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积分不等式的若干推广 应用数学专业 研究生王五生指导教师张伟年 尽管多数微分方程无法求卅精确解，但是人们可以利用适当的不等式技巧 对解的模进行估计这样的估计可以证实斛的存在性，唯一性、有界性、稳定性 和不变流彤等定件性质这样的不等，就足所谓的积分不等式自从两位数学 家g r o n w a l l 和b e l l m a n 提出具有划时代意义的不等式以来，g r o n w a l l b e l l m a n 积 分不等式及其离散形式存不断地得到推广 欧阳亮在1 9 5 7 年为了研究二阶微分方程斛的有界性给出了左边足未知函 数甲方的积分不等式，这个不等式推广了g r o n w a l l b e l l n m n 的积分不等式d e f e r m o s 在1 9 7 9 年为了建立热力学第二定律与稳定性之间的联系，进一步把欧阳 亮的不等式推广成被积函数足未知函数的一次项与二次项的和的积分不等式 p a c h p a t t e 推广了d e f e r m o s 的积分不等式的离散化形式，推广后的和差分不等式 右边的和号内包含两项，一项足未知函数的一次项，另一个是包含未知函数与一 个非递减函数的复合函数的项本文第二章进一步把p a c h p a t t e 的和差分不等式 推广成带有时滞的和差分不等式，其中和号内是多项的和，和号内的每一项包含 未知函数与一个不具有单调性的函数的复合函数我们给卅了不等式中未知函 数的估计，并把所得结果用于研究日j 滞差分方程初值问题肼的有界性与唯一性 另一方而，b i h a r i 在1 9 5 6 年把g r o n w a l l b e l l m a n 积分不等式中右边被积函数 中的未知函数推广成未知函数与1 f 递减函数的复合甬数l i p o v a n 存2 0 0 0 年叉 把b i h a r i 的积分不等式中的积分的上下限从自变量推广成可求导增函数，从而 使积分不等式含有时滞a g a r w a l 等人存2 0 0 5 年又把l i p o v a n 的积分不等式进一 步推广成g r o n w m l 类时滞积分不等式，其中积分号外的常数项推广成函数项，把 两个积分项推广成多个积分项c h e u n g 存2 0 0 6 年把p a c h p a t t e 的一元积分不等 式s d l i p o v a n 的二元积分不等式推广成二元刚滞积分不等式，这个不等式的左 边是未知甬数的幂函数，有边是一个常数项与两个积分项的和，其中一个积分 项的被积函数含有未知函数的幂函数另一个积分项的被积甬数龠有未知函数 与非递减函数的复合函数本文第三章第一节在c h e u n g 和a g a r w a l 等人结果的 基础上建立了一个具有刚滞的g r o n w a l l 类二元积分不等式，与c h e u n g 的不等式 比较这个不等式把积分号外的常数项推广成二元函数项，把二个积分项推广成 多个积分项，且不要求被积函数中与未知函数进行复合的雨数具有单调件为 了克服没有单调性带来的困难，我们采用了单调化技巧，由己知函数构造m 强 单调函数序列( 即，每个函数单调，且列中后一个函数与前一个函数的比也足单 调函数) 为了说明未知函数估计的有效区域，必须确定在不同情况下给m 的 多个区域之白j 的包含关系，我们利用比较不同区域的边界条件得出了它们的 包含关系我们给卅不等式中了未知函数模的估计，并把所得结果用于研究偏 微分方程边值问题解的有界性、唯一性与连续依赖性用我们的结果可以估 计c h e u n g n o n l i n e m - a n a l ，2 0 0 6 ，6 4 ，2 1 1 2 - 2 1 2 8 1 的积分不等式中未知函数的模， 也可以估计a g a r w a l 等人a p p lm a t h c o m p u t ，2 0 0 5 ，1 6 5 ，5 9 9 - 6 1 2 1 的积分不 等式中未知函数的模p a c h p a t t e 在2 0 0 2 年建立了含四重积分的二元积分不等 式，不等式中未知诼l 数都足一次的本文在第三章第二节推广了p a c h p a t t e 的结 果把p a c h p a t t e 的不等式右边的未知函数的一次项推广成非递减函数与未知函 数的复合函数，给m 了未知函数模的估计，把所得结果用来讨论积分微分方利解 的唯一性与有界性 本文在第四章第一节把，m a t h a n a l a p p l ，2 0 0 6 ，3 1 9 ，7 0 8 7 2 4 1 中的不 等式推广成一个新的和差分不等式，这个不等式和号外是一个非常数项，和号 内包括未知函数与不具有簟调件的函数的复合函数我们给h 了未知函数模的 估计，并用我们的结果讨论了偏差分方程边界值问题解的有界性、唯一性和连 续依赖性第四章第二节把p a c h p a t t e 的关于未知函数是线性的和差分不等式 推广成关于未知函数是1 f 线性的一个具有四重和的和差分不等式，并用所得结 果讨论了一类具有双重和的差分方程解的有界性与唯一性 存动力系统中不变曲线起着重要作用人们通过把一个动力系统限制存不 变曲线上，可以把该系统简化成低微动力系统在1 9 9 7 年n g 等人研究了具有迓 段常数变量的二阶微分方程的不变曲线司建国等人在2 0 0 1 年讨论了不变曲线的 解析性，在不动点的特征值不在单位圆和特征值在单位圆上但满足d i o p h a n t i l m 条件的情况下，证明了解析不变曲线的存在性，在2 0 0 2 年研究了另一个甲面映射 的解析不变曲线虽近研究不满足d i o p h a n t i n e 条件的情况也取得其它一些结果 本文第五章讨论了非线性二阶差分方程的解析不变曲线的存存性问题，不仅讨 论了特征值不在单位圆和特征值在单位圆上满足d i o p h a n t i n e 条件的情况，而且 讨论了特征值为单位根又明显不满足d i o p h a n t i n e 条件的情况 关键词：时滞积分不等式；叫滞和差分不等式：单调化：边值问题；有界性 l l s e v e r a lg e n e r a l i z a t i o no fi n t e g r a li n e q u a l i t i e s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：w a n gw u s h e n g s u p e r v i s o r ：z h a n gw e i n i a n a l t h o u g hi no n l yav e r yf e ws p e c i a lc a s e 8i si tp o s s i b l et oo b t a i nu s e f u ls o l u t i o n st on o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sv i aa n a l y t i c a lc a l c u l a t i o n s ，t h ee s t i m a t i o no f t h es o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc a nb eg i v e n 研i n e q u a l i t i e st h