（机械制造及其自动化专业论文）基于序单开链法的tricept并联机构运动学分析及仿真.pdf

佳木斯大学硕士学位论文 摘要 t f i c e p t 机构作为一种少自由度的并联机构，具有结构简单紧凑、高刚度、高精度、 承载能力强、设计、制造成本都相对较低等特点。目前，t r i c e p t 机构是并联机器人家族 中应用较多的一种。但是，在目前现有的文献中，有关t f i c e p t 机构正运动学的研究还 是很有限，因此本文以t r i c e p t 机构为研究对象，基于序单开链法首次给出该机构的正 运动学分析，并对该机构进行运动学仿真以验证模型的准确性。 1 ) 对t r i c e p t 机构进行结构描述和自由度的分析。介绍了单开链的约束度和耦合度 的定义及计算公式。根据序单开链结构分解原则和耦合度的定义，将该机构分解为三个 单开k t ( s o c ) ，计算出t r i c e p t 机构的耦合度为2 。 2 ) 介绍了可进行并联机构正运动学和动力学分析的一种新方法序单开链法。 该方法无需技巧性降维即可得到维数最少，且恰等于机构耦合度的运动学方程。并 采用序单开链法首次对撕c e p t 机构的位置正解、速度和加速度进行分析，给出其正运动 学的数学模型。分析实例的结果表明了位置正解模型的准确性。 3 ) 借助于计算机辅助设计软件u o 设计出虚拟样机。用a d a m s 软件在样机上进 行运动学仿真，对前面推导出的t f i c e p t 机构的速度和加速度模型和计算结果进行验 证。通过实例分析和运动学仿真的结果，表明序单开链法完全可以应用在t r i c e p t 机构 的正运动学分析，具有普遍的适用性。 关键词：并联机构单开链约束度耦合度虚拟样机运动学仿真 佳木斯大学硕士学位论文 a sak i n do f al i m i t e dd o f ( d e g r e eo f f r e e d o m ) p a r a l l e lm e c h a n i s mt h et r i c e p tm e c h a n i s m h a st h ec h a r a c t 嘶s t i c so fs i m p l ea n dc o m p a c t 蛐r u c 嘁，h i g hr i g i d i t y , h i g hp r e c i s i o n , s t r o n g c a r r y i n gc a p a c i t y , l o w e rc o s ti nd e s i g na n dm a n u f a c t u r e , s ot h et r i c e p tm e c h a n i s mh a sb e e n u s e dm o l te x t e n s i v e l yi nt h ep a r a l l e lr o b o tf a m i l y b u t , a tp r e s e n ti nt h ec ，【i s 血培l i t e r a t u r e s ， d i r e c tk i n e m a t i cl i t e r a t u r e sa b o u tt h et r i c e p tm e c h a n i s ma l ev e r yl i m i t e d , s oi nt h i sp a p e r , t h e t d c e p tm e c h a n i s mi sc h o s e na s 坤辩a k l l i i 培o b j e c t , a n dt h ed i r e c t 垴n 既瑾疵a n a l y s i sb a s e dt h e o r d e r e ds i n g i g - o p c n e d - g h a i nm e t h o di sp r e s e n t e df a s t , a n dk i n e m a t i cs i m u l a t s i o no f t h et n c e p t m e c h a n i s mi sd o n et ov e r i f yc o r r e c t n e s so f t h em o d e l 1 ) t h e 鳓m 咖o ft h et f i c e p tm e c h a n i s mi sd e s c r i b e da n di t sd o fi sc a l c u l a t e d 1 1 站 d e f m i f i o na n dc a l c u l a t i o nf o r m u l af o rc o n s t r a i n td e g r e ea n dc o u p l i n gd e g r e eo fs i n g l e - o p e n e d - c h a i na r ei n t r o d u c