（机械电子工程专业论文）基于直角压电悬臂梁的振动能量回收系统的研究.pdf

摘要 摘要 本论文就新型直角压电复合悬臂梁振动能量凹收系统进行了深入的理论分析和 实验研究。 文章首次提出直角压电复合悬臂梁结构，提出利用力矩均匀化压电悬臂梁的应变 分布的概念，以此提高压电悬臂梁的能量输出能力。直角梁系统由两部分组成，一 部分为贴有陶瓷片的传统悬臂梁，另外一部分是与此悬臂梁成直角的附梁，此系统 是目前可实现压电悬臂梁应变最均匀化的结构之。此外，文章基于r a y l e i g h r i t z 原理为直角压电悬臂梁系统建立动力学模型，并创新性引入力一位移阻抗的方法分析 等效惯性力激励下系统中力与力矩的分布与传递原理，直观说明直角梁力矩优化应 变分布的作用原理，并为结构的优化提供理论依据。通过a n s y s 有限研究第一模态共 振情况下系统的应力分布情况，直接验证应力优化的效果并证明力矩优化应力分布 的作用原理。分析显示，在第一共振状态下附梁町提供给主梁一个极大的力矩，并 且使主梁长度方向应变的分布极为均匀。 实验设计三个附梁刚度不同的直角压电悬臂梁装置，装置中附梁的长度都为主梁 长度的一半。当附梁的刚度是主梁o 0 2 倍的时候，贴于主梁表面的陶瓷片表面长度 方向应变分布极为均匀；此时，在第一共振频率处陶瓷片的材料相对利用效率高达 9 3 ，而传统的压电悬臂梁第一共振频率点处陶瓷片的材料相对利用效率是5 0 。对 比实验研究表明，随着附梁的刚度降低，贴于主梁表面压电陶瓷片的相对材料利用 率增加。而后，实验测量研究了直角梁系统的压电陶瓷片的相对材料利用率扫频特 性，说明压电直角悬臂梁力矩均匀应变的原理特性：此外，实验测试了等加速度激 励下直角梁系统的电压输出扫频特性和功率输出扫频特性，说明应力分布均匀情况 下的压电悬臂梁电压及功率输出的优势并间接证明理论。 关键词：均匀应力分布，能量回收，悬臂梁，压电 摘要 i i a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e rp r e s e n t st h e o r e t i c a l a n a l y s i sa n de x p e r i m e n t so nn o v e lr i g h t a n g l e p i e z o e l e c t r i cc a n t i l e v e rf o rv i b r a t i o n a le n e r g yh a r v e s t i n g t h i sp a p e rf i r s t l yp r o p o s e sa r i g h ta n g l ep i e z o e l e c t r i cc a n t i l e v e rf o re n e r g yh a r v e s t i n g ， a sw e l la st h ec o n c e p to fu s i n gt o r q u et os m o o t ht h es t r a i nd i s t r i b u t i o no ft h ep i e z o e l e c t r i c c a n t i l e v e ra n di m p r o v ei t sp e r f o r m a n c e i nt h i sd e v i c e ，a l la u x i l i a r yc a n t i l e v e rw i t hp r o o f m a s si sa t t a c h e dt oa p i e z o e l e c t r i cc a n t i l e v e ra n df o r m sar i g h ta n g l ew i t hi t ；i ti so n eo ft h e m o s te f f i c i e n td e v i c e s c u r r e n t l y a v a i l a b l et os m o o t ht h es t r a i nd i s t r i b u t i o no fa p i e z o e l e c t r i cc a n t i l e v e r i na d d i t i o n ，d y n a m i ca n a l y s i sb a s e do nt h er a y l e i g h r i t z m e t h o d sf o r p i e z o e l e c t r i c c a n t i l e v e rw a sp r o p o s e d ，a n dn o v e lm e t h o d so ff o r c e d i s p l a c e m e n ti m p e d a n c em e t h o dw a sp r o p o s e d t o a n a l y z et h ef o r c e a n dm o m e n t d i s t r i b u t i o ni nt h