（基础数学专业论文）时标动力系统的稳定性问题.pdf

摘要 摘要 稳定性问题是人们研究各种动态系统所面临的最基本问题之一，它的重要性是不言 而喻的而比较原理的建立，对系统稳定性的判定起着十分重要的作用但是以前我们 考虑稳定性时，要么单独考虑连续状态的，要么单独考虑离散状态的，而在现实生活中往 往是两者共存1 9 8 8 年h i l g e r 提出的时标概念把离散和连续结合起来，解决了数学工 作者的这个难题。本文利用恰当的比较原理，并且在时标上定义了上拟单调增的概念， 得到了拟动力不等式和相应的新的比较原理，从而研究了时标上动力系统解的一些稳定 性和有界性概念全文共分为五章 第一章简述时标动力方程稳定性问题的应用背景、研究现状及本人的主要工作 第二章介绍时标上的基本概念、基本运算及其性质，并给出时标上基本的比较定理 第三章利用锥值l y a p u n o v 方法研究了时标上一般动力系统的部分稳定和常时刻脉 冲动力方程的l i p s c h i t z 稳定性 第四章给出了时标上拟动力不等式和相应的比较原理并且利用其研究了时标动力系 统的两度量稳定性 第五章在较稳定性弱的条件下借助比较原理讨论了时标动力系统的两度量有界性 关键词时标比较原理稳定性有界性 a b s t r a c t _ 墨墨墨冒鼍墨詈墨詈! 暑! _ 墨量舅_ 鼍皇目_ e | 量皇鼍墨_ ! e 目鼍皇皇! 皇皇鼍曼暑! 皇量曼量皇皇! ! ! ! ! ! 量皇皇曼皇! 目皇量置皇暑量鼍皇置曼曼量鼍量一i a b s t r a c t s t a b i l i t yi so n eo ft h em o s tf u n d a m e n t a li s s u e i nt h ei n v e s t i g a t i o no fd y n a m i cs y s - t e r n s ，t h ec o m p a r i s o np r i n c i p l ei si m p o r t a n tt od i s c u s st h es t a b i l i t yo fs o l u t i o n s w h e n c o n s i d e rt h es t a b i l i t yt h e o r y , o rc o n s i d e r e dt h et h e o r yo fc o n t i n u o u s ，o rd i s c r e t eb ec o n - s i d e r e di ni s o l a t i o n i nr e a ll i f e i so f t e nt h ec o e x i s t e n c eb e t w e e nt h et w o ，h o w e v e r t o u 1 1 i 母t h et h e o r yo fc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t ed y n a m i cs y s t e m s ，i n1 9 8 8 ，h i l g e rp r o p o s e dt h e s t u d yo fd y n a m i cs y s t e m so nt i m es c a l e sa n dd e v e l o p e dn e c e s s a r yc a l c u l u sf o rf u n c t i o n s o nt i m es c a l e s t h ep a p e ri sc o m p o s e do ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eh i s t o r yo ft h es t u d ya b o u ts t a b i l i t yo fd y n a m i cs y s t e mo nt i m e s c a l e si si n t r o d u c e da c c o m p a n i e dw i t hs o m ep r i n t so fp r e s e n tw o r ka 8w e l la 8t h em a i n w o r ko ft h ep a p e r i nc h a p t e r2 b a s i cn o t i