高中数学 第三单元 导数及其应用章末复习课课件 新人教B版选修11.ppt

第三章导数及其应用 章末复习课 1 理解导数的几何意义并能解决有关斜率 切线方程等的问题 2 掌握初等函数的求导公式 并能够综合运用求导法则求函数的导数 3 掌握利用导数判断函数单调性的方法 会用导数求函数的极值和最值 4 会用导数解决一些简单的实际应用问题 学习目标 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点一在x x0处的导数 斜率 知识点二导函数 当x变化时 f x 便是x的一个函数 我们称它为f x 的 简称 f x y 导函数 导数 知识点三基本初等函数的导数公式 0 uxu 1 cosx sinx axlna ex 知识点四导数的运算法则 f x g x f x g x f x g x 知识点五函数的单调性 极值与导数 1 函数的单调性与导数如果在 a b 内 则f x 在此区间内单调递增 则f x 在此区间内单调递减 2 函数的极值与导数已知函数y f x 及其定义域内一点x0 对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x 如果都有 则称函数f x 在点x0处取 记作y极大值 f x0 并把x0称为函数f x 的一个极大值点 如果都有 则称函数f x 在点x0处取 记作y极小值 f x0 并把x0称为函数f x 的一个极小值点 极大值与极小值统称为极值 极大值点与极小值点统称为极值点 f x 0 f x 0 f x f x0 极大值 f x f x0 极小值 知识点六求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求f x 在开区间 a b 内所有 2 计算函数f x 在极值点和 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 极值点 端点的函数值 题型探究 类型一导数几何意义的应用 解答 例1已知函数f x x alnx a r 1 当a 2时 求曲线y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程 f 1 1 f 1 1 y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 2 求函数f x 的极值 解答 当a 0时 f x 0 函数f x 为 0 上的增函数 函数f x 无极值 当a 0时 由f x 0 解得x a 当x 0 a 时 f x 0 f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 无极大值 综上 当a 0时 函数f x 无极值 当a 0时 函数f x 在x a处取得极小值a alna 无极大值 反思与感悟 跟踪训练1已知函数f x ax3 3x2 6ax 11 g x 3x2 6x 12 直线m y kx 9 且f 1 0 1 求a的值 解答 因为f x 3ax2 6x 6a 且f 1 0 所以3a 6 6a 0 得a 2 2 是否存在实数k 使直线m既是曲线y f x 的切线 又是y g x 的切线 如果存在 求出k的值 如果不存在 说明理由 解答 因为直线m过定点 0 9 先求过点 0 9 且与曲线y g x 相切的直线方程 当x0 1时 g 1 12 g 1 21 切点坐标为 1 21 所以切线方程为y 12x 9 当x0 1时 g 1 0 g 1 9 切点坐标为 1 9 所以切线方程为y 9 下面求曲线y f x 的斜率为12和0的切线方程 因为f x 2x3 3x2 12x 11 所以f x 6x2 6x 12 由f x 12 得 6x2 6x 12 12 解得x 0或x 1 当x 0时 f 0 11 此时切线方程为y 12x 11 当x 1时 f 1 2 此时切线方程为y 12x 10 所以y 12x 9不是公切线 由f x 0 得 6x2 6x 12 0 解得x 1或x 2 当x 1时 f 1 18 此时切线方程为y 18 当x 2时 f 2 9 此时切线方程为y 9 所以y 9是公切线 综上所述 当k 0时 y 9是两曲线的公切线 类型二函数的单调性与导数 解答 由f x 0 得x2 故f x 的单调递增区间为 2 单调递减区间为 2 解答 反思与感悟 1 关注函数的定义域 单调区间应为定义域的子区间 2 已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价 3 分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集 4 求参数的范围时常用到分离参数法 跟踪训练2已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集r上单调递增 求a的取值范围 解答 求导得f x 3x2 a 因为f x 