er i g h ta n g l ec a n t i l e v e re x c i t e db yi n e r t i af o r c e ，a n dd i r e c t l yd e m o n s t r a t e d t h ep r i n c i p l eo fs t r a i ns m o o t he f f e c to ft h et o r q u ei nr i g h ta n g l ec a n t i l e v e r ，t h i sp r i n c i p l e c a nb e u s e dt of u r t h e r i m p r o v et h ep e r f o r m a n c eo fr i g h ta n g l ec a n t i l e v e r s t r a i n d i s t r i b u t i o n so ft h r e em o d e l sw e r ee x a m i n e db ya n a s y sa tt h er e s o n a n tf r e q u e n c i e s ， r e s p e c t i v e l y ，w h i c hp r o v et h es t r a i ns m o o t h e ne f f e c to fat o r q u ed i r e c t l y a n a s y sr e s u l t s s h o w e dt h a tt h ea u x i l i a r yb e a mw o u l dp r o v i d ea ne x t r e m e l yl a r g e t o r q u ea n ds m o o t h e nt h e s t r a i nd i s t r i b u t i o no ft h em a i nb e a mi nt h el o n g i t u d ed i r e c t i o na tt h ef i r s t r e s o n a n t f r e q u e n c i e s ，t h u su n i f o r ms t r a i nd i s t r i b u t i o nm a yo b t a i n e d i nt h ee x p e r i m e n t ，t h r e em o d e l so fr i g h ta n g l ec a n t i l e v e rw e r ef a b r i c a t e dw i t ht h e s a m em a i nb e a mb u td i f f e r e n ts t i f f n e s sa u x i l i a r yb e a m ，a n da l lt h ea u x i l i a r yb e a m sh a v e h a l ft h el e n g t ho ft h em a i nb e a m w h e nt h ea u x i l i a r yb e a mh a ss t i f f n e s s0 0 2t i m e so ft h a t o ft h em a i nb e a m ，t h ep i e z o e l e c t r i ce l e m e n ta t t a c h e da tt h em a i nb e a mh a sa ne x t r e m e l y u n i f o r ms t r a i nd i s t r i b u t i o ni nl o n g i t u d ed i r e c t i o n ，a n di t sr e l a t i v e l yu t i l i z a t i o ne f f i c i e n c y ( r u e ) i s9 3 a tt h er e s o n a n tf r e q u e n c y ；a tt h es a m et i m et h er u eo fat r a d i t i o n a l p i e z o e l e c t r i cc a n t i l e v e ri s5 0 e x p e r i m e n t sa l s os h o w e dt h a tt h er u eo faf i g h ta n g l e p i e z o e l e c t r i cc a n t i l e v e ri n c r e a s ea st h es t i f f n e s so ft h ea u x i l i a r yb e a md e c r e a s e a n dt h e i i i a b s 仃a c t f r c q u e n c yr e s p o n s eo fr u ea l s oc o n f i r m st h ec o n c e p to ft o