湖南省湘东五校高二数学下学期期末联考试题 理.doc

2017 年上学期湘东五校联考高二年级期末考试理科数学试题时间：120 分钟满分：150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 ax|x24x30，bx|2x0 成立在命题pq, pq, p q， pq 中，是真命题的是ab. c. d. 4.椭圆 x2+my2=1 的长轴长为 4，则其焦点坐标为（）a.( 3 ,0)b.( 1,0）c.（0， 1 ）d.（0， 3 ）5.甲乙丙三人相约晚 7 时到 8 时之间在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到达，丙第三个到达的概率为（）1111a.b.c.d.34566.我国古代数学名著张邱建算经：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给 3 钱，第二人给 4 钱，第 3 人给 5 钱，以此类推，每人比前一人多给 1 钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得 100 钱，问有多少人?则题中的人数是（）a. 193b. 194c.195d. 1967.函数 f(x)asin( x )(a0， 0)的部分图像如下图所示，则 f11 的值为() 24 6a23b 22c 2d1r r8 若| ar |=1，| b |=2， cr = ar + b ，且 cr ar ，则向量 ar 与 b 的夹角为（）a.300 b.600 c.1200 d.150029 某几何体的三视图如下图所示，若该几何体的体积为 3，则 a 的值为()3a1b2c2 2d. 210执行如下图所示的程序框图，若输出的 i3，则输入的 a(a0)的值所在范围是()a. 9，)b.8，9x 2 y2c.8，144)d.9，144)11.已知 f1，f2 是双曲线-a 2b2= 1（a0,b0)的左、右焦点，点 f1 关于渐近线的对称点恰好落在以 f2 为圆心，|of2|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）a.3 b.3 +1c. 2d. 2x + 1，x 012.已知函数 f（x）= lgx，x 0，若函数 y=|f（x)|-a 有 4 个零点 x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4 的取值范围是()81101 81a.（0， 10b.（2， 10c. （0，+ ）d .（2， 10第卷(非选择题共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答， 第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.函数 f（x）=ax+lnx 在 x=1 处的切线与直线 x-y+1=0 垂直，则实数 a= 314.1 x2x12的展开式的常数项为 15.在 dabc 中，已知 ab= 3 ，c= p ，则 ca cb 的最大值为 316.一个样本容量为 20 的样本数据，它们组成一个公差不为 0 的等差数列an，若 a2=6 且前4 项和为 s4=28，则此样本数据的平均数和中位数分别为 、 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题 12 分）已知数列an的前 n 项和为 sn，sn=2an-1，数列bn为等差数列，且 b1=a1，b6=a5（1）求数列an与bn的通项公式；（2）若 cn=anbn，求数列cn的前 n 项 和 tn。18.(本小题 12 分）如图所示，四边形 abcd 是正方形，pab 与pad 均是以 a 为直角顶点的等腰直角三角形，点 f 是 pb 的中点，点 e 是边 bc 上的任意一点(1)求证：afef；(2)求二面角 a pc b 的平面角的正弦值19.(本小题 12 分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的 200 辆汽车所用时间的频数分布表如下：所用的时间(天数)10111213通过公路 1 的频数20402020通过公路 2 的频数10404010假设汽车 a 只能在约定日期(某月某日)的前 11 天出发，汽车 b 只能在约定日期的前 12天出发(将频率视为概率)(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车 a 和汽车 b 应如何选择各自的路径？(2)若通过公路 1、公路 2 的“一次性费用”分别为 3.2 万元、1.6 万元(其他费用忽略不计)，此项费用由生产商承担若生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商 40 万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商 2 万 元；若在约定日期后送到，每迟到一天生产商将支付给销售商 2 万元如果汽车 a，b 按(1)中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大x2 y220.(本小题 12 分）在直角坐标系 xoy，椭圆 c1： 1(ab0)的左、右焦点分别为a2 b22f1，f2，其中 f2 也是抛物线 c2：y 4x 的焦点，点 m 为 c1 与 c2 在第一象限的交点，且|mf2|5 .(1)求椭圆 c1 的方程；(2)若过点 d(4，0)的直线 l 与 c1 交于不同的两点 a，b，且 a 在3db 之间，试求aod 与bod 面积比值的取值范围x221.(本小题 12 分）设函数 f(x)2 aln x(a0)(1)讨论 f(x)的单调性和极值；(2)证明：当 a0 时，若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1， e上仅有一个零点请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用 2b 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑把答案写在答题卡上x 3cos ，22(本小题 10 分）在直角坐标系 xoy 中，曲线 c 的参数方程为ysin 数)以原点 o 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为( 为参 sin 2.