e d a c c o r d i n gt od e c o m p o s i n gp r i n c i p l eo ft h eo r d e r e ds i n g l e - o p e n e d c h a i na n dt h ed e f i n i t i o no f c o u p l i n gd e g r e e , t h et r i c e p tm e c h a n i s mi sd i s c o m p o s e d t ot h r e es i n g l e - o p e n e d - c h a i n , t h e nt h ec o u p l i n g d e g r e eo ft h et r i c e p tm e c h a n i s mi s c a l c u l a t e dt ob e2 2 1ak i n do fn e wm e t h o dn a m e do r d e r e ds i n g l e - o p a n e d - c h a i nt h a tc a nb eu s e di nd i r e c t k i n e m a t i ca n dd y n a m i ca n a l y s i s t h i sm e t h o dn e e d sn 0s k i l li nd i m e n s i o nr e d u c t i o nt o o b t a i nk i n e m a t i c se q u a t i o n sw i t hl e a s td i m e n s i o nt h a te q u a l st ot h ec o u p l i n gd e g r e e so f t h e m e c h a n i s m d i r e c td i s p l a c e m e n ts o l u t i o n ，v e l o c i t ya n da c c e l e r a t i o no ft h et f i c e p t m e c h a n i s ma r ea n a l y z e df i r s t u s i n gt h eo r d e r e ds i n g l e o p e n e d - c h a i nm e t h o d ，a n di t s m a t h e m a t i cm o d e l sa r ed e d u c e d n l er e s u l t so fs a m p l ei n d i c a t et h ec o r r e c t n e s so ft h e d i r e c td i s p l a c e m e n ts o l u t i o n 3 ) v i r t u a lp r o t o t y p ei sd e s i g n e dr e c t a r i n gt oc o m p u t e ra i d e dd e s i g ns o r w a l l - - - u g t h e n k i n e m a t i cs i m u l a t i o ni sd o n eo l lv i m l a ip r o t o t y p eu s i n ga d a m s s o f t w a r e , a n dt h em o d e l so f v e l o c i t ya n da c c e l e r a t i o no ft h et r i c e p tm e c h a n i s m 勰v e r i f i e d b ys a m p l ea n a l y s i sa n d k i n e m a t i cs i m u l a t i o n , i ti sp r o v e dt h a tt h eo r d e r e ds i n g l e - o p e n e d - c h a i ni sc o m p l e t e l yu s e di nt h e d i r e c tk i n e m a l i ea n a l y s i s ，a n dt h em e t h o dc a nb ea p p l i e dt oa n yp a r a l l e lm e c h a n i s m k e y w o r d s ：p a r a l l e lm e c h a n i s m ；s i n g l e - o p e n e d - c h a i n ；c o n s t r a i n td e g r e e ； c o u p l i n gd e g r e e ；v i r t u a lp r o t o t y p e ；k i n e m a t i c ss i m u l a t i o n 2 独创性说明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 佳木斯大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示 了谢意。 