r q u ea p p l i e dp r i n c i p l e f u r t h e r m o r e ，e x p e r i m e n ta l s os h o w st h ev o l t a g eo u t p u ta n dt h ep o w e ro u t p u tv s 仔e q u e n c y t h ed a t ap r o v et h ea d v a n t a g eo fas t r a i ns m o o t h e n e dp i e z o e l e c t r i cc a n t i l e v e ra n dp r o v e d t h ec o n c e p ti n d i r e c t l y k e y w o r d s ：u n i f o r ms t r a i nd i s t r i b u t i o n ，e n e r g yh a r v e s t i n g ，c a n t i l e v e r ，p i e z o e l e c t r i c 第l 章绪论 第1 章绪论 能源是现代人民生活和经济增长的驱动力，可以说从上游工业到下游民众的普 通生活，处处都离不开能源支撑。现行能用供给主要依赖是化石能源，如煤、石油 和天然气，但化石能源污染大、不可再生，并且已经面临枯竭：而新能源的出现与 发展，为解决这一问题，提供了很好的解决方案。新能源的形式主要有太阳能发电、 风能发电、水力发电及近年兴起的智能材料能源等等。在如此多样的新兴能量源供 给面前，如何有效利用能量源并使能量输出机构有最大的效率，成为能源供给研究 的一个重要的方向。能量回收，因其显著的研究价值和广泛的研究范围，也成为其 中的一个研究热点。 1 1 研究背景 微系统制造技术和微电子技术的不断发展，使得无线传感网络应运而生。无线 传感网络和微执行器等微系统已然广泛应用在环境监测、植入式芯片、汽车和建筑 军事等重要领域。微型机电系统的研究追求功能的强大而功耗体积的微型化，因而 低功率的能量供给器件在此方面得到大规模的应用 1 5 】。对于便携式或者植入式电 子设备和节点传感器而言，常规的能量供给器件为电池。然而对于现行常规电池而 言，其寿命及能量密度有限，一般主流锂电池每立方厘米仅可以提供o 8 k w h 的电能， 也就是说，1 立方厘米的锂电池给一个耗能1 0 0l jw 的电子设备供电，仅可维持8 0 0 0 个小时 5 】。因此，使用电池的电子设备必须不定时更换电池。但是在某些场合，更 换电池极为麻烦甚至引起不必要的后果，如下列场合：嵌入桥梁水坝等钢筋混凝土 内部的应力应变传感器、实时诊断传感器，隐藏在密林中的军用战场检测传感器等 等，而在民用领域，便携的监护传感器，甚至于最近新兴的大屏幕大功耗的智能手 机也对能源的持续供给提出了更高的要求；从另外一方面来说，更换下来的废旧电 池难以处理，并且会对环境有很大污染。电池的缺点日益突出，急需其他解决方式。 而从环境中实时获取能量，为电池充电或者直接为电子器件供电，为解决电池 所存在的问题提供了可行的解决办法。近年利用回收环境中未被利用的能量的系统 来实现低功耗器件的能量自给受到广泛关注。而现行提出的能量回收系统存在着很 多的不完美，如功率输出限制，如跟外界耦合的问题，如回收装置和回收电路的耦 合的问题，这就需要科研工作者们在此领域多方的努力。 第1 章绪论 1 1 1 能量源简介 外界能量源主要分为两种一种是人体能量一种是环境能量。人体能量可以分 为主动能量和被动能量。主动能量需要人有目的地运动去产生能量，如摇动手摇式 发电机供给电能，据研究手指在敲击键盘时可以产生1 9 m w 的能量，r 常活动中上 肢可产生的能量为3 w ，每秒钟两步的行走可以产生的能量为6 7 w ；被动人体能量 是指人体在平时运动中所伴随产生的可回收能量，像日常情况下地行走、手臂的运 动、胸腔的呼吸运动以及血压所提供的能量 6 】。此外较为丰富的热能也存在人体之 内。环境能量包括振动能量，如风能、热能、太阳能、电磁波能量以及振动能量等。 环境中的振动能量及其丰富而且很多未加以有效利用，如机械设备的振动能量，汽 车行驶中的振动能量。回收这部分未被利用的能量有着客观的价值，但由于外界振 源特征属性各不相同，如其振幅和振动频率、振源的等效机械阻抗等，所以需要针 对不同的振动源需要设计不同的回收机械装置和外部电路以达到能量回收的最优化 7 1 。 在此继续简单较少几种常见的环境能量及其特征。一般环境能量包含太阳能、 热能、无线信号能量和机械振动能量等。 太阳能是一种普遍存在并且已经比较成熟地广泛应用的一种能量形式。除日常 的，e 物的太阳能利用，民用太阳能热水器等等，光电系统也大量应用。光电系统发 展成熟，其产能量从毫瓦到兆瓦均有发展与应用。白天日照情况下户外太阳能充足， 对- f 正午阳光直射的情况下太阳能辐射的能量密度为1 0 0 m w c m 3 。也有安放在室外 并且主要在白天工作的器件采用太阳能供电。但经测量办公室内部的光线能量只有 几uw c m 3 ，应用受限。