高中数学 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2.ppt

第二章 点 直线 平面之间的位置关系 2 3直线 平面垂直的判定及其性质 2 3 4平面与平面垂直的性质 自主预习学案 教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直 在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗 怎样画一条直线方能与地面垂直 平面与平面垂直的性质定理 垂直 a a l c 解析 解析 平面abb1a1 平面a1b1c1d1 ef 平面abb1a1 平面abb1a1 平面a1b1c1d1 a1b1 ef a1b1 ef 平面a1b1c1d1 d 解析 如图所示 在四边形abcd中 ab bc ad cd bd ac 平面aa1c1c 平面abcd 平面aa1c1c 平面abcd ac bd 平面abcd bd 平面aa1c1c 又cc1 平面aa1c1c bd cc1 故选c c 互动探究学案 命题方向1 面面垂直性质的应用 思路分析 解答本题可先由面面垂直依据面面垂直的性质定理得线面垂直 解析 连接pg bd 四边形abcd是菱形且 dab 60 abd是正三角形 g是ad的中点 bg ad 又平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad bg 平面pad 规律方法 1 若所给题目中有面面垂直的条件 一般要利用面面垂直的定理将其转化为线面垂直 线线垂直 在应用面面垂直的性质定理时 注意三点 两个平面垂直 是前提条件 直线必须在其中一个平面内 直线必须垂直于它们的交线 2 先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线 若没有与交线垂直的直线 一般需作辅助线 基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线 这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题 进而转化为线线垂直问题 解析 如图 在平面pac内作ad pc于点d 平面pac 平面pbc ad 平面pac 且ad pc ad 平面pbc 又bc 平面pbc ad bc pa 平面abc bc 平面abc pa bc ad pa a bc 平面pac 又ac 平面pac bc ac 命题方向2 与面面垂直有关的计算 思路分析 要求cd的长 由bd l 易知 bcd为直角三角形 已知bd的长 只要知道bc的长即可 由ac l知 abc为直角三角形 从而可解 规律方法 1 与面面垂直有关的计算问题的类型 1 求角的大小 或角的某个三角函数值 如两异面直线所成的角 线面角 二面角等 2 求线段的长度或点到直线 平面的距离等 3 求几何体的体积或平面图形的面积 2 计算问题的解决方法 1 上述计算问题一般在三角形中求解 所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直 然后转化为线线垂直 往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题 2 求几何体的体积时要注意应用转换顶点法 求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点 等体积 法 考虑问题不全面 导致证明过程不严谨 错解 平面ebd不能垂直于平面abcd 理由如下 假设平面ebd垂直于平面abcd 过e作eo bd于o 连接ao co eo 平面ebd eo bd 平面ebd 平面abcd bd eo 平面abcd 又 pa 平面abcd eo pa 又 e是pc的中点 o是ac的中点 又 ab cd abo cdo 又 ao oc ab cd 这与cd 2ab矛盾 假设不成立 故平面ebd不能垂直于平面abcd 错因分析 错误的原因是默认了a o c三点共线 而a o c三点若不共线 则 abo cdo不成立 事实上 很容易证a o c三点共线 由于a o c是pc上三点p e c在平面abcd上的投影 故p e c三点的投影均在直线ac上 故a o c三点共线 补上这一点证明就完整了 正解 平面ebd不能垂直于平面abcd 理由如下 假设平面ebd垂直于平面abcd 过e作eo bd于o 连接ao co eo 平面ebd eo bd 平面ebd 平面abcd bd eo 平面abcd 又 pa 平面abcd eo pa a o c是pc上三点p e c在平面abcd上的投影 p e c三点的投影均在直线ac上 a o c三点共线 又 e是pc的中点 o是ac的中点 又 ab cd abo cdo 又 ao oc ab cd 这与cd 2ab矛盾 假设不成立 故平面ebd不能垂直于平面abcd 1 转化思想在线线 线面 面面垂直关系中的应用线线 线面 面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想 其转化关系如下 解析 证法一 在 内取一点p 作pa垂直 与 的交线于a 作pb垂直 与 的交线于b 则pa pb l l pa l pb pa与pb相交 又pa pb l 证法二 在 内作直线m垂直于 与 的交线 在 内作直线n垂直于 与 的交线 m n m n 又n m 又m l m l l 规律方法 1 证法一 证法二都是利用 两平面垂直时 在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面 的这一性质 添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线 这是证法一 证法二的关键 证法三是利用 如果两个平面互相垂直 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线 在第一个平面内 这一性质 添加了l 这条辅助线 这是解法三的关键 通过此例 应仔细体会两平面垂直时 添加辅助线的方法 又在原题条件下 添加条件b b 求证b 在l上任取一点b 过b和b的平面交 于过b的直线a 交 于过b的直线a b a b 同理b a a 和a 同时过b且平行于b a 和a 重合于直线l 由l 可得b 2 在垂直的判定定理和性质定理中 有很多限制条件 如 相交直线 线在面内 平面经过一直线 等 这些条件一方面有很强的约束性 另一方面又为证明指出了方向 在利用定理时 既要注意定理的严谨性 又要注意推理的规律性 思路分析 1 先转化为be 平面a1oc 再根据线线平行的性质证得 2 根据四棱锥的体积公式 列出关于a的方程求解即可 2 点的射影问题 1 若直线pa 平面 垂足为a 则点a叫做点p在平面 内的射影 2 若pa 平面 pb是平面 的斜线 b为斜足 则ab是斜线pb在平面 内的射影 3 若 两平面垂直 l a是平面 内一点 则a在平面 内的射影落在直线l上 4 特殊几何图形的点的射影问题 正棱柱上底面的中心在下底面的射影是下底面的中心 正棱锥顶点在底面的射影是底面正多边形的中心 正棱台上底面中心在下底面的射影是下底面的中心 圆锥顶点在底面射影是底面圆心 圆台上底面圆心在下底面射影是下底面圆心 球心在球的任意截面上的射影是截面圆心 a 解析 ac ab ac bc1 ac 平面abc1 又 ac 平面abc 平面abc1 平面abc c1在平面abc上的射影h必在平面abc1与平面abc的交线ab上 故选a c 解析 注意折叠前de af 折叠后其位置关系没有改变 中由已知可得平面a fg 平面abc 点a 在平面abc上的射影在线段af上 bc de