（统计学专业论文）一类推广的复合PoissonGeometric风险模型下预警区问题的研究.pdf

独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 武汉理工大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意。 签名：蕉氢日期：塑! 堡! ! 旦兰9 学位论文使用授权书 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权武汉理工大学可以将本学位论文的 全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存或汇编本学位论文。同时授权经武汉理工大学认可的国家有 关机构或论文数据库使用或收录本学位论文，并向社会公众提供信息 服务。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生( 签名) ：笮赫 导师( 签名渺飞日期加口1 陟 ( 注：此页内容装订在论文扉页) 武汉理工大学硕士学位论文 摘要 本文研究一类推广的复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 风险模型的预警区问题。一方 面，利用盈余过程的马氏性及概率论、随机过程等领域的理论知识和方法，得 到了破产时刻赤字分布的积分表达式；另一方面，运用有别于鞅方法的新方法， 通过引入一个新的停时，充分利用盈余过程的强马氏性，得到该停时的微积分 方程，进而得到了预警区的矩母函数。这些工作将更具实际应用背景的风险模 型引入到了破产理论的推广问题一预警区的研究中。 关 武汉理工大学硕士学位论文 t h ea n a l y s i so ft h ed u r a t i o no ft h en e g a t i v e s u r p l u sf o rag e n e r a l i z e dc o m p o u n d e d p o i s s o n g e o m e t r i cr i s k l - 0 1 s s o ne o m e t r l cm o d e l一上v上oclel w e ic u i ( s p e c i a l i t y ：s t a t i s t i c s ) d i r e c t e db yp r o f j i n g h uy u a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ef o c u so nt h ed u r a t i o no ft h en e g a t i v es u r p l u s ( d n s ) u n d e r ag e n e r a l i z e dc o m p o u n d e dp o i s s o n - g e o m e t r i cr i s km o d e l o nt h eo n eh a n d ，b y t a k i n gf u l la d v a n t a g eo ft h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t yo ft h es u r p l u sp r o c e s sa n d t h et o t a le x p e c t a t i o nf o r m u l a ，w ed e r i v et h ed i s t r i b u t i o no ft h ed e f i c i ta tr u i n ；o n t h eo t h e rh a n d ，w eu s ean e wm e t h o dd i f f e r e n t sw i t ht h eg e r b e r ( 1 9 9 0 ) sm a r t i n - g a l em e t h o d ，b yu s i n gan e ws t o p p i n gt i m e ，w eg e tt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h e r a n d o mv a r i a b l ea n dt h