探讨二次函数中的三角形问题 (2).doc

- -“探讨二次函数中的三角形问题”教学实录长沙市岳麓区双枫中学 王清明教学内容：初三中考 “函数”复习课。教学目标：1、知识与技能目标：会根据二次函数提供的信息，较快求出解析式、顶点坐标、与坐标轴的交点坐标；掌握在二次函数图象中求出特殊三角形面积的方法；能从图象中提供的信息正确地“读解”图象中更多的有效信息；利用二次函数图象中的三角形相似，或直线平移求出符合条件的直线与抛物线的交点坐标。2、过程与方法目标：、通过对二次函数图象的分析探讨，体会到图象中几个特殊点的坐标在解决三角形问题中的重要性；、通过对二次函数图象中三角形问题的探讨，体会到数形结合的数学思想在解决函数问题中的重要性和优越性。3、情感态度和价值观目标：、通过对二次函数中三角形问题的探讨学习，渗透数形结合的教学思想，构建“数想形”“形思数”的数学思维方式和意识；、通过对具体数学问题的解决方法的探讨，让学生学会学习，从而形成团队合作的精神。教学重点：根据二次函数的图象或解析式求出特殊三角形的面积；或利用三角形相似、全等，或通过平移等知识求出符合条件的直线与函数图象的点的坐标。教学难点：在二次函数图象中，利用三角形相似或通过直线的平移，求出符合条件的直线与抛物线的公共点的坐标。教学过程：一、激思导学，引出课题师：同学们，请观察图1，你认为在这个图象中，哪几个点较为特殊？生1：点A、点B、点C、点O、点D。师：为什么你会认为这些点较特殊呢？生1：这些点分别是坐标原点、二次函数图象的顶点、以及图象与坐标轴的交点。师：将这些点作为三角形的顶点，可构成哪些三角形？生2：可构成ABC、BCD、ABD、AOD、BOD（见图2） 图1 师：我们知道，三角形是最基本的几何图形，三角形问题也是最常见的数学问题，今天，我们就来探讨二次函数中的三角形问题（多媒体出示课题）。二、典例精析，探究释疑师：首先，我想就刚才出示的这个二次函数的图象提几个问题，不知同学们有没有信心来解决？（学生齐声回答：有！）。 图2 师：请你们根据图象中所提供的信息，说出A、B、D、C四点的坐标。（学生纷纷动笔求解）。生2：这四点的坐标分别是：A（-1，0）、B（4，0）、C（3/2，-25/4）、D（0，-4）。师：很不错！完全正确。那现在请同学们求出这个三角形的面积，要说出你是怎么进行计算的。生3：ABC的面积为：1/2ABCE =125/8。师：答得非常好！师：如果将问题改成求BCD的面积，可以怎么进行求解？（学生思考）。师：（良久没有学生回答）同学们可否由求ABC的面积有所启示？生： 图3生4：可将CD延长，与X轴交于G，然后用GCB的面积减去GDB的面积，就可得到BCD的面积。生5：我还有一种方法，设二次函数图象的对称轴与BD相交于F，分别求出DFC与BFC的面积，它们之和就是BCD的面积。生6：还可将BC延长，使之与Y轴交于点M，然后用BDM的面积减去DCM的面积即可。（教师根据学生的讲述在图象上添加了相应的字母。见图3）师：太棒了，能谈谈你们这样设想的原因吗？生6：构造新的三角形，使其中一边落在坐标轴上，这样便于求出三角形的底边和高，进而求出三角形的面积。师：李于同学摸索出了一套在坐标平面内求三角形面积的方法，我相信很多同学都和他一样，找到了在坐标系中求三角形面积的捷径。师：同学们，学习数学就要这样，要能积极思考，善于发现问题中题设与结论之间的联系；在变化中发现规律。比如，这个问题到这里可以进行变式：（以上我们可以通过求得三角形的底和高来计算出三角形的面积）就利用这个二次函数的图象（此函数的解析式已求得为yx-3x-4），在图象上是否存在点，使ABP的面积为15，如若存在，求出点的坐标；如不存在，则说明理由。（教师将学生推向探究问题的边缘）（学生或自主探索；或交流讨论不久便有部分学生举手）生7：根据题意，已知ABP的面积为15，底边AB=6，则边上的高为6，而这个值实际上就是点的纵坐标，再将它代入此二次函数的解析式中即可求出点的坐标。（老师微笑地点了点头，没有发表意见）生8：我认为底边上的高等于6，但这个值只是点到底边的距离，也就是说，点P的纵坐标可以为6。