(1)写出曲线 c 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；(2)设点 q 是曲4 线 c 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最大值。23(本小题 10 分）设 f(x)|2x1|1x| (1)解不等式 f(x)x4；(2)若对任意的 xr，不等式 f(x)(m23m3)|x|恒成立，求实数 m 的取值范围。2017 年上学期湘东五校联考高二年级期末考试理科数学答案时间：120 分钟满分：150 分第卷(选择题共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 ax|x24x30，bx|2x0 成立在命题pq, pq, p q， pq 中，是真命题的是ab. c. d. 4.椭圆 x2+my2=1 的长轴长为 4，则其焦点坐标为（d）a.( 3 ,0)b.( 1,0）c.（0， 1）d.（0， 3 ）5.甲乙丙三人相约晚 7 时到 8 时之间在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到达，丙第三个到达的概率为（d）a. 1 b.31 c.41 d. 15 66.我国古代数学名著张邱建算经：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给 3 钱，第二人给 4 钱，第 3 人给 5 钱，以此类推，每人比前一人多给 1 钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得 100 钱，问有多少人?则题中的人数是（c）a. 193b. 194c.195d. 19611 的值为7.函数 f(x)asin( x )(a0， 0)的部分图像如图 84 所示，则 f 24 (d)图 1632a 2 b 2 c 2 d1r r8 若| ar |=1，| b |=2， cr = ar + b ，且 cr ar ，则向量 ar 与 b 的夹角为（c）a.300 b.600 c.1200 d.150029 某几何体的三视图如图 12 所示，若该几何体的体积为 3，则 a 的值为(b)图 23a1b2c2 2d. 210执行如图 13 所示的程序框图，若输出的 i3，则输入的 a(a0)的值所在范围是(d)a.9，)b.8，9图 3c.8，144)d.9，144)x 2y211.已知 f1，f2 是双曲线-a 2b2= 1（a0,b0)的左、右焦点，点 f1 关于渐近线的对称点恰好落在以 f2 为圆心，|of2|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ d）a.3 b.3 +1c. 2 d. 2x + 1，x 012.已知函数 f（x）= lgx，x 0，若函数 y=|f（x)|-a 有 4 个零点 x1，x2，x3，x4，则 x1+x2+x3+x4的取值范围是(a)a.（0 81， b.（2 101，101081c.（0，+ ）d .（2， 10第卷(非选择题共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答， 第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.函数 f（x）=ax+lnx 在 x=1 处的切线与直线 x-y+1=0 垂直，则实数 a= -2 13125513.x2x的展开式的常数项为 214.在 dabc 中，已知 ab= 3 ，c= p ，则 ca cb 的最大值为 33 215.一个样本容量为 20 的样本数据，它们组成一个公差不为 0 的等差数列an，若 a2=6 且前4 项和为 s4=28，则此样本数据的平均数和中位数分别为 23，23三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题 12 分）已知数列an的前 n 项和为 sn，sn=2an-1，数列bn为等差数列，且 b1=a1，b6=a5（1）求数列an与bn的通项公式；（2）若 cn=anbn，求数列cn的前 n 项 和 tn。解：由 sn=2an-1，（1）n 2 sn-1=2an-1-1，（2)(1)-(2)得：an=2an-2an-1，即 an=2an-1，n=1 得 a1=1n a =2n-1kkkkkk kkkkkk 3 分q b1=a1=1，b6=a5=16 且bn为等差数列 公差 d=3，bn=3n-2kkkkkk kkkkkk 6 分n-1,（2）由错位相减法求和 cn=anbn=(3n-2)20 1 2n-1,tn=1 2 +4 2 +7 2 +kk +(3n-2)2(1)1 2 3n-1,n, kkkkkk2tn=1 2 +4 2 +7 2 +kk +(3n-5)2(1)-(2)得：+(3n-2)2(2)8 分0 1 2n-1, n,-tn=1 2 +3 2 +3 2 +kk +3 21- 2n -1-(3n-2)2=1+31- 2-(3n-2)2n,kkkkkk kkkkkk 10 分=（3n-5）2n+5kkkkkk kkkkkk 12 分18.如图所示，四边形 abcd 是正方形，pab 与pad 均是以 a 为直角顶点的等腰直角三角形，点 f 是 pb 的中点，点 e 是边 bc 上的任意一点(1)求证：afef；(2)求二面角 a pc b 的平面角的正弦值解：(1)证明：f 是 pb 的中点，且 paab，afpb.pab 与pad 均是以 a 为直角顶点的等腰直角三角形，paad，paab.又adaba，ad平面 abcd，ab平面 abcd，pa平面 abcd.bc平面 abcd，pabc.四边形 abcd 是正方形，bcab.又paaba，pa平面 pab，ab平面 pab，bc平面 pab.af平面 pab，bcaf.kkkkkk kkkkkk 3 分pbbcb，pb平面 pbc，bc平面 pbc，af平面 pbc.ef平面 pbc，afef.kkkkkk kkkkkk 5 分(2)以 a 为坐标原点，分别以 ad，ab，ap 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 a xyz.