em o m e n tg e n e r a t i n gf u n c t i o n so ft h ed n s k e y w o r d s ：d i s t r i b u t i o no fd e f i c i t ；s t r o n gm a r k o vp r o p e r t y ；d u r a t i o no ft h e n e g a t i v es u r p l u s ；m o m e n tg e n e r a t i n gf u n c t i o n i i 目录 摘要 i a b s t r a c t i i 目录i i i 第一章引言及预备知识 1 1 1 引言1 1 2 预备知识2 第二章l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典破产理论 6 2 1 l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典破产模型6 2 2l c 破产模型的基本假定 7 2 3 关于调节系数的相关论证 8 2 4 l u n d b e r g - c r a m 6 r 定理【1 2 】1 0 第三章l c 经典破产理论的论证方法1 1 3 1f e l l e r 更新论证【1 2 】1 1 3 2g e r b e r 鞅方法1 3 第四章一类推广的复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 风险模型及其赤字分布的积 分方程1 6 4 1 一类推广的复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 风险模型1 6 4 2 复合p o i s s o n g e o m e t r i c 分布及过程1 6 4 3 赤字分布的积分方程1 7 第五章单个预警区与总体预警区的矩母函数2 3 5 1单个预警区的矩母函数2 3 5 2 总体预警区的矩母函数3 0 5 3 保险公司偿付能力监管概述1 1 7 】3 2 武汉理工大学硕士学位论文 第六章结论和展望3 4 6 1 结论3 4 6 2 展望3 4 发表文章目录3 5 参考文献3 6 致谢3 9 i v 武汉理工大学硕士学位论文 第一章引言及预备知识 1 1引言 风险理论作为保险、精算及数学的综合学科，为保险实务提供了大量的随 机模型。破产概率作为其中一个核心课题，在风险理论的研究中有着举足轻重 的地位。而预警区问题是此课题中非常重要的一个研究方向。 瑞典精算1 ) $ f i l i pl u n d b e r g - t 1 9 0 3 年发表的博士论文【1 】开创了破产论研究的 先河，破产论的研究有着实际的应用背景，其中，p o i s s o n 过程就是l u n d b e r g 这 篇文章中提出的，但是l u n d b e r g 的研究不符合现代数学的严格标准。h a r a l d c r a m 6 r 发展了严格的随机过程理论，并将l u n d b e r g 的工作建立在严格的数学 基础上。l u n d b e r g 和c r a m 6 r 的工作构成了l u n d b e r 分c r 锄6 r 经典破产论。 w i l l i a mf e l l e r 2 通过更新论证的技巧、h a n sg e r b e r 3 运_ 用鞅方法，对【广 c 经典破产论的主要结果给予了严格与简洁的证明，而这两种方法已成为当代 破产论研究的两种主要途径。 破产概率的研究，即如何预测及计算保险公司的盈余首次为负时的概率， 可以为保险公司决策者提供一个早期的风险警示。但在实际的经济环境中，除 了破产概率之外，对预警区问题的研究也十分重要。当保险公司的盈余出现负 值时，我们把它称之为破产。但这并不意味着保险公司面临真正破产，只是保 险公司可能会面临暂时的财务危机。保险公司在经过一段时间的负盈余后扭亏 为盈，我们说保险公司依然可以继续经营，我们把扭亏为盈的时间称为预警区， 因此，对预警区问题的研究是十分重要的。保险公司的破产风险可以利用破产 概率、破产前瞬时盈余分布、破产时赤字分布以及破产前盈余和破产时赤字的 联合分布等精算指标来刻画，这些分布为研究预警区问题奠定了一定的基础。 