签名：俎日期互上犯 关于论文使用授权的说明 本人完全了解佳木斯大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的论文在解密后应遵循此规定) 签名：蛆导师签名：塑跬l 日期：扯 佳木斯大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 随着现代科学技术( 如先进制造技术、机器人技术、生物技术、航空航天技术) 的 发展，对各种机械设备的性能提出了更高的要求，例如制造业对高速度、高精度、高强 度、高效率的设备的需求，医学的发展对微型高精度设备的需求，特别是近些年来，中 国航空航天工业和材料科学的飞速发展，对航天器精度、强度、耐高温的要求更高和对 一些新型特殊的难加工材料进行高精度的加工等等。那么如何来满足现在这种日益增长 的需求昵? 开发并联机器人成为解决这些难题的一种很好的解决途径。 并联机器人具有刚度大、承载能力强、高精度、高速性能、结构紧凑等优点，可作 为实现自动化、高速化和柔性化生产的新型装备。然而由于受铰链约束、支链干涉、奇 异位形的影响，致使各种纯六自由度的并联机器人存在着动平台实现姿态能力差、工作 空间小的固有缺陷。为了克服这一不足，基于少自由度的串并联构型尤为令人关注。而 典型的嘣p t 并联机构灵活度高、工作空间大、结构简单、易于控制，具有很高的实 用价值，在近几年已经得到广泛的应用。但是，有关t d c e q x 并联机器人运动学的研究 文献还是非常少见，因此，本文以t d c e v t 并联机构为对象，对其进行运动学分析。 1 2 课题与研究背景和意义 1 2 1t d c q a 并联机构的起源 自2 0 世纪8 0 年代以来，世界各国的机构学学者先后开展了对少自由度并联机器人 的研究。少自由度并联机器人包含了并联机器人与少自由度机器人的优点，如： ( 1 ) 刚度大，承载能力强，而且结构稳定： 0 为复杂运动链。并联机构的正运动学与正动力学分析需多个回路联立求 解，七恰为联立方程组进行搜索求解的最低维数。特别地，对k - - - - 1 的多回路并联机 构，可用一维搜索得到位置正解问题的全部实数解。因此，祸合度七表征了多回路 并联机构正运动学与正动力学问题的复杂性。后为复杂运动链运动分析与动力分析 时，需求解回路之间方程组的未知变数数目。| i 越大则运动越复杂。 按照耦合度量算法，已经证明基本回路数v = 1 4 基本运动链的耦合度仅为0 、1 或 2 ，惫= 1 机构占绝大部分。而常用机构的耦合度女仅为0 或l 。 对同一运动链p m f ，v ，明，与其耦合度七相应的结构分解路线可有多条，每一条结 构分解路线都有v 个单开链并按一定次序排列。其正序用于机构运动分析，而其逆序用 于机构动力分析。第一结构分解路线的4 ，为正、负或零的单开链数目v + 、v 一或v o 并一 定对应相等。 2 5 2 基于序单开链t r i c c p t 机构结构分解和耦合度计算 2 5 1t r i c c p t 机构序单开链结构分解和约束度计算 1 4 佳木斯大学硕士学位论文 a ) + 图2 - 3 基f 1 序开链法的t r j c e p i 机构结构分解图 基于序单开链结构分解思想，t r i c e p t 机构分解如图2 3b ) ， !v。3”i3葛堋-i-ibkc叫f=，0忙：,。k=叫21，(2-8)fb+soca i s o c s o ca 3 = l (= + 2 )2 ( 彳2 = 一1 ) +3 (= 一1 ) 式中 s o c ： 乩一只一墨一只一u 4 4 = 一i i 一刍= 9 - l 一6 = + 2 s o c 2 ： 墨一只一u i ， a 2 = n 2 1 2 一参= 6 - 1 6 = 一1 s o c 3 ： 是一一u 2 4 = m 3 一厶一磊= 6 - 1 6 = 一1 m ，第，个单开链的自由度数。 ，第，个单开链的主动副数。 由上式可以看出，t r i c c p t 机构分解为玑一b s 一只一u 4 、s 一只一u 和 墨一只一三个序单开链。单开链s o c 。依次由虑克绞u 、伸缩杆只、球副岛、伸缩 杆只和虎克绞以联接而成。单开链s o c ：由球副s 、伸缩杆只和虎克绞u 联接而成。 单开链s o c 3 $ 期j s 2 、伸缩杆昱和虎克绞联接而成。 1 5 佳木斯大学硕十学位论文 2 5 2t r i e e p t 机构耦合度计算 按机构式( 2 - 0 ，t f i e e p t 机构的耦合度为 p k ：一1y h i ：2 2 7 。 2 6 本章小结 本章先说明了t r i c e p t 机构的结构特点，计算该机构的自由度。