o n sc o n n e c t e dt ot i m es c a l e sa r eg i v e n ，t h ec a l c u l u so nt i m e s c a l e sr e l a t e df u n d a m e n t a lp r o p e r t i e sa n dt h ec o m p a r i s o np r i n c i p l eo nt i m es c a l e sa r ea l s o p r e s e n t e d i nc h a p t e r3 ，t h i sc h a p t e rs t u d i e ss o m ec r i t e r i ar e s u l t so fx - s t a b i l i t yo fd y n a m i c s y s t e ma n dl i p s c h i t zs t a b i l i t yo fi m p u l s i v ed y n a m i cs y s t e ms t a b i l i t yv i a c o n e 。v a l u e dl y a - p u n o vf u n c t i o na n dc o m p a r i s o np r i n c i p l eo nt i m es c a l e s i nc h a p t e r4 ，b yu s i n gan o t i o no fu p p e rq u a s i - m o n o t o n en o n d e c r e a s i n g t h i sc h a p t e r g i v ean e wc o m p a r i s o np r i n c i p l ew h i c hc o n n e c t st h es o l u t i o n so ft w oh i g h e r - d i m e n s i o n a l d y n a m i cs y s t e m so nt i m es c a l e s t h e nt h es t a b i l i t yc r i t e r i ao f s o l u t i o no fd y n a m i cs y s t e m o nt i m e si nt e r m so ft w om e a s u r e sa r co b t a i n e d i nc h a p t e r5 ，a na t t e m p tf o rd y n a m i cs y s t e mi st oo f f e rs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c h w e a k e rt h a nu s u a lt oo b t a i nb o u n d e d n e s sc r i te r i a k e y w o r d s t i m es c a l e s c o m p a r i s o np r i n c i p l e s t a b i l i t y b o u n d e d n e s s i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名：屋趔 日期：翌年互月丛日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密曲。 ( 请在以上相应方格内打“4 ) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 嘲夺汤力手f 充汤磋蚕赳毪邋的学位 论文，是我个人在导师培炒指导并与导师合作下取得的研究成果，研究工作及取得 的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资助下完成的。本人完全 了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的各项法律、行政法规以及河北 大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大学的书 面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内容。