i s e s t i m a t i o nc a nb ea p p l i e dt op r o v et h ee x i s t e n c e ：u n i q u e n e s s ，b o u n d e d n e s s s t a b i l i t y i n v a r i a n tm a n i t b l d sa n do t h e rq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s t h ei n e q u a l i t i e so ft h i st y p ei sc a l l e dt h ei n t e g r a li n e q u a l i t i e ss i n c eg r o n w a l l a n db e l l m a nf o u n dt h ei n t e g r a li n e q u a l i t i e s ：w h i c hh a v ee p o c h - m a k i n gs i g n i f i c a n c e ， g r o n w a n b e l l m a n si n t e g r a li n e q u a l i t i e sa n dt h e i r sd i s c r e t ev e r s i o n sh a v ( n c c nd e v e l o p e dc o n t i n u o u s l y i n1 9 5 7 i l lo ld e rt oi n v e s t i g a t et h eb o u n d e d n e s so ft h es o l u t i o n so fs e c o n do r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，o u - y a n gl i a n gg e n e r a l i z e dg r o n w a l l - b e l l m a n si n t e o a li n e q u a l - i t ya n dg a v et i l ei n e q u a l i t yo fw h i c ht h el e f t i st h es q u a r eo fa nu n k n o w nf u n c t i o n i n1 9 7 9w h i l ea t t e m p t i n gt oe s t a b l i s hac o n n e c t i o nb e t w e e ns t a b i l i t ya n dt f i e s e c o n d l a wo ft h e r m o d y n a m i c s ，d e f e r m o si m p r o v e dt h ei n e q u a l i t yo fo u - y a u gt ot h ei n t e g r a l i n e q u a l i t yo fw h i c ht h ei n t e g r a n di st h es u h io fo n et e r mi n c l u d i n gf i r s tp o w e ra n ds e e - e n dp o w e ro fu n k n o w nf u n c t i o n p a c h p a t t ee x t e n d e dt h ed i s c r e t ev e r s i o no fd e f e r m o s i n t e g _ l 。a li n e q u a l i t yt oas u u l d i f f e r e n c ei n e q u a l i t y t h es u j i u lt h i si n e q u a l i t yh a st w o t e r m s ，t h eo n ei n c l u d i n gf i r s tp o w e ro ft h eu n k n o w nf u n c t i o n ，t h eo t h e ri n c l u d i n gt h e c o m p o u n df u n c t i o no ft h eu n k n o w nf u n c t i o na n dn o n d e e r e a s i n gf u n c t i o ni nc h a p t e r 2w eg e n e r a l i z et h ep a c h p a t t e ss u m d i f f e r e n c ei n e q u a l i t yt oar e t a r d e df o r mi no u t i n e q u a l i t yw ec o n s i d e rm o r en o n l i n e a rt e r m so nu n k n o w nf u a c t i o nb u td on o tr e q u i r e m o n o t o n i c i t yo fg i v e nf u n c t i o n s w eg i v et h ee s t i m a t i o no fu n k n o w nf u n c t i o no u r r e s u l tc a nb ea p p l i e dt og i v i n gb o u n d e d n e s sa n du n i q u e n e s sf o rai n i t i a lv a l u ep r o b l e m o fad e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，i n1 9 5 6b i h a r ig e n c i a l i z e df i r s tp o w e ro f u n k l l o w nf u n c t i o n o ft h ei n t e g r a n di ng r o n w a l l - b e l l m a n st ot h ec o m p o u n do fu n k n o w nf u n c t i o na n d n o n d e c r e a s i n gf u n c t i o n i n2 0 0 0 ，l i p o v a ne x t e n d e db i h a r i si n t e g r a li n e q u a l i t i e sb y 1 1 1 c h a n g i n gt h eu p p e ra n dl o w e rl i m i t so fi n t e g r a t i o ni n t od i f f e r e n t i a b l ei n c r e a s i n gf l m c t i o n ，w h i c hl e a d st on e wi n t e g r a li n e q u a l i t yi n c l u d i n gd e l a y f u r t h e r m o r e ，i n2 0 0 5 a g a r w a le ta