然后介绍了基于序 单开链单元的耦合度k 的概念、耦合度k 的意义、结构因子彳，的概念、结构因子4 的 意义以及他们的计算公式。详细介绍了基于序单开链单元的并联机构的分解思想，根据 该思想，将t r i c e p t 机构分解为三个支链，并计算出t r i c e p t 机构的每个序单开链的约 束度和机构的耦合度，为后面的正运动学分析奠定了理论基础。 1 6 佳木斯大学硕士学位论文 第三章砥c e p t 机构位置正解分析 3 1 概述 并联机构位置正解的求解方法有数值法、解析法和一些应用于特殊机构的方法。但 是，由于数值法的计算速度比较慢，不能求得机构的所有位置解，并且最终的结果与初 值的选取有直接的关系，虽然解析法能求得机构的所有位置解，但它的推导过程极为复 杂。t r i c e p t 机构虽然现在是一种应用很广泛的机构，但是，在国内现有的关于t r i c e p t 机构的正运动学分析的研究文献还是非常少的，而且现有的文献大部分都是位置逆解为 主。因此本章应用了一种较新的求解并联机构位置正解的方法序单开链法，对 t r i c e p t 机构进行正运动学的分析。使用序单开链法不需要任何技巧便可将并联机构的位 置方程的维数降至最低，且恰等于机构耦合度，并可求出全部实数解。 本章先介绍了基于序单开链法的并联机构正运动学分析的基本思想。基于序单开链 结构的组成及耦合度k 算法原理网，将t d c e p t 机构进行运动链分解，应用序单开链法 对t r i c e p t 机构的各个支链进行位置正解的分析。推导出t f i c e p t 机构的数学模型，举一 个数值实例，求解出一组输入参数的所有的位置解，并验证模型的准确性。 3 2 序单开链法 3 2 1 序单开链法的基本思想 序单开链法的基本思想是：根据序单开链法结构组成和耦合度k 的算法原理，任意 一个并联机构都可分解成为一组有序的单开链( s o c ) ，按式( 2 - 4 ) 逐个计算出每个单开链 的约束度4 ，进一步划分基本运动链b k c ，然后，按式( 2 - 6 ) 计算各基本运动链b k c 的 耦合度k 。上述过程可记为 土 p m f ，v ，k 】= f b + s o c ( 4 ) ) ，司 ( 3 一1 ) = j d 【用+ b k c ( o ，_ ，k ，) f 按序单开链结构分解正序，对第1 个b k c 包含的各s o c 进行位置分析，由$ 0 c 之间 的约束关系建立该b k c 位置方程，其方程维数恰为该b k c 愉为该b k c 的耦合度k 。首先 求出k 个未知位置变量后，该b k c 各构件的位置可方便得到。同理依次对全部b k c 进行 位置分析，就完成整个机构的位置分析。 在进行各基本运动链b k c 位置分析时，每个基本运动了链b k c 包含m 个s o c ( 4 j ) 单开链，以个s o c ( a o ) 单开链，p 个s o c ( a ；) 。对约束度为正值的每一单开链 s o c ( 4 d ，给其4 7 个构件( 或运动副) 的运动位置( 或速度、加速度) 以虚拟赋值， - 1 7 佳木斯大学硕士学位论文 就会有k 个虚拟变量。而结构因子4 为零的每一个单开链s o c ( 4 ) 可根据其它单开链 的虚拟赋值和自身的结构特点求得。按照机构结构分解路线的( 由第一个s o c 到第v 个 s o c ) ，每一单开链的运动分析可依次单独求解，但虚拟赋值的运动变量应满足结构 因子4 为负值的每一个单开链s o c ( 巧) 的l 巧1 个运动相容性条件，则共有七个相容性方 程。对_ i 个相容性方程中的k 个虚拟运动变量的赋值进行后搜索，得到满足全部_ i 个运 动相容性方程的虚拟运动变量的赋值即为这些运动变量的真实值。然后，机构其余构件 的运动状态可由首先求出的k 个运动变量方便地得到。上述各基本运动链b k c 位置分析 过程可记为 b k c ，( o ，v ，七，) = f b + 艺s o c ( 4 ) + s o c ，( 矽) + s o c ( 4 j ) 。1j - ij = l ( 3 - 2 ) = f b + j | 】+ s o c ( 4 7 ) + s o c ( 4 j ) j = lj = l 式中，+ 【明个虚拟输入 3 2 2 位置分析 首先，按照耦合度七的算法，将并联机构分解成v 个有序的单开链，计算出每个单 开链的约束度4 ，根据耦合度公式计算出机构的耦合度七。根据序单开链法的思想，应 该给机构中的七个运动变量虚拟赋值。 设q ，岛，口，分别为机构的，个主动输入的角位置。 仍，仍，吼是机构中i 个构件的真实角位置。 衍，苡，成是机构中| 个构件的角位置的虚拟赋值。 当衍，戎，成为任意赋值时，相应各s o c ( 4 j ) 的运动相容性条件不一定能 同时满足，故有 口。( 口，妒) = 名( 岛，岛，够，衍，磊，旃) o ( g = l ，2 ，七) ( 3 3 ) 当谚虚拟赋值满足运动相容性方程口。= o ( g = l ，2 ，) 时，矿虚拟赋值即为其角 位置妒，的真实值，使得各支链的运动相容性方程为 口。