线性代数讲义.doc

线性代数（Linear Algebra）引 言（Introduction）1. 数学 数学（數學、mathematics）在我国古代叫算（筭、祘）术，后来叫算学或数学；直到1939年6月，为了划一才确定统一用数学“数学是研究现实世界的量的关系和空间形式的科学”，分为代数、几何等2. 代数 代数(algebra)分为古典代数和近世代数 古典代数(ancient algebra)基本上就是方程论，以方程的解法为中心如：一元一次方程 的解为；一元二次方程 的解为；一元三、四次方程也有类似的求根公式（16世纪）；但是，一元n次方程当n5时却无一般的“求根公式”（参见数学史或近代数）；根式求解条件的探究导致群概念的引入，这最早出现在Lagrange 1770年和1771年的著作中；1799年Ruffini给出“证明”（群论思想）；Abel进一步给出严格的证明，开辟了近世代数方程论的道路（1824年和1826年），包括群论和方程的超越函数解法；Galois引入代换群彻底解决了代数方程根式可解的条件，开辟了代数学的一个崭新的领域群论从而使代数的研究对象转向研究代数结构本身，此即近世代数近世代数(modern algebra)又称抽象代数（abstract algebra）包括代数数论、超复数系、线性代数、群论、环论、域论、格论、李（Lie）群、李代数、代数几何、代数拓扑，等等3. 线性代数 如果保持一元一次方程中未知量的指数（一次的）不变，而增加未知量及方程的个数，即得到线性（一次）方程组先看下面三个例子：例1 （孙子算经卷下第31题）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二”解法1 设雉、兔分别为x，y，则由 解得 .解法2 .解法3 请兔子全“起立”后，雉兔总“足”数为，从而得兔“手”数为947024，于是兔子数为24212，雉数为351223 .注：后两种解法心算即可例2 某厂用四种原料生产五种产品，各产品的原料成份及各原料的用量为表1所示，求每种产品的产量（千克） 表1 各产品的原料成份（）及各原料的用量（千克）成分 产品原料ABCDE用量A3010401010100B4060202010250C2010301070780D1020106010600解 设A,B,C,D,E五种产品的产量分别为Xi（i1，2，3，4，5），则问题归结为求解方程组 这是一个含五个未知量、四个方程的方程组例3 某商店经营四类商品，四个季度的销售额及利润额如表2所示求每类商品的年平均利润率（） 表2 各类商品四个季度的销售额及利润额（单位：元）销售额 商品 季度 ABCD利润125020030060080220010050080085316030040075090430025050050095解 设四类商品A,B,C,D的利润率分别为Xi（i1，2，3，4），则问题归结为解下面含四个未知量、四个方程的方程组 .现实中的很多问题，往往归结为求解含多个未知量（数）的一次方程组，称为线性方程组，其一般形式为 . 此类线性方程组可能有解，也可能无解；有解时可能只有一组解，也可能有多组甚至无穷多组解，如 有唯一解 ; 有无穷多解 （其中c为任意常数） ; 无解 .那么，如何判定一个给定的线性方程组有没有解？如果有解，究竟有多少组解（一组、多组、无穷多组）？这些解又怎样求（表示）出来？如果无解，又怎么办？因为无解的方程组如果是某一有解的实际问题的数学抽象，此时又如何（用这一线性方程组来）描述它所表示的实际问题的解（“广义解”）？这就要求我们研究解决线性方程组有解的判定条件、解法、解的结构与解的表示以及“广义解”等问题，这些都是线性代数所要解决的问题线性代数( Linear algebra )是从线性方程组、行列式和矩阵等理论中产生出来的，是代数各分支中应用最广泛的分支在历史上首先应归功于英国的J.J.Sylvester、A.Cayley、美国的Peirce父子和L.E.Dickson等人的工作主要内容：行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、相似矩阵及二次型等；主要方法：初等变换法、降阶法、分块法、标准形法、特征值法等下面我们将分别介绍当然我们这里所介绍的只是线性代数中最基本的内容，还有很多内容(如矩阵论或矩阵分析等)要等到我们进一步深造时再学；而且线性代数本身也是在不断发展的 