如果违反 本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人： 作者签名： 导师签名： 日期：盟年厶月丛日 日期：丝d 月j 互日 日期：量堕年垒月么厶日 第1 章引言 第1 章引言 1 1 问题的提出、学术背景与研究意义 以前人们考虑稳定性问题时，总是单独考虑连续状态，亦或单独考虑离散状态在 考虑离散问题时，人们往往需要提出一些额外的假设来克服由于相应的拓扑空间缺乏连 通性而造成的困难从模型的观点来看，用动力系统描述一种现象更现实的方法是将变 量定义在连续和离散点的混合实数子集上，也就足在一个实数的闭子集上因此一个自 然的问题是：能否找到一种新的理论框架把离散和连续两者结合起来，以便更好的洞察 两类不同系统之间的本质差异，并且能解决现实生活中诸多两者共存问题在这种情况 下时标( t i m es c a l e s ) 理论应运而生 在导师b e r n da u l b a c h 教授的建议和指导下，德国数学家s t e f a nh i l g e r 于1 9 8 8 年 在他的博士论文中首次提出了时标概念所谓时标或测度链就是实数集r 上的一个任意 闭子集，这一定义为在时标上进行深入性的研究做出了奠定性的工作另一方面，时标 的定义避免了研究的重复性，它将连续系统和离散系统有机地统一起来，从而形成了时 标动力方程，即方程未知函数的定义域为时标当时标是实数集时。时标上的动力方程 就退化为微分方程；当时标是整数集时，则退化为差分方程因此，时标上的研究结果 更具有一般性，而且更具有广泛的应用前景如生物学、热力学等领域的许多实际问题 中，都是通过建立数学模型来研究的，这些模型都是通过时标动力方程建立的尤其值 得注意的是，时标上的动力方程可以描述诸如种群变化的模型例如，一类昆虫的数量 从四月份到九月份以一定的增长率连续的增长，而到十月份它们却突然死亡，但是它们 的卵到来年四月份又开始孵化此时，这类昆虫的数量就又以一定的增长率增长在这 个昆虫的种群变化过程中，我们可以看到既有连续状态又有离散状态因此，我们可以 借助时标上的动力方程对其进行建模研究可见，时标以及时标动力方程理论中往往蕴 含许多更一般的理论，它在近代理论发展中起着重要作用，所以时标动力方程问题迅速 得到了广大研究学者的关注1 9 9 6 年，v l a k s h i m i k a n t h a m 等在专著【2 6 】中详细介绍 了时标动力系统理论，揭示了连续和离散的本质，避免了重复研究目前，时标上的微 积分理论基础已经建立，很多学者已经在时标理论和应用方面做了大量的工作，并且取 得了一定的研究成果 任何一个实际系统( 例如控制系统，电力系统、生态系统、化工系统等等) ，总是在 河北大学理学硕十学位论文 各种偶然的或持续的干扰状态下运动或工作的承受这种干扰之后，系统能否稳定地保 持预定的运动或工作状况，这是首先要考虑的性能，这就是稳定性描述系统的数学模 型，大部分都是近似的近似的数学模型能否如实的反映客观实际的动态，在某种意义 上说，也是一个稳定性问题稳定性问题是人们研究各种动态系统所面临的最基本也是 最重要的的问题之一，是任何系统分析和控制系统设计都必须首先考虑的问题。不能保 证稳定的系统是谈不上其他品质的自1 8 9 2 年运动稳定性理论基础由l y a p u n o v 建立以 来，这一理论已被全世界及众多领域所接受，1 9 世纪俄国数学家l y a p u n o v 在运动稳定 性领域作出了创世纪性质的成就以来，这一领域取得了长足的进展同时，随着科学技 术的发展，在l y a p u n o v 运动稳定性理论基础上产生了许多新的稳定性概念，如部分稳 定性、条件稳定性、最终稳定性、l i p s c h i t z 稳定性以及把各种稳定性统一在同一个框架 下的两度量稳定性，对于一般系统的稳定性理论已积累了十分丰富的成果，见f 1 一1 9 】另 外，时标动力系统稳定性方面研究也有大量的成果【2 0 2 5 】 综上可知，时标动力系统稳定性问题的研究具有极其重要的理论及现实意义在近 几十年的研究中，l y a p u n o v 直接法的基本定理及其相关的各种理论解决了很多实际问 题，但有些问题，却还是很困难的，必须结合其他方法在这方面理论上最完善、应用上 最广泛的便是比较方法，或称比较原理下面从一个简单的例子说明此种方法的应用实 质例如系统 墨d