师：你们认为他的分析是否有道理？（不一会，很多同学对刚才这位同学的分析表示赞成，并有部分学生通过计算求出了点的坐标。）师：周明同学考虑得很全面，请同学们仔细观察点可能存在的几个位置。 图4（教师利用几何画板制成的动画演示点的运动轨迹，ABP的的形状也随之发生变化）师：请同学们根据刚才的分析尝试求出符合条件的点坐标。（教师利用多媒体展示了几位学生完成的计算，并进行点评。）三、问题变式，深入导探师：刚才，我们研究的的问题实际上是二次函数中常见的三角形问题。大家对于二次函数图象中的特殊三角形面积的计算有了初步认识，现在老师想就刚才的问题和大家进行更加深入的探讨，同学们是否有兴趣？（多媒体出示问题二次函数y=ax+bx+c的图象如图5所示。1、求此函数的解析式；2、过点A作APBD，交此抛物线于点P，求出点P的坐标。）学生纷纷进行探索，寻求解决问题的方案：或独立思考、或相互交流。生9：这个函数图象与坐标轴的交点坐标都可直接看出来，分别为：A（-1，0）、B（4，0）、D（0，-4），和前面问题中的一样，可求得解析式也为yx-3x-4。师：不错，此问题的第一问可用待定系数法求得，也为 图5 yx-3x-4，那点P的坐标有没有求出？生：还没有。师：请大家注意第二问中提供给我们的已知条件：APBD，再结合前面我们已探讨过的问题，会有什么启示？（学生进入思考状态，并开始了短时间的讨论）过了几分钟，部分同学似乎有了解决的方法，教师请同学发表看法。生10：由APBD可得到DBA=BAP，设AP与y轴交于点M又有AMO=BDO，可得到BODAOM。（图6） 图6 生11：因为点B和点D的坐标分别为（4，0）和（0，-4），所以BO=DO=4，又BODAOM。所以AO=MO=1，这样就可以求出直线AP的解析式。（老师让这些同学分别发表自己的看法，用赞赏的眼光看着他们，微笑着点点头，期待其他同学能有更多的更具体的解决问题的方案。）生12：点P是直线AP与抛物线yx-3x-4的交点，那么通过求出直线AP的解析式与yx-3x-4组成的方程组的解便可得出点P的坐标。师：不错，刘强同学能结合前面同学的想法，并联系前面学习过的知识，这种方法能较快地求出点P的坐标。还有没有不同方法？（学生又进入短时间的探讨、交流。有一位同学举手，示意他有不同方法。）生13：我认为，不需要证明BODAOM，因为APBD，所以直线AP可由直线BD平移得到，只要求出直线BD的解析式和MD的长度，能较容易求出直线AP的解析式。师：很好，这种方法很新颖。又有一位同学举手，并直接站了起来：“我还有一种方法。”教师示意他讲出他的方法。生14：可以过点P向X轴作垂线，与x轴交于点N，（教师按学生所讲作出垂线）则有PN=AN师：（教师示意这名学生停一下）你能说说为什么会有PN=AN？生14：我也是由刚才这种方法联想到的，因为PNMO，会有AOMANP，由OA=OM=1，所以有AN=PN，又PN是点P的纵坐标，ON是点P的横坐标，则PN=ON+1，设点P的坐标为（x,y），有y=x+1，又点P在抛物线yx-3x-4上，利用这两个关系式可求出点坐标。教师带头鼓掌，这位同学很高兴地坐了下去师：根据刚才这些同学的分析，请大家选用适当的方法，尝试求出点P的坐标四、拓展延伸，导练提升师：接下来，我想让大家冲剌一下往年的中考压轴题,看看今天所学的知识能否用得上.同学们有没有信心?生:有(多媒体出示)（由2005年长沙市中考压轴题改编）已知：抛物线y=x-x-1与x轴交于A,B两点,A( ,0)、B( ,0)，且，与y轴交于点C。（图7）若M为ABC的外接圆，则MBC是 三角形；A、等边三角形 B、等腰直角三角形由可求得M的半径为 ；过点A作直线AP平行于BC，与抛物线交于点P，可得点P的坐标为 ，以A、B、P为顶点的三角形与ABC是否相似，请说明理由。学生尝试解答最后,师生合作探讨,完成解答 图7五、学习导结，认识提升 师：通过以上问题的探究，对于以后出现的二次函数中与三角形有关的问题，你有信心解答吗？能谈谈你的方法吗？教师针对学生的发言进行点评，并适当鼓励，归纳总结。六、课后拓展，作业反馈1、根据最后一个问题，自行改编，提出