参 考 书 1 线性代数(第三版、第四版)，同济大学数学教研室编，高等教育出版社2 线性代数（居余马等编）、线性代数与解析几何（俞正光等编）、线性代数辅导（胡金徳等编），清华大学出版社3 线性代数（陈龙玄等编）、线性代数（李炯生等编），中国科技大学出版社4 线性代数解题方法技巧归纳，毛纲源编，华中理工大学出版社5 线性代数方法导引，屠伯埙编，复旦大学出版社6 Linear Algebra(UTM)，By L.Smith，Springer-Verlag 第一讲 行列式 ( Determinant )教学目的与要求：了解n阶行列式的概念，掌握行列式的性质和二、三阶行列式的计算方法， 会应用行列式的性质简化n阶行列式的计算，会用Cramer法则解线性方程组重点：n阶行列式的概念、性质与计算1 二、三阶行列式 （复习与总结） 一、2阶行列例1 求下列二元一次方程组的解：(1) ；（2）(1)（其中解 (1) 得得(2) 得=D1/D，得D2/D为使的解表示简单，Leibniz于18世纪初引入2阶行列式的定义如下： 定义 设有4个元素（数）排成的两行（row）、两列（column）的，称为一个2阶行列式，其值为a11a22a12a21，即如例1（2）中的D=称为方程组的系数行列式，而，；（1）中的例 计算解例 设，问为何值时，（1）D = 0，（2）D0？解因D=23（3），故（1）当0或3时，D = 0；（2）当0，3时，D0例4 设，则D0的充要条件是（）答：k1，3(因D=(k1)24（k1）（k3），故D0的充要条件是k1，3)例5 如果，则下列（ ）是的解(A); (B);(C)； (D)答：（ ）(因原方程组即的系数行列式，) 二、3阶行列式例 求解下列三元一次方程组：（） （2）（其中；（） .解（1）记，, ，,，则： A11A21A31得D x1=D1（=b1A11+b2A21+b3A31）, x1=D1/D，A12A22A32得D x2=D2（=b1A12+b2A22+b3A32）, x2=D2 /D，A13A23A33得D x3=D3（=b1A13+b2A23+b3A33）, x3=D3/D； (2) D=1+0-6-4+0-9=-18，,A11A21A31得 18x118 x11，A12A22A32得 18x20 x20，A13A23A33得 18x30 x30定义 设有9个元素（数）排成的3行、3列的称为一个三阶行列式，其值为如例6中的D即称为方程组的系数行列式2、3阶行列式的值（代数和）可用沙路法（或对角线法则）来记忆：,=;或在图 上操作 例7 计算 解 例8（1）的充要条件是（）答：（因为）（2）的充要条件是（），其中答：（因为）（3）的充要条件是（）（A）k2；（B）k2；（C）k0；（D）k3答：（B）或（D）（因为）例 计算下列行列式的值（1）；（2）解 （1）； （2）三、3阶行列式的性质 (由定义易验证，对2阶也成立且验证更易)性质1 DT=D . 其中DT为将D的行与列互换后所得的行列式，即如果，则； DT有时也记为D，称为行列式D的转置行列式此性质说明在（二、三阶）行列式中行、列等位因此凡对行（或列）成立的性质对列（或行）也成立性质2 交换两行(或列)使行列式仅变号，即有等对换第i行（列）与第j行（列）记为（ri，rj）（ci，cj） 推论 两行（或列）相同的行列式值为0，即有等 性质3 行列式中某一行（或列）的公因子可以提到行列式外面来，即有等 推论1 用数k乘以某行列式相当于用k乘以该行列的某一行（或列）以数乘以第i行（列）记为 推论2 某一行（或列）全为0的行列式的值为0推论3 有两行（或列）成比例的行列式的值为0如 性质4 若行列式的某一行（或列）的每个元素都是两个元素之和，则此行列式可按此行（或列）分拆成两个行列式之和如D1D2，其中，性质5 将某一行（或列）各元素的同一数倍加于另一行（或列）相应的元素上去，不改变行列式的值，即有等将第j行（列）的倍加到第i行（列）记为 ri rj（ ci cj）注：性质2、3和5中的变换：对换两行（或列）、以非零常数乘某行（或列）和把某行（或列）的常数倍加到另一行（或列）上去，分别称为第一、第二和第三类初等行（或列）变换（详见第二讲5）性质6（按行（或列）展开定理） （1），即；（2）（j=1,2,3）, 