x ( - 3 + 8 + s i n ( t ) x l ? ( s i n t ) x 2 d t = ( c o s t ) x 1 - 3 8 s i n t ) x 2 ( 1 i ) i 纽 + ( + p “7 若令 y = 去( z ；+ z ；) ， 则有 面d v = ( 一3 + 8 s i n ) 丁i + ( s i n ) x l x 2 + ( c 0 s ) x i x 2 + ( 一3 + 8 s i n t ) z ； 是变号的因此，不能用l y a p u n o v 第一方法来判定稳定性但是，若变成微分不等式 面d v ( - 3 + 8 s i n ，埔+ z ；+ 丁；+ ( - 3 + 8 s i n t ) z ； = ( 一2 + 8 s i n t ) x ；+ ( 一2 + 8 s i n l ) x ；s2 ( 一2 + 8 s i n t ) v , 则有 y ( t ) y ( ，。) e x p ( 2 ( - 2 + 8 s i n t ) 以) _ 。( 一o o ) 由上式可知( 1 1 ) 式的甲凡解是渐近稳定的，而 y ( t o ) e 印( 2 ( - 2 + 8 s i n t ) d t ) 第1 章引言 恰恰是微分方程 du=)2：(-2+8u(tov ( t o ) 8 i m m ( 1 2 ) 1) = ”1 的解这个例子启发我们，用l y a p u n o v 函数结合微分不等式可得到关于稳定性的许多 更一般的结果因此，人们在讨论微分方程的性质时，通过比较原理可以更有效地研究 它们的性质选择或建立恰当的比较原理，对系统稳定性的判定起着十分重要的作用 所以本文主要借助和研究多种l y a p u n o v 比较方法讨论时标丁上一般动力系统和脉冲动 力系统的一些稳定性和有界性研究在问题 1 2 本文的主要内容 论文共分五章，主要对时标动力系统解的稳定性问题进行了研究其方法一方面推 广l y a p u n o v 第一和第二方法到时标上，另一方面在时标上引入新的比较原理进行研究 第一章引言第二章介绍了时标上的基本概念和下文将要用到的重要引理和定理 第三章时标动力系统的部分稳定和l i p s c h i t z 稳定 研究下列时标t 上的动力系统 z = f ( t ，z ) jz o = ( x o ：珈) ，( 1 3 ) 和时标脉冲动力方程 f 丁= f ( t ? 丁) ，t t k z ( j ) = x ( t k ) + 厶( z ( 七) ) ( 1 4 ) i - x ( t 3 - ) = x o ，t o 0 分别选用纯量，向量和锥值l y a p u n o v 函数研究上述方程的部分稳定和l i p s c h i t z 稳 定 第四章时标动力系统的两度量稳定在这一章我们在时标上引入上拟单调增概念， 从而推导出拟动力不等式和新的比较原理，分别从l y a p u n o v 第一方法和利用新的比较 原理进行研究 第五章时标动力系统的两度量有界性解的有界性问题也是稳定性的一类问题，我 们在研究解的稳定性时常常考虑零解的稳定性，但是并不是所有的方程都存在零解，一 旦解的零解不存在，但是其它解仍然满足现实的需要，这就需要我们对解的有界性进行 必要的研究这一章我们在研究较稳定性弱的条件下研究了解的有界性最后例子验证 了条件的有效性，并且若方程存在零解，可由有界性推导出稳定性所以说解的有界性 研究仍然是一个重要的课题 河北大学理学顽十学位论文 第2 章时标上的基本概念、基本运算及性质 2 1 预备知识 时标理论是s t e f a nh i l g c r 于1 9 8 8 年在他的博士论文中首次提出来的，其目的是为 了统一连续和离散变量的分析时标是实数集肽上的一个任意非空闭子集，通常记作 实数集酞，整数集z 、自然数n 、非负整数n o 0 ，1 】uf 2 ，3 】、【0 ，1 】un 及c a n t o r 集等均为时标，但有理数集q ，无理数集r q 、复数集c 及开区间( 0 ，1 ) 等就不是时 标，有关时标理论的详细资料，可参考专著f 1 】 为了保证完整性，我们给出有关时标的概念和性质首先定义向前跳算子( f o r w a r d j u m po p e r a t o r ) 、向后跳算子( b a c k w a r dj u m po p e r a t o r ) 及链函数( g r a