( b ，岛，巳，仍，仍，依) = 0 ( g = 1 , 2 ，七) ( 3 - - 4 ) 机构上其余构件和运动副的运动状态就可由上述满足运动相容性方程的仍， 仍，o9 吼解出。 1 8 1 ) 机构的位置分析可化为所包含基本运动链位置问题依次求解。换言之，基本 翮篡篙黧落荔酬龇脚瑚躺燃肭辩韵躺 耦合轰七耋耦合度为岔时，可用七维搜索得到全部实数解 且大多数少自由度实用 并联机构的耦合度女2 i 。 1 气_ 硎栅例黝析 3 3 1 坐标系的建立 2 u静秸2厉 批一一脯棚 移氘彰于上 为d翎直文 蜥一一胛一 示o m 的描一黼糊黼燃 佳木斯大学硕士学位论文 点，一轴与d 点和s 是的中点e 的连线重合，y 轴在动平台平面内与工轴垂直，一满 足右手定则，z t = x x y 。因为只d 是固结且正交于动平台s i s ：s ，z 轴垂直于动平台， 所以，轴与从动链u 。d 同向。 动坐标系可由静坐标系先绕y 轴旋转 角，再绕旋转后的x 轴旋转托角获得。从 动杆和动平台先绕y 轴转动，再绕旋转后的j 轴转动时，直线以d 在x o y 平面内的投 影垂直于y 轴，即以和d 点的y 坐标相等，除了在初始位置时，墨d 与x 轴总是构成 异面直线，通过上述分析可以说明，无论旋转角门和托为何值，以和d 点的y 坐标都 相等。 3 3 2t r i e e p t 机构位置正解分析 并联机构的正解分析是已知机构的输入，求机构上的任意构件和运动副的位姿的 求解过程。对于t r i c e p t 机构来说，它的三个驱动腿的长度做为机构的输入。通过改 变驱动腿的长度来获得想要实现的动平台的位姿。 根据并联机构位置正解的序单开链法的原理，t r i c e p t 机构中的s o c ( + 2 ) 支链， 选择两个变量给予虚拟赋值口和，而且口和+ 应该满足s o c ：( 一1 ) 和s o c ，( 一1 ) 的 两个运动相容性方程。通过对口和。进行二维搜索，得到满足式( 3 - - 2 ) 的口+ 和 ，得到的虚拟变量口+ 和即为口和的真实值。上述位置分析过程可记为 b ”y ”z u 、 b u 即z u 飞 x v j y v 3 氐、。 u 1 ，y u l ，z u 飞 e ，z i ) r k ，y ：，z ：) r k ，y 乏) r k ，蛀，z j ) r 耋受篆：筹建： j 寸缸d , y d , z d 厂j 鲥生屿奴( 口+ ，川= o j ”w 。 川 3 3 2 1 单开链s o c l 位置分析 按照耦合度计算公式和求耦合度时得到的t f i c c p t 机构的分解路线，该机构的 第一条单开链s o c 。： u 3 一与一岛一只一u 4 ，d a 5 ( 2 - - 4 ) 结构因子的计算公式， t r i c e p t 机构单开链s o c 的结构因子为2 。 2 0 佳木斯大学硕士学位论文 1 7 ( $ 3 ) 图3 - - 2 虚拟赋值口、示意图 如图3 - - 2 ，单开链s o c 。依次由虎克绞以、伸缩杆只、球副墨、伸缩杆只和虎克 绞u 。联接而成，虎克绞以和虎克绞乩与固定平台相连，由于虎克绞为2 自由度运动 副，要确定动平台的位置和姿态，就需要确定从动杆的两个方位角。根据前述的序单开 链法的原理，计算出耦合度k ，则可以把机构位置方程的维数降至最低恰等于机构耦合 度k 。因此需要对两个变量进行虚拟赋值，其他的变量均可由这两个虚拟变量来表示。 对主动杆u ，最与x 轴的夹角给予虚拟赋值，得到一个虚拟的已知变量o r 。对从动杆绕 x 轴的旋转角进行虚拟赋值，得到另一个虚拟的已知变量+ 。机构中的其它构件的运 动参数，可由这两个虚拟变量表示出来。 设动平台s , s ：墨和静平台u 以的外接圆半径分别为口和b ，驱动杆u 墨的长度 y o l , ，驱动杆u ：是的长度为厶，驱动杆u ，墨的长度为，3 。 由上述已知条件，可知道静平台上四个已知点的坐标： l = 三6 2 一巫6 2 o = 三6 2 鱼6 2 o m0 1 驴l ：r h 动平台s s ：墨和静平台u u 2 u 3 为正三角形，d 和u 分别为动平台和静平台的重 心，可求出： k = 争 2 1 佳木斯大学硕士学位论文 z s d = 口 1 l u f = 去b l u 。= b 运用余弦定理求出( 代表该变量是口+ 或的函数) “= 1 2 + 钆一2 1 , , c o s 口7 ” 由于u d 垂直于动平台，所以u d 垂直于墨d ，可求得从动杆u d 长度丘。 岳。= 妊。，一瑶。) ” 图3 - 3 空间四边形u 4 d s 3 u 3 的投影图 图3 - - 3 中的三幅图为空间四边形u , d s , u 3 在不同位置时在x o y 平面内的投影 图，g 和d ，是最和d 点在x o y 平面内的投影。图和表示g 和d 都在】，轴的一 侧，图表示g 和d ，分别在y 轴的两侧。u d 的初始位置与z 轴重合，墨d 与u 4 d 垂 直且平行于x 轴。