（重点班）高三数学一轮复习 第八篇 立体几何与空间向量 第6节 空间向量及其运算课时训练 理.doc

第6节空间向量及其运算 【选题明细表】知识点、方法题号空间直角坐标系5空间向量的线性运算6,8,10空间向量的坐标运算及数量积1,3,4,7,9,11,14,15综合问题2,12,13,16基础对点练(时间:30分钟)1.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是(c)(a)ac,bc(b)ab,ac(c)ac,ab(d)以上都不对解析:因为c=2a,所以ac,又ab=(-2,-3,1)(2,0,4)=-4+0+4=0,所以ab.故选c.2.有以下命题:如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是不共线;o,a,b,c为空间四点,且向量oa,ob,oc不构成空间的一个基底,那么点o,a,b,c一定共面;已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底.其中正确的命题是(c)(a)(b)(c)(d)解析:对于,“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系一定是共线”,所以错误,正确.故选c.3.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为(a)(a)-1,2(b)1,-2(c)1,2(d)-1,-2解析:由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1),ac=3m+n+1=0,bc=m+5n-9=0.解得m=-1,n=2.4.(2014高考广东卷)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60夹角的是(b)(a)(-1,1,0)(b)(1,-1,0)(c)(0,-1,1)(d)(-1,0,1)解析:设b=(1,-1,0),则cos=ab|a|b|=122=,即b与a的夹角为60.故选b.5.(2016福州质检)正方体abcda1b1c1d1的棱长为a,点m在ac1上且am=12mc1,n为b1b的中点,则|mn|为(a)(a)216a(b)66a(c)156a(d)153a解析:以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系dxyz, 则a(a,0,0),c1(0,a,a),n(a,a,).设m(x,y,z).因为点m在ac1上且am=12mc1,所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),所以x=a,y=,z=.所以m(2a3,),所以|mn|=(a-23a)2+(a-a3)2+(a2-a3)2=216a.故选a.6.(2016晋江一模)设oabc是四面体,g1是abc的重心,g是og1上的一点,且og=3gg1,若og=xoa+yob+zoc,则x+y+z等于(c)(a)1(b)(c)(d)2解析:如图所示,取bc的中点e, 连接ae.og=34og1,所以34og1=xoa+yob+zoc,所以og1=xoa+yob+zoc,又g1,a,b,c四点共面,所以x+y+z=1,所以x+y+z=.7.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为.解析:b-a=(1+t,2t-1,0),所以|b-a|=(1+t)2+(2t-1)2=5(t-15)2+95,所以当t=时,|b-a|取得最小值为355.答案:3558.已知空间四边形oabc,点m,n分别是oa,bc的中点,且oa=a,ob=b,oc=c,用a,b,c表示向量mn=.解析:如图所示, mn=(mb+mc)=(ob-om)+(oc-om)=(ob+oc-2om)=(ob+oc-oa)=(b+c-a).答案:(b+c-a)9.已知空间三点a(0,2,3),b(-2,1,6),c(1,-1,5),则以ab,ac为边的平行四边形的面积为.解析:由题意可得ab=(-2,-1,3),ac=(1,-3,2),所以cos=abac|ab|ac|=-2+3+61414=714=.所以sin=32.所以以ab,ac为边的平行四边形的面积s=2|ab|ac|sin=1432=73.答案:7310.已知各个面都是平行四边形的四棱柱abcdabcd.设m是底面abcd的中心,n是侧面bccb的对角线bc上的点,且bnnc=31,设mn=ab+ad+aa,试求,之值.解:mn=mb+bn=12db+34bc=(da+ab)+(bc+cc)=(-ad+ab)+(ad+aa)=12ab+14ad+34aa,所以=,=,=.11.已知空间中三点a(-2,0,2),b(-1,1,2),c(-3,0,4),设a=ab,b=ac.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值;(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.