i n i n e s sf u n c t i o n ) 基本概念 定义2 1 1 设t 是一个时标对于任意的t t ，若存在仃( f ) t ，使得 o ( t ) = i n f s t ：s 】， 则称u ( t ) ：面_ t 为向前跳跃算子；若存在p ( t ) t ，使得 p ( t ) = i n f s t ：s ， 则称p ( t ) ：t t 为向前跳跃算子 特殊地，定义i n f 仍= s u pt 即当t 是- 中的最大值时，盯( ) = ；s u p 仍= i n ft 即 当t 是中的最小值时，p ( t ) = t 定y2 1 2 若p ( t ) t ，则称t 是右散点；若t 既 是左散点又是右散点，则称t 是孤立点；若t i n ft 且p ( t ) = t ，则称t 是左稠的；若 t 0 邻域 u = ( t 一正t + 6 ) ct ，使得对所有的s u ，都有 l ，( 盯( ) ) 一f ( s ) 一f z x ( ) p ( ) 一5 】l e l o ( t ) 一s l ， 那么称y a ( t ) 为函数，在t 处的一导数；若，( t ) 在所有t t 七均存在，则称，在 铲上d e l t a ( h i l g e r ) 可微，简称可微的 注2 1 4 若t = r ，则f ( ) = ，( ) ；若= z ，贝0f a ( ) = a f ( t ) = f ( t + 1 ) 一，( ) 定义2 1 5 设函数，：t r ，若，在右稠点连续且在左稠点左极限存在，则称， 右稠连续记作f g d ( t ) 定义2 1 6 设函数，：，_ r ，若，在左稠点连续且在右稠点右极限存在，则称， 左稠连续记作f a d ( ) 定义2 1 7 设f - ，定义广义导数( d i n i 导数) d + u ( ) ：对任意的e 0 ，存在t 的邻域u ，使得 竺警 o ，t o 丌+ ，存在一个正的并且与t o 和e 有关的r d - 连续函数，当i i z 0 1 1 + i | 珈0s6 ， 我们就有i i x ( t t o ：c o ，y o ) i i e ，其中t t o20 t t 定义3 2 1 2 系统( 3 1 ) 的零解称为指数x 一稳定，如果存在一个非负的函数n ： r + x t r + ，当忙( t ，t o ，x o ，珈) | i g ( 1 l x o l l + i l y o l l ，o ) 曙p ( t ，t o ) ，这里p ，q 是正定参数， 即一q 7 4 + ，t t o 0 ，t t 其他部分稳定概念可类似定义 3 2 2 主要结果 部分( a ) 在下面的这一部分，我们将通过纯量比较方程得到向量系统部分稳定的一些结论 考虑纯量比较方程 ( 3 2 ) 这里g g d i vxr + ，r 1 ：t t ，t t o ，并且g ( t ，0 ) = 0 ，g ( t ，礼) ，l + ( ) + 仳关关于礼单调 递增 定理3 2 2 1 令y 属于系统，并且假设 ( a 1 ) d + y ( f ，z ，y ) 9 ( ，v ( t ，z ，可) ) ，g g d 【xr + ，r 】，g ( t ，u ) p ( ) + 札对任意t t 关 于 单调递增； ( a 2 ) n ( 1 i z i | ) sv ( t ，t ，y ) b ( i l 丁l i + i l y l i ) ，其中( t ，z ，y ) txr nxr n ，n ，b 尼， 那么 ( i ) 方程( 3 2 ) 的零解稳定蕴含系统( 3 1 ) 的零解x 一等度稳定 ( i i ) 方程( 3 2 ) 的零解一致稳定蕴含系统( 3 1 ) 的零解x 一一致稳定 ( i i i ) 方程( 3 2 ) 的零解渐进稳定蕴含系统( 3 1 ) 的零解x 一等度渐近稳定 ( i v ) 方程( 3 2 ) 的零解一致渐进稳定蕴含系统( 3 1 ) 的零解x 一一致渐近稳定 证明：( i ) 给定e 0 和t o t 假设方程( 3 2 ) 的零解是稳定的则任意给定( e ) 0 和t o t ，存在一个6 1 - - - i6 1 ( t o ，e ) 0 ，我们得到 u 0 0 ，使得 b ( 6 ) j 1 ( 3 4 ) 于是，当i l z u l l + i i 训j 6 ，有i i x ( t ) l l t o 并且方程( 