2011年高考数学试卷解析版-四川卷［文理两份］

2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 绝密启用前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷 ) 数 学 (文史类 ) 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分第 1 部分 1 至 2 页，第二部分 3 至 4 页 ， 共 4 页 考生作答时，须将答案打在答题卡上，在 本 试题卷、草稿纸上答题无效， 满分 150 分，考试时间 120 分钟考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球是表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24SR 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 343VRn 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 )k k n knnP k C P P 第一部分（选择题 共 60 分） 1选择题必须使用 2B 铅笔 将答案标号填涂在答题卡上对应题目 标号 的位置上 2本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 一、选择题 ： 本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的 1 若全集 1, 2 , 3, 4 , 5M ， 2, 4N ，则MN（ A） （ B） 1,3,5 （ C） 2,4 （ D ）1, 2, 3, 4, 5 答 案： B 解析： 1, 2 , 3, 4 , 5M ， 则MN 1,3,5，选 B 2有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下： 11.5， 15.5) 2 15.5， 19.5) 4 19.5， 23.5) 9 23.5， 27.5) 18 27.5， 31.5) 1l 31.5， 35.5) 12 35.5， 39.5) 7 39.5， 43.5) 3 根据样本的频率分布估计， 大于或等于 31.5 的 数据约占 （ A） 211（ B） 13（ C） 12（ D） 23答案： B 解析： 大于或等于 31.5 的 数据 共有 12+7+3=22 个 ， 约占 22 166 3，选 B 3 圆 22 4 6 0x y x y 的圆心坐标是 （ A） (2， 3) （ B） ( 2， 3) （ C） ( 2， 3) （ D） (2， 3) 答案： D 解析： 圆 方程化为 22( 2 ) ( 3 ) 1 3xy ，圆心 (2， 3)，选 D 2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 4 函数 1( ) 12 xy 的图象 关 于直线 y=x 对称的 图象 像大致是 答案： A 解析： 1( ) 12 xy 图象过点 (0,2) ，且单调递减，故它 关于直线 y=x 对称的 图象过点 (2,0)且单调递减，选 A 5“ x 3” 是 “ x2 9” 的 （ A） 充分而不必要的条件 （ B） 必要而不充分的条件 （ C） 充要条件 （ D） 既不充分也不必要的条件 答案： A 解析： 若 x 3，则 x 2 9，反之，若 x 2 9，则 3x ，选 A 61l，2l，3l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 （ A）12ll，23ll 13/ll（ B）12ll，23/ll 13ll（ C）2 3 3/ /l l l 1l，2l，3l共面 （ D）1l，2l，3l共点 1l，2l，3l共面 答案： B 解析： 由12ll，23/ll，根据异面直线所成角知1l与3l所成角为 90，选 B 7 如图，正六边形 ABCDEF 中， B A C D E Fuuur uuur uuur （ A） 0 （ B） BEuur （ C） ADuur （ D） CFuur 答案： D 解析： B A C D E F C D D E E F C F u uur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur，选 D 8 在 ABC 中 ， 2 2 2s i n s i n s i n s i n s i nA B C B C ， 则 A 的取值范围是 （ A） (0, 6（ B） , )6（ C） (0, 3（ D） , )3答案： C 解析： 由 2 2 2s i n s i n s i n s i n s i nA B C B C 得 2 2 2a b c b c ，即 2 2 2 122b c abc， 1cos2A， 0 A ，故 03A ，选 C 9 数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1=1， an+1 =3Sn（ n 1）， 则 a6= （ A） 3 44 （ B） 3 44+1 （ C） 44 （ D） 44+1 2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 答案： A 解析： 由 an+1 =3Sn，得 an =3Sn 1（ n 2），相减得 