解:(1)因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以ab=(1,1,0)(-1,0,2)=-1,又|a|=12+12+02=2,|b|=(-1)2+02+22=5,所以cos=ab|a|b|=-110=-1010,即向量a与向量b的夹角的余弦值为-1010.(2)法一因为ka+b=(k-1,k,2).ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b与ka-2b互相垂直,所以(k-1,k,2)(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,所以k=2或k=-,所以当ka+b与ka-2b互相垂直时,实数k的值为2或-.法二由(1)知|a|=2,|b|=5,ab=-1,所以(ka+b)(ka-2b)=k2a2-kab-2b2=2k2+k-10=0,得k=2或k=-.能力提升练(时间:15分钟)12.a,b,c,d是空间不共面的四点,且满足abac=0,acad=0,abad=0,m为bc的中点,则amd是(c)(a)钝角三角形(b)锐角三角形(c)直角三角形(d)不确定解析:因为m为bc中点,所以am=(ab+ac).所以amad=(ab+ac)ad=12abad+12acad=0.所以am ad,amd为直角三角形.13.(2015宁波检测)如图所示,在正方体abcda1b1c1d1中,棱长为a,m,n分别为a1b和ac上的点,a1m=an=2a3,则mn与平面bb1c1c的位置关系是(b) (a)斜交(b)平行(c)垂直(d)不确定解析:建立如图所示的坐标系, 由于a1m=an=2a3,则m(a,2a3,),n(2a3,2a3,a),mn=(-,0,2a3),又c1d1平面bb1c1c,所以c1d1=(0,a,0)为平面bb1c1c的一个法向量,因为mnc1d1=0,所以mnc1d1,所以mn平面bb1c1c.14.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c三向量共面,则实数等于.解析:由题意得c=ta+b=(2t-,-t+4,3t-2),所以7=2t-,5=-t+4,=3t-2,解得t=337,=177,=657.答案:65715.如图所示,已知空间四边形oabc,ob=oc,且aob=aoc=,则cos的值为.解析:设oa=a,ob=b,oc=c,由已知条件=,且|b|=|c|,oabc=a(c-b)=ac-ab=|a|c|-|a|b|=0,所以cos=0.答案:016.(2015汕头模拟)已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为3,点e在aa1上,点f在cc1上,且ae=fc1=1. (1)求证:e,b,f,d1四点共面;(2)若点g在bc上,bg=,点m在bb1上,gmbf,垂足为h,求证:em平面bcc1b1.证明:(1)以b为原点,以ba,bc,bb1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系bxyz,则b(0,0,0),e(3,0,1),f(0,3,2),d1(3,3,3), 则be=(3,0,1),bf=(0,3,2),bd1=(3,3,3).所以bd1=be+bf.由向量共面的充要条件知e,b,f,d1四点共面.(2)设m(0,0,z0),又g(0,0),则gm=(0,-,z0),而bf=(0,3,2),由题设得gmbf=-3+z02=0,得z0=1.故m(0,0,1),有me=(3,0,0).又bb1=(0,0,3),bc=(0,3,0),所以mebb1=0,mebc=0,从而mebb1,mebc.又bb1bc=b,故me平面bcc1b1.精彩5分钟1.已知矩形abcd,ab=1,bc=2,将abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折,在翻折过程中(b)(a)存在某个位置,使得直线ac与直线bd垂直(b)存在某个位置,使得直线ab与直线cd垂直(c)存在某个位置,使得直线ad与直线bc垂直(d)对任意位置,三对直线“ac与bd”“ab与cd”“ad与bc”均不垂直解题关键:将线线垂直转化为向量的数量积求解.解析:如图所示,在图(1)中,易知ae=cf=63,be=ef=fd=33.在图(2)中,设ae=a,ef=b,fc=c,则=90,设=,又ac=a+b+c,bd=3b,故acbd=3b2=10,故ac与bd不垂直,a不正确;ab=ae+eb=a-b,cd=cf+fd=b-c,所以abcd=-ac-b2=-cos -.当cos =-,即=23时,abcd=0,故b正确;ad=ae+ed=a+2b,bc=bf+fc=2b+c,所以adbc=ac+4b2=cos +=(cos +2),故无论为何值,adbc0,故c不正确.故选b.2.(2015徐州模拟)已知o点为空间直角坐标系的原点,向量oa=(1,2,3),ob=(2,1,2),op=(1,1,2),且点q