li m p r o v e dt h el i p o v a n si n t e g r a li n e q u a l i t yt og r o n w a l l l i k ei n t e g r a li n e q u a l i t yw i t hd e l a y , w h e r et h ec o n s t a n to u ti n t e g r a t i o nw a sc h a n g e dt om n c t i o na n d t w oi n t e g r a t i o n st oi v x o r eo 日e s i n2 0 0 6c h e u n ge x t e n d e dt h ep a c h p a t t e si n t e g r a li n e q u a l i t yi no n ev a r i a b l ea n d t h el i p o v a n si n t e g r a li n e q u a l i t yi nt w ov a r i a b l e st 0ad e l a yi n t e g r a li n e q u a l i t yi nt w o v a r i a b l e s t h el e f to ft h i si n e q u a l i t yi sap o w e rf u n c t i o no fu n k n o w nf u n c t i o nw h i l e t h er i g h ti st h es u mo fac o n s t a n ta n dt w oi n t e g r a t i o n so fw h i c ho n ei n c l u d e sap o w e r f u n c t i o no fu n k n o w nf u n c t i o na n dt h eo t h e rc o n t a i n sac o m p o u n do fu n k n o w nf u n c t i o n a n dn o n d e c r e a s i n gf u n c t i o n o nt h eb a s e so ft h ew o r k so fc h e u n ga n da g a r w a l ，i n s e c t i o n3 1 w ee s t a b l i s hag e n e r a l i z e dr e t a r d e di n t e g r a li h e q u a l i t yo fg r o n w a l l l i k e t y p ei nt w ov a r i a b l e s c o m p a r i n gw i t hc h e u n g si n e q u a l i t yi no u ri n e q u a l i t yt h ec o n s t a n to u ti n t e g r a t i o nw a sc h a n g e dt of u n c t i o ni nt w ov a r i a b l e sa n dt w oi n t e g r a t i o n st o n n ueo n e sw ed on o tr e q u i r em o n o t o n i c i t yo fk n o w nf u n c t i o n si no r d e rt oo v e r c o m e t h ed i f f i c u l t i e sa r i s i n gf r o mt h es i t u a t i o no fw i t h o u ta s s u m p t i o no fm o n o t o n i c i t y ，w e e m p l o yat e c h n i q u eo fm o n o t o n l z a t i o nt oc o n s t r u c tas e q u ( n c eo ff u n c t i o n so fw h i c h e a c hp o s s e s s e ss t r o n g e rm o n o t o n i c i t yt h a np r e v i o u so n ef u rt h ep u r p o s eo fd e c i d i n g t h ev a l i d i t yr e 百o no fe s t i m a t i o no ft h eu n k n o w nf u n c t i o n w eh a v et oc o n s i d e rt h e i n c l u s i o no fm o r er e g i o n s b yc o m p a r i n gt h ec o n d i t i o n so fd e f i n i n gt h o s er e g i o n s w e c o n c l u d et h e i ri n c l u s i o nr e l a t i o n s w eo b t a i nt h ee s t i m a t i o no fu n k n o w nf u n c t i o ni n o u ri n e q u a l i t ya n da p p l yt h i sr ( j a f i tt oab o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fap a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rb o u n d e d n e s s ，u n i q u e n e s sa n dc o n t i n u o u sd e p e n d e n c e u s i n go u r r e s u l tw ec a ne s t i m a t et h eb o u n d so ft h eu n k n o w nf u n c t i o no ft h ei n t e g r a li n e q u a l i t i e s i nb o t h 【n o n l i n e a ra n a l t m a ，2 0 0 6 ，6 4 ，2 1 1 2 2 1 2 8 】a n dl a p p l m a t h c o m p u t ， 2 0 0 5 ，1 6 5 ，5 9 9 6 1 2 i n2 0 0 2p a c h p a t t ei n v e s t i g a t e dat w ov a r i a b l e si n e q u a l i t yw i t h f o u ri t e r a t e di n t e g r a l sw h i c ho n l yi n c l u d e sf i r s tp o w e ro fu n k n o w nf u n c t i o n i ns e c t i o n 3 2w ei m p r o v et h ep a c h p a t t e sr e s u l tb yc h a n g i n gt h ef i r s