u d 与s d 先绕j ，轴旋转一定角度，然后，再绕旋转得到的新j 轴 旋转一定角度，绕两坐标轴旋转的角度无论为何值，罡和连线上的点的l ，坐标都相 等。即确定卢后，d 和墨点的坐标即可被求出。 将驱动腿，3 投影到x 轴上，通过与u 3 点的x 坐标的关系，可得到g 在x o y 平面 内投影的坐标。 磷= 3 c o s 口* - t - 札 2 2 佳木斯大学硕士学位论文 zl s3 ， u 彩 如图3 - - 4 ，角为以d 绕l ，轴的旋转角，墨d 也绕着y 轴旋转y 角，则有 矿：1 4c o s f l * s i n y + l l 一，4s i n f l j 通过d 7 点和s d 在朋l ，平面内的投影，也可求出罡的坐标 = 陇嚣蜗kc o s y 1 磷和都为g 以不同构件求出的同一个点坐标的不同的表示方法，可根据氐和 中的彳坐标求出旋转角， 栈= 巴乏孑 _ 防蜗”c o s ， 可解得旋转角y ，= a s i n 丽3 霖c o s g 雨* + x u i 一抛面x s 万3 c 和，是动平台的两个旋转角，它们求出后，即可得到动平台的变换矩阵z 和 巧，巧是动平台绕x 轴旋转的变换矩阵，巧是动平台绕】，轴旋转的变换矩阵。 1 1 00 i 巧= i o c o s 一s i n f l i 1 0 s i n # c o s f l i 2 3 佳木斯大学硕士学位论文 i c o s y 0 - s i n y + f 巧= 0 10 i l s i n 广0c o s y l 动平台上任意点的坐标可由动平台从初始位置通过坐标变换求出。动平台与从动杆 正交固结在一起，在旋转变换时，动平台与从动杆是经过同样的坐标变换得到最终位 置。从动杆的初始位置在原点，与r 轴重合，动平台的三个顶点初始位置组成了一个与 u 4 d 垂直的正三角形，而且重心与玑d 的端点重合。坐标变换；从动杆和动平台先从 初始位置在原点绕y 轴旋转，再绕旋转后得到新的x 轴旋转卢，即可得到动平台上 墨和墨点的坐标。 g = d 2 职伊 口 2 压 一口 2 t j 3 3 2 2 单开链s o c ，和单开链s o c ，位置分析 通过上节。解得可和点的坐标，根据两点间距离公式，可求出研和u 、和 u 2 的长度玎和。根据序单开链法原理，应使，j 和满足驱动杆u s 和u ：长度约 束，得单开链s o c ，和s o c ，的运动相容性方程： e = ( 蠢一x u 。) 2 十( 一) 2 + ( z i 一) 2 一砰 e = ( 一电) 2 + ( 蛀一) 2 + 眩一) 2 一g 上式即为t r i c c p t 机构基于序单开链单元的相容性方程，g 和爰点的坐标是口和 声虚拟变量的函数，它们随着口和的变化而变化，因此运动相容性方程也是口和 两个虚拟变量的函数。当d 和为任意值时，鼻b + ，p ) 和e k + ，。) 并不一定能够 保证同时为零。可通过二维搜索，改变口和的赋值，直至只= 0 和最= 0 ，则可获 - 2 4 佳木斯人学硕士学位论文 得虚拟变量口。和的真实的角位置口和，把真实的角位置口和代入到方程中，即 一巧匮。 - a 马：耳以io 1 由于采用的搜索方法，求出的位置解存在着一定的误差。口和的步长决定了误 差的大小，步长越小，精度越高，则误差低，反之，则误差越大。然而，如果步长取的 非常小，则会影响求解速度，反之，步长太大，影响位置精度。因此，要想即提高求解 速度，又要满足适当的精度，就要采用优化方法，对近似解进行优化，得到满足精度的 位置解。 3 3 3 数值实例 实例机构结构参数：a = 1 2 0 m m , b = 3 4 6 4 m m , ，l = 1 0 7 3 9 1 m l n ，f = 8 6 3 0 3 n m h 厶= 1 1 9 1 7 1 m m , 精度e = 0 0 0 0 0 1 ；彳口= o o ；a f t = o o 。参数与文献用中的参数相 同。二维搜索得到机构位置正解实数解，如表l 所示。 表3 - 1实例机构位置正解的计算结果 编号8 ， l u 。dd 1 2 0 6 8 4 7 9 32 1 7 3 0 1 4 8 l9 8 5 8 8 7 1 3 9 ( 3 4 1 4 8 1 13 4 8 2 4 1 5 8 5 6 7 9 1 6 ) x 22 0 3 6 5 4 5 33 1 _ 0 6 5 5 9 99 4 7 1 6 5 8 9 9 0 5 8 2 0 4 63 2 9 6 2 0 2 7 6 0 6 0 6 5 ) t 31 9 5 1 7 9 2 23 7 0 2 9 4 4 99 8 2 7 0 2 6 7 3 ( 5 5 7 8 0 1 53 2 8 3 2 2 7 - 7 3 9 4 3 6 6 ) t 41 9 9 9 唔8 0 02 7 8 9 6 8 6 31 0 2 3 4 7 3 7 3 0 ( 4 4 9 9 9 4 53 4 9 9 9 4 9 8 5 0 0 0 4 1 ) t 5 - 1 9 粥嘧鲫o2 7 8 9 6 