针对经典风险模型的预警区问题，g e r b e r ( 1 9 9 0 ) 【4 】运用鞅方法得到了第 一段及最后一段负盈余持续时间的矩母函数；r e i s ( 1 9 9 3 ) 5 在g e r b e r 的基础 上，得到了逐段负盈余持续时间及整体负盈余持续时间的矩母函数；进 而d i c k s o n 和n e i s ( 1 9 9 6 ) 6 1 推导出了整体负盈余持续时间的分布函数。 近年来，研究者主要围绕着经典风险模型进行了各种推广，在推广的 随机风险模型下研究一系列刻画破产风险的精算指标，并得出了很多优 秀成果。如毛泽春和刘锦萼f 7 】、张淑娜f 8 1 复合p o i s s o n g e o m e t r i c 风险模型， 1 武汉理工大学硕士学位论文 c h i u 和y i n ( 2 0 0 3 ) 9 带扰动的经典风险模型，马丽娟( 2 0 0 9 ) 1 0 常利率双险种离 散时间风险模型的破产问题，孔祥立和吕玉华( 2 0 0 9 ) 1 1 - 类随机保费率下带干 扰的风险模型等模型下的研究。 特别地，复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程是p o i s s o n 过程的推广，该过程在保 留p o i s s o n 过程的诸多良好性质如独立增量性的同时，很好的解决了p o i s s o n 过程 散度偏大的问题，使得改进的风险模型更加贴合实际的应用背景。毛泽春和刘 锦萼| 7 1 引入了索赔次数为复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程的风险模型，并给出了破 产概率公式及更新方程。张淑娜【8 】研究了一类推广的复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 风 险模型，利用鞅方法和更新方法，获得破产概率的积分方程。 至此，学者们对推广的风险模型下各精算指标量的研究已经趋于成熟，但 是研究往往仅止步于上述研究，而缺乏对预警区问题更深一层的讨论，尤其是 对复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 风险模型下该问题的研究。对预警区问题进行系统而 完善的研究无疑是非常有意义的，它对保险公司考虑财务预警系统以及保险监 管部门设计某些监管指标系统等有直接的参考指导作用。 基于此，本文在推广的p g 风险模型下，研究预警区的有关问题。 本文的组织如下： 第一章介绍破产论的研究发展过程及预备知识。 第二章介绍l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典破产模型的确切表述、有关假定与主 要结果。 第三章介绍基于f e l l e r 更新论证法和g e r b e r 鞅方法对l c 模型结果的证明 过程。 第四章介绍一类推广的复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 风险模型，并给出了该模 型下赤字分布的积分表达式及其证明过程。 第五章给出了推广的模型下单个预警区和总体预警区的矩母函数，并对 证明方法给予了详细的介绍。第四章和第五章是全文研究的核心点。 第六章对本文内容进行综述，并指出今后的研究方向。 1 2预备知识 本节列出论文叙述及证明过程中需要用到的记号、定义及定理。 在经典破产论及预警区问题的研究中，概率论、随机过程等领域的理论知 识和方法，如更新理论、鞅论、强马氏性以及全期望公式等的应用十分重要。 2 武汉理工大学硕士学位论文 定义1 2 1 ( 鞅)设毒= ( t ，) ；t t ( t 口- i 以是r ，z 或者它们的子集) 是 概率空间( q ，莎，p ) 上的一个实值随机过程；又设 舅；t t ) 是一族非降的莎 的子伊代数， ( t ，) ，玩；t t ) 称为一个鞅，如果对v s t t ，ej ( ( t ，) i + ， 而且下式成立： e ( t ，u ) l 坑) = ( s ，u ) 特别，当 玩= 仃( ( t | ，- ) ；i t s ) ，v s t 时，则简称专= f ( t ，) ；t t ) 是一个鞅 定义1 2 2 ( 停时)设( q ，莎，p ) 上有一个非降的盯一代数族 玩；t e t 一个 取值于丁u + 。) 