即 （其中Aij如例6所示：，Mij是将中aij 所在的第i行和第j列全划掉余下的二阶行列式，称为aij在D中的余子式，而Aij称为aij在D中的代数余子式）例10 计算下列行列式的值（1）；（2）解（1）；（2）性质7（代数余子式的性质）（1）（其中为Kronecker记号当ik时即为性质6（1）；当ik，如i1，k2时，等） （2）（当j时即为性质6（2）；当j, 如j1， 2时，等） 例11 求的值，并验证性质7 解 D的, (1) 按第1列展开得1(-8)+1(-6)-22=-18；(2) ；其余类似 四、Cramer法则 1一般情形 由例1和例6即得定理（Cramer法则） （1）二元一次线性方程组 （1）当其系数行列式D=0时有唯一解（j1，2）；（2）三元一次线性方程组（2）当其系数行列式 D=0时有唯一解（j1，2，3） 例12(例6(2)的解法2 ) ，D1D18，注：两种解法本质是一样的，只不过解法2是直接用Cramer法则的结果（公式），而原解法是把消元（或Cramer法则的证明）过程再写一遍2齐次情形推论 奇次线性方程组（2）当其系数行列式D0时只有零解（1230）以后将证明此推论的逆也成立，于是有命题（1）奇次线性方程组（2）只有零解D0；（2）奇次线性方程组（2）有非零解D0例13 取何值时，奇次线性方程组，有非零解？解 因为，故当0或1时，该方程组有非零解例14 如果方程组有非零解，则（）（A） k0；（B）k1：（C）k1；（D）k3答：（C，D）(由例10（1）即得) 例15 当（）时，奇次线性方程组仅有零解；（A） k0；（B）k1；（C）k2；（D）k2答：（A，B，D）(由例10（2）即得) 2全排列及其逆序列问题：行列式可否归纳定义 ，当n2时，其中，M1j为a1j在Dn中的余子式（n1阶行列式）？ 一、全排列 例1 用1、2、3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？请写出 解 共6个，分别为123，132，213，231，312，321把n个不同的元素（不妨设为1，2，n）排成一列，叫做这n个元素的一个（n级）全排列，n个不同元素的全排列的种数为Pnn!，如P33!6，P44!24，P55!=120等记Sn为1，2，n的所有n级排列所组成的集合，即Sn（j1j2jn）| (j1j2jn)为n级排列，则|Sn|= n! 二、逆序与逆序数 1. 标准排列：对n个不同的元素，先规定一个标准次序（如对1，2，n，规定从小到大的次序为标准次序），从而得到一个标准排列对1，2，n，今后规定其标准排列为自然排列1 2 (n1) n 2.逆序与逆序数 在一个n级排列中，当两个元素a和b的先后次序与标准顺序不同时，则说a和b形成一个逆序；一个排列中所有逆序的总数叫该排列的逆序数排列p1p2pn的逆序数记为 t（p1p2pn）逆序数为奇（或偶）数的排列称为奇（或偶）排列 例2 （1）2个2级排列12和21，一个为奇排列（21），一个为偶排列（12）（2）3级排列的逆序数表（6个3级排列中奇、偶排列各3个）排列123132213231312321逆序无322121，3131，3232，31，21逆序数011223奇偶性偶奇奇偶偶奇 三、逆序数的求法不妨设n个元素为1，2，n，其标准排列为自然排列1 2 n，设p1p2pn为1，2，n的一个排列，记ti=t(pi)为排列p1p2pn中pi左（前）面的比pi大的元素的个数，sis（pi）为排列p1p2pn中pi右（后）面的比pi小的元素的个数，简记t(p1p2pn)为t，则(1) ；(2)注：显然， t(1 2 n)=0 例 求（1）t=t(32514)；（2）t(7632451)；（3）t(2 3 n 1)；（4）t(n (n-1) 2 1) 解 （1）因t1=t(3)=0，t2=t(2)=1，t3=t(5)=0，t4=t(1)=3，t5=t(4)=1 t =5（奇），或因s1=s(3)=2，s2=s(2)=1，s3=s(5)=2，s4=s(1)=0，s5=s(4)=0 t =5 （2）t(7632451)=0+1+2+3+2+2+6=16，或=6+5+2+1+1+1+0=16（偶） （3）t(2 3 n 