an+1 an =3(Sn Sn 1)= 3an，则 an+1=4an（ n 2）， a1=1， a2=3，则 a6= a2 44=344，选 A 10 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车 某天需运往 A 地至 少 72 吨的货 物，派用的每辆车 需 满载且只运送一次 派 用的每 辆 甲型卡车 需 配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车 需 配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元 ， 该公司合理计划 当天 派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 为 （ A） 4650 元 （ B） 4700 元 （ C） 4900 元 （ D） 5000 元 答案： C 解析： 设 派用甲型卡车 x（ 辆）， 乙型卡车 y（ 辆），获得的利润为 u（ 元 ）， 4 5 0 3 5 0u x y，由题意， x 、 y 满 足 关 系 式1 2 ,2 1 9 ,1 0 6 7 2 ,0 8,0 7 ,xyxyxyxy 作 出 相 应 的 平 面 区 域 ，4 5 0 3 5 0 5 0 ( 9 7 )u x y x y 在由 12,2 19xyxy确定的交点 (7,5) 处取得最大值 4900 元 ，选 C 11 在抛物线 2 5 ( 0 )y x a x a 上取横坐标为1 4x ，2 2x 的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 225 5 36xy相切，则抛物线顶点的坐标为 （ A） ( 2, 9) （ B） (0, 5) （ C） (2, 9) （ D） (1, 6) 答案： A 解析： 令 抛物线 上横坐标为1 4x 、2 2x 的点为 ( 4,11 4 )Aa、 (2,2 1)Ba ，则2ABka ，由 22y x a a ，故切点为 ( 1, 4 )a ，切线方程为 ( 2 ) 6 0a x y ，该直线又和圆相切，则2665( 2 ) 1d a，解得 4a 或 0a （舍去），则抛物线为224 5 ( 2 ) 9y x x x ，定点坐标为 ( 2, ) ，选 A 12 在集合 1,2,3,4,5 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 ( , )ab ，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形 ， 记所有作成的平行四边形的个数为 n，其中面积 等于 2 的平行四边形的个数为 m，则 mn（ A） 215（ B） 15（ C） 415（ D） 13答案： B 解析： 以原点为 起点的向量 ( , )ab 有 (2,1) 、 (2,3) 、 (2,5) 、 (4,1) 、(4,3) 、 (4,5) 共 6 个，可作平行四边形的个数 26 15nC个，结合图形进行计算，其中由 (2,1) (4,1) 、 (2,1) (4,3) 、 (2,3) (4,5) 确定的平行四边形面积为 2，共有 3 个，则 3115 5mn ，选 B 2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 第二部分（非选择 题 共 90 分） 注意事项： 1必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效 2本部分共 10 小题，共 90 分 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分 . 13 9( 1)x 的展开式中 3x 的系数是 _ （用数字作答） 答案： 84 解析： 9( 1)x 的展开式中 3x 的系数 是 639984CC 14 双曲线 22164 36xy上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4，那么 P 到左准线的距离是 _ 答案： 16 答案： 16 解析： 离心率 54e，设 P 到右 准线 的距离是 d， 则 454d，则 165d，则P 到左准线的距离 等于 2 6 4 1 6 161 0 5 15 如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱 当圆柱的侧面积最大 时 ， 球 的表面积与 该 圆柱的侧面积之差是 _ 答案： 32 解析 ： 如图， 设球一条半 径与圆柱 相应的母线 夹角 为 ，圆柱 侧面 积2 4 s i n 2 4 c o sS 32 sin2，当4时， S 取最大值 32 ，此时 球 的表面积与该 圆柱的侧面积之差 为 32 16 函数 ()fx 的定义域为 A，若12,x x A且12( ) ( )f x f x时总有12xx，则称 ()fx 为单函数 例如，函数 ()fx =2x+1(xR )是单函数 下列命题： 函数 2()f x x （ x R）是单函数； 指数函 数 ( ) 2xfx （ x R）是单函数； 若 ()fx 为单函数，12,x x A且12xx，则12( ) ( )f x f x； 在定义域上 具有单调性 的函数 一定是单函数 其中的真命题是 _ （写出所有真命题的编号） 答案： 解析： 对于 ，若12( ) ( )f x f x，则12xx，不满足； 