而且太阳能极其容易受天气、应用场合限制，对于心脏起 批器、植入式检测传感器等系统，则不能实现有效供能。 热能利用也有较长历史，如地热发电，地热供暖等等。对于热电系统，其工作 条件的关键是要存在热量梯度。热电系统主要采用热电偶发电的形式，这种方式产 能跫有限。另外为微小体积内难获得较大的热梯度，故此从热点系统的能量梯度中 获耳义能量的解决方案不适合微型器件。 无线信号能量回收主要回收利用空间无线电信号的能量。无线信号能量遍布城 市，可以把各种背景无线电信号所携带的能量作为无线设备的能量源。现也有公司 做出产品利用w i f i 信号发电为手机充电，但是无线电能回收装置采集背景无线信号 获得的能量大小很有限，且需要很大面积的接收器或者距离辐射源要很近。而一般 微2 型化的系统及随机的工作环境下，无线电能回收装置则显供能不足。 振动能量普遍存在并且大多没有被有效利用，如工厂设备的振动、汽车行进中 的振动、雨滴落到地面的能量、人体运动能量。其中建筑物中振动能量值大致可达 到2 0 0 pw c m 3 。日常生活中家用电器等会有固有频率1 0 0 h z 左右的微小振动，其最 2 第1 章绪论 大加速度大致在o 5 5 r n s 2 。振动能量相比较有一定的优势，微型化其能量回收装置 的结构并不会降低其单位体积内的能量密度，更不会使其不能工作；而振动能量的 存在与时间昼夜变化，场合的变化如室内室外等影响，相比较有较大的优势。e l i z a b e t h kr e i l l y 在文中给出了一些日常振动源的频率及特性。如表1 1 1 8 表1 1 环境振动能量 联想笔记本1 1 9 00 1 9 9s 无绳电钻 外接高清播放器 洗衣机 抛光机 车床底座 三角钻 h v a c 屋顶 自行车 跑步 行走 冰箱 电茶壶 0 3 6 3 0 0 1 4 o 3 1 4 0 1 2 l 0 1 4 4 0 4 0 7 0 2 5 2 0 0 9 l 0 0 6 2 2 0 4 5 0 7 6 2 0 4 3 0 0 3 0 5 0 0 1 8 0 0 1 9 s = 尖峰谐振振源：b b = 宽频域振源；i = 冲击振源( l h z ) ；l f = 低频振源( v d c 时，电路会通过整流桥路给电容c r 充电，压电体两端电压保 持恒定，v v o c 此时充电停止，v v d c 时，反方向充电，如此不断循环。 ， 图1 1 7 全桥式能量回收电路 典型的全桥回收电路结构简单，但是压电体所产生的电能并没有得到充分的传 递，因v v d c 时充电停止，压电体产生的电能部分反馈回振动中去而未被有效利 刚。d g u y o m a re ta 1 提出一种改进方案，即s s h i 同步开关式能量回收方式 4 3 1 ，如 图1 1 8 。这个方案在全桥电路的基础上增加了l c 振荡回路。当振动达到最大振幅时 接通l c 回路；经过1 2 个l c 回路周期，压电体上下电极面间的电荷互换、电压反 向。选择合适的电感值，使l c 回路振荡周期远小于能量源振动周期，这样当振动方 f u 将发生改变时，l c 回路导通l 2 个周期，快速改变压电体两端电压方向，因此实 现厂电荷翻转，从而使压电回收装置的电荷始终朝电压绝对值增大方向的不断积累， 那么压电体产生的电荷可顺利流向负载。实验证明s s h i 回收电路的输出功率比典型 f , lq k 电路有4 0 0 以上的提高。 图1 1 8s s h i 能量回收电路 1 4 。 第1 章绪论 1 2 。5 压电振动能量回收应用 压电能量回收常用于有稳定振动源并且需要长期供电的场合，可为节点式传感 器或者无线设备提供持久有效的能源。主要应用场合和实例总结如下： 结构检测和故障诊断。压电能量回收可对一些重要的大型建筑物，铁轨桥梁等 进行实行健康监测的传感器节点进行供能。通过预先铺设入建筑物的传感器网络， 方便及时地对建筑物内部人员、温度和建筑物健康等进行实时检测，如e l i z a b e t hk r e i l l y 提出并分析的给铁轨检测节点供电的压电能量回收系统 4 4 】。s o o b u ml e e 提出 一种可固结附加与空调机箱，飞机等表面回收振动能量的多模态能量回收皮肽，可 在较宽的频率区间内有较好的能量输出【4 5 】。e t h e me r k a n a k t a k k a 提出并研究了在小 型昆虫身上加载压电太阳能等多种能量回收装置的可行性，并以此为基础研究发展 昆虫载传感器节点 4 6 。l m o r o 研究嵌入鞋底的压电悬臂梁，并使用此方法回收人走 路时候产生的能量 4 7 】。e l i z a b e t h k r e i l l y 利用三角形压电悬臂梁整合设计研究了能 源自给的传感器节点，证明其有一定的实用价值 4 8 】。 1 3 本论文研究的目的和创新之处 本文着眼于机电转换环节的优化，提出一种新的悬臂梁应变优化原理，并研制 一种新型原理的压电悬臂梁应变分布优化的装置；论文工作在几个方面取得突破， 研究内容创新点如下： ( 1 ) 提出一种利用力矩作用优化悬臂梁应变分布的概念，理论上可以实现压电 悬臂梁在共振状态下应变分布的绝对均匀；发展一种基于直角型压电悬臂梁的压电 能量回收装置，为目前实测压电悬臂梁应变分布最为均匀化的装置之一。