山东省滨州市2019届高三数学第二次模拟（5月）考试试题理（含解析）.docx

山东省滨州市2019届高三数学第二次模拟（5月）考试试题 理（含解析）本试卷共4页，共23题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1. 答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式，求得整数解集，再根据交集定义即可求得。【详解】因为，所以因为，所以根据集合交集运算，可得所以选C【点睛】本题考查了不等式的解法，交集的基本运算，注意解集为整数集，属于基础题。2.在复平面内，表示复数的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数除法运算，化简即可判断对应的点所在象限。【详解】由复数除法运算，可得所以在复平面内对应点坐标为，即位于第二象限所以选B【点睛】本题考查了复数的除法运算，复平面内点坐标特征，属于基础题。3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（ ）A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键4.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据角终边上点的坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值。【详解】因为终边上点所以 所以所以选A【点睛】本题考查了三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题。5.若实数，满足，则的最小值是（ ）A. 0B. 1C. D. 9【答案】A【解析】试题分析：作出可行域如下图所示，当直线过点时，有最小值，此时，故选A考点：线性规划6.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 2B. 6C. 10D. 24【答案】B【解析】【分析】根据三视图，画出原空间几何体，即可求得几何体的体积。【详解】由三视图，可得原空间几何体的结构图如下图所示：该几何体底面为直角梯形，根据各线段长度可得体积为 所以选B【点睛】本题考查了由三视图还原空间结构体的应用，棱柱体积的求法，属于中档题。7.在中，为的重心，为上一点，且满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角形重心的性质，结合向量的加法和减法即可判断结论。【详解】由题意，画出几何图形如下图所示：根据向量加法运算可得 因为G为ABC的重心，M满足所以，所以 所以选B【点睛】本题考查了三角形重心的性质，向量的线性运算，属于基础题。8.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周碑算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，根据余弦定理表示出BC，分别求得，根据几何概型中概率计算公式即可求解。【详解】设因为是由3个全等的三角形与中间的等边三角形构成所以， 由余弦定理可知 代入可得化简得由三角形面积公式可得 同理所以由几何概型面积类型的概率可得所以选A【点睛】本题考查了面积型的几何概率求法，求两个三角形面积比即可，属于基础题。9.已知双曲线：的左右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于，两点，若，的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】连接得四边形为平行四边形；根据双曲线定义及的面积求得，再在中应用余弦定理即可求得关系，进而利用双曲线中的关系求得渐近线方程。【详解】根据题意，连接得四边形为平行四边形，几何关系如下图所示：设，则的面积为，则由三角形面积公式可得，化简得 解得，（舍）所以在中， 由余弦定理可得，即化简可得 ，由双曲线中可得 即 所以渐近线方程为所以选D【点睛】本题考查了双曲线的定义和性质，渐近线方程求法，余弦定理的简单应用，属于中档题。10.已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据所给函数，画出函数图象，根据及恰有三个零点，即可根据图象判断m的取值范围。【详解】由题意，画出函数的图象如下图所示：恰有三个零点即有三个不同交点，即有三个不同交点由图象可知，当直线斜率在 之间时，有三个交点即 所以可得所以选A【点睛】本题考查了函数图象的画法，根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题。11.已知正方体的棱长为1，是线段上一动点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将空间结构体展开为平面图形，根据余弦定理即可求得的最小值。【详解】根据题意可得空间结构体图形如下图：将空间结构体以平面为面展开，将平面一并展开可得由图可知， 则 所以在中，由余弦定理可得 代入可得所以所以选D【点睛】本题考查了空间几何体最短距离问题，空间几何体平面展开图的应用，注意展开后对应的顶点和边，属于中档题。12.在中，内角，所对应的边分别为，的平分线交于点，且，则的最小值为（ ）A. 4B. 5C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角形面积公式找到的关系，结合基本不等式即可求得最小值。【详解】根据题意， 因为的平分线交于点，且所以而所以，化简得即则当且仅当时取等号，即最小值为所以选D【点睛】本题考查了三角函数面积公式的应用，基本不等式在求最值中的用法，属于中档题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知的展开式中含有的系数是-120，则_【答案】1.【解析】【分析】根据二项展开式的通项表达式，结合的系数是即可求得的值。【详解】由二项式定理的展开式可得 因为的系数是所以解得 所以系数为解得【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用，根据特定项的系数求参数，属于基础题。14.已知函数，则函数的图象在处的切线方程为_【答案】.【解析】【分析】根据函数解析式和点的坐标可知点在曲线上，求得导函数，根据点坐标即可求得切线斜率，再由点斜式即可求得切线方程。【详解】因为，点坐标为可知点在曲线上则则即切线的斜率为0又因为过点所以切线方程为【点睛】本题考查了过函数上一点切线方程的求法，注意首先要判断点是否在函数上，属于基础题。15.已知函数的一条对称轴为，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为_【答案】.【解析】【分析】根据对称轴求得，再根据可知关于对称中心对称，结合在区间上具有单调性即可求得的最小值。【详解】因为的一条对称轴为所以当时则可解得 ，所以函数解析式为对称中心的横坐标为解得 又且在区间上具有单调性所以当时，可得最小值为【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，正弦函数的单调性的用法，属于中档题。16.