设 pa1，则 p(0，0，1)，b(0，1，0)，c(1，1，0)，d(1，0，0)，pb(0，1，1)，bc(1，0，0)设平面 pbc 的法向量为 m (x，y，z)，mpb0， 由yz0， 得x0，令 y1，得 z1，mbc0，m (0，1，1)为平面 pbc 的一个法向量kkkkkk kkkkkk 7 分pa平面 abcd，pa平面 pac，平面 pac平面 abcd.连接 bd，则 bdac.平面 pac平面 abcdac，bd平面 abcd，bd平面 pac，平面 pac 的一个法向量为bd(1，1，0)kkkkkk kkkkkk 9 分设二面角 a pc b 的平面角为 ， mbd1kkkkkk kkkkkk11 分则 cos |cosm ，bd| 2，sin 1cos2 3|m |bd|2二面角 a pc b 的平面角的正弦值为 3. kkkkkk kkkkkk 12 分219.有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的 200 辆汽车所用时间的频数分布表如下：所用的时间(天数)10111213通过公路 1 的频数20402020通过公路 2 的频数10404010假设汽车 a 只能在约定日期(某月某日)的前 11 天出发，汽车 b 只能在约定日期的前 12天出发(将频率视为概率)(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车 a 和汽车 b 应如何选择各自的路径？(2)若通过公路 1、公路 2 的“一次性费用”分别为 3.2 万元、1.6 万元(其他费用忽略不计)，此项费用由生产商承担若生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商 40 万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商 2 万 元；若在约定日期后送到，每迟到一天生产商将支付给销售商 2 万元如果汽车 a，b 按(1)中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大解：(1)频率分布表如下：所用的时间(天数)10111213通过公路 1 的频率0.20.40.20.2通过公路 2 的频率0.10.40.40.1设 a1，a2 分别表示汽车 a 在约定日期前 11 天出发选择公路 1，2 将货物运往城市乙；设b1，b2 分别表示汽车 b 在约定日期前 12 天出发选择公路 1，2 将货物运往城市乙 则 p(a1)0.20.40.6，p(a2)0.10.40.5，kkkkkk 2 分 p(b1)0.20.40.20.8，p(b2)0.10.40.40.9.kkkkkk 4 分故汽车 a 选择公路 1，汽车 b 选择公路 2.kkkkkk kkkkkk 6 分(2)设 x 表示汽车 a 选择公路 1 时，销售商付给生产商的费用，则 x 的所有可能取值有42，40，38，36，则 x 的分布列如下：x42403836p0.20.40.20.2e(x)420.2400.4380.2360.239.2，汽车 a 选择公路 1 的毛利润是 39.23.236(万元)kkkkkk 9 分设 y 表示汽车 b 选择公路 2 时，销售商付给生产商的费用，则 y 的所有可能取值有 44，42，40，38，则 y 的分布列如下：y44424038p0.10.40.40.1e(y)440.1420.4400.4380.141，汽车 b 选择公路 2 的毛利润是 411.639.4(万元)36b0)的左、右焦点分别为 f1，a2 b22 5f2，其中 f2 也是抛物线 c2：y 4x 的焦点，点 m 为 c1 与 c2 在第一象限的交点，且|mf2| .3(1)求椭圆 c1 的方程；(2)若过点 d(4，0)的直线 l 与 c1 交于不同的两点 a，b，且 a 在 db 之间，试求aod与bod 面积比值的取值范围解：(1)依题意知 f2(1，0)，设 m(x1，y1)52由抛物线定义得|mf2|1x1 ，即 x1 .322 63kkkkkk kkkkkk将 x1 代入抛物线方程得 y1 ，2 分3322 622 22 223 3 由 a2 b2 1 及 a b 1，解得 a 4，b 3.x2y2kkkkkk kkkkkk故椭圆 c1 的方程为4 3 1.5 分x2 y2(2)依题意知直线 l 的斜率存在且不为 0，设 l 的方程为 xmy4，代人4 3 1，整理得(3m24)y224my360， 由 0，解得 m24.24my1y2 ，设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则3m2436kkkkkk kkkkkk 7 分y1y2 ，3m24saod1|od|y |12y1令 ，则21|od|y |，且 0 4 得1， 1 且 3 210 30,10 3 231解得 1 或 1 3.311又0 1， 0 时，若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1， e上仅有一个零点解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)x axx2a kkkkkk.1 分x当 a0，f(x)在(0，)上单调递增，无极值kkkkkk 3 分当 a0 时，由 f(x)0，解得 x a. f(x)与 f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0， a)a( a，)f(x)0f(x)a（1ln a）2所以，f(x)的单调递减区间是(0， a)，单调递增区间是( a，)，a（ 1 ln a） kkkkkk 6且 f(x)在 x a处取得极小值 f( a)2.分(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为 f( a)a（1ln a）a（1ln a）2.因为 f(x)存在零点，所以0，从而 ae.2当 ae 时，f(x)在区间(1， e)上单调递减，且 f( e)0，所以 x e是 f(x)在区间(1， e上的唯一零点kkkkkk 9 分1ea当 ae 时，f(x)在区间(0， a)上单调递减，且 f(1) 0，f( e)220 时 ， 若 f(x) 存 在零 点 ， 则 f(x) 在区间(1 ， e 上 仅有 一 个 零点kkkkkk 12 分请考生在第 22，23