是单函数；命题实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题 满足条件 三 、 解答 题：本大题共 6小题，共 74 分 ，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （ 本小题共 l2 分 ） 本着健康 、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多 某自行车租车点的收费标准是每车每次租 车 不超过两小时免费 ， 超过两小时的 部分每小时 收费标准为 2 元 (不足 1小时的部分按 1 小时计算 ) 有 甲、乙 人 互相 独立来该租车点 租车 骑游 （ 各租一车一次 ） 设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 14、 12；两小时以上且不超过三小时还2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 车的概率分别为 12、 14；两人租车时间都不会超过四小时 （ ） 分别 求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率 ； （ ） 求甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力 解：（ ） 分别记 甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车 为事件 A、 B，则 1 1 1( ) 1 4 2 4PA ， 1 1 1( ) 1 2 4 4PA 答： 甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率 分别为 14、 14 （ ） 记 甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元 为事件 C，则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 4 2 2 2 4 4 2 4 4 4PC 答： 甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率 为 3418 （ 本小题共 l2 分 ） 已知函数 73( ) s i n ( ) c o s ( )44f x x x ， x R （）求 ()fx 的最小正周期和最小值； （）已知 4cos( )5， 4co s( )5 ， 02 求证： 2 ( ) 2 0f 本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想 （） 解析： 7 7 3 3( ) s i n c o s c o s s i n c o s c o s s i n s i n4 4 4 4f x x x x x 2 s i n 2 c o sxx 2 sin( )4x ， ()fx 的最小正周期 2T ， 最小值min( ) 2fx （）证明：由已知得 4c o s c o s s i n s i n5 ， 4c o s c o s s i n s i n5 两式相加得 2 cos co s 0 ， 02 ， cos 0 ，则2 22 ( ) 2 4 s i n 2 04f 19 （ 本小题共 l2 分 ） 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， BAC=90， AB=AC=AA1=1，延长 A1C1至点 P，使 C1P A1C1，连接 AP 交棱 CC1于 D （ ）求证： PB1 平面 BDA1； （ ）求二面角 A A1D B 的平面角的余弦值； 本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基 本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力 解法一： （ ） 连结 AB1与 BA1 交于点 O，连结 OD， C1D 平面 AA1， A1C1 AP， AD=PD，又 AO=B1O， OD PB1，又 OD面 BDA1， PB1面 BDA1， PB1 平面 BDA1 （ ） 过 A 作 AE DA1 于点 E，连结 BE BA CA， BA AA1，2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 且 AA1 AC=A， BA 平 面 AA1C1C由三垂线定理可知 BE DA1 BEA 为 二面角 A A1D B 的平面角 在 Rt A1C1D 中，221 15( ) 1AD ， 又11 1 5112 2 2A A DS A E ， 255AE 在 Rt BAE 中， 222 5 3 5( ) 155BE ， 2c o s3AHA H B BH 故 二面角 A A1D B 的平面角的余弦值 为 23 解法二： 如图，以 A1为原点， A1B1， A1C1， A1A 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 A1 B1C1A，则1(0,0,0)A，1(1,0,0)B，1(0,1,0)C， (1,0,1)B ， (0,2,0)P （ ） 在 PAA1 中有1112C D AA，即 1(0,1, )2D 1 (1, 0,1)ABuuur，1 (0,1, )A D xuuuur，1 ( 1, 2, 0)BPuuur 设平面 BA1D 