那么新的数列可以看成以原数列的第六项为新数列的首项,项数也发生变化,要去掉前面的5项,共项变式：已知递增的等比数列满足，且是，的等差中项（1）求的通项公式；（2）若，求使成立的的最小值 解：(1)设等比数列的公比为q(q1)，由 a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2(a1q2+2)，得：a1=2，q=2或a1=32，q=(舍) an=22(n-1)=2n (2) ，Sn=-(12+222+323+n2n)2Sn=-(122+223+n2n+1),Sn=2+22+23+2n-n2n+1=-(n-1)2n+1-2,若Sn+n 2n+130成立，则2n+132,故n4,n的最小值为5反思:数列中加了绝对值以后,数列往往会从某一项开始符号发生变化,我们解题中很多时候把这样的数列一分为二,看成两个数列来解题这就产生一个问题,新的数列的首项和公差分别是什么,要通过题目搞清楚,不要在记项数的时候多一项或者少一项17设数列（1）证明：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足，bn=f (bn-1)(nN*,n2),求数列的通项公式；（3）记，求数列的前n项和n点拨：证明一个数列是等比数列可以根据等比数列的定义,也可以利用等比中项来证明,那么不论用那种方法都是与通项相关所以用到公式先求出通项再证明要注意公式应用时对的值讨论第二问求通项的问题,除了要掌握常用的几种变换技巧外我们也可以由特殊到一般,求出前几项找到规律再从一般的变化角度解题等差比数列错位相减,是一个比较固定的方法只要掌握了解题思想乘以等比数列的公比,错位相减问题就迎刃而解反思:数列的问题中,有很多比较固定的解题方法,这些方法应该要掌握,但同时有要能对这些方法有机的掌握,对从这些方法的一些变形要能很好的识别，数列是一个含有归纳思想的问题,所以我们有时也可以利用特殊到一般的角度解题解：(1)由 相减得：数列是等比数列(2)是首项为，公差为1的等差数列，(3) 时， 得： 所以：点评：这个题目把数列中的几种思想有机的结合并都有所体现应用通项公式与前n和之间的相互转化向两个方向都要会转化应用而对于求通项的几种方法也应该熟练掌握,如果一时想不到如何转化,则可以由特殊到一般,先写出前几项然后观察规律再进行推导;对于等差比数列求和的方法,是比较固定只要掌握并且在计算中仔细计算一般不会有问题变式：设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前n项和解：（）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，所以，（）， ，得，反思:错位相减问题在数学中是一个解法比较固定的问题,但是很多时候学生不容易想到所以要加强训练18数列中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式点拨:第一问根据等比数列定义即可求解,根据第一问得到,即,解：（I）， 因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故（II）当时，由于，所以又，故当n=1时，上式也成立，所以19.已知数列的前n项和为Sn，且成等差数列，函数（I）求数列的通项公式；（II）设数列满足，记数列的前n项和为Tn，试比较的大小解：（I）成等差数列，当时，得：，当n=1时，由得， 又是以3为公比的等比数列， （II）， ， 比较的大小，只需比较与312的大小即可当时，当时，当时，反思：裂项相消的方法,使得复杂的问题简单化,但是要注意解题中的一个问题,消项的规律该如何把握比如消项的规律就不一样,要通过前面几项的规律找到整个数列的规律20的各个顶点分别为，设为线段的中点，为线段OC的中点，为线段的中点对每一个正整数为线段的中点令的坐标为，（1）求及； （2）证明： （3）记，证明：是等比数列解:(1) 因为y1=y2=y4=1, y3=,y5=,所以 得a1=a2=a3=2又由, 对任意的正整数n有an+1=an 恒成立，且a1=2, 所以an为常数数列， an=2,(n为正整数)根据, 及=an=2, 易证得yn+4=1-因为bn+1=y4n+8-y4n+4=(1-)-(1-)=,又由b1=y8-y4=1-y4=, 所以bn是首项为，公比为的等比数列数列通项与求和一、填空题：1数列的前n项和为Sn，若，则等于解： ，裂项相消， 2设等差数列的前项和为，若，则 81 解： ，根据，成等差数列可求得结果813已知数列的前项和，第项满足，则k= 8 4已知an是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d = 5的值为6已知数列的前n项和为，满足，令，则解：根据绝对值定义脱绝对值，7设数列是首项为m，公比为的等比数列，是它的前n项和，则对任意N*，点 所在的轨迹方程是8数列的前99项之和为 9由给出数列的第34项是解：等式两边取倒数得为等差数列，从而得到10数列中，当时，恒成立，则11已知数列的前n项和为N*，现从前项中抽出一项（不是，也不是），余下各项的算术平均数为，则抽出来的是第 8 项12已知正数列的前n项和为，且，则为 2n 13有限数列，为其前n项的和，定义为的“凯森和”；如有99项的数列的“凯森和”为1000，则有100项的数列的“凯森和”为991 1464个正整数排成8行8列，如图示：在符号中，表示该数所在的行数，表示该数所在的列数，已知每一行都成等差数列，每一列都成等比数列，（且每列公比都相等），则的通项公式=二、解答题：15 设数列满足（）求数列的通项；（）设 =，求数列的前n项和【点拨】本题第一问考察通项方法,左边相当是一个数列前n项和的形式，可以联想到已知求的方法，当时，.【解】（I）验证时也满足上式，（II），,，.【点评】本题从基本的方法：已知前项和n求通项入手变形升华同时要注意n满足的条件第二问考察错位相减求前n项和【变式1】【变式2】【点拨】当时有:反思：对比变式1和变式2能得到解类似问题的方法,但值得注意的是数列这个特殊函数的定义域,即n范围16设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04)【点拨】突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可由函数解析式求最值 【解】解法一 设公比为q,项数为2m,mN*,依题意有，化简得 设数列lgan前n项和为Sn,则Sn=lga1+lg（a1q2）+lg（a1qn1）=lg（a1nq1+2+(n1)）=nlga1+n(n1)lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()n2+(2lg2+lg3)n可见，当n=时，Sn最大 而=5,故lgan的前5项和最大 解法二 接前，,于是lgan=lg108()n1=lg108+(n1)lg,数列lgan是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，令lgan0,得2lg2(n4)lg30，n=5 5 由于nN*,可见数列lgan的前5项和最大 【点评】本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 【变式】等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它前3m项的和为_ 【点拨】本题可以回到数列的基本量，列出关于的方程组，然后求解；或运用等差数列的性质求解反思：“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果17已知各项全不为零的数列ak的前k项和为Sk，且SkN*），其中a1=1（）求数列ak的通项公式；（）对任意给定的正整数n（n2），数列bk满足（k=1，2，n-1），b1=1 求b1+b2+bn.解答：（）当，由及，得当时，由，得因为，所以从而，故（）因为，所以所以 故 18等差数列的前项和为，（I）求数列的通项与前项和为；（II