文章并建 立压电悬臂梁动力学模型，对直角压电悬臂梁的动念特性进行评估。 ( 2 ) 创新性引入一种基于机械阻抗模型的分析方法，简单直观分析广义力作用 下直角压电悬臂梁中的力和力矩的分布、产生和传递的原理，简洁直观地说明了直 角压电悬臂梁应变分布均匀化的缘由，并为结构的优化提供了丰富直观的理论依据。 ( 3 ) 提出一种量化的压电悬臂梁应变分布均匀性的评价标准，给压电悬臂梁应 变分布均匀程度的评价提供了量化的尺度，为系统优化及评价提供科学的依据和方 法。 1 5 第1 章绪论 1 4 本论文研究内容和结构安排 本论文以新型的直角压电悬臂梁为研究对象，着重阐述了其理论分析、仿真建 梭和实验分析等方面的研究。本文分为四章： 第一章介绍本文的研究背景、现状和目的。首先阐述能量回收的背景，说明能 量旧收的必要性和前景，综述不同形式的能量源及能量回收的方式。其次介绍了压 电振动能量回收的环节，及国内外近年的研究成果和现状，总结分析各种优化方式 及其可借鉴之处，最后介绍本文研究内容的创新之处。 第二章介绍了直角压电悬臂梁的理论和仿真研究。首先简单总结了压电效应和 胍咆方程的理论基础，其次阐述了力矩均匀化悬臂梁应变分布的原理和优势，建立 其动态分析的理论模型，分析振型、谐振频率等性能指标与直角压电悬臂梁主要材 料参数和结构参数之间的关系。 第三章介绍直角压电悬臂梁的仿真和加工工艺过程，简述了应变分布、相对材 料利用效率、电压电能输出等主要性能参数的实验测试方法，实验分析了直角压电 悬臂梁的特性并与理论仿真结果相比较。 第四章对本论文工作进行总结和展望。回顾了论文研究工作和取得的主要成果， 捉 l 工作中的不足和改进措施，并对后续其他研究工作提出了一些建议和展望。 1 6 第2 章直角压电；悬臂梁的理论分析 第2 章直角压电悬臂梁的理论分析 对于机械能转换为电能的环节，压电陶瓷应变的优化可以很大程度上优化能量 回收装置。科研工作者主要着眼于修改调整压电悬臂梁的外部形态以达到应变优化 的目的，并且提高压电元件的材料利用率，以此提高能量输出与能量转换效率。本 章重点分析讨论力矩作用使得压电悬臂梁均匀应变的现象，提出直角压电悬臂梁， 并建立的力学模型分析其作用原理。本章首先对垭电效应的原理作简要的回顾，并 对压电方程做出概括性的说明，为接下来的分析打下理论基础。 2 1 压电效应和压电方程 居里兄弟杰克斯和皮尔首先发现了压电效应。在对晶体对称性研究过程中，实 验发现在某些晶体中施加压力会有电性产生。经实验检测具有压电性的材料有：电 气石、石英、方硼石及罗谢尔盐等。第二年，法国物理学家李普曼根据热力学原理 在理论上预测了逆压电效应的存在，居里兄弟也很快通过对压电晶体的实验获得了 逆压电效应存在的证据，通过对石英材料的测试，首次得到晶体材料的压电系数。 v o i g t 通过对晶体结构地分析指出，仅无对称中心的二十种点群的晶体才有可能具有 压电效应，压电理论逐渐成形。 + + + 斗+ 篷l t ：1 ) 图2 1 压电效应原理图：( a ) 正压电效应，( b ) 逆压电效应 l 电场 l 厅l 神 压电效应是非晶方性晶体材料特有的一种释电现象，体现出晶体机械特性和介 电特性的互相耦合作用。伴随压电效应，材料机械能与电能相互转化，根据转化方 向的不同，压电效应可分为正压电效应和逆压电效应两种。当压电电介质沿一定方 1 7 第2 章直角压电；悬臂梁的理论分析 向k 受到外力作用而变形时，其内部会产生极化现象，同时在它的两个相对表面出 现i f 负相反的电荷，当外力移除后，又会恢复到初始的状态，这种现象称为正压电 效应，如图2 1 ( a ) 所示。当作用力的方向改变时，电荷的极性也随之改变。相反，当 在| 乜介质的极化方向上施加电场，这些电介质发生变形，电场去掉后，电介质的变 形随之消失，这种现象称为逆压电效应，如图2 1 佃) 所示。 描述压电材料机械和电学状态参窀包括应力、应变、电场、电位移四个基本物 理鼍。对于压电陶瓷等压电材料，需建立一套坐标系来描述各物理量的数值和关系， 定义平行于极化方向或单晶材料极性方向为3 坐标轴，垂直于3 坐标轴为1 2 平面， 其鹰本物理量表述如图2 2 所示。 图2 2 压电晶体坐标系定义 r i 川- 价巾 仙- t i 。r l 产f n - t 4 1 r j l 2 t j 产- - - t 5 i l 矧r 2 l - - - t 6 在三维坐标体系中，应力应变为一阶张量，电位移、电场强度为矢量，各参量 符号为：仁( 死) 应力，肛( & ) 一应变，庐( 局) 一电场强度，d = ( d i ) 一电位移， f ，= 1 ，2 ，3 。在线性压电理论中，认为压电结构为完全弹性材料，机械、电学及其压电 耦合效应均无能量损耗，并与外界绝热。分别从e 和d 及丁和s 这两组状态量中各 取一个参量作为自变量，则存在四类压电本构方程，可分别描述四种边界条件下的 机械和电学之间的耦合关系。 