1)=0+0+0+(n-1)= n-1，或=1+1+1+0= n-1 （4）t(n 2 1)=0+1+(n-2)+(n-1)=，或=(n-1)+(n-2)+1+0=如，再看6个3级排列的逆序数：t(123)=0，t(132)=0+0+1=1，或=0+1+0=1；t(213)=0+1+0=1，或=1+0+0=1；t(231)=0+0+2=2，或=1+1+0=2；t(312)=0+1+1=2，或=2+0+0=2；t(321)=0+1+2=3，或=2+1+0=3四、对换及其性质对换：在一个排列中，互换某两个元素（如i，j）的位置，而其余的元素不动，叫做对该排列的一次对换，记为（i，j）；互换相邻两个元素的对换叫做相邻对换例（321）；（7632451）（7132456），t(7632451)=16（偶），t(7132456)=0+1+1+2+1+1+1=7（奇） 性质性质1 一次对换改变排列的奇偶性证明（1）相邻对换改变排列的奇偶性：设（a b）（b a）因对换（a，b）只改变了a和b之间的逆序：当ab时，经对换后逆序数减少1而a或b与其他元素，以及其他元素之间的逆序数经对换后都没有改变，故相邻对换改变排列的奇偶性（2）任一对换可由奇数次相邻对换而得到，从而改变奇偶性：（ac1c2csb）(c1ac2csb) （c1c2csab）（c1c2csba）(c1c2bcsa)( c1bc2csa)(bc1c2csa)，共2s+1次例 （1）对换（7632451）（7132456）可由9次相邻对换得到，相应的逆序变化为：（16=）t(7632451)= t(7362451)+1= t(7326451)+2= t(7324651)+3= t(7324561)+= t(7324516)+5=( t(7324156)+6= t(7321456)+7= t(7312456)+8= ) t(7132456)+9(=7+9) （2）(7=) t(7132456)= t(1324567)+6= t(1234567)+7 (=0+7)（3）(16=) t(7632451)= t(6324517)+6= t(3245167)+11= t(3241567)+12= t(3214567)+13=t(2134567)+15=t(1234567)+16(=0+16)性质2（1）任一排列（p1p2pn）总可经有限次（相邻）对换成标准排列，且所作对换的次数k与该排列有相同的奇偶性，即k与t (p1p2pn)奇偶性相同；（2）任一排列（p1p2pn）都可由标准排列1 2 n经有限次（相邻）对换而得到，且所作对换的次数k与该排列有相同的奇偶性，即k与t (p1p2pn)奇偶性相同（3）Sn中的任意两个n级排列均可经有限次（相邻）对换而互相得到；且若这两个排列的奇偶性相（或不）同，则所作对换的次数为偶（或奇）数证（1）对排列的阶n归纳当n=1时显然成立假设结论对n1已经成立，则对n： 若排列为p1 pn-1 n，由归纳假设n1级排列p1 pn-1可经有限次对换成为标准排列1 2 （n1），且所作对换的次数与t(p1pn-1)有相同的奇偶性，从而p1pn-1 n经上述对换即成为标准排列1 2 (n1) n，且所作对换的次数的次数与t(p1pn-1 n)t(p1pn-1)有相同的奇偶性 若排列为（p1pi-1 n pi+1pn），则可经ni次相邻对换成为（p1pi-1pi+1pn n），且t（p1pi-1 n pi+1pn）=t（p1pi-1pi+1pn n）（ni），而由得p1pi-1pi+1pn n可经有限次对换成为1 2 (n1) n，且所作对换的次数m与t（p1pi-1pi+1pn n）有相同的奇偶性，于是p1pi-1 n pi+1pn可经mni次对换成为1 2 n，且所作对换的次数k =m+n-i的奇偶性与t（p1pi-1 n pi+1pn）即t（p1pi-1pi+1pn n）+ni的奇偶性相同图示如下：（p1pi-1 n pi+1pn）（p1pi-1pi+1pn n）（1 2 (n1) n）；所作对换次数与原排列有相同的奇偶性还可如下证明：设排列p1pn经k次对换成为标准排列，则t(p1pn)经k次改变奇偶性后成为0 (=t(1 2 n)，从而k与t(p1pn)奇偶性相同（对k为奇、偶数分别说明）（2）将（1）中的变（对）换全倒过来便得（3）由（1）和（2）：（1 2 n）即得性质3 n！