离散型随机变量的期望和方差1.doc

离散型随机变量的期望和方差学习指导 本节主要学习离散型随机变量的期望和方差的概念及求法离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数，期望反映了随机变量的平均取值，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度 1了解离散型随机变量的期望和方差的概念与意义，了解随机变量的标准差的定义； 2掌握离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质：E=，, D=.E(ab)aEb， D(a+b)=a2D 能根据离散型随机变量的分布列求出期望与方差 3掌握二项分布的期望与方差：若B(n，p)，则E=np，D=np(1p) 4能用离散型随机变量的期望和方差解决一些实际问题一、例题 1袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分的概率分布和数学期望 解：直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球颜色的分布情况： 4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，故 P(=5)=，P(=6)=，P(=7)=，P(=8)=，E=. 2每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数的分布列，并求出的期望E与方差D（保留3位有效数字） 解：的取值为1，2，3，4 =1，表示第一次即投中，故P(=1)=0.7， =2，表示第一次未投中，第二次投中，故P(=2)=(10. 7)0.7=0.21； =3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(=3)=(10. 7)20.7= 0.063； =4，表示前三次均未投中，故P(=4)=(10.7)3=0.027 所以的分布列为1234P0.70.210.0630.027 E=10.7十20.2130.06340.027=1.417 D=(l1.417)20.7(21.417)20.21(31.417)20.063(41.417)20.027=0.531 说明：计算D时可利用D=简化运算 3将一枚硬币抛掷n次，求正面次数与反面次数之差的概率分布，并求出的期望E与方差D解：设正面的次数是，则服从二项分布B(n，0.5)，概率分布为P(=k)=，k=0，l，n，且E=0.5n，D=0.25n而反面次数为n，=(n)=2n,于是，的概率分布为 P(=2n)P(=k)=，k=0，1，n；或 P(=k)=P(=)=，k=n，n+2，n+4，n. 故E=E(2n)=2En=20.5nn=0， D=D(2n)=22D=40.25nn.二、练习题1已知的分布列为101P0.50.30.2则E等于（D） （A）0 （B）0.2 （C）1 （D）0.3 提示：直接用定义计算2已知的分布列为101P0.50.30.2则D等于（B） （A）0.7 （B）0.61 （C）0.3 （D）0 提示：直接用定义或性质计算3已知的分布列为01Ppq其中P(0，1)，则（D） （A） E=p，D=pq （B） E=p，D=p2 （C） E=q，D=q2 （D） E=l一p，D=pp2 提示：B（l，q），p+q=14抛掷一颗骰子，设所得点数为，则E= 3.5 ，D=. 提示：的概率分布为P(=k)=，k=1，2，6按定义计算得E=(1+2+3+6)=3.5，D=. 5有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量1，2，已知E1=E2，D1D2，则自动包装机 乙 的质量较好6设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p= 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 5 . 解：D=npq，等号在p=q=时成立，此时，D=25，=57一袋中装有6只球，编号为1，2，3，4，5，6，在袋中同时取3只，求三只球中的最大号码的数学期望 解：的取值为3，4，5，6，P(=k)=，k=3，4，5，6 因此，的分布列为3456P E=345+6=5.258人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2。，则a需满足什么条件，保险公司才可能盈利 解：设为盈利数，其概率分布为：aa30000a10000P1p1p2p1p2且E=a(1plp2)(a30000)pl(a10000)p2=a30000p110000p2要想盈利，至少需使的数学期望大于零，故a30000p110000p2.三、思考题 在某一项有奖销售中，每10万张奖券中有1个头奖，奖金10000元；2个二等奖，奖金各5000元；500个三等奖，奖金各100元，10000个四等奖，奖金各5元试求每张奖券奖金的期望值如果每张奖券2元，销售一张平均获利多少？（假设所有奖券全部售完） 解：每张奖券可获得的奖金数的分布列为10000500010050P 每张奖券的期望值 E= 10000+5000+100+5=1.2元. 如果每张奖券2元，销售一张平均获利0.8元四、备用题1设服从二项分布B(n，p)的随机变量的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n，p的值为（B） （A）n=4，p=0.6 （B）n6，p=0.4 （C）n=8，p=0.3 （D）n=24，p=0.1 解：由E=2.4=np，D=l.44=np(1p)，可得1p=，p=0.4，n=6，应选（B）2设每次试验中事件A发生的概率为0.2，为了使事件A在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于0.99，至少需要进行 21 次试验 提示：设n表示所需进行的试验次数，表示n次试验中A事件发生的次数，则B(n，0.2)，P（1）0.99，lP(=0)0.99，1(10.2)n0.99， 0.8n0.01，n，n至少为213一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有一个是正确答案每题选择正确得2分，不选或选错得0分，满分是100分学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的期望和标准差解：设学生甲答对题数为，成绩为，则B(50，0.8)，=2，故成绩的期望为E=E(2)=2E= 2500.8=80（分） 成绩的标准差为=45.7（分）4大批产品中次品率为p，从中取出n个，设是抽取到的次品个数又设=，