6 31 0 2 3 4 7 3 7 3 0( 4 4 9 9 9 4 53 4 9 9 9 4 9 8 5 0 0 0 4 1 9 6 - 1 9 5 1 7 9 2 23 7 0 2 9 4 4 99 8 2 7 0 2 6 7 3 ( 5 5 7 8 0 1 5 3 2 8 3 2 2 7 7 3 9 4 3 6 6 ) r 7- 2 0 3 6 5 4 5 33 1 0 6 5 5 9 99 4 7 1 6 5 8 9 9 ( 4 5 8 2 0 4 6 3 2 9 6 2 0 2 7 6 0 6 0 6 5 ) t 82 0 6 8 4 7 9 32 1 7 3 0 1 4 8 1 9 8 5 8 8 7 1 3 9 ( 3 4 1 4 8 11 3 4 8 2 4 1 58 5 6 7 9 1 6 1 t 2 5 佳木斯大学硕士学位论文 图4 - 5 r r l e e p t 机械手8 组位置实数正解对应的构型川 由图4 5 可知，八种位型中有四组是关于x o y 而对称的。在四组镜像解中，第 2 6 佳木斯大学硕士学位论文 4 、5 组解为最常用的一种构型。其它的3 组构型，在运动过程中，必然会产生干涉现 象。如果忽略铰链转角、机械干涉等约束，则在每对构型中，4 、5 构型为不需将机构 拆开即可实现，丽其余的构型则必须将机构拆开再重新装配才能实现这几种构型。 根据文献 7 1 的参数，求解出8 组实数解，跟文献中所得结论基本一致，可以说明基 于序单开链法的t d c c p t 机构的位置分析的正确性。 3 4 本章小结 本章基于并联机构序单开链结构组成及耦合度k 算法原理，介绍了杨廷力教授提出 的并联机构位置正解一种新的数值方法序单开链法。将并联机构分解为若干个有序 单开链单元，进一步划分出各基本运动链b k c ，计算出各b k c 的耦合度，按有序单开 链s o c 单元之间的约束关系建立了与机构拓扑结构相统一的机构位簧分析数学模型。 采用与李噱博士的论文【7 】中的相同输入参数，运用二维搜索方法，求出t r i c e p t 机构位 置正解的全部的8 组实数解，所得结论与文献 7 中的结论一致。从而验证了基于序单 开链法的t r i c e p t 机构数学模型的正确性。求解出的并联机构上任意点的位置解，是并 联机构速度和加速度分析的理论基础。 2 7 佳木斯大学硕+ 学位论文 第四章t r i c e p t 机构速度和加速度分析 4 1 概述 本章基于并联机构序单开链结构组成及耦合度七算法的原理，在位置正解的基础 上，介绍了并联机构正运动学速度、加速度分析【加】的序单开链法。本章首次基于序单开 链法对t d c e p t 机构进行速度、加速度分析。在第三章位置正解的基础上，选取与位置 分析相同的序单开链分解线路，对第三章位置正解的模型进行求导，建立了与机构位置 分析模型相统一的机构速度、加速度分析模型，得到了维数恰等于机构耦合度的并联机 构速度、加速度方程。分析实例验证了该方法的有效性及通用性。 4 2 并联机构速度、加速度分析序单开链法基本原理 按照与位置正解分析相同的机构序单开链结构分解的正序及基本运动链b k c 的划 分，依次对每个b k c 包含的各单开链s o c 进行速度或加速度分析，由s o c 之间的约 束关系建立该b k c 速度或加速度方程，其方程维数恰为该b k c 的耦合度七。首先对机 构的位置方程求导，可得到机构的速度和加速度方程，求解一个含有七个变量的方程 组，方程组中含有j | 个速度或加速度变量，求出| i 个未知速度或加速度变量后，该 b k c 各构件的速度或加速度即可方便地得到，从而完成整个机构的速度或加速度分 析。 在进行各基本运动链b k c 速度或加速度分析时，对每- - s o c ( d j ) 单开链，对应于 位置分析中选取的虚拟赋值变量，给4 j 个速度或加速度变量以虚拟赋值，共有七个虚 拟赋值速度或加速度变量西( f = 1 j | ) ；按照结构分解的第1 到第v 个s o c 的正序，速 度或加速度分析可集资单独求解，但刃o = l 七) 的虚拟赋值应满足s o c ( 4 j ) 具有囟j 1 个速度或加速度相容性条件，共有k 个运动相容性方程。满足i 个运动相容性方程的虚 拟赋值变量即为这些速度或加速度变量的真实值疵( f = l 一七) 。其余未知速度或加速度 变量由此可方便的得到。 4 2 1 序单开链法速度、加速度分析方程 将式3 _ 4 对时间求导，即得速度方程 粪静+ 喜= 乩2 ，m ( 4 - - 1 ) 2 8 佳木斯大学硕士学位论文 速度分析是线性问题。为建立速度方程需确定方程中各运动变量的系数，即否a f 石及 i a f ，篓和：a i f 与速度无关，只与机构的尺寸和结构有关。可用线性叠加原理得到之。 d 口 o u d 口 设日，幺，嘭分别为机构厂个主动输入的角速度； 咖( = 1 , 2 ，七) 分别为七个构件( 同于位置分析所取构件) 的真实角速度5 矿( _ ，= 1 ，2 ，| | ) 分别为上述七个构件角速度的虚拟赋值。 