个n级排列中奇偶排列各为 证 因映射j：n级奇排列n级偶排列为一一对应，即得如 (21)(12) ； (132), (213), (321) (231), (123), (312) .3n阶行列式的概念 一、 二、三阶行列式的结构规律. 二、三阶行列式定义式的结构（1）中的两项可统一表示为，其中（j1j2）取遍所有（2个）2级排列（12），（21）（2）中的6项可统一表示为，（j1j2j3）取遍所有（6个）3级排列（123），（231），（312），（321），（213），（132）. 二、三阶行列式的共同规律设n2或3，则：(1) n阶行列式为由n2个数得到一个数的函数；(2) n阶行列式为n！项的代数和，每项为n个元素的乘积，而这n个元素是取自n阶行列式中的不同的行、不同的列；(3) n阶行列式中每项正负号的确定：当项中各乘积因子的第一个（行）下标为标准排列时，其第二个（列）下标为奇（偶）排列的项带负（正）号3. 二、三阶行列式的简单统一表达式（1），其中；（2），S3（j1j2j3）| (j1j2j3)为3级排列=（123），（231），（312），（321），（213），（132）二、n阶行列式的定义1定义 设有n2个元素排成的n行、n列的 称为一个n阶行列式，其值为上述n阶行列式可简记为或detn()注：当n2，3时，与前面定义一致；当n1时，（注意别与绝对值混淆）当n4时，“沙路法”不再成立（或不再那样简单），见例1(4)例 （1）（主）对角线（形）行列式），|0|nn = 0；（2） （下三角形行列式）；（3）；（4）， （次对角形行列式）；如 （5）；（6）（因第3行和第1列均只有一个非零元素，因此非零项必取含的，从而另两个乘积因子和只能分别取和才能使该项不为0，于是得结果）；（7）；类似有，特别地，一般地，简记为;（8）当n2时，（9）当n2时，（10）2等价定义 定理1 （记为D1） 证 因由对换的性质2知对D中任一项总有且仅有D1中的某一项与之对应并相等；反之，对D1中任一项，也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等，如4中；于是D与D1中的项可以一一对应并相等，从而DD1 定理2 ，其中t(I)=t(i1i2in)，t(J)=t(j1j2jn)，为对所有n级排列(i1i2in)求和（此时(j1j2jn)为某一固定的n级排列），或为对所有n级排列(j1j2jn)求和（此时(i1i2in)为某一固定的n级排列）证 用对换的性质2（3），与定理1类似证明即可再看例1（3），注：此例中i12，i44，i31，i43；j13，j21，j34，j42；ji1j21，ji2j42，ji3j13，ji4j34；ij1i31，ij2i12，ij3i43，ij4i244行列式的性质 一、性质设，记DT（或D），称为D的转置（行列式），由3定理1立即得： 性质1 DTD , 即任一行列式与其转置的值相等此性质说明：行列的行与列具有同等的地位，凡对行（或列）成立的性质对列（或行）也成立 性质2 互换行列式的两行（或两列），行列式仅变号 证 设，欲证D1D，只需证D1和D的定义式中的一般项互为相反数即可事实上，D1中的一般项为恰为D中一般项的相反数；故得证 推论 两行（或列）完全相同得行列式值为零 性质3 行列式某一行（或列）的公因子可以提到行列式外面来，证明与性质2的证明类似，考虑一般项即可 推论1 行列式的某一行（或列）中所有元素都乘同一数k，等于用k乘此行列式 推论2 某行（或列）全为零的行列式的值为零 推论3 两行（或列）成比例的行列式的值为零 性质4 若行列式中某一行（或列）的元素都是两项之和，则该行列式可按此行（或列）分拆成两个行列式之和，即证明与性质2的证明类似，考虑一般项即可 性质5 将行列式某一（如第j）行（或列）每个元素的常数l倍加到另一（如第i）行（或列）相应的元素上去，其值不去，即) 证 由性质4，左边的行列式可分拆成两个行列式之和，一个为D，而另一个为（因其第i行与第j行成比例）；从而得证 二、行列式的计算化为三角形行列式 定理1 任何一个行列式均可利用性质2和5化为上（或下）三角形行列式，从而计算其值 证 （1）若aij0（i，j1，2，n），则；（2）若，则可用性质2（先第1行与第i行互换，再第1列与第j列互换）将aij调到左上角；（3）若，则可用性质5将第1列（或行）的其余n1个元素化为零（“打洞”）；（4）对右下角的n1阶行列式重复（1）（3）的步骤，如此下去（归纳），即可将D化为上（或下）三角形行列式以下以（ri，rj）表示互换i，j行；rihrj表示将第j行的h倍加到i行例1（1）（2）（3） ;（4）;（5） 例2 证明奇数（n）阶反对称行列式（ajiaij）的值为零，即 证 例3 解方程 (a10) 解 将左边行列式的第1行的相反数分别加到第2n行，得左边故原方程的解为，共n1个解 三、按行、列展开定理 1代数余子式 设，把D中元素aij所在的第i行和第j行划去后，余下的n1阶行列式叫做aij在D中的余子式，记作Mij，记Aij（1）ijMij，叫做aij在D中的代数余子式例（1） 的, ； （2） 的,=- 63，； 2按行、列展开定理 引理 若n阶行列式的元素aij所在第i行（或第j列）的其他所有元素全为零，则 证 （1）当ij1，即D的第1行（或第1列）除a11外所有元素全为零，则由3例1（7）知；（2）一般地，设，将D的第i行依次与第i1，i2，2，1行对换，再将第j列依次与第j1，j2，2，1列对换，使aij调到左上角，所得的新行列式，而aij在D1中的余子式即为aij在D中的余子式Mij，由（1） 定理2 n阶行列式的值等于其任一行（或列）的每一个元素分别与其相应的代数余子式的乘积之和，即或 证 （1）（2）由行列式的性质1立即得对列的等式也成立 例4 （3）对（1）中的； 对（2）， 定理3 设，则（1）；（2）证 （1）由定理1知当ik时成立当ik时，将按第k行展开即得，即；故得证由行列式的性质1立即得对列的结论（2）也成立定理2、3表明，行列式D的任一行（或列）的每一个元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于D的值，而D的任一行（或列）的每一个元素与另外一行（或列）的每一个元素的代数余子式的乘积之和等于零例（4）对（1）中的D有 ， ； 对（2）中的D有 ， ， 3. 行列式的归纳定义 ,，当n2时，其中，M1j为a1j在Dn中的余子式（n1阶行列式）可以证明如上定义的n阶行列式与前面的定义n阶行列式是完全一样的 4行列式的简化计算 首先利用性质将某行（或列）化为仅有一个元素可能非零，再按该行（或列）展开，降为n1阶行列式，如此下去，直到化为二阶或一阶，即可计算其值 例5（1）（2）（3） 例6（1）（递推公式）（2）n2，（3）例7（1）计算Vandermonde行列式： n=； 解 D2 =，将Dn中依次第i行减去第i1行的xn倍(i=n,n-1,3,2)得（2）= 例8（1）（2）（3） . 解法2（加边升阶）令，其中Di为xi在V中的代数余子式，特别的，又故，由韦达定理（根与系数关系）知. 例9 （1）设=，即若令，则，再令，则，又（2）（3），设特征方程的两根为、，即a，bc，当即时，由（1）得；当即时，由（2）得（）.注：当a1，bc1时， xn =即为Fibonacci数列：（x1=） 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 如x12=144, x13=233(芍药花瓣数), x3724,157,817 例10 5 Cramer法则一、 一般情形 设含有n个未知量n方程的个线性方程组 (3) 1. Cramer法则 如果线性方程组（3）的系数行列式，那么，方程组（3）有唯一解，其中Dj是以（3）的常数项代替D的第j列所得的n阶行列式，即证 （1）用D的第j列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj依次乘以方程（3）的n个方程等号的两边，再分别相加得，由定理3得上式即为当时，有唯一解（*） （2）方程组是由方程组（3）经数乘与相加（加减消元法）而得，故（3）的解必为的解现只有一组解（*），故（3）如果有解，则只可能是（*）（3）（*）的确为方程组（3）的解，即，亦即为证之，将两行相同的n1阶行列式按第1行展开，由于bi和的代数余子式分别为D和，于是得 2. 