2019_2020学年高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积学案新人教A版.docx

13.1柱体、锥体、台体的表面积与体积知识导图学法指导1.求几何体的表面积，要充分利用柱体、锥体、台体的结构特征，准确把握各个面的形状与数量关系，尤其是侧面展开图与原几何体的关系2求体积问题则要准确把握底面积和高，尤其是四面体，确定哪个面为底面要依据条件看哪个面的面积容易求出3充分利用展开图和截面图，将空间问题转化为平面问题高考导航本节知识是高考的重点内容，考查频率很高，常考题型如下：(1)几何体的表面积或体积的计算，以选择题、填空题为主，分值5分(2)与后面要学习的点、线、面的位置关系的知识综合，作为解答题中的一问，考查几何体体积的计算，分值58分.知识点柱体、锥体、台体的表面积1棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积2圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线长为l)圆锥(底面半径为r，母线长为l)圆台(上、下底面半径分别为r，r，母线长为l)侧面展开图底面积S底2r2S底r2S底(r2r2)侧面积S侧2rlS侧rlS侧(rr)l表面积S表2r(rl)S表r(rl)S表(r2r2)(rr)l3.体积公式图形体积公式柱体棱柱底面积为S，高为h，VSh圆柱底面半径为r，高为h，Vr2h锥体棱锥底面积为S，高为h, VSh圆锥底面半径为r，高为h，Vr2h台体棱台上底面积为S，下底面积为S，高为h，V(SS)h圆台上底半径为r，下底半径为R，高为h，V(r2rRR2)h1 .多面体与旋转体表面积的计算方法(1)多面体展开图的面积即为多面体的表面积，在实际计算中，只要弄清楚多面体的各个面的形状并计算其面积，然后求其和即可，一般不把多面体真正展开(2)求旋转体的表面积时，要清楚常见旋转体的侧面展开图是什么，关键是求其母线长与上、下底面的半径2 .柱体、锥体、台体体积之间的关系柱体、锥体、台体的关系如下：根据以上关系，在台体的体积公式中，令S S，得柱体的体积公式；令S 0，得锥体的体积公式，其关系如图：小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积()(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()答案：(1)(2)2已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A48(3)B48(32)C24() D144解析：由题意，知侧面积为664144，两底面积之和为242648，所以表面积S48(3)答案：A3若圆锥的母线长为8，底面周长为6，则其体积是()A24 B24C3 D3解析：设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，由底面周长为2r6，得r3，所以h.由圆锥的体积公式可得Vr2h3.答案：C4圆台OO的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面面积是_解析：圆台的上底面半径r2，下底面半径r7，母线长l6，则圆台的侧面面积S侧(rr)l(27)654.答案：54类型一空间几何体的表面积例1(1)底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是()A2B4C6D8(2)若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为_cm2，表面积为_cm2.【解析】(1)由已知得底面边长为1，侧棱长为2.S侧1248.(2)如图所示，轴截面是边长为4 cm的等边三角形，OB2 cm，PB4 cm，圆锥的侧面积S侧248 (cm2)，表面积S表82212 (cm2)【答案】(1)D(2)812(1)先由面对角线长求边长，再由体对角线求侧棱长，进而求解(2)由轴截面求出底面半径，再利用圆锥的侧面积公式求圆锥的侧面积，进而求表面积方法归纳1多面体的表面积转化为各面面积之和2解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决3旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长圆台通常还要还原为圆锥跟踪训练1如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要_m2铁板(精确到0.1 m2)解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，所以底面正六边形的边长是0.46 m.所以S侧ch60.461.64.416 (m2)所以S表S侧S上底S下底4.41620.46265.6 (m2)故制造这个滚筒约需要5.6 m2铁板答案：5.6本题实质上是求解正六棱柱的表面积，根据底面外接圆半径可确定该六棱柱底面边长，高已知，从而问题可解类型二空间几何体的体积例2(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，若BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为_；(2)一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个正三棱锥的体积【解析】(1)由题意，设ACa(a0)，CC1b(b0)，则BDC1D，BC1，由BC1D是面积为6的直角三角形，得2a2b2，得b22a2，又a26，a28，b216，即b4.SABCa2，V848.,(2)如图所示为正三棱锥SABC.设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH即为该正三棱锥的高连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AEBC.ABC是边长为6的正三角形，AE63，AHAE2.在RtSHA中，SA，AH2，SH.在ABC中，SABCBCAE639，VSABC99，即这个正三棱锥的体积为9.【答案】(1)8(2)9(1)利用截面的面积求出三棱柱的底面边长及高，然后利用体积公式求体积(2)求棱锥的体积关键是求其高，需要在正棱锥的特征三角形中求解方法归纳1常见的求几何体体积的方法公式法：直接代入公式求解等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积2求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算跟踪训练2如图，过圆柱的两条母线AA1和BB1的截面A1ABB1的面积为S，母线AA1的长为l，A1O1B190，求此圆柱的体积解析：S截面A1ABB1S，AA1l，A1B1.在RtA1O1B1中，O1A1，V圆柱r2h2l.