当矿为任意赋值时，上式不一定成立，即 删，= 妻参矿+ 粪m 静0 o ( g 乩2 ，朋( 4 - - 2 ) 并简记为 展( 毋，驴) = 乞谚+ q 谚( g = l ，2 一，七) ( 4 3 ) 式中 乞= 鲁q = 参 易知， 当 ，幺，嘭；办，识，办) 7 = ( o ，0 ，i ，0 ，v 0 o ) 7 ，f = l 州2 一，f 及 ( o ，0 ；0 ，0 。1 ，0 ，o ) 7 ，= ( ，+ 1 ) ，( ，+ 七) 时，由式( 5 3 ) 得到成( 矽，驴) 分别为 ( 扛l ，2 ，) 及如( ，= 1 , 2 ，) 。即 当速度分析方程系数确定后，对其求解得到k 个虚拟赋值速度变量的真实值嘲， 奶，九，再将这些真实值代回速度分析过程，其余未知速度变量由此可方便地得 到。 4 2 2 序单开链法的加速度分析 对式4 - - 1 对时间求导得加速度方程 壹, 陲l o v o jm 未酬+ 孝陪州芸( 剀叫纠2 国c t 吲 2 9 雾 佳木斯大学硕士学位论文 由上式可知，加速度分析亦为线性问题。为建立加速度方程需确定式上中各运动变 量的系謦棚参、堡a e , 以及常数项4 = 妻卜昙( 器 + 喜l 昙( 鲁 o 因 嘉、鲁已在速度分析中确定，故力速度方程可改写为 乞谚+ c 谚+ d g = o ( g = 1 ，2 ，p ( 4 6 为确定么( g = 1 ，2 ，七) ，设反，幺，彰分别为主动输入角加速度； 痧，u = 1 , 2 ，d 分别为k 个构件( 同速度分析) 的真实角加速度； l i ；：( _ ，= 1 , 2 ，尼) 分别为上述k 个构件的角加速度的虚拟赋值。 当：为任意值时，加速度相容性条件不一定，即式4 - - 5 不一定成立。 ( 痧，) = ，。谚+ c ，彰+ d 。o g = 1 ，2 ，后 当( 萌，绣，彰；西，谚，藏) 7 = ( o ，o ；o ，o ) 时，对机构进行加速度分析，并由 式4 - - 5 得到以( 移， i ；+ ) 即为常数项d 。，故有 b = 以( o ，0 ；0 ，o ) 当加速度分析方程系数确定后，对其求解得到k 个虚拟赋值加速度变量的真实值 葫，缟，饩，再将这些真实值代回加速度分析过程，其余未知加速度变量由此可 方便地得到。 4 3 嘣c e p t 机构速度和加速度分析 4 3 i 确c e p t 机构速度分析 位置分析是速度和加速度分析的基础。根据高等数学中导数的意义，对位置求导， 即可得到机构任意点的位置的速度。将上章中解得的口和的真实值代入求得的速度公 式，那么t r i c 铆机构动平台上任意点的线速度和角速度的方程是以砖和彦为变量的方 程组。 对第三章中的位置求解公式进行求导，可得： e 。：盟塑鱼，坠竺竺堡弛些坐型 岛焉 3 0 - 佳木斯大学硕士学位论文 i ；d - 辱亟 = 院嚣笼刚 = 瞄啪搿# g 。b c o s 咖p s i n p l u c o s p 邱i n 矿bc o s 肚唧q + 邪妯10 3 2 一卜如 一 j 瓯和是墨点的速度在肋r 平面内以不同方式的投影，因此，岛和& 相等， 可求出户 二? b c o s ( z 一甜1 3 s i nc r 一c o s , 8 s i n y + 矽l d s i n p s i n y ：- - - - - - - - - - - ：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 二- - - - - - - - - - - - - - 一 | l u c o s ，c o s y + a s i n g 矽和尹求出后，可求出变换矩阵的导数0 、力 1 0 00 l 巧= i o 一声s i n # 一矽c o s l 1 0 夕+ c o s , 8 一夕s i n p l l - t + s i n y 0 尹+ c o s y i 君= l 000 i l 一户c o s y0 - t s i n y i 求出变换矩阵的导数和弗后，对动平台上各点的坐标进行求导，就可以求出动 平台上任意点的速度方程 口 2 压 一一口 2 l u t d 口 2 i 一口 2 l u 。d 口 2 压 一一口 2 l u t d 口 2 压 一口 2 l u d + 乃巧 0 0 矗。 - 3 1 0 0 矗o 佳木斯大学硕士学位论文 对第三章中的位置相容性方程e 仁+ ，) 和e 仁，) 求导，即得到机构的速度相容 性方程： k = 童i ( x s h ) + 夕；( 蜘一y 矾) + j ；( z 黾一乃) 一 吒= 主乏( h x u ：) + 蛀魄一) + j 乏( 瓠一饥) 一厶，2 根据序单开链法速度分析公式4 - - 4 ，将富和毫代入速度相容性方程，得到一个包 含以西和矽+ 为变量的方程组。 i k 以，厶，矗，p ) = c l + c 2 p 厶+ c j 川厶+ c j 矗+ c ；矽 k ( l ，f 2 ，f 3 ，夕) - - c , ，：+ c