四边形综合解题.doc

四边形综合解题一、 教学目标：1、 会从题目中抓住关键信息，结合图形，将已知信息在图上标记出来；2、 根据已知信息学会联想常用辅助线的方法；3、 根据已知信息分析所求结论的解决思路；4、 在解决问题的过程中，渗透数形结合的思想方法和德育教育。二、 教学重点、难点：重点：等腰三角形“三线合一”、全等三角形知识；难点：数形结合的思想、截长补短方法。三、教学手段：通过引导学生分析题目，加强学生联想的思想，通过合情推理并引导学生“数形结合”，从而达到演绎推理。四、教学过程：1、 读已知条件，抓住关键信息并联想旧知识：（1）“梯形ABCD, ADBC”.AD与BC是梯形ABCD的底. ADBC结合图形可以得到一些角之间的关系: BADABC=180,BCDADC=180,ADB=DBC.梯形的常用辅助线有:延长两腰;作一腰的平行线;（过顶点）作底的垂线;平移一条对角线;腰上有中点时可作梯形中位线或与另一腰的顶点连接并延长与一底的延长线相交.（2）“DCB=45”结合（）易得ADC=135（3）“CD=2”应该跟计算线段的长度有关（4）“BDCD”BDC=90,BDC是直角三角形,结合条件（1）、（2）可知ADB=DBC=45,进一步可得DB=DC, BDC是等腰直角三角形, DBC=DCB=45, 等腰直角三角形与正方形关（绕斜边的中点旋转180或沿斜边所在直线对称,与原三角形构成正方形）,直角边DC绕直角顶点顺时针旋转90与另一直角边DB重合. 利用等腰三角形“三线合一”可看出等腰三角形的常用辅助线.结合（3）可得DB=2,BC=2（5）“过点C作CEAB于E,交对角线BD于F” BEC=90, BEC、BEF是直角三角形,CE与BD相交形成两对对顶角BFE=DFC,EFD=CFB, CDF与BEF中可得FBE=DCF.（6）“点G为BC的中点” 可得 BG=GC, 连接EG后结合直角BEC可得EG= BG=GC=BC2、读所求结论，并进行合情推理：“（1）求EG的长”要求EG的长,从读题的信息（6）中已得到解决“（2）求证:CF=ABAF”这是一个说明一条线段等于两条线段的和的问题.常规做法“截长补短”.如果截长就在CF上截CM=AB,证FM=AF,截CM=AF,证FM=AB.若截CM=AB（如图2）, 要证FM=AF,即证线段相等,证线段相等的方法有证两线段所在的三角形全等;可用在同一三角形的底角相等;可利用等量的性质;特殊的四边形的边角关系;若通过全等三角形,则需证DAFDMF,由图可知DF=DF 要证边等,不可能用SSS,只能在SAS、ASA、AAS中进行选择.若用SAS,还需DA=DM, ADF=MDF.由（4）知,只须MDF=45,则须MDC=45,即须MDF=MDC =ADF=45,要使MDC =ADF,这是证明角等的问题.证明角等的方法:通过证明三角形全等,等边对等角,平行,运用等量性质,特殊四边形的性质. 若证明三角形全等,证DABDMC,由辅助线知CM=AB,由（4）知DB=DC,由（5）知FBE=DCF.于是问题得到解决.3、 分析思路结构图：4、 演绎推理并整理书写：（1）解 BDCD, DCB=45, DBC=DCB=45. DB=DC=2. 在RtBDC中,BC= CEAB, 点G为BC的中点, EG=BC=（2） 证明:在CF上截CM=AB,连接DM CEAB, BDCD, EBFEFB =90, DFCDCF =90, EFB =DFC, EBF=DCF.又 DB=DC, CM=AB, DABDMC（SAS）. DA=DM, MDC =ADF, ADBC, ADF=DBC =45, MDC =45. MDF=DBCMDC=9045=45. MDF=ADB.又DF=DF, DAFDMF（SAS）. FM=AF. CF=CMFM=ABAF.5、 回顾并反思：（1）本题第（1）小题中,运用了等角对等边,直角三角形两锐角的关系,勾股定理,直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 第（2）小题中,通过“截长”法添加辅助线,证两次三角形全等得到求证.运用了直角三角形两锐角的关系,对顶角相等,等量性质,全等三角形的性质,角之间的和差关系,平行线的性质等.（2）从做题的过程和得到的结论中又得出的结论: AFD=CFD.（3）证明过程有需要删改的地方吗?我们发现,在得到DA=DM,结合MDF=ADB.若连接AM（如图3）,利用等腰三角形的“三线合一”可得:BD垂直平分AM,于是FA=FM.少证一次全等.（4）由（3）引发对辅助线添法的思考.笔者认为:不同的视角会得到不同的辅助线, 构造三角形全等的角度若保持DAB不变,根据“读题并分析”的信息,DB=DC, EBF=DCF.可构造CM=AB或 ADB=MDC或DAB=DMC.使得DABDMC.进一步证明即可.其添辅助线后如图（2）. 若保持DCF不变,根据“读题并分析”的信息,DB=DC, EBF=DCF.可构造CF=MB或CDB=MDB或DMB=DFC.使得DMBDFC.进一步证明即可.其添辅助线后如图（4）等腰三角形的角度“三线合一”可得辅连接助线DG如图（5）.延长FD到M,使FD=MD,连接CM, 延长AD交CM于N,构造等腰MCF,如图（6）.延长CD到M,使CD=MD,连接FM,构造等腰MCF,须证M、A、F共线,如图（7）.延长CD到M,使CD=MD,连接FM、BM,构造等腰MCF、MCB,须证M、A、F共线,如图（8）.梯形常用辅助线延长两腰得如图（4）辅助线过一顶点作底边上的高可得如图（5）旋转角度将DAB绕点D逆时针旋转90得到DMC,如图（2）.将DCF绕点D顺时针旋转90得到DBM,如图（4）.轴对称等腰梯形的对称性 延长AD到N,使DN=DA,连接CN并延长CN交BD的延长线于点M,如图（6）.等腰三角形的对称性 如图（5）、（7）、（8）.截长补短截长 在CF上截CM=AB,连接DM,如图（2）.补短 延长BA到M,使AM=AF,连接DM, 如图（4）; 延长FA到M,使AM=AB,连接DM, 如图（7）其