【志鸿全优设计】高中数学 1.1.1正弦定理目标导学 新人教A版必修5.doc

11.1正弦定理1了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形2能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状1正弦定理文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的_的比相等图形语言符号语言在abc中，_作用解三角形、判断三角形的形状等设abc的外接圆的半径为r，则有2r.由此还可以推出以下结论：abcsin asin bsin c；，；a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c；sin a，sin b，sin c；abab2rsin a2rsin bsin asin b.正弦定理是三角形中的边与角联系的纽带和桥梁，也就是说，能够将三角形中边的关系转化为角之间的关系，也能将角的关系转化为边之间的关系这是正弦定理的“灵魂”【做一做1】 在abc中，a2，b3，则()a. b. c. d不确定2解三角形一般地，把三角形的三个角和它们的_叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求_的过程叫做解三角形利用正弦定理可以解两类三角形：已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角；已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角的正弦，有解时，进而求出其他的边和角【做一做21】 在abc中，c3，a45，c60，则a_.【做一做22】 在abc中，a2，b1，sin a，则sin b_.答案：1正弦【做一做1】 b2对边其他元素【做一做21】 【做一做22】 确定三角形解的个数剖析：(1)已知两角与一边，根据正弦定理，有解时，只有一解(2)已知两边及其中一边的对角，根据正弦定理，可能有两解、一解或无解在abc中，已知a，b和角a时，解的情况如下：角a为锐角角a为钝角或直角图形关系式absin aabbsin aababsin aabab解的情况一解两解无解一解无解具体解题时，作出已知角a，边ac，以点c为圆心，以边长a为半径画弧，与射线ab的公共点(除去顶点a)的个数即为三角形解的个数也可以根据三角函数的性质来判断由正弦定理，得sin b.当1时，则无解；当1时，则有一解；当01时，如果ab，即ab，则b一定为锐角，则有一解；如果ab，即ab，则有两解题型一 已知两角和一边解三角形【例题1】 在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，且a30，c100，a10，求b，c，b(边长精确到0.01)反思：已知三角形的两角和一边时，解三角形的步骤如下：利用三角形内角和定理求出第三个角；用正弦定理求出另外两边题型二 已知两边和其中一边的对角解三角形【例题2】 在abc中，已知下列条件，解三角形：(1)a10，b20，a80；(2)b10，c5，c60；(3)a，b，b45.反思：已知两边和其中一边的对角解三角形的步骤：利用正弦定理求出另一角的正弦值m，若m1，则此三角形无解(如本题(1)，若0m1，则执行下一步；借助于三角形的内角范围和m来确定该内角的大小；分类讨论该内角的大小，先用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，此时可能无解，或仅有一解(如本题(2)，或有两解(如本题(3)此类题目也可先确定三角形解的个数，再解三角形题型三 判断三角形的形状【例题3】 已知abc中，bsin bcsin c，且sin2asin2bsin2c，试判断三角形的形状分析：设2r，再利用sin a，sin b，sin c将角的关系化为边之间的关系反思：(1)要判断三角形的形状，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？(2)解此类题的思想方法是：从条件出发，利用正弦定理等进行代换、转化、化简、运算，发现边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断(3)一般有两种转化方向：角转化为边，边转化为角答案：【例题1】 解：abc180，b180ac50.由正弦定理，可知b15.32，c19.70.【例题2】 解：(1)由正弦定理，得sin b2sin 801，故此三角形无解(2)由正弦定理，得sin b.0b180，b45或135.当b45时，a180(bc)180(4560)75，a5(1)当b135时，a180(bc)150，此时无解故b45，a75，a5(1)(3)由正弦定理，得sin a.又0a180，a60或120.当a60时，c75，c；当a120时，c15，c.a60，c75，c或a120，c15，c.【例题3】 解：由正弦定理，设2r，从而得sin a，sin b，sin c.bsin bcsin c，sin2asin2bsin2c，bc，222，b2c2，a2b2c2，bc，a90.abc为等腰直角三角形1在abc中，a60，a，b，则b等于()a45或135 b135c45 d以上答案都不对2已知a，b，c分别是abc的三个内角a，b，c所对的边，若a1，b，ac2b，则sin a_.3在abc中，a，b分别是abc的内角a，b所对的边若b45，b，则c_.4在abc中，a5，b45，c105，求边c.5在abc中，若，判断abc的形状答案：1c2.3.1054解：由三角形内角和定理，知abc1