（试题 试卷 真题）专题一 第3讲

第3讲函数与方程及函数的应用【高考考情解读】1.本讲主要考查函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体；考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围；函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.2.函数的零点主要是以选择题、填空题的形式考查，以基础知识为主，而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现，属中、高档题1 函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标(3)零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根注意以下两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解2 函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.考点一函数的零点例1(1)(2013重庆)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内(2)函数f(x)的零点个数是()A0 B1 C2 D3答案(1)A(2)D解析(1)由于ab0，f(b)(bc)(ba)0.因此有f(a)f(b)0，f(b)f(c)0时，在同一个直角坐标系中分别作出yln x和yx22x(x1)21的图象，可知它们有两个交点；当x0时，作出y2x1的图象，可知它和x轴有一个交点综合知，函数yf(x)有三个零点 (1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有函数零点值大致存在区间的确定；零点个数的确定；两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零函数的零点也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标 (1)(2012天津)函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是()A0 B1 C2 D3(2)已知函数f(x)axxb的零点x0(n，n1)(nZ)，其中常数a、b满足2a3,3b2，则n_.答案(1)B(2)1解析(1)先判断函数的单调性，再确定零点因为f(x)2xln 23x20，所以函数f(x)2xx32在(0,1)上递增，且f(0)10210，所以有1个零点(2)f(x)axxb的零点x0就是方程axxb的根设y1ax，y2xb，故x0就是两函数交点的横坐标，如图，当x1时，y1log32y21b1log32，1x00)，若点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”，则有所以log3x0cos x0，即x0是方程log3xcos x的根在同一个直角坐标系中画出函数ylog3x与ycos x的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f(x)的图象的“镜像点对”共有3对故选C.考点三函数模型及其应用例3省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)|a|2a，x0,24，其中a是与气象有关的参数，且a0，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)(1)令t，x0,24，求t的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？ (1)分x0和x0两种情况，当x0时变形使用基本不等式求解(2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)|ta|2a，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a)解(1)当x0时，t0；当0x24时，x2(当x1时取等号)，t(0，即t的取值范围是0，(2)当a0，时，记g(t)|ta|2a，则g(t)g(t)在0，a上单调递减，在(a，上单调递增，且g(0)3a，g()a，g(0)g()2(a)故M(a)即M(a)当0a时，M(a)a2显然成立；由得a，当且仅当0a时，M(a)2.故当0a时不超标，当a时超标 (1)解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等(2)对函数模型求最值的常用方法单调性法、基本不等式法及导数法(3)本题中的函数与方程思想：在求t的范围时，把t看作是x的函数，在求M(a)时，把综合放射性污染指数看作是t的函数在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想 某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足ymf(x)，其中f(x)当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化(1)如果投放的药剂质量为m4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值解(1)由题意，得当药剂质量m4时，y当04时4，解得4x16.综上0x16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天(2)由ymf(x)得当0x4时，y2m在区间(0,4上单调递增，即2m4时，y0，函数在区间(4,7上单调递减，即y3m，综上知，y3m，为使4y10恒成立，只要4且3m10即可，即m.所以应该投放的药剂量m的最小值为.1 函数与方程(1)函数f(x)有零点方程f(x)0有根函数f(x)的图象与x轴有交点(2)函数f(x)的零点存在性定理如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使f(c)0.如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间a，b上是一个单调函数，那么当f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间(a，b)内有零点时不一定有f(a)f(b)0.2 函数综合题的求解往往应用多种知识和技能因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决3 应用函数模型解决实际问题的一般程序与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答1 已知函数f(x)()xlog2x，实数a，b，c满足f(a)f(b)f(c)0(0abc)，若实数x0为方程f(x)0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是()Ax0bCx0c答案D解析函数f(x)()xlog2x在其定义域(0，)上是减函数，0abf(b)f(c)又f(a)f(b)f(c)0，则f(a)0，f(b)0，f(c)0，f(b)0，f(c)0.若f(a)0，f(b)0，f(c)0，则x00，f(b)0，f(c)0，则bx0c不可能成立，故选D.2 若f(x)1，当x0,1时，f(x)x，若在区间(1,1内，g(x)f(x)mxm有两个零点，则实数m的取值范围是()A0，) B，)C0，) D(0，答案D解析根据方程与函数关系设x(1,0)，则x1(0,1)，f(x)11，画出f(x)在(1,1上的图象(如右图)，g(x)f(x)mxm在(1,1上有两个零点，即f(x)m(x1)有两个不同根，即yf(x)与ym(x1)有两个不同交点如右图，当过(1,0)的直线处于l与x轴之间时，满足题意，则0m.(推荐时间：60分钟)一、选择题1卖店函数f(x)log2x的零点所在的区间为()A(0，) B(，1)C(1,2) D(2,3)答案C解析函数f(x)的定义域为(0，)，且函数f(x)在(0，)上为增函数f()log21230，f(1)log21010，f(3)log2310，即f(1)f(2)0，不成立，所以选D.3 函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)答案C解析因为f(x)2xln 20，所以f(x)是增函数，由条件可知f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即a(a3)0，解之得0a3.4 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A75,25 B75,16C60,25 D60,16答案D解析因为组装第A件产品用时15分钟，所以15，所以必有40)的解集为P，则P中所有元素的和可能是()A3,6,9 B6,9,12C9,12,15 D6,12,15答案B解析令f(x)|x26x|，作图象如下：知f(x)|x26x|的图象关于直线x3对称，它与直线ya交点的个数为2,3或4个所以方程根的和为6,9,12.选B.6 (2013辽宁)已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB等于()Aa22a16 Ba22a16C16 D16答案C解析f(x)x(a2)244a，g(x)x(a2)2124a，在同一坐标系内作f(x)与g(x)的图象(如图)依题意知，函数H1(x)的图象(实线部分)，函数H2(x)的图象(虚线部分)H1(x)的最小值Af(a2)44a，H2(x)的最大值Bg(a2)124a，因此AB(44a)(124a)16.二、填空题7 函数f(x)x22x的零点个数为_答案3解析由于f(1)1210，又f(0)011.三、解答题11已知函数f(x)2x，g(x)2.(1)求函数g(x)的值域；(2)求满足方程f(x)g(x)0的x的值解(1)g(x)2|x|2，因为|x|0，所以0|x|1，即20时，由2x20，整理得(2x)222x10，(2x1)22，故2x1，因为2x0，所以2x1，即xlog2(1)12某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x3x万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成关于x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小？解(1)设需要修建k个增压站，则(k1)x120，即k1，所以y432k(k1)(x3x)432(1)(x3x)120x2312.因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0x60.故y与x的函