的随机变量7 - ( u ) 称为一个相对于 易) 的停时，如果对v t e t ， u ：7 - ( u ) ) 玩 定理1 2 1 ( 鞅的停时定理)若丁为有界停时，则有e 矗= e ( o 定理1 2 2 ( 鞅的收敛定理)设【已；t o ) 是一个鞅，并且已o ，v t 0 ( 简 称为非负鞅) ，则存在几乎处处收敛的有限极限，即有 1 i m & = 岛，a s t - + o o 定义1 2 3 ( m a r k o v 过程)设有概率空间( q ，罗，p ) 上的以( 夕，) 为状 态空间的随机过程f = ( ，) ；t 丁】- ，及莎的一族子萨代数 玩；t 丁) 使对 v s t ，玩c 玩设对 舅；t t ) 是适应的，这时，我们称( q ，莎，p ， ， 舅) ) 是 一个以 玩) 为参考萨代数族的马氏过程，如果对v s t t ，b e ，都有下式成 立： p ( ；( ，u ) b i 玩) = p ( u ；( t ，u ) b l ( ( s ，) ) 上式又称为马氏性特别，当玩= 盯( 专( t ，) ；u t ) ( v t t ) 时，则称是( q ，莎，p ) 上的马氏过程 定义1 2 4 ( 更新过程)设 ，n = 1 ，2 ) 是一串独立同分布的非负随 机变量，分布函数为f ( x ) ，设f ( o ) = 尸( = 0 ) 1 记= e = 铲x d f ( x ) ，则有0 肛。令死= ：1x i ，n 1 ，t o = 0 称n ( t ) = s u p n ：) 定 义的计数过程为更新过程 定义1 2 5 ( 更新函数)记m ( t ) = 研( ) 】称之为更新函数 3 武汉理工大学硕士学位论文 定理1 2 3 t ) 牛f ( t ) m ( t s ) d f ( s ) 性质1 2 1 m ( t ) 是t 的不减函数，且对0 t + 。，m ( t ) + 。 性质1 2 1 说明在有限时间内发生更新的平均次数有限 定义1 2 6 ( 更新方程) 称如下形式的积分方程为更新方程： k ( t ) = h ( t ) + k ( t s ) d f ( s ) ( 1 2 1 ) 其中，h ( t ) ，f ( t ) 为己知，且当t 0 时，h ( t ) ，f ( t ) 均为0 当h ( t ) 在任何区间上有 界时，称( 1 2 1 ) 为适定更新方程，简称更新方程 定理1 2 4 设更新方程( 1 2 1 ) 中h ( t ) 为有界函数，则方程存在唯一的在有 限区间内有界的解 k ( ) = h ( ) + ( 一s ) d m ( s ) 其中m ( t ) = e 墨1r ( t ) 是分布函数f ( t ) 的更新函数 定义1 2 7 ( 格点分布)称随机变量x 服从格点分布，若存在d 0 ，使得 p x = n d ) = 1 定理1 2 5 ( 关键更新定理)记肛= e x n ，设函数 ( ) ，t 【0 ，o 。) ，满足( 1 ) ( t ) 非 负不增；( 2 ) 铲h ( t ) d t o o ( ) 是更新方程 h ( ) = ，z ( ) + ( 一x ) d f ( x ) 的解那么 ( 1 ) 若f 不是格点分布，有 熙聃舻：三要 ( 2 ) 若f 是格点分布，对于0 c 0 ，a c e 及关于 玩) 的停时7 ，都有下式成立 e ( 1 a ( 已押) l 舅) = p ( t ；靠，以) ， a e w e w ；7 - ( u ) + 。) 引理1 2 1任何时间参数离散的时齐马氏过程都具有强马氏性，即在 下 o ( i = 1 ，2 ，仃) ，u ：lb i = q ，b i 岛= o ( i j ) ，则有 n e x = fp ( b , ) e ( x i b l ) j ；- j i = 1 w 甜d 等式设 五，i = 1 ，2 ) 独立同分布且e l x l i 0 称为相对安全负载 注 由 c t s ( ) ；t o ) 的齐次独立增量性和强大数定律，有 l i mu ( t ) = + 。，o s t - o o 即 l i m u ( t ) = 十。o ) = 1 t - - + 0 0 考虑到会存在某一瞬时，盈余过程可能为负，此时称为保险公司“破产”记 t 为保险公司首次发生破产的时刻，简称为破产时刻 t = i n f t ：u ( t ) o ) ，i n f o = 。 