已知点是椭圆 上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若点是的平分线上一点，且，则的取值范围是_【答案】.【解析】【分析】画出图形，根据中位线性质及椭圆定义，结合P点位置，即可求得的取值范围。详解】根据题意，画出椭圆及各部分图形如下图所示：因为是的平分线上一点，且所以，即M为的中点又因为O为的中点由中位线性质可得 在椭圆方程为则 所以因为所以当P为短轴的顶点时，又因为P与椭圆的四个顶点不重合综上所述，【点睛】本题考查了椭圆方程的定义，几何性质的综合应用，中位线定理的应用，属于中档题。三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.设是数列的前项和，已知.（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】【分析】（1）利用递推公式，可得，再两边同时除以即可证明为等差数列。（2）先求得数列的通项公式，代入得数列的通项公式。再由分组法分别求得两个部分的和，即可求得数列的前项和。【详解】解：（1）由，所以，当时，解得.当时，式减去式，得.所以，又因为，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）知，即.所以 .所以.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，等差数列的证明，分组求和法的应用，考查内容丰富，属于中档题。18.如图，三棱柱中，.（1）证明：；（2）若，且，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】【分析】（1）根据所给线段关系及角度关系，可证明平面，根据三线合一可知为等腰三角形，即可证明。（2）为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，求得平面的法向量和平面的法向量，利用向量的数量积即可求得二面角的余弦值。【详解】取的中点，连结，.因为，所以是等边三角形所以又，所以，所以平面，所以，由三线合一可知为等腰三角形所以.（2）设，则.因为，所以.又因为，所以，所以.以为坐标原点，向量的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为则，即可取由（1）可知，平面的法向量可取所以由图示可知，二面角为锐二面角所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查了线面垂直的证明，空间直角坐标系的应用，法向量在求面面夹角中的用法，属于中档题。19.已知动点与两个定点，的距离的比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与曲线交于、两点，求线段长度的最小值；（3）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围.【答案】(1) .(2) .(3).【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式，及动点与两个定点，的距离的比为，代入化简即可求得动点P的轨迹方程。（2）根据（1）中求的轨迹方程，判断出点在圆内，则当直线满足时MN的值最小，根据垂径定理即可求得最小值。（3）表示出圆Q的方程，根据两个圆有公共点的条件，可知两个圆的圆心距满足，解不等式即可求得t的取值范围。【详解】（1）由题意知：设 则，即，所以，整理得.所以动点的轨迹的方程为.（2）由（1）知轨迹是以为圆心，以2为半径的圆.又因为，所以点在圆内，所以当线段的长度最小时，所以圆心到直线的距离为，此时，线段的长为，所以，线段长度的最小值为.（3）因为点的坐标为，且圆与轴相切，所以圆的半径为，所以，圆的方程为.因，圆与圆有公共点，又圆与圆的两圆心距离为，所以，即，解得：.所以，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系及垂径定理的应用，圆与圆位置关系的应用，属于中档题。20.山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、共8个等级。参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.举例说明.某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为5869，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为6170，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为，求得.四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为8293，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望.（附：若随机变量，则，）【答案】(1)（i）83.;（ii）272.(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足，结合正态分布的对称性即可求得内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数。（2）根据各等级人数所占比例可知在区间内的概率为，由二项分布即可求得的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解。【详解】（1）（i）设小明转换后的物理等级分为，求得.小明转换后的物理成绩为83分；（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布，所以.所以物理原始分在区间的人数为（人）；（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，随机抽取4人，则.，.的分布列为01234数学期望.【点睛】本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题。21.已知函数，.（1）若存在极小值，求实数的取值范围；（2）设是的极小值点，且，证明：.【答案】(1) .(2)见解析.【解析】【分析】（1）先求得导函数，根据定义域为，可构造函数，通过求导及分类讨论，即可求得的取值范围。（2）由（1）令，通过分离参数得，同时求对数，根据函数，可得。构造函数及，由导数即可判断的单调情况，进而求得的最小值，结合即可证明不等式成立。【详解】（1）.令，则，所以在上是增函数.又因为当时，；当时，.所以，当时，函数在区间上是增函数，不存在极值点；当时，的值域为，必存在使.所以当时，单调递减；当时，单调递增；所以存在极小值点.综上可知实数的取值范围是.（2）由（1）知，即.所以，.由，得.令，显然在区间上单调递减.又，所以由，得.令，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；所以，当时，函数取最小值，所以，即，即，所以，所以，即.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性、极值和最值中的综合应用，利用导数证