八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题教学课件 （新版）新人教版(2).ppt

八年级上册 13 4课题学习最短路径问题 课件说明 本节课以数学史中的一个经典问题 将军饮马问题 为载体开展对 最短路径问题 的课题研究 让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题 再利用轴对称将线段和最小问题转化为 两点之间 线段最短 或 三角形两边之和大于第三边 问题 学习目标 能利用轴对称解决简单的最短路径问题 体会图形的变化在解决最值问题中的作用 感悟转化思想 学习重点 利用轴对称将最短路径问题转化为 两点之间 线段最短 问题 课件说明 引言 前面我们研究过一些关于 两点的所有连线中 线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短 等的问题 我们称它们为最短路径问题 现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题 本节将利用数学知识探究数学史中著名的 将军饮马问题 引入新知 问题1相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的a地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到b地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 探索新知 精通数学 物理学的海伦稍加思索 利用轴对称的知识回答了这个问题 这个问题后来被称为 将军饮马问题 你能将这个问题抽象为数学问题吗 探索新知 追问1这是一个实际问题 你打算首先做什么 将a b两地抽象为两个点 将河l抽象为一条直线 探索新知 1 从a地出发 到河边l饮马 然后到b地 2 在河边饮马的地点有无穷多处 把这些地点与a b连接起来的两条线段的长度之和 就是从a地到饮马地点 再回到b地的路程之和 探索新知 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思 并把它抽象为数学问题吗 探索新知 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思 并把它抽象为数学问题吗 3 现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点 设c为直线上的一个动点 上面的问题就转化为 当点c在l的什么位置时 ac与cb的和最小 如图 追问1对于问题2 如何将点b 移 到l的另一侧b 处 满足直线l上的任意一点c 都保持cb与cb 的长度相等 探索新知 问题2如图 点a b在直线l的同侧 点c是直线上的一个动点 当点c在l的什么位置时 ac与cb的和最小 追问2你能利用轴对称的有关知识 找到上问中符合条件的点b 吗 探索新知 问题2如图 点a b在直线l的同侧 点c是直线上的一个动点 当点c在l的什么位置时 ac与cb的和最小 作法 1 作点b关于直线l的对称点b 2 连接ab 与直线l相交于点c 则点c即为所求 探索新知 问题2如图 点a b在直线l的同侧 点c是直线上的一个动点 当点c在l的什么位置时 ac与cb的和最小 探索新知 问题3你能用所学的知识证明ac bc最短吗 证明 如图 在直线l上任取一点c 与点c不重合 连接ac bc b c 由轴对称的性质知 bc b c bc b c ac bc ac b c ab ac bc ac b c 探索新知 问题3你能用所学的知识证明ac bc最短吗 探索新知 问题3你能用所学的知识证明ac bc最短吗 证明 在 ab c 中 ab ac b c ac bc ac bc 即ac bc最短 若直线l上任意一点 与点c不重合 与a b两点的距离和都大于ac bc 就说明ac bc最小 探索新知 追问1证明ac bc最短时 为什么要在直线l上任取一点c 与点c不重合 证明ac bc ac bc 这里的 c 的作用是什么 探索新知 追问2回顾前面的探究过程 我们是通过怎样的过程 借助什么解决问题的 1 如图 a b两地在一条河的两岸 现要在河上建一座桥mn 桥造在何处才能使从a到b的路径amnb最短 假设河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 作法 1 将点b沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到e 2 连接ae交河对岸与点m 则点m为建桥的位置 mn为所建的桥 证明 由平移的性质 得bn em且bn em mn cd bd ce bd ce 所以a b两地的距 am mn bn am mn em ae mn 若桥的位置建在cd处 连接ac cd db ce 则ab两地的距离为 ac cd db ac cd ce ac ce mn 在 ace中 ac ce ae ac ce mn ae mn 即ac cd db am mn bn所以桥的位置建在cd处 ab两地的路程最短 a 运用新知 练习如图 一个旅游船从大桥ab的p处前往山脚下的q处接游客 然后将游客送往河岸bc上 再返回p处 请画出旅游船的最短路径 运用新知 基本思路 由于两点之间线段最短 所以首先可连接pq 线段pq为旅游船最短路径中的必经线路