1 ) 取丁和e 作为自变量，描述机械自由、 d ：占t e + d t s ：d t e + s e t 2 ) 取s 和e 作为自变量，描述机械央持、 d ：j e + e s 7 1 ：一+ c s 电学短路下的第一类压电方程为： ( 2 1 a ) ( 2 1 b ) 电学短路下的第二类压电方程为： ( 2 2 a ) ( 2 2 b ) 1 8 第2 章直角压电悬臂梁的理论分析 3 ) 取2 1 和d 作为自变量，描述机械自由、电学开路下的第三类压电方程为： e ：r d g r ( 2 3 a ) s ：g t d + s d t ( 2 3 b ) 4 ) 取s 和d 作为自变量，描述机械央持、电学开路下的第四类压电方程为： 一 e = 口o d h s( 2 4 a ) r ：一h t d - - c d s ( 2 4 b ) 其中d ，e ，g 和h 分别为压电效应中的应变、应力、电压和电荷压电常数矩阵，d ，e 。， g t 和h 分别对应d ，e ，g 和h 的转置矩阵。s e 矛i s d 分别为电学短路和开路状态下的弹性 柔顺常数矩阵，c e , n c d 分别为电学短路和开路状态下的弹性刚度系数矩阵，和占7 分 别为机械夹持和自由状态下的介电常数矩阵，解口矿分别为机械夹持和自由状态下的 介电隔离率矩阵。 根据张量的对称性以及压电晶体材料的坐标系( 如图2 5 所示) ，以应力丁和电 场强度e 为自变量的压电陶瓷弹性体线性本构方程的矩阵形式为： s 最 墨 s 。 墨 s b j 矗j 是 j 三j 疗 s 磊s 三 oo 0o oo j 矗0 s l e 3 0 0 0 s e 恼 0o 0o o0 0o o0 0o s 蠹0 0 正 正 巧 正 巧 瓦 + 00 以1 00 以l 00 以3 0 d 1 5 0 d 1 5 0 0 ooo ( 2 5 a ) + 阱删 协 2 2 应变均匀原理与意义 本节具体讨论压电悬臂梁的结构特征和压电悬臂梁应变分布均匀化的意义。 1 9 互互五正巧瓦 们i 叫叫 丸o 00 丸o o o 奴 0 o 以 o o 以 -。l = 1，j 虏历历 第2 章直角压电悬臂梁的理论分析 因压电陶瓷体本身属性硬而且脆，压电陶瓷须工作在较大应变但较小的形变之 一卜_ 。故为匹配微振动环境，一般使用片状长方体结构的传统的压电悬臂梁( 图2 3 ) ， 刚为悬臂梁表面可以产生非常大的应变，而在微振动环境下相对形变很小，满足压 f f l 陶瓷应用需求。当然，非微振动环境压电陶瓷的匹配方式另当别论。 传统简单的压电悬臂梁使用长片状悬臂梁，并在悬臂梁的靠根部位置贴陶瓷片， 副为常用的第一模态之下悬臂梁根部的应变最大，而为了有效降低共振频率并且更 好地匹配振源，一般在压电悬臂梁端部固接质量块，图2 3 所示即带端部质量块的压 电悬臂梁。更一般的情况，压电悬臂梁中陶瓷片布满整个悬臂梁表面，即z ，= z 7 。 f ，= 2 ：时，压电悬臂梁应变分布如图2 4 中“等截面梁 应变分布，即根部最大，且 应变在长度方向递减，自由端应变为零。此时有： 卜t m 昙f n z 、姜 s x = 鲁= 二，其中心= f ( 1 - 戈) 厶tr - 1 其中mf e 和分别为梁上的弯矩、加载在自由端的外力、梁的厚度、杨 式模量和转动惯量。可见，因作用力产生梯度的力矩分布，传统的悬臂梁加载力的 方式决定了其在长度方向上必然有应力的梯度，应变分布如图所示。 在此情况下，很容易出现悬臂梁根部的压电陶瓷材料达到应变极限，而端部的 压电材料基本未被利用的情况，陶瓷片无法被全部利用；从另外一方面说，一般电 极连续且布满整个压电陶瓷片，那么悬臂梁根部的压电陶瓷产生的电荷必先于端部 产，i 三的电荷相平均，然后才对外做功，悬臂梁根部的压电陶瓷产生大量电荷，而悬 臀梁端部几乎不产生电荷，故此陶瓷片做功效率低下。最理想的情况，是压电悬臂 梁的应变分布绝对均匀，如图2 4 中“等应变梁 应变分布曲线在应变分布绝对均匀 的情况下，陶瓷片的利用效率及做工能力都达到最大化，故传统压电悬臂梁的优化 空n h 艮大。 图2 3 传统压电悬臂梁示意图 2 0 第2 章直角压电悬臂梁的理论分析 图2 4 等截面梁应变分布及等应变量应变分布 压电悬臂梁应变分布均匀化的优势可叙说如下。从压电悬臂梁动力学方程出发， 压电悬臂梁系统的电压输出和加载阻性负载时候的功率输出。压电陶瓷的本构方程 为： 是= s 矗k d 3 l 岛， d 3 = 矗3 1r l s 毛岛， 其中5 l 和瓦分别压电陶瓷片长度方向上的应变和应力；d 。和岛分别是压 电陶瓷片的电位移和电场强度；d 。1 和3 3 恒定电场下面压电陶瓷的压电系数 - p i e z o e l e c t r i ce l e m e n l 图2 5 压电能量回收等效电路 r x 假设压电陶瓷的漏电阻远大于压电陶瓷外接的阻性负载，并且此直角悬臂梁系 统的能量回收回路简化成图2 5 所示，压电陶瓷能量回收装置简化为一个恒流源，外 接负载简化为一个电阻元件，那么能量输出的等式可以写成下述形式： 三( l 万- 元她) = 警， 面代表压电体内部的电位移，- f i 代表电能输出的方向。如图2 5 所示，则此压电能 2 1 第2 章宜角压电悬臂梁的理论分析 量旧收系统压电陶瓷两电极表面所获取的电荷q 与压电陶瓷片体上的电压矿( d 存在 如f 关系： 三l ：去芸= 一e 。