线性方程组解的判定 (1)若方程组（3）的系数行列式D0，则方程组（3）有唯一解； (2) 若方程组（3）无解或至少有两个不同解，则其系数行列式D0； (3) 如果D0，那么: 若，则方程组（3）有无穷多解（证明见第四讲）； 若某个，则方程组（3）无解 例1 解下列方程组（1） 解 ， ， （2） 解 （3） 解 二、 奇次情形 当线性方程组（3）的常数项bi不全为零时，称为非奇次线性方程组；当其常数项bi全为零时，称为奇次线性方程组，此时即，必为其解，称为零解；由Cramer法则立即可得定理4若奇次线性方程组的系数行列式D0，则只有零解以后将证明定理4的逆也成立，于是有 定理4（1）奇次线性方程组只有零解其系数行列式D0；（2）奇次线性方程组有非零解其系数行列式D=0 例2（1）有非零解（任意非零常数），其系数行列式D0（因其每行各元素之和均为0）（2）的系数行列式当1或0时有非零解事实上，1和0时，分别为有解， 有解（3）有非零解；且容易验证当时有非零解，并可求出其解第二讲矩 阵（Matrix） 教学目的与要求：理解矩阵的概念，了解单位阵、数量阵、对角阵、三角阵、（反）对称阵等特殊矩阵及其性质；掌握矩阵的线性运算、转置、乘积及其运算律；了解方阵的幂、方阵乘积的行列式；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充分必要条件；理解伴随阵的概念，会用伴随阵求逆矩阵；掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质、矩阵相抵（等价）和矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆的方法；了解分块矩阵及其运算 重点：矩阵的概念、运算、秩及初等变换1 矩阵的概念4 9 2 3 5 78 1 6 1 4 27 5 38 6 9 一、矩阵的由来1. 相传大禹治水时有河图(如右图左)、洛书； 易纬乾凿度中的九宫图（纵横图，图右）： “太乙取其数以行九宫，四正四维皆合于十五”； 南宋时杨辉将其推广到48阶的纵横图 这种纵横图是目前所知世界上最早的矩阵 (方阵，又叫幻方），欧洲人直到2千年后的14世纪才开始研究幻方现代数学中的矩阵的概念是英国的Cayley和Sylvester于19世纪中叶才提出来的（比行列式晚约一百年），正是他俩共同奠定了线性代数的基础，而矩阵被喻为现代数学之骄子xy1xabdybce1def2. 线性方程组的系数排成的数表，行列式中的元素排成的数表，二次曲线方程可表示为：类似地，有心二次曲面（更一般的二次型）的方程和坐标变换 的系数均对应数表：；成绩册、财务表以及其它各种数表等等，我们将这些数表视为一个整体，看作一个“量”，并将它们进行运算，从而使问题的表达简明、“科学推理更加简洁、生产实践和管理更加方便” 二、矩阵的概念1定义 由m n个数（元素）aij排成的m行、n列的数表，简记为，称为m行n列矩阵，简称为mn矩阵，常以A，B，C等表示；aij称为的(i,j)-元素；当mn时，又称为n阶方阵若，则称为实（或复）矩阵，全体mn实（或复）矩阵的集合记为或（或者或）当m1时，A（a 1 a 2 a n）称为行矩阵（或行向量）；当n1时，称为列矩阵（或（列）向量）当mn1时，11矩阵（a）即数a当两矩阵A与B的行数、列数分别相等时，称A与B为同型（或同维）的矩阵 当两矩阵A与B为同型（mn）的，且所有元素对应相等，即时，则称A=与B=相等，记为AB2特殊矩阵（全）零矩阵 ，全1矩阵 ，n阶单位矩（方）阵In（或En），数量矩阵，对角阵，轮换矩阵，上三角阵，下三角阵，对称阵（即），反对称阵（即），等等注：（1）线性变换与矩阵一一对应（详见第四讲）； （2）矩阵与行列式的关系（思考）2 矩阵的运算 一 、线性运算 设，kF(R或C，下同) 1. 