高中数学 3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课件 北师大版必修1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修1 指数函数和对数函数 第三章 6指数函数 幂函数 对数函数增长的比较 第三章 在区间 0 上 尽管函数y ax a 1 y logax a 1 y xn n 0 都是 填 增 或 减 函数 但它们的增长速度不同 而且在不同的 档次 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并会远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度会越来越慢 因此 总会存在一个x0 当x x0时 就有logax xn ax 增 1 函数y1 2x与y2 x2 当x 0时 图像的交点个数是 a 0b 1c 2d 3 答案 c 解析 当x 2或x 4时 y1 y2 当x 4时 y1 y2 故交点个数是2 答案 a 解析 a与d都是指数型函数 增加速度快排除b c 又e 2 故选a 答案 c 解析 代入 3 0 4 04 4 0 7 5 检验即可 故选c 4 函数y x2与函数y lnx在区间 0 上增长较快的是 答案 y x2 解析 作出y x2与y lnx的图像 通过比较图像可得 5 函数y1 log3x与函数y2 3x 当x从1增加到m时 函数的增量分别是 y1与 y2 则 y1 y2 填 或 1后的增长速度小于指数函数的增长速度 所以 y1 y2 分析指数函数y 2x与对数函数y log2x在区间 1 上函数的增长情况 思路分析 解答本题时 应分析对于相同的自变量的增量 比较指数函数的增量与对数函数的增量的差异 规范解答 指数函数y 2x 当x由x1 1增加到x2 3时 x 2 y 23 21 6 对数函数y log2x 当x由x1 1增加到x2 3时 x 2 而 y log23 log21 1 5850 比较函数增长的差异 由此可知 在区间 1 内 指数函数y 2x随着x的增长函数值的增长速度逐渐加快 而对数函数y log2x的增长速度逐渐变得很缓慢 规律总结 在同一坐标系内作出y 2x和y log2x的图像 从图像上可观察出函数的增减变化情况 如图所示 比较大小问题 规律总结 1 比较同底数的对数值大小 考虑使用对数函数的单调性 2 底数与真数都不相同时 经常采用放缩法或借助第三个量来比较大小 3 利用函数图像及其相互位置关系来比较大小 不同增长的函数模型的实际应用 某公司为了实现1000万元利润的目标 准备制定一个激励销售部门的奖励方案 在销售利润达到10万元时 按销售利润进行奖励 且奖金y 单位 万元 随销售利润x 单位 万元 的增加而增加 但奖金总数不超过5万元 同时奖金不超过利润的25 现有三个奖励模型 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x 其中哪个模型能符合公司的要求 思路分析 若逐一计算考证 则非常繁琐 故可先通过画图像筛选出较好的方案 再从理论上通过计算进行确认 达到事半功倍的效果 规范解答 借助计算器或计算机作出函数y 5 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x的图像 如图所示 观察图像发现 在区间 10 1000 上 模型y 0 25x y 1 002x的图像都有一部分在直线y 5的上方 只有模型y log7x 1的图像始终在y 5的下方 这说明只有按模型y log7x 1进行奖励时才符合公司的要求 下面通过计算确认上述判断 首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万 对于模型y 0 25x 它在区间 10 1000 上单调递增 当x 20 1000 时 y 5 因此该模型不符合要求 对于模型y 1 002x 由函数的图像 并利用计算器计算可知 在区间 805 806 内有一个点x0满足1 002x0 5 由于它在区间 10 1000 上单调递增 因此当x x0时 y 5 因此该模型不符合要求 对于模型y log7x 1 它在区间 10 1000 上单调递增 而且当x 1000时 y log71000 1 4 55 5 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求 规律总结 数学知识来源于客观实际 服务于实际问题 数学是人们认识世界 改造世界的工具 其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型 不同的变化规律需要不同的函数模型来描述 面临一个实际问题 选择合适的数学模型是一件非常重要的事情 根据三种不同的增长模型的特点 选择符合自己的模型 才能产生更大的经济效益 在所有的增函数中 指数增长是最快的增长 称为 指数爆炸 不学数学的人还真不敢想象 有好多有关传说 相传古代印度国王要奖励国际象棋的发明者 问他有什么要求 发明者说 请在棋盘的第1格中放上1颗麦子 在第2格中放上2颗麦子 第3格中放上4颗麦子 第4格中放上8颗麦子 依次类推 每格中放的麦子数都是前一格的2倍 直到第64格 国王以为小事一桩 马上答应了 我们算算国际象棋的发明者的要求到底高不高 辨析 对于函数y ax a 1 随着x的增大 增长速度会越来越快 会超过并远远大于y logax a 1 和y xn n 0 的增长 正解 显然是指数函数f x 2x 1 x 1 2 3 64 的模型 本题实际上是求64个函数值的和 我们不妨求f 64 263 9 22 1018 假定每1000颗麦子重40克 f 64 3500亿吨 显然国王不能满足发明者的要求 我们再算一算f1 x log2x f1 64 log264 6 f2 x x2 f2