i 易( 亨+ 口) j ：。兰去一。i2 一e 3 i 扫i j + 口川o 磊诱 假设此能量回收系统中，v - d 3 。和5 l 按e j m 的规律正弦周期变化，则： 矿= 警一c = 熊 - 擎p z c 毒+ 灿勺袁灿 瑾 警 磷 锵 嬲 瘁 稿 嚣 织 i | ；娥豫撤鄂戚蹙 ( a ) ( 8 ) 图2 6 等应变梁与等截面梁理论比较图 从此表达式可以看出，压电体的电压输出与压电体最大应力相同的情况下的应 变分布均匀程度成正比例。假设高度范围内的应变分布情况与压电陶瓷表面长度方 向匕应变分布情况相同，那么压电陶瓷内部所能产生的电能与压电陶瓷表面的应变 移 分成二次方的比例，相比较于传统的压电材料布满整个悬臂梁表面的系统来说， 口j 咆材料尺寸参数相同但应力分布均匀的悬臂梁系统，在同等最大应力的情况下其 f l 压输出能力可以提高二倍，而同等最大应变的情况下功率输出能力可以提高四倍， 如图2 6 。当然，图2 6 是基于同样工作频率下的陶瓷片相同最大应变下的输出电压 和输出功率之比，相同振动环境下等应变梁和等截面梁的输出功率之比仍须就两种 结构与振源的匹配程度，两种结构的应变分布程度等等因素综合考虑。 2 3 直角压电悬臂梁基本原理与结构 第一章中总结，现对压电悬臂梁应变分布优化的结构一般都着眼于从几何形态 第2 章直角压电悬臂梁的理论分析 上面改变悬臂梁的结构，以获得均匀的应变分布，这些均匀化的应变分布均为近似 均匀。并且如果要求应变均匀化程度越理想，梁的几何加工必须越精确；其他因素， 诸如端部质量块，压电陶瓷片与基板粘贴的紧密程度，都会对应变的均匀化产生一 定的影响。然而，从另外一种概念入手，亦可均匀化压电悬臂梁应变分布，即力矩 优化应变分布的原理。传统的悬臂梁准静止状态下在自由端加载一个力矩，即将传 统悬臂梁中加载的帆换加载常量力矩掰o ，此时理论上可以获得应变分布的绝对均 匀化。 本研究提出并讨论一个直角压电复合悬臂梁结构，此悬臂梁由传统的压电复合 悬臂梁，在此悬臂梁端部成直角的方向上复合上一个副梁而成。此直角悬臂梁工作 在第一共振频率点，此共振点可看做主梁和副梁的串联共振频率点并且比主梁单独 存在的时候的第一共振频率点低得多，故而此时主梁可以近似认为工作在准静止状 态下，此时副梁直接提供给主梁一个非常大的转动惯量力矩，故此，主梁的应变分 布非常均匀，并且此压电悬臂梁能量回收系统的效率可以提高很多。 a u x i l i a r yb e a m 图2 7 直角压电悬臂梁示意图 z 图2 7 是直角压电悬臂梁的示意图。如图所示，此装置主梁部分与基座固结， 并且有个与主梁成9 0 。分布的副梁，副梁一端与主梁固接，另外一端固接有质量块。 主梁和副梁均为传统的矩形悬臂梁，加工方法与传统悬臂梁相同且无特别高精度加 工要求。直角悬臂主梁和附梁宽度和厚度沿梁的长度方向上没有改变。压电陶瓷片 固结与主梁之上，其极化方向垂直于主梁的长度方向。基座上下以正弦规律振动， 位移函数为u ( t ) ，基座振动激励此直角悬臂梁系统振动，且假设基座运动某一时刻的 最大加速度恒定。 为便于理论分析，现将基座的激励运动分解成两个特殊方向上面的运动，x o z 坐标系内x 方向运动比和x o z 坐标系内z 方向运动一以，则在此实验系统中，以垂 2 3 l 、l ， 1 - ” 叭个0 v xj 第2 章直角压电悬臂梁的理论分析 直于主梁的长度方向，以平行于主梁的长度方向。此外，因为系统采取单一振源激 励的方式，故以和有相同的相位但其振动幅值不同，并且遵循如下法则： 以( 幻= 口t ) c o s 口， 以( 0 = u ( 幻s i n 2 4 系统建模 基于e u l e r - b e r n o u l l i 悬臂梁理论的数学模型为分析压电悬臂梁的特性提供了很 女 f 的工具与平台 4 9 】- 5 4 】。早期悬臂梁理论模型为集总参数模型，此类模型将压电悬 臂梁的参数集总化，有一定的精度并且使用方便，但是此类模型将悬臂梁的振型等 排除考虑之外，并且不能表示悬臂梁的应变分布情况。后期科研工作者提出分布参 数的压电悬臂梁模型，解决如上问题，并且模型拥有很好的精度，其中e r t u r k 和 i n m a n 提出并且分析了一种l 型梁 2 5 】。文章此节建立一个基于e u l e r - b e r n o u l l i 悬 臂粱理论的分布参数模型，并且进行进一步探讨。 以下建模皆基于如下的假设：( 1 ) 此模型假设为e u l e r - b e r n o u l l i 复合梁，故此梁 的剪切及梁的转动惯量不在考虑之列：( 2 ) p z t 陶瓷片完美结合与基板之上，故此陶 瓷片与基板之间并没有剪切变形：( 3 ) 主梁和副梁连接点出没有变形，即双梁在连接 点处始终保持9 0o 夹角。 、 ( 瞬捐 u x ( t ) ( a )( b ) 图2 8 直角压电悬臂梁及等效分解图 图2 8 中，l ，k ，2 ，b - ，呜，k ，h 玉，h 口，岛，j d 玉和如分别表示如下 2 4 第2 章直角压电悬臂梁的理论分析 参数：主梁的长度、主梁的宽度、副梁的长度、附梁的宽度，副梁自由端固结的质 量块的质量、p z t 陶瓷片的厚度、主梁基板的厚度、副梁的厚度、p z t 陶瓷片的密 度、主梁基板的密度和副梁的密度。