3 2 ) 的零解满足 i i x ( t ) l i e ，t ost e ( 3 5 ) 令m ( t ) = v ( t ，z ( t ) ，y ( z ) ) 当t o tst l 时令m ( t o ) = t l o ：并且利用条件( a 1 ) ，我 们通过引理3 ，1 ，得到 m ( t ) r ( ) ，t o t t 1 ( 3 6 ) 现在通过方程( 3 3 ) ，( 3 5 ) ，( 3 6 ) 以及条件( a 2 ) 得到 n ( e ) o ( i i z ( 1 ) 0sy ( f l ? z ( 1 ) ，可( 1 ) ) = m ( h ) r ( t 1 ) n ( e ) ， 因为t t o = m ( t o ) = v ( t o ，x o ，y o ) b ( 1 l x o l i + ，i i ) b ( 6 ) 6 lb y ( 3 4 ) 于是产生矛盾，结 论得证 ( i i ) 除了j 的选择不依赖于t o 之外，其他证明过程类似于( i ) ( i i i ) 现在我们假设方程( 3 2 ) 的零解是渐进稳定的给定0 0 ，当 u o 6 时，我们有t ( t ，t o ，u o ) 6 ( e ) ，t t ，t t o + t 我们假设对于系统( 3 1 ) 的任意一解，初值满足| l z o f i + i l y o l i 正l i x ( t ) i | 0 ，满足 丁 揣c l a l 0 ， ( 3 8 ) j i 这里f ：巧( ( ) 因为系统( 3 1 ) 的零解一致x 一稳定，所以存在一个t + 【t o ，t o + t 】使得 忖( ) | fs 巧假若不然，必存在i i t ( t ) l i 正t t o ，如+ 纠因此v ( t ，z ( ) ，y ( ) ) n ( j ) ，t 【t o ，t o + 卅于是根据( 3 8 ) 我们有 6 ( 如) 0 ，d 0 ，c ( 1 l x l l d ) v ( t ，z ，y ) ( 以4 ) 存在非负函数m jn ：r + 一r + ， 1 m ( 啪) 卜i i + i j 蒯, t o ) c ，d 。 则由方程( 3 2 ) 的零解指数稳定可得到系统( 3 1 ) 的零解是指数x 一稳定 证明：因为方程( 3 2 ) 的零解是指数稳定的，所以存在一个非负函数m ：r + t r + ， 使得 r ( t ，t o ：u 0 ) m ( u o ，o ) e 昌p ( tt o ) ， ( 3 9 ) 这里p ，q 为正则常数，即对于所有t t o 0 ，t t ，一q r + 第3 章时标动力系统的部分稳定和l i p s c h i t z 稳定 令v ( t o ，x o ：y o ) = u o 则通过引理3 2 2 17 我们得到不等式( 3 2 4 ) 因此通过条件( a 3 ) 和( 3 2 4 ) ，我们有 c ( i l x l l d ) sv ( t y ) t ( t ，t o ，u o ) ( 3 1 0 ) 而且通过不等式( 3 9 ) 和( 3 1 0 ) 我们得到 c ( i l x l l d ) r ( t ，t o ，o ) m ( u o o ) e 昌p ( ，t o ) t t o 0 ，t t ( 3 1 1 ) 因此由( 以4 ) 和( 3 11 ) ，我们得到 l i x l i n ( 1 l z o l l + l l y o l l ，t o ) e a e p ( t ，t o ) ， 这里p = ( q d ) 因此。系统( 3 1 ) 的零解是指数x 一稳定的，则证明完成 口 部分( b ) 很多年以来，人们在研究微分方程性质时，都是在l y a p u n o v 第二方法意义下来考虑 的，通过比较原理可以很有效地研究它们的性质但是利用这种方法所得到的性质都是 由比较系统解的相应性质推断出来的为了能够很好地应用这种方法，一般都要求比较 系统拥有一些特殊的性质比如在某些情况下要求比较系统的解具有非负性和稳定性， 关于这种情形，l a d d e 已经利用纯量l y a p u n o v 函数给出了充分条件，并且他在研究稳 定性的同时，也利用向量l y a p u n o v 函数研究了比较系统解的渐近稳定性和指数渐近稳 定性那么向量l y a p u n o v 函数的介入就给我们的研究增加了新的困难，那就是它要求 