加法（和） AB，即CAB的 (i,j)-元素（对应元素相加） 注：只有两个同型矩阵才能相加 意义：数表的汇总等2 减法（差） AB 3 数乘 ： 如：A为m个始站到n个终站的里程（千米）矩阵，k为单价（元/千米），则：kA为运费或票价（元）矩阵4 负矩阵： A= ()（OA（1）A）显然AB A（B）5 性质 设A、B、CRmn（或Cmn），k、hF1）AB=B+A， 2)（AB）CA（BC）， 3）AO=A，4) A（A）O， 5）k（AB）=k A+k B，6）（kh）A=k A + h A， 7)（k h）A=k (h A)， 8）1 AA9）k A=Ok=0或AO； 10）（k）A（kA）k（A）；例1 已知A，B，则3A2B=3-2= ;（2）若3AX2B,则X3A2B 二、乘法（积）运算 1引例 例2（1）设、II两个工厂生产甲、乙、丙三种产品的产量矩阵为A，而三种产品的单价和单位利润矩阵为B，两工厂的总收入和总利润矩阵为C，即A，B，C, 其中为工厂生产产品甲的产量，为甲产品的单价，为工厂的总收入等，则；（2）设有两个线性映射，从的合成映射T为，其中 2乘法（积） 设A定义 A与B的乘积是一个mn的矩阵C，并记为CAB其中，即C的(i,j)-元素等于A的第i行各元素与B的第j列对应元素的乘积之和 注：（1）只有当（A的列数）（B的行数）时，A与B才能相乘 （2）当mn1时，可得一个1l的行矩阵和一个l1的列矩阵的乘积是一个1阶方阵(数)，即ABC的 (i,j)-元素等于A的第i行（矩阵）与B的第j列（矩阵）的乘积（3）例2中的两例均有CAB，而（2）中还有yAx，xBt，从而yA（Bt）（AB）tCt，其中.（4）线性方程组的矩阵式AXb，A=,. 例3 计算(1).(2).(3), ；.(4)，3 性质 （1）（AB）CA（BC）， （2）k（AB）（kA）BA（kB）， （3）(A+B)C=AC+BC ,A1(B1+C1)=A1B1+A1C1 , (4) AI=IA=A证 （1）设A=，则(AB)C与A(BC)都有意义且为同型（mn）阵，只要证它们的所有(i,j)-元素相等即可，事实上(AB)C的(i,j)-元素为，A(BC)的(i,j)-元素为注：矩阵乘积无交换律、消去律及零因子律（“三无”），即有（5）ABBA; (6) AB=AC A=0或B=C; (7) AB=0 A=0或B=0例4 （1）A则ABBA,且A0B;(2) A=,则AB=但是BC,(3)则但是A0B 三、 方阵的幂与多项式 设，a为数 1. 定义：, 2. 性质：注：(自求)例5 （1） ， ；(2) ,； （3）设, 则, ,(自求)3.方阵的多项式 设则定义例6 （1），A =,则 （= 4A2I）. （3）为一个n次多项式，(Cayley - Hamilton定理证明略). 四、转置 1. 定义 将的行与列互换所得到的矩阵称为A的转置矩阵记为或2. 性质 （1）mn时， ; 证 （5）设的（j,i）-元为（其中为的（k，i）-元,，例7 （1） (2) x=,则例8 （1）A为对称矩阵; A为反对称矩阵(显然) ； （2）设A, B均为n阶对称矩阵，则AB为对称矩阵ABBA（称A与B可以交换）证 (2) AB对称 五、方阵的行列式及其性质1. 方阵行列式为detA（或|A|）显然，, 2若detA0，则称A为奇异（或退化）的，否则称为非奇异（非退化）的 3. 性质 （1）； （2） ；(3) 定理1 设A、B均为n阶方阵，则证 例9 （1）设，则(2) 将（1）的证明方法应用于n阶方阵A和B即得上述定理1的第二种证明，此外我们将在后面给出（用初等变换和初等矩阵的）第三种证明 例10 （1）设A为3阶矩阵，且|A|=m, 则1）|(-mA)|=(-m)|A|=； 2) | |A|A |=|mA|=m4；如m2，则1）|mA |=，2）；（2）, 则 （3）若A为n阶反对称矩阵，则证(3) 六、伴随矩阵1定义 的伴随矩阵为，其中为在A（或|A|）中的代数余子式 2性质:后面将证明：即A*奇异A奇异 ； ； 例113 逆矩阵 一、概念 1问题 (1)一元线性方程axb当a0时有唯一解，那么n个方程的n元线性方程组AXb呢（其中）？虽然Cramer法则给出当D0时其解存在且唯一的肯定结论，但其解的形式与一元情形的表达式的一致性不强 (2)线性映射y=Ax何时可逆（对其矩阵A有何要求），可逆时其逆映射是什么（其矩阵与A是什么关系）？ （3）矩阵的乘法有无逆运算？什么条件下有，其逆运算又是什么（如何表示）？ 2 定义 设A为矩（n阶方）阵，若存在矩（n阶方）阵B，使AB=BA=I，则称矩阵A可逆，且称矩阵B为A的逆矩（方）阵记，F=C或R 3. 逆阵的唯一性：若A可逆，则其逆唯一；记为证 假设B、C均为A的逆，即AB=BA=I=AC=CA,则B=BI=B(AC)=(BA)C=ICC 二、可逆条件与逆阵的求法 定理2 设A为n阶方阵，则A可