l u n d b e r g 和c r a m 研究的是保险公司最终破产的概率 皿( u ) = p ( t 。l u ( o ) = u ) ，v u 0 简称皿( ，“) 为破产概率可以将破产概率作为评价保险公司偿付能力的一个指标 在本章第1 3 节关于l u n d b e r g - c r a m 定理的分析中我们可以得到：当初始盈余u 充分大并且保险公司经营的是“小索赔”业务时，是不易发生破产的结论的前 提是要满足“小索赔”情形，即假定3 假定3 ( 调节系数存在唯一性假定)考虑个体索赔额x ，的矩母函数 ，o 。， m x ( r ) = e e r x 】e 他d f ( x ) = 1 + r e 7 x 1 一f ( x ) d x - ，0 j 0 武汉理工大学硕士学位论文 ( 1 ) 要求m x ( r ) 至少在包含原点的某个领域内存在； ( 2 ) 要求下述方程 m x ( r ) = 1 十7 ( 2 2 1 ) 具有正解 注 由于m x ( r ) 在其收敛域内是严格递增的凸函数，故方程( 2 2 1 ) 具有唯 一的正根，记为r ，称之为调节系数方程有解，说明个体索赔额在某种意义下是 “小索赔” 2 3关于调节系数的相关论证 由假定3 可知，调节系数r 满足下列等式 会z 0 。e r x 1 一f ( z ) 】如= 1 因此，f ( x ) = 害e 肋【1 一f ( z ) 】可以看作一个概率密度函数 引理2 3 1调节系数r 是使e - r u ( t ) 成为鞅的唯一常数 证明：记v ( t ) = c t s ( t ) ，。织= 仃 y ( s ) ，s 廿对v s t ，由v ( t ) 的独立增 量性有 e e - n v ( 2 i 玩】 = e e r u e - n v ( 。l 兄1 = e - n u e e 一剐矿( s ) + y ( ) 一y ( 5 ) 1i 玩】 = e - r ( 钍+ y ( 8 ) 科e r m ) 一y ( 8 ) 】 =e 一冗u ( s ) 其中 e e r l y ( 。) 一y ( 3 ) 1 】 ：e 【e 一觑( 一s ) e r 磐”托】 = e 吖re x p a ( a f x ( f 2 ) 一1 ) 】) 哪 = 【e - c r e 矾r =1 8 武汉理工大学硕士学位论文 e e n s ( 】：e 【e r 髫px , 1 ；e 【e 【e 砭磐x d n ( c 】 =e 【帆( r ) 】( 】= e 【e ( 。) 1 n 红( r 】 = m n ( ) ( i n m x ( r ) ) = e 沁( ( r ) 一1 ) 得证 注上述关于调节系数的两种解释，对于f e l l e r 的更新论证方法及g e r b e r 的 鞅方法在l c 破产模型理论的证明中起到了关键的作用具体的运用我们在下一 章中作详细的论证 引理2 3 2 机( t ) ( 一r ) = 1 ，觇0 证明 由【y ( 亡) ，t o ，的齐次独立增量性，有 m v ( t ) ( r ) = e e 7 矿( 。】- ( m ，( 1 ) ( 7 ) ) 。，v t 0 又有 m y ( 1 ) ( r ) 一e e 7 ( c - s ( 1 ) 】= e c r e e - r s ( 1 】 = e 凹e x p a m x ( - r ) 一1 】) = e x p a m x ( - r ) 一a 十盯) 由假设3 公式2 2 1 有入+ c r = a m x ( r ) ，故 机( 1 ) ( 一r ) = 1 从而 朋( ) ( 一r ) = 1 ，v t 0 即 e e r s ( ) 】= e 凰 调节系数r 的实际含义更为明显 9 武汉理工大学硕士学位论文 ( 1 ) 2 4 l u n d b e r g c r a m 自定理 1 2 】 若假定1 3 成立，则有 西( o ) = 而1 ( 2 4 1 ) ( 2 ) l u n d b e r g 不等式 皿( 乱) e - 舭，v u 0( 2 4 2 ) ( 3 ) l u n d b e r g - c r a m e i - - 扶存在近似正常数c ，使得 皿( u ) 一c e 一舭，乱一 即 ，魄盟= 1(24c3)e-ru 恶一2 l 石) 