根据母线长及截面的面积便可确定AB的长，结合底面直角三角形便可求得底面半径类型三组合体的表面积和体积例3梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD内过点C作lBC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积【解析】由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示在梯形ABCD中，ABC90，ADBC，ADa，BC2a，DCB60，CD2a，ABCDsin60a，DDAA2AD2BC2AD2a，DODDa.由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.圆柱的侧面积S122aa4a2，圆锥的侧面积S2a2a2a2，圆柱的底面积S3(2a)24a2，圆锥的底面积S4a2，组合体上底面面积S5S3S43a2，旋转体的表面积SS1S2S3S5(49)a2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V柱(2a)2a4a3，V锥a2aa3.旋转体的体积VV柱V锥4a3a3a3.旋转体的表面积等于圆柱侧面积、圆锥侧面积与圆柱上下底面积之和减去圆锥底面积，旋转体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积方法归纳求组合体的表面积与体积的方法(1)分析结构特征弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量(2)设计计算方法根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理利用“切割”“补形”的方法求体积(3)计算求值根据设计的计算方法求值跟踪训练3如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5，则此几何体的体积为_解析：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，由已知得BAC90，所以V几何体V三棱柱SABCAA896.答案：96将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积.基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为()A B2C3 D4解析：设圆锥的母线长为l，则l2，所以圆锥的表面积为S1(12)3.答案：C2若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为()A26 B28C30 D32解析：所求棱台的体积V(416)328.答案：B3若圆柱的底面半径为1，其侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是()A42 B32C22 D2解析：依题意，圆柱的母线长l2r，故S侧2rl42r242.答案：A4正方体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为4，则该正方体的棱长为()A. B2C4 D2解析：设正方体棱长为a，侧面的对角线长为a，所以正三棱锥ACB1D1的棱长为a，其表面积为4(a)24，可得a22，即a.答案：A5在ABC中，AB2，BC，ABC120，将ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体的体积是()A. B.C. D.解析：如图，ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD为轴截面的圆锥后剩余的部分因为AB2，BC，ABC120，所以AEABsin60，BEABcos601，CE.V1AE2CE，V2AE2BE，所以VV1V2.故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)62019重庆市巴南区校级月考已知圆锥的底面半径为2 cm，高为1 cm，则圆锥的侧面面积是_cm2.解析：根据圆锥的侧面面积公式可得S侧22(cm)2.答案：272019郑州市校级月考底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是7和15，高是5，则这个直棱柱的侧面面积是_解析：依题意得，直棱柱底面的一条对角线长为10，底面的另一条对角线长为2.又菱形的两对角线互相垂直平分，故底面边长为2，则这个直棱柱的侧面面积S侧42540.答案：4082019启东市校级检测如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩余部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是_解析：将该几何体上部补上一个与该几何体相同的几何体，得到一个圆柱，其体积为(ab)r2，所以所求几何体的体积为(ab)r2.答案：(ab)r2三、解答题(每小题10分，共20分)9已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC如图所示，求它的表面积解析：因为四面体SABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍不妨求SBC的面积，过点S作SDBC，交BC于点D，如图所示因为BCSBa，SDa，所以SSBCBCSDaaa2.故四面体SABC的表面积S4a2a2.10如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2，AD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的体积解析：如图，过C作CE垂直于AD，交AD延长线于E，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一周所得的圆台的体积，减去EDC绕DE旋转一周所得的圆锥的体积所以所求几何体的体积VV圆台V圆锥(525222)4222.能力提升(20分钟，40分)11如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF2，动点Q在棱DC上，则三棱锥AEFQ的体积()A与点E，F的位置有关B与点Q的位置有关C与点E，F，Q的位置都有关D与点E，F，Q的位置均无关，是定值解析：因为点Q到平面AEF的距离为正方体的棱长4，A到EF的距离为正方体的棱长4，所以VAQEFVQAEF244，是定值，因此与点E，F，Q的位置均无关答案：D12如图所示，正方形ABCD的边长为6 cm，BC，CD的中点分别为E，F，现沿AE，EF，AF折叠，使B，C，D三点重合，构成一个三棱锥，则这个三棱锥的表面积为_解析：因为折叠后构成的三棱锥的表面均由原正方形的各部分围成，且没有重叠，因此这个三棱锥的表面积等于正方形ABCD的面积，为6636(cm2)答案：36 cm213如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)解析：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，正四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形，圆锥的表面积为r2rl91524 (m2)；四棱柱的一个底面积为9 m2，正四棱柱的侧面积为443