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文档简介
_椭圆中的两个最大张角在椭圆中有两个比较特殊的角,一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角,另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角,它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角,它们有着重要的应用,给解决一些问题带来很大的方便,现归纳如下:一两个重要结论XYOP命题1如图:已知为椭圆的两个焦点,为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端点时,最大。分析:,而在为减函数,只要求的最小值,又知,利用余弦定理可得。证明:如图,由已知:,所以,(当时取等号)由余弦定理得:(当时取等号),所以当时,的值最小,因为,所以此时最大。即点为椭圆短轴的端点时最大。 命题2如图:已知为椭圆长轴上的两个顶点,为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端点时,最大。XYOQABP分析:当最大时,一定是钝角,而在上是增函数,利用点的坐标,表示出,再求的最大值。证明:如图,不妨设,则 ,所以, 则,又,所以,因为,所以当时,取得最大值,此时最大,所以当点为椭圆短轴的端点时,最大。二两个结论的应用 利用上面两个结论,在解决一些问题带来很大的方便:例1已知为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点使得,求椭圆离心率的取值范围。分析:因为存在,所以只要最大角,即,即,也就是,从而求出的范围。解析:由结论1知:当点为椭圆短轴的端点时,最大,因此要最大角,即,即,也就是,解不等式,得,故椭圆的离心率。例2设为椭圆的两个焦点,为椭圆上任意一点,已知是一个直角三角形的三个顶点,且,求的值。分析:由结论1知:当点为椭圆短轴的端点时,最大,且最大角为钝角,所以本题有两种情况:或。解析:由已知可得,当点为椭圆短轴的端点时,最大且为钝角,由结论1知,椭圆上存在一点,使为直角,又也可为直角,所以本题有两解;由已知有(1)若为直角,则,所以,得,故;(2)若为直角,则,所以,得,故。评注:利用最大角知道,可以为直角,从而容易判断出分两种情况讨论,避免了漏解的情况。例3已知椭圆,长轴两端点为,如果椭圆上求这个椭圆的离心率的取值范围。分析:由结论2知:当点为椭圆短轴的端点时,最大,因此只要最大角不小于即可。解析:由结论2知:当点为椭圆短轴的端点时,最大,因此只要,则一定存在点,使,即所以,得,故椭圆的离心率的取值范围是。三巩固练习:1已知焦点在轴上的椭圆,是它的两个焦点,若椭圆上存在点,使得,求的取值范围。2已知椭圆,是它的两个焦点,点为其上的动点,当为钝角时,求点横坐标的取值范围。答案:1解:由结论1知,当点为椭圆短轴的端点时,最大,若此时,则有:,又,所以,因为椭圆越扁,这样的点一定存在,所以的取值范围为: 。2解:由结论1知,当点越接近短轴的端点时,越大,所以只要求为直角时点的横坐标的值,因为,所以当为直角时,点在圆上,解
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