从上述定理我们可以分析得出，若初始盈余为0 ，破产概率仅依赖于相对安全 负载p ，与个体索赔额的具体分布形式无关由式2 4 2 与式2 4 3 可以看出，初始盈 余越大，破产发生的概率越小若初始盈余很大，可以认为保险公司在经营“小 索赔”业务时，破产是不易发生的 c r 锄6 r 于1 9 5 5 年在其综述性文章【1 3 】中对l u n d b e r g - c r a m 6 r 定理给出了严格 的数学证明，但是分析方法十分繁冗在下一章中，我们给出f e l l e r 的更新论证法 和g e r b e r 的鞅方法这两种证明方法较为简洁，并己成为当今研究破产理论的主 要数学工具 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 第三章l c 经典破产理论的论证方法 3 1f e l l e r 更新论证 1 2 1 w i l l i a mf e l l e r 【1 4 】提出了更新论证的技巧，应用更新方程和关键更新定理等 理论知识和方法，对l u n d b e r 乎c r 锄白定理( 1 ) ( 3 ) 给出了严格简洁的证明，其中调 节系数起到了关键的作用 具体的论证过程如下： 考虑保险公司初始资本为乱的不破产概率( 及p t t 存概率) 画( u ) = 1 一m ( u ) = p ( u ( t ) 0 ，t o l u ( o ) = ) 考虑首次发生索赔的时刻n 和索赔额x l ，应用全概率公式，得 画( 让) = z 。0 【z 乱+ d 面( u + c t - z ) d f ( z ) 】出 令z = 乱+ c t ，做变换得 每( u ) = 害e 警( 0 0e 一言霉【z z 画( z z ) d f ( z ) 】d t 在上式两端对u 求导得 未吣) = 孰) 一会z u 吣一z ) d f ( 3 ) 在3 1 1 式两端自0 到积分，得 画( 珏) 一面( 。) = 会z 面( u ) d “+ 害z 。f o “画( 札一z ) d 【1 一f ( z ) 】d u ( 3 1 2 ) 其中由分部积分公式得 ，u，t i 正( u z ) d 1 一f ( z ) 】= 量( o ) 1 一f ( u ) 】一西( u ) + 西7 ( u 一名) 【l f ( z ) d z j 0 j 0 将上式代入( 3 1 2 ) 得 叩) 一叩) = 害叩) 【1 一m ) 冲+ 害z o 叭u 叫【1 _ 砟) 心引3 1 3 ) 武汉理工大学硕士学位论文 其中 代入式( 3 1 3 ) 得 ：o 札西7 ( u z ) 【l f ( z ) 】d z 毗 = 肌叭删1 叫列出 = z 2 【叩叫一叩) 】【1 一心) 画( t ) = 画( 。) + 害z 2 画( 一名) 【1 一f ( z ) 】d 名 ( 3 1 4 ) 由l i m 让_ 面( u ) = 1 ，在式( 3 1 4 ) 两端令t _ 得 l = 画( 。) + 会z o o 【1 一f ( z ) 】d z = 面( 。) + 会p 于是有 叩) = 1 - 邺) = 害p = 南 从而式( 2 4 1 ) 得证 将式( 2 4 1 ) 代入式( 3 1 4 ) 进一步化简得 皿( ) = 害z 【1 一f ( z ) 】d z + 害z 2 ( c z ) 【1 一f ( z ) 】d z ( 3 1 5 ) 由于 汀【1 _ 删拈争南 1 故式( 3 1 5 ) 为瑕疵更新方程为此，在式( 3 1 5 ) 两端同时乘以e m ( r 为调节系 数) ，得 令 得 e 胁皿( ) = 垒c e 戤。( 1 一f ( 名) 】d z + 会e r 。里( 一z ) 【l f ( z ) 】d z a ( ) = e 础霍( ) ，n ( ) = 害e 忍o 。【l f ( z ) 】d z ，( - z ) = = 会e 尉【1 一f ( z ) 】 卸) = ) + z 2 邱刊m ) 如 1 2 ( 3 1 6 ) 武汉理工大学硕士学位论文 根据调节系数的定义以及第1 3 节对调节系数的论证，ff ( z ) d z = 1 ，故式( 3 1 6 ) 为 适定更新方程由a ( t ) 为单调递减函数且 f o 。a ( t ) 班= 页1 而8 = c i 于是a ( t ) 在 0 ，十。