的一个法向量为1 ( , , )abcn， 则 11110,1 0.2A B a cA D b c uuuruuuurnn令 1c ，则1 1(1, , 1)2n 11 11 ( 1 ) 2 ( 1 ) 0 02BP u u urn ， PB1 平面 BA1D， （）由（ ） 知，平面 BA1D 的一个法向量1 1(1, , 1)2n 又2 (1,0,0)n为平面 AA1D 的一个法向量12121212c o s ,3| | | | 312 nnnnnn 故 二面角 A A1D B 的平面角的余弦值 为 23 20（本小题共 12 分） 已知 na是以 a 为首项， q 为公比的等比数列，nS为它的前 n 项和 （ ）当1S、3S、4S成等差数列时，求 q 的值； （ ）当mS、nS、lS成等差数列时，求证：对任意自然数 k，mka、nka、lka也成等差数列 本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力 解： （ ） 由已知， 1nna aq ，因此1Sa， 23 (1 )S a q q ， 234 (1 )S a q q q 当1S、3S、4S成等差数列时，1 4 32S S S，可得 32aq aq aq 化简得 2 10qq 解得 152q （ ） 若 1q ，则 na的每项naa，此时mka、nka、lka显然 成等差数列 若 1q ，由mS、nS、lS成 等 差 数 列 可得 2m l nS S S，即2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 )1 1 1m l na q a q a qq q q 整理得 2m l nq q q 因此， 11( ) 2 2k m l n km k l k n ka a a q q q a q a 所以，mka、nka、lka也成等差数列 21（本小题共 l2 分） 过点 C(0， 1)的椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 的离心率为 32，椭圆与 x 轴交于两点 ( ,0)Aa 、( ,0)Aa ，过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D，并与 x 轴交于点 P， 直线 AC 与直线 BD 交于点 Q （ I）当直线 l 过椭圆右焦点时，求线段 CD 的长； （ ）当点 P 异于点 B 时，求证： OP OQuuur uuur 为定值 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力 解： （ ） 由已知得 31,2cb a，解得 2a ，所以椭圆方程为 22 14x y 椭圆的右焦点为 ( 3,0) ，此时直线 l 的方程为 3 13yx ，代入椭圆方程得 27 8 3 0xx，解得12830, 7xx，代入直线 l 的方程得 1211, 7yy ，所以8 3 1( , )77D ， 故 228 3 1 1 6| | ( 0 ) ( 1 )7 7 7CD （ ） 当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符 设直线 l 的方程为 11 ( 0 )2y k x k k 且代入椭圆方程得 22( 4 1 ) 8 0k x k x 解得12 280, 41kxx k ，代入直线 l 的方程得 212 2141, 41kyy k ， 所以 D 点的坐标为 2228 1 4( , )4 1 4 1kkkk 又直线 AC的方程为 12x y，又直线 BD的方程为 12 ( 2 )24kyxk， 联立得 4,2 1.xkyk因此 ( 4 , 2 1)Q k k，又 1( ,0)Pk 所以 1( , 0 ) ( 4 , 2 1 ) 4O P O Q k kk uuur uuur 故 OP OQuuur uuur 为定值 22（本小题共 l4 分） 已知 函数 21()32f x x， ()h x x （ ）设函数 F(x) 18f(x) x2h(x)2，求 F(x)的单调区间与极值； （ ）设 aR ，解关于 x 的方程 33l g ( 1 ) 2 l g ( ) 2 l g ( 4 )24f x h a x h x ； （ ）设 *nN ，证明： 1( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) 6f n h n h h h n L 2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力 解： （ ） 2 2 3( ) 1 8 ( ) ( ) 1 2 9 ( 0 )F x f x x h x x x x ， 2( ) 3 1 2F x x 令 ( ) 0Fx，得 2x （ 2x 舍去） 当 (0,2)x 时 ( ) 0Fx ；当 (2, )x 时， ( ) 0Fx ， 故当 0,2)x 时， ()Fx为增函数；当 2, )x 时， ()Fx为减函数 2x 为 ()Fx的极大值点，且 ( 2 ) 8 2 4 9 2 5F （ ） 方法一： 原方程可化为4 2 233l o g ( 1 ) l o g ( ) l o g ( 4 )24f x h a x h x ， 即为4 2 2 2l o g ( 1 ) l o g l o g 4 l o g 4axx a x x x ，且 ,1 4,xax 当 14a时， 1 xa ，则 14axx x，即 2 6 4 0x x a ， 3 