在r上是增函数 所以f x 0在r上恒成立 即3x2 a 0在r上恒成立 即a 3x2 而3x2 0 所以a 0 当a 0时 f x x3 1在r上单调递增 符合题意 所以a的取值范围是 0 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 请说明理由 假设存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 则f x 0在 1 1 上恒成立 即3x2 a 0在 1 1 上恒成立 即a 3x2 又因为在 1 1 上 0 3x2 3 所以a 3 当a 3时 f x 3x2 3 在 1 1 上 f x 0 所以f x 在 1 1 上单调递减 即a 3符合题意 所以存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 且a的取值范围是 3 解答 类型三函数的极值 最值与导数 例3已知函数f x x3 ax2 bx c 过曲线y f x 上的点p 1 f 1 的切线方程为y 3x 1 y f x 在x 2时有极值 1 求f x 的表达式 解答 因为f x 3x2 2ax b 所以f 1 3 2a b 故过曲线上p点的切线方程为y f 1 3 2a b x 1 即y a b c 1 3 2a b x 1 已知该切线方程为y 3x 1 因为y f x 在x 2时有极值 所以f 2 0 即 4a b 12 所以f x x3 2x2 4x 5 2 求y f x 在 3 1 上的单调区间和最大值 解答 由 1 知f x 3x2 4x 4 3x 2 x 2 当x 3 2 时 f x 0 所以f x 在区间 3 1 上的最大值为13 反思与感悟 1 已知极值点求参数的值后 要代回验证参数值是否满足极值的定义 2 讨论极值点的实质是讨论函数的单调性 即f x 的正负 3 求最大值要在极大值与端点值中取最大者 求最小值要在极小值与端点值中取最小者 解答 2 求函数f x 的单调区间与极值 解答 令f x 0 解得x 1或x 5 因为x 1不在f x 的定义域 0 内 故舍去 当x 0 5 时 f x 0 故f x 在 5 内为增函数 所以函数f x 在x 5时取得极小值f 5 ln5 类型四分类讨论思想 解答 函数f x 的定义域是 0 令f x 0 得1 lnx 0 所以x e 所以函数f x 在 0 e 上单调递增 在 e 上单调递减 2 设m 0 求f x 在 m 2m 上的最大值 解答 由 1 知函数f x 在 0 e 上单调递增 在 e 上单调递减 f x 在 m 2m 上单调递增 当m e时 f x 在 m 2m 上单调递减 当m x0 当e x 2m时 f x 0 证明 由 1 知 当x 0 时 反思与感悟 1 分类讨论即分别归类再进行讨论 是一种重要的数学思想 也是一种逻辑方法 同时又是一种重要的解题策略 2 解题时首先要思考为什么分类 即分类依据是什么 一般的分类依据如 方程类型 根的个数及与区间的关系 不等号的方向等 其次考虑分几类 每一类中是否还需要再分类 3 分类讨论的基本原则是不重不漏 设x 0 1 则 x 1 0 f x 为偶函数 f x f x x3 ax 即当x 0 1 时 f x x3 ax 跟踪训练4设函数f x 是定义在 1 0 0 1 上的偶函数 当x 1 0 时 f x x3 ax a为实数 1 当x 0 1 时 求f x 的解析式 解答 f x 在 0 1 上单调递增 证明如下 f x 3x2 a x 0 1 3x2 3 0 又a 3 a 3x2 0 即f x 0 f x 在 0 1 上单调递增 2 若a 3 试判断f x 在 0 1 上的单调性 并证明你的结论 解答 3 是否存在a 使得当x 0 1 时 f x 有最大值1 解答 当a 3时 f x 在 0 1 上单调递增 f x max f 1 a 1 1 a 2与a 3矛盾 当0 a 3时 令f x a 3x2 0 当a 0时 f x a 3x2 0 f x 在 0 1 上单调递减 f x 在 0 1 上无最大值 当堂训练 1 2 3 4 5 答案 解析 答案 解析 1 2 3 4 5 2 如果函数f x 的图象如图所示 那么导函数y f x 的图象可能是 由f x 与f x 的关系可知选a 1 2 3 4 5 答案 解析 2 3 体积为16 的圆柱 它的半径为时 圆柱的表面积最小 设圆柱底面半径为r 母线长为l 当r 2时 圆柱的表面积最小 由题意知 f x 3x2 a 0 x 1 a 3x2 a 3 a的最大值为3 3 1 2 3 4 5 4 已知a 0 函数f x x3 ax在 1 上单调递增 则a的最大值为 答案 解析 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 2 求函数f x 的极值 解答 当x 0 1 时 f x 0 故f x 在 1 上为增函数 故f x 在x 1处取得极小值f 1 3 无极大值