o ) 上满足关键更新定理( 1 2 5 ) 中的条件，因此可得 e m e 威蚴2 l i ma ( t ) 2 丽( f l t - - + o o = c 一 _ 。d l 五1l 这表明 磐l i m 。：桨：lt 。2 办2 l 从而式f 2 4 3 ) 得证 3 2g e r b e r 鞅方法 g e r b e r 1 5 利用鞅论中的停时定理和收敛性定理，通过构造一个鞅证明 - t l u n d b e r g 不等式( 2 4 2 ) 在下面的论证过程中，我们会再次体会引理2 3 1 中所 描述调节系数r 所起的关键作用 令 x t = e - a u ( ) = x o e r y ( x o = e - 肌 其中，r 为调节系数，v ( t ) = c t s ( t ) 令k = - r v ( t ) ，t 0 ，则 e ( e n ) = e ( e 一兄) = a 纭( 一r ) = 1 且由引理2 3 1 知 k ；t o ) 是一个非负鞅由鞅的收敛定理1 2 2 有 l i mx t = x o o ) = e x t i t t p ( t t ) + e x ，i t t i p ( t t )( 丰) 1 3 武汉理工大学硕士学位论文 注意到当t t 时，v ( t ) 0 ，从而 五= e - n u ( , ) 1 在式( 木) 两端令t o 。，由单调收敛定理和l e b e s g u e 控制收敛定理，得 e r u = e x 丁i t 】p ( t 0 0 ) + e 【x 。i t = o c p ( t = 。) 又因为l i m _ + u ( t ) = + o 。a 8 ，故有k = 0o s 故 e 一鼬= e x t i t o o p ( t 0 , 0 p 1 ， 纠独立同服从参数为l j 口的g e o m e t r i c 分 布，则称s = 墨1 已服从复合p o i s s o n g e o m e t r i c 分布，记为p g ( a ，力 引理4 2 1 【7 1 若随机变量s 服从p g ( k ，p ) 分布，则 ( 1 ) s 的概率分布为 p r ( s = 0 、= e a ( 2 ) s 的矩母函数为 乙f 二( a ( 1 _ p ) ) p k j ，七= 1 ，2 ， 州扣e 印( 芈) 1 6 七烈 a e | 、l ， 七 f | s ， r p 武汉理工大学硕士学位论文 ( 3 ) s 的数学期望和方差分别为e s = 南，v a r s = 必l - p ( 4 ) s 的散度系数西及偏度系数，y 分别为咖= 酱= 毒，y = 薏雾2 去帮 注1当p = 0 时，p g ( a ，p ) 是参数为入的p o i s s o n 分布因此，p g 分布是p o i s s o n 分 布的一种推广 注2 当0 击，所以p g 分布l 匕p o i s s o n 分 布有更大的散度系数和偏度系数 定义4 2 2 ( 复厶p o i s s o n g e o m e t r i c j 壁程1 7 】) 设入 0 ，0 p 0 ，有( ) 一p g ( 入，j d ) ；而且，研( ) 】= 篙，v a r n ( t ) 】= 等帮 引理4 2 2 m 设复合过程s ( ) = e 泌n ( 1 t ) x i ，其中 ( ) ，t o ) 为具有独立 平稳增量的计数过程； k ，i = 1 ，2 ，) 之间独立同分布，且与 ( z ) ，t o ) 独 立，则复合过程 s ( ) ，t o ) 也具有独立平稳增量 注3 由定义4 2 2 及引理4 2 2 可知，式( 4 1 ) 所描述的盈余过程 u ( ) ，t o ) 具有平稳独立增量性 引理4 2 3独立增量过程 磊；他o ) ，若z o = 0 ，则 磊；n o ) 是一个马 氏过程 证明从略 注4 式( 4 1 ) 所描述的盈余过程 u ( ) ，t o ) 是一个时齐的马氏链，因而具 有强马氏性 4 3赤字分布的积分方程 首先给出本节所需的一些符号与定义 令t = 噩，疋，兀，) 表示盈余过程的破产时刻 定义4 3 1破产概率、赤字分布和已知破产条件下的赤字分布分别记为 砂l ( u ) = p ( 五 一z ，噩 一z ，丑 一名，乃 一名，五 一z ，乃 一z ，蜀 一名，? j 一名，孔 - z , t 1 一丑 一z ，墨 o o l u 7 ( o ) = u y ) = g l ( u y ，名) 若索赔额之和y 大于u ，则破产已发生，此时正= d r ；若u “+ z ，则 岛 p ( u ( 丑) 一名，丑 一z ，噩 - - z ，噩 一名，乃 - - z ，丑 - - z ，乃 一。