6 4 ( 4 ) 2 0 4 0aa ，此时 6 2 0 4 352 axa ， 1 xa ， 此时方程仅有一解 35xa 当 4a 时， 14x ，由 14axx x，得 2 6 4 0x x a ，3 6 4 ( 4 ) 2 0 4aa ， 若 45a ，则 0 ，方程有两解 35xa ； 若 5a 时，则 0 ，方程有一解 3x ； 若 1a 或 5a ，原方程无解 方法二： 原方程可化为4 2 2l o g ( 1 ) l o g ( 4 ) l o g ( )x h x h a x ， 即2 2 21 l o g ( 1 ) l o g 4 l o g2 x x a x ，1 0 ,4 0 ,0,( 1 ) ( 4 ) .xxaxx x a x 214,( 3 ) 5 .xxaax 当 14a时，原方程有一解 35xa ； 当 45a 时，原方程有二解 35xa ； 当 5a 时，原方程有一解 3x ； 当 1a 或 5a 时，原方程无解 （ ） 由已知得 ( 1 ) ( 2 ) ( ) 1 2h h h n n LL， 1 4 3 1()() 6 6 6nf n h n n 设数列 na的前 n 项和为nS，且 1()()6nS f n h n（ *nN ） 从而有111aS，当 2 100k 时，1 4 3 4 1 166k k k kka S S k k 又 1 ( 4 3 ) ( 4 1 ) 1 6ka k k k k k 221 ( 4 3 ) ( 4 1 ) ( 1 )6 ( 4 3 ) ( 4 1 ) 1k k k kk k k k 11 06 ( 4 3 ) ( 4 1 ) 1k k k k 2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 即 对 任 意 2k 时 ， 有kak， 又 因 为1 11a ， 所 以12 12na a a n LL 则 (1 ) ( 2 ) ( )nS h h h n L，故原不等式成 立 2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 绝密启用前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷 ) 数 学 (理工 类 ) 解析版 本试卷分第 一部分 (选择题 )和第 二部分 (非选择题 )。第 一部分 1 至 2 页，第二部分 3 至 4 页，共 4 页考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分 150 分 ， 考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 24sR 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P(AB)=P(A)P(B) 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 243vR在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 n ( ) (1 ) ( 0 , 1 , 2 , . . . )k k n knP k C p p k n 第一部分（选择题 共 60分） 注意事项： 1.选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号 填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。 2.本部分共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、 有一个容量为 66的样本，数据的分组及各组的频数如下： 11.5， 15.5) 2 15.5,19.5) 4 19.5， 23 5) 9 23.5,27.5) 18 27.5， 31.5) 1l 31.5， 35.5) 12 35.5 39.5) 7 39.5,43.5) 3 根据样本的频率分 布估计 ， 数据落在 31.5， 43.5)的概率约是 (A)16(B)13(C)12（ D） 23答案： B 2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 解析：从 31.5 到 43.5 共有 22，所以 22 166 3P 。 2、 复数 1ii= (A) 2i （ B） 12i（ C） 0 （ D） 2i 答案： A 解析： 1 2i i i ii 3、1l，2l，3l是空间 三条不同的直线， 则下列命题正确的是 (A)12ll，23ll 13ll P（ B）12ll，23llP 13ll(C)2 3 3l l lPP 1l，2l，3l共面 （ D）1l，2l，3l共点 1l，2l，3l共面 答案： B 解析： A 答案还有异面或者相交， C、 D 不一定 4、 如图，正六边形 ABCDEF 中， B A C D E Fuuur uuur uuur = (A)0 (B)BEuur (C)ADuur (D)CFuur 答案 D 解析： B A C D E F B A A F E F B F E F C E E F C F u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur 5、 5函数， ()fx在点0xx处有定义是 ()fx在点0xx处连续的 (A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 答案： B 解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。 