以下理论分析皆基于此模型。 2 4 1 等效刚度计算 因此直角压电悬臂梁的主梁为陶瓷片与基板的复合梁，在理论计算过程中采用复 合梁模型会带来一定的不便，在此，将主梁简化抽象为刚度恒定的悬臂梁结构， 等效刚度由计算得出表达式，而附梁则为当传统悬臂梁处理。 j ，_ 一“ i 一 a t l 一 一、- ，、 ( a j( b ) 图2 9 主梁和附梁横切面图 图2 9 分别显示主梁和附梁横切面的图。在此图中，坐标原点位于复合悬梁的 中性层上；h p 和h s 分别表示压电层的厚度和基板层的厚度：a 表示压电陶瓷和基 板的分界面到中性层的距离。通过继计算，可得： 则主梁的等效刚度可以写作： n = 三型趣堡 2f d 矗a + 昂缸p g l t r i = 三6 邑( j l l ；一3 口j f i + 3 a = t t 。) + 三6 易o ；+ 3 a h ；+ 3 a = h p ) e 匕表示附梁的等效刚度，其表达式为： 三l = 壶6 口乞 ： 第2 章直角压电悬臂梁的理论分析 2 4 2 系统数学模型 本节中，利用欧拉梁的理论为系统建立分布参数模型，利用能量法导出系统方 程和边界条件，进一步求得系统的振型函数和应变分布情况。 在此，我们假设w 1 ( ，t ) 和w 2 = ( x i ，t ) 分别表示在直角坐标系x o z 内，在z 和、 x 世标上，时刻t 的时候，直角压电悬臂梁中主梁和副梁分别的瞬时弯曲变形。系统 的运动方程可由广义哈密顿原理建立模型并且推导出。在此模型中，主梁被简化为 一个一端固结一端自由的悬臂梁，副梁被简化为一个一端铰接一端自由的悬臂梁， 如图2 7 所示： 现用能量法求得系统的方程。系统的动能和势能在等效正交分解的u x 和u z 激 励下分别可写成如下形式： r = 詈e 1 1 1 ，( 掣+ 等) 2d z m 三e 。m ，( 警) z 西z m + 詈e 2 仇：( 誓+ 笔竽) zd x a y 1f ( m o u 。+ 掣竽) z + 量( m 2 z ：) ( 鼍竽+ 以) 2 矿= 捃( 每笋2d z = + 捃睨( 笋) 2 饥， 此式中，n i 。和m ：分别表示主梁和副梁单位长度里面的质量，其表达式如下： m ，= b + 如 五) k ， m 22p a b 口k 假设主梁的等效粘滞阻尼系数为c 1 ，副梁的等效粘滞阻尼系数为c ：，则根据虚功 原理有： 昨一卜掣撕蛞卜掣口 式中5w 表示虚位移。利用广义哈密顿原理，进一步可以得到： f ：( 6 r 一6 v + 占咝) d t = 0 进一步考虑阻尼系数，故此，直角压电悬臂梁系统中主梁和副梁的运动方程可 以分别写为： 掣+ c l 掣+ 掣= o 加r o 轧， 2 6 第2 章直角压电悬臂梁的理论分析 芝掣+ c 2 塑掣e 掣= o ，厂。t o x 口z 2 虽然实际系统不可避免的存在阻尼，并且阻尼会对悬臂梁在共振点处的实际振 动形状产生一定的影响，但此影响在悬臂梁系统阻尼很小的情况下微乎其微，故此 我们在这里求系统的无阻尼状态振型，并进一步估测系统应力分布。无阻尼自由振 动时候，有u z = u x = 0 ，另外主梁与基座理想刚性固结，且连接点处没有相对或者 相对旋转。故可得如下边界条件： w 1 ( 0 加掣l 掰。- 0 理想欧拉梁的假设之下，附梁根部在z 方向上没有位移，并且附梁根部的转角 与主梁自由端的转角相同，故有： 境。_ o ，掣l 删i = 掣b ， 根据牛顿第二定律，在主梁端部的存在边界条件： 加z z z + ) 学l z m = 。：- - 虬q 掣l d ：2 0 ， 附梁根部的转角与主梁自由端的转矩相同，故有： 掣i j 1 1 = | i - - - 巩掣l 铲。， 根据牛顿第二定律，在附梁自由端存在边界条件： 等l 蛄k 一坞学b 皇一o ， 附梁端部转角为零，故存在边界条件： 巩警l 婿k 一。 此直角粱系统的相对于基座的动力学响应可以表示为一系列绝对值收敛的特征 函数的组合形式，此直角梁系统主梁和附梁的第r 阶特征函数分别为为0 雕( z m ) 和 仍。，( 舄) ，故此对于此直角压电悬臂梁系统的主梁和附梁分别有： w 1 ( 砀，句= 善l 西m r ( ：m ) 叩馏 ， w 2 ( z a ，d = 器，0 。， 丘) ? ”( 0 ， 2 7 第2 章直角压电悬臂梁的理论分析 式中西烈( z m ) 和0 a ，( 毪) 分别为主梁和附梁的第r 阶质量归一化的本征函数的各 振动模念的模态振型，( c ) 和7 7 陌( ) 分别为主梁和附梁的第r 阶质量归化的本征 函数的各振动模态的模态振型响应。在此，重力对直角悬臂梁系统动力响应的影响 忽略不计，因为重力的存在对本系统正弦形式的电压输出的影响并无显著贡献。 此悬臂梁系统中主梁和附梁第r 阶的本征函数d m ，( z m ) 和红( x 五) 可以分别写成 如1 f 形式： d ，1 ，- ( z ，| ) = a 榭s l na ，- z 巩+