，冗 一z ，n o o l u ( 0 ) = u ，1 3 4 ) o ( d t ) 】 = o ( d t ) 2 0 ( 4 3 4 ) 武汉理工大学硕士学位论文 由式( 4 3 1 ) - ( 4 3 4 ) 可得 g 1 ( u ，z ) = g x ( u ，z ) 【l 一( 入+ a ) d t + o ( d t ) 】 十善 zg ，( u - - y ，z ) d 黟( 可) + 上d 黟( 可) a 矿d t + a k ( d t ) 。( 出) w ，u，u十： 十 t g a ( u + z ，z ) d f x ( x ) a 4 d t + o ( d t ) + o ( d t ) ( 4 3 5 ) 整理得 ( ”+ 入) 叫g ( u ，z ) 2 善 zg ( u - - y ，z ) d 黟( 们十上d 黟 ) a p k d t + a k ( 出) d ( 班) o o t ，让十： ，o 。 + 入+ d t g l ( u + z ，z ) d 取( z ) + o ( d t ) ，0 根据0 p 1 及引理4 3 1 可知，e 是l 矿 ) 和鲁1a k ( d t ) f 蓼, k ( ) 都一致收 敛，和可以交换次序，于是 【( a 。+ a ) d 】g 1 ( u ，z ) ： f ug l ( 乱一舭) ( 妻q 矿黟( 枷匆+ f 计。( 壹a 矿舻( 纠咖 毗 o u 七= 1 。” k = l + 入+ d t t g a ( u + 茁，z ) d f x ( x ) + o ( d t ) 由a = 塑产( 若p = o ，则取a = a ) 得 盼皿m = 凇 f 0 “c i ( u - y , z ) h ( 泓可+ 厂胁) 剀 + a + d t g l ( u + z ，z ) d f x ( x ) + o ( d t ) 广。 ，0 2 1 武汉理工大学硕士学位论文 易知ff p ( y ) d y = 1 ，上式两边同时除以( a + a + ) d t ，并令d t o ，得到 证毕 g ( 乱，z ) 2 i 鬲 zg i ( u y ，z ) 厶( 妙) 咖+ z 厶( 可) d 可 、，u，u 十孑 + 志 z g 水托州眦) ( 4 3 6 ) 根据引理4 3 2 t , 定理4 3 1 ，我们可以计算出已知破产条件下的赤字分布 酏z ) = 帮 2 2 武汉理工大学硕士学位论文 第五章单个预警区与总体预警区的矩母函数 5 1单个预警区的矩母函数 首先列出本章所需的定义和记号考虑式( 4 1 ) 所描述的盈余过程，设索赔到 来时刻的时间序列集记为a = n 吃 o ；存在一个仅 0 ，使得正r k 正+ l ，u ( 亿) = 一z ， u ( 亿+ 8 ) 0 ，且对任意勺正，j k ，有u ( 勺) 一z ) 定义5 1 2定义从给定的负盈余一z 到正盈余的第一段时间间隔( 即最短 恢复时间) 贮。，正为 跫：，正= m f 、+ ( m 。z ，7 正l i t ，a ( ( 一- z 名, ，t 五) ) # ： 定义5 1 3 定义时间集合a ( ) = 7 - a ；u ( 下) = 一z ，t o ；u ( 正一1 + 磊一l + t ) o ；v ( 互+ t ) o ) 这里，t o = 0 ，磊= o 假设预警区的个数为k ，为正整数，则预警区的总时长可记 为 于= 五十磊+ + 磊 定义5 1 5对于任意i ：l ，2 ，定义单个预警区间的长度雹的矩母函数 为 皿iu ，r ) = e 【e 一7 死i u ( o ) = u 】= e “【e 一7 丑】，r 0 2 3 武汉理工大学硕士学位论文 相应的，总体预警区于的矩母函数定义为 皿( u ，r ) = e e 吖t i u ( o ) = 叫= e u 【e 吖t 】，r 0 本文接下来充分运用盈余过程的马氏性以及全期望公式，得到了关于圣( 一z ，0 ，7 ，正) 的积分方程，并应用此方程推导出