6.在 ABC中 2 2 2s i n s i n s i n s i n s i nB C B C .则 A的取值范围是 (A)(0，6 (B) 6， ) (c)(0，3 (D) 3， ) 答案： C 解析：由题意正弦定理2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 2 2 22 2 2 2 2 2 11 c o s 023b c aa b c b c b c a b c A Abc 7 已 知 ()fx是 R 上的奇函数，且当 0x 时， 1( ) ( ) 12 xfx， 则 ()fx的反 函数的图像大致是 答案： A 解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。 当 10 , 0 ( ) 1 , 1 22 xxy ，故选 A 8.数列 na的首项为 3 ， nb为等差数列且1 ( * )n n nb a a n N .若则3 2b ，10 12b ，则8a（ A） 0 （ B） 3 （ C） 8 （ D） 11 B 解 析 ： 由 已 知 知12 8 , 2 8 ,n n nb n a a n 由 叠 加 法2 1 3 2 8 7 8 1( ) ( ) ( ) 6 4 2 0 2 4 6 0 3a a a a a a a a L9.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车 .某天需运往 A 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次 .拍用的每吨甲型卡车虚配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车虚配 1名工人，运送一次可得利润 350 元 .该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 （ A） 4650 元 （ B） 4700 元 （ C） 4900 元 （ D） 5000 元 答案： C 解析：由题意设派甲，乙 ,xy辆，则利润 4 5 0 3 5 0z x y，得约束条件0807121 0 6 7 22 1 9xyxyxyxy 画2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 出可行域在 122 19xyxy的点 75xy代入目标函数 4900z 10.在抛物线 2 5 ( 0 )y x a x a 上取横坐标为1 4x ，2 2x 的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 225 5 3 6xy相切，则抛物线顶点的坐标为 （ A） ( 2, 9) （ B） (0, 5) （ C） (2, 9) （ D） (1, 6) 答案： A 解析：由已知的割线的坐标 ( 4 , 1 1 4 ) , ( 2 , 2 1 ) , 2a a K a ,设直线方程为 ( 2 )y a x b ，则 22365 1 ( 2 )ba 又2 5 6 4 ( 2 , 9 )( 2 )y x a x bay a x b 11. 已知定义在 0, 上的函数 ()fx 满足 ( ) 3 ( 2 )f x f x，当 0,2x 时，2( ) 2f x x x .设 ()fx在 2 2, 2nn 上的最大值为 ( *)na n N ，且 na 的前 n 项和为nS，则 limnn S （ A） 3 （ B） 52（ C） 2 （ D） 32 答案： D解 析 ： 由 题 意 1( 2 ) ( )3f x f x, 在 2 2, 2 nn 上，2111 ( )1 1 1 331 , ( ) 1 , 2 , ( ) , 3 , ( ) ( ) ( ) l i m13 3 3 213nnn n nn f x n f x n f x a S S L12.在集合 1, 2,3, 4,5 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 ( , )ab .从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形 .记所有作成的平行四边形的个数为 n ，其中面积 不超过 4 的平行四边形的个数为 m ，则 mn（ A） 415（ B） 13（ C） 25（ D） 23 答案： D 2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 基本事件： 26( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 5 ) , ( 4 , 1 ) , ( 4 , 5 ) , ( 4 , 3 ) , 3 5 1 5nC 由其中面积 为 1 的平行四边形的个数 ( 2 , 3 ) ( 4 , 5 ) ; ( 2 , 1 ) ( 4 , 3 ) ; ( 2 , 1 ) ( 4 , 1 )其中面积 为 2 的平行四边形的个数为( 2 , 3 ) ( 2 , 5 ) ; ( 2 , 1 ) ( 2 , 3 )其中面积 为 3 的平行四边形的个数 ( 2 , 3 ) ( 4 , 3 ) ; ( 2 , 1 ) ( 4 , 5 )其中面积 为4 的平行四边形的个数 ( 2 , 1 ) ( 2 , 5 ) ; ( 4 , 1 ) ( 4 , 3 ) ; ( 4 , 3 ) ( 4 , 5 )其中面积 为 5 的平行四边形的个数( 2 , 3 ) , ( 4 , 1 ) ; ( 2 , 5 ) ( 4 , 5 )； 其中面积 为 7 的平行四边形的个数 (2,5), (4,3) 其中面积 为 8 的平行四边形的个数 (4,1)(4,5) 其中面积 为 9 的平行四边形的个数 (2,5),(4,1) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 . 