比较系统必须具有拟单调性但是拟单调性并不是这个系统稳定的必要条件因此它就 限制了向量l y a p u n o v 函数这种一般方法的有效应用 1 9 7 4 年，l a r k s h m i k a n t h a m 发现解决这个问题的关键就在于关于比较系统锥的选 择，那么问题就转化为如何选择一个合适的锥，从而我们在锥上考虑而不是在整个殿上 考虑比较系统解的性质这样锥的出现就为我们解决这类问题提供了一个有效的方法 进而，l a r k s h m i k a n t h a m 和l c e l a 2 】在1 9 7 7 年发展了微分不等式理论和锥值l y a p u n o v 函数方法我们自然会希望能够把锥的理论和锥值l y a p u n o v 函数方法推广到时标动力 系统的上 在这一部分，我们将通过锥值l y a p u n o v 函数得到时标部分稳定的相关信息 考虑向量比较系统 u u a = ) 讪e ( t , u 2 ) 。j ( 3 1 2 ) 这里g g d 【t k r n l ，并且c ( t ，“) p + ( t ) + i t 在锥k 上关于就是拟单调增的 河北大学理学硕十学位论文 根据文献f 1 ，2 ，3 】，我们给出以下新的定义 定义3 2 2 1 系统( 3 1 1 ) 的零解称为o 一等度稳定，若对于任意e 0 ，t o t + ，存 在一个正的关于t o 为r d 一函数的石= 6 ( o ，e ) ，并且存在一个妒o 名，( 妒o t o ) 5 正蕴 含( 砂o ，t ( t ，t o ，u o ) ) ，对于所有t t o 0 ，t t 都成立，这里r ( t ) = r ( t ，t o ， t o ) 是系统 ( 3 1 1 ) 的最大解 定义3 2 2 2 令w ： i f 舯r n _ k 那么就称属于系如果对于所 有右稠t t 在锥k 上关于z 和y 满足局部l i p s c h i t z i a n 条件，w ( t ? 0 ，0 ) = 0 通过定 义2 1 7 ，对于任意s 札，s t ，函数d + w ( ，z ( ) ，耖( ) ) 定义如下 1 南叭盯( ) ，z ( 口( ) m 盯( ) ) ) 一w ( s ，z ( 口( ) ) ，( 盯( ) ) ) 一肛( 瓦s ) ( t ，z ( 咖( ) ) 】 0 以及t o t 假设系统( 3 1 2 ) 的零解是稳定的那么当给 定n ( e ) o ，t o t ，存在一个j l = 6 1 ( o ，e ) 0 ，即有 ( 妒o ! 蜘) j l 令( 西o ，r ( ) ) 0 ，即有 6 ( 6 ) d 1 ( 3 1 4 ) 于是我们说如果( 西o ，2 7 0 + g o ) 6 ，那么( 加z 。( t ) ) t o 并且系统) 的解满足 ( o ，z ( ) ) e ，t ost e ( 3 1 5 ) 第3 章时标动力系统的部分稳定和l i p s c h i t z 稳定 设m ( t ) = w ( t ，z ( ) ，y ( f ) ) f o rt os ts t 1 令m ( t o ) = u o ，并且应用条件( a 5 ) ，我们 通过引理3 2 2 1 ，得到 m ( t ) k7 ( ) ，t o t t 1 ( 3 1 6 ) 现在由式子( 3 1 3 ) ，( 3 1 5 ) ，( 3 1 6 ) 和条件( a 6 ) 得到 n ( e ) a ( 1 l x ( t l _ ) l ls ( 咖，w ( h ，z ( 1 ) ，( 1 ) ) ) = ( o ，m ( t 1 ) ) ( 钆，r ( t t ) ) o ( e ) ， 又根据( 3 1 4 ) 有，f z o = m ( t o ) = v ( t o ，x o ，y o ) sb ( 1 t z o i l + l l y o l l ) 0 ，c ( 1 l x l l d ) ( 矽o ，w ( t ，z ，y ) ) ( a 8 ) 对于非负函数掰：n ：r + x 耳_ r + ， 胁( 酬 t 0 ) 寺 。 如果方程( 3 1 2 ) 的零解是指数矽o 稳定，那么系统( 3 1 ) 的零解足指数x 一稳定 证明：因为方程( 3 1 2 ) 的零解是指数西。一稳定，那么存在一个非负函数 ，：r + x 一 酞+ ，使得 r ( t ，t o ：? 2 0 )