13.计算 121( l g l g 2 5 ) 1 0 0 =4 . 答案： 20 解析： 121 1 1( l g l g 2 5 ) 1 0 0 l g 2 04 1 0 0 1 0 14.双曲线 22xy = 1 P 46 4 3 6 上 一 点 到 双 曲 线 右 焦 点 的 距 离 是 ， 那 么 点P 到左准线的距离是 . 答案： 565解析： 8 , 6 , 1 0a b c ，点 P 显然在双曲线右支上，点 P 到左焦点的距离为 14，所以1 4 5 5 645c dda 15.如图，半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱 .当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 . 答案： 22 R 解析： 2 2 2 2 2m a x2 4 ( )S r R r r R r S 侧 侧时，22 2 222Rr R r r r R ，则 2 2 24 2 2R R R 16.函数 fx（ ） 的定义域为 A，若1 2 1 2x x A f x = f x， 且 （ ） （ ）时总有 2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 12x = x f x， 则 称 （ ）为单函数 .例如，函数 fx（ ） =2x+1（ xR ）是单函数 .下列命题： 函数 fx（ ） = 2x （ x R）是单函数； 若 fx（ ） 为单函数，1 2 1 2 1 2x x A x x f x f x ， 且 ， 则 （ ） （ ） ； 若 f： A B 为单函数，则对于任意 b B，它至多有一个原象； 函数 f（ x）在某区间上具有单调性，则 f（ x）一定是单函数 . 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 答案： 解析 ：错，12xxQ，正确。 三、解答题 17、 已知函数 73( ) s i n ( ) c o s ( ) ,44f x x x x R (1)求 ()fx的最小正周期和最小值； （ 2）已知 44c o s ( ) , c o s ( ) , ( 0 )5 5 2a ，求证： 2 ( ) 2 0f 解析：7 7 3 3( ) s i n c o s c o s s i n c o s c o s s i n s i n4 4 4 42 s i n 2 c o s2 s i n ( )4f x x x x xxxx m a x2 , ( ) 2T f x （ 2）4c o s ( ) c o s c o s s i n s i n ( 1 )54c o s ( ) c o s c o s s i n s i n ( 2 )5c o s c o s 00 c o s 022 KKLLQ2( ) 2 ( ( ) ) 2 0ff 18、 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的 收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为 2元（不足 1小时的部分按 1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 11,42；两小时 以上 且不超过三小时还车的概率分别为 11,24；两人租车时间都不会超过四小时。 （） 求出甲、乙 所付租车费用相同 的概率； （）求甲、乙两人所付的租车费用之和 为随机变量 ，求 的分布列与数学期望 E ； 解析： （ 1）所付费用相同即为 0,2,4 元。设付 0 元为1 1 1 14 2 8P ，付 2 元为2 1 1 12 4 8P ，付4 元为3 1 1 14 4 1 6P 则所付费用相同的概率为1 2 3 516P P P P (2)设甲，乙两个所付的费用之和为 ， 可为 0,2,4,6,8 1( 0 )81 1 1 1 5( 2 )4 4 2 2 1 61 1 1 1 1 1 5( 4 )4 4 2 4 2 4 1 61 1 1 1 3( 6 )4 4 2 4 1 61 1 1( 8 )4 4 1 6PPPPP 分布列 0 2 4 6 8 P 18 516 516 316 116 5 5 9 1 78 4 8 2 2E 19 (本小题共 l2分 ) 如图，在直三棱柱 AB-A1B1C1中 BAC=90 ， AB=AC=AA1 =1 D是棱 CC1上的一 P是 AD 的延长 线与 A1C1的延长线的交点，且 PB1 平面 BDA (I)求证： CD=C1D： (II)求二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值； () 求点 C到平面 B1DP的距离 2011 年高考数学试卷解析版 -四川卷文理两份 解析： （ 1）连接1BA交1BA于 O ,1 /BPQ 1面 B