tp o w e ro f u n k n o w nf u n c t i o n i nr i g h to ft h ei n e q u a l i t yt ot w oc o m p o u n df u n c t i o n so fn o n d e c r e a s i n gf u n c t i o na n d u n k n o w no n em o r e o v e r w eg i v ea ne s t i m a t ef o rt h eu n k n o w nf u n c t i o n0 u rr e s u l t ( ：a l lb ea p p l i e dt od i s c n s s i o no nb o m t d e d n e s sa n du d l i q u e l l e s st o rai n t e g r o - d i f l j r e n t i a l e q u a t i o n i ns e c t i o n4 1w ee x t e n dt h ei n e q u a l i t yi n jm a t ha n a t a p p l ，2 0 0 6 ，3 1 9 7 0 8 - 7 2 4 1t oan e ws u m d i f f e r e n c ei n e q u a l i t yw h i c hh a san o n c o n s t a n to u to fs a ms i g na r i d ac o m p o u n df u n c t i o no fu n k n o w nf u n c t i o na n dn o n m o n o t o n i ef u n c t i o ni ns u ms i g n m o r e o v e r w eg i v ea ne s t i m a t i o nf o rt h eu n k n o w nf u n c t i o no u rr e s u l tc a nb ea p p l i e d t od i s c u s s i o no nb o u n d e d n e s s ，u n i q u e n e s sa n dc o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo fs o l u t i o n s o fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rd i f f e r e n c ee q u a t i o n si nt w ov a r i a b l e s i ns e c t i o n4 2 w eg e n e r a l i z et h ep a c h p a t t e ss u m d i f f e r e n c ei n e q u a l i t yw i t hf i r s tp o w e ro fu n k n o w n f u n c t i o no n l yt oa 目l m d i f f e r e n c ei n e q u a l i t yw i t hf o u ri t e r a t e ds n i n sa n dc o m p o u n do f u n k n o w nf u n c t i o n o u rr e s u l tc a l lb ea p p l i e dt os t u d yt h eb o u n d e d n e s sa n du n i q u e n e s s f o rd i f f e r e n c ee q u a t i o i l sw i t ht w oi t e r a t e ds n i i l q i n v a r i a n tc l l i - v e ( m a n i f o l d ) p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h et h e o r yo fd y n a m i c m s y s t e m s h a v i n ga ni n v a r i a n tc t l r v e ( m a n i f o l d ) ：o n ec a nr e d u c ead y n a m i c a ls y s t e m t oal o w e l - d i m e n s i o n a lo n eb yr e s t r i c t i n gt h es y s t e mt ot h ec u r v e ( m a n i f o l d ) i n1 9 9 7 n ga n dz h a n gi n v e s t i g a t e di n v a r i a n tc l l f v e sf o ras e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w i t hp i e c e w i s ec o n s t a n ta r g u m e n t s i n2 0 0 1s ia n dz h a n gc o n t i n u e dt od i s c u s st h e a n a l y t i c i t yo ft h ei n v a r i a n tc u r v e si nt h ec a s e st h a tt h ee i g e n v a l u ea taf i x e dp o i n t i so f ft h eu n i tc i r c l ea n dt h a tt h ee i g e n v a l u cl j c so nt h eu n i tc i r c l cb u ts a t i s f i e st h e d i o p h a n t i n ec o n d i t i o n a n o t h e rp l a n a rm a p p i n gi sa l s os t u d i e di n2 0 0 2f o ra n a l y t i c i n v m - i a n tc l l y v e s s o m er e c e n te f f o r t sa n dr e s u l t sa r ea l s on l a d eb e y o n dt h er e s t r i c t i o n o ft h ed i o p h a n t i n ec o n d i t i o n i nc h a p t e r5w ed i s c u s st h ea n a l y t i ci n v a r i a n tc u r v e so f t h es e c o n do r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n ，w cn o to n l yd i s c u s st h cc a s co ft h ec h g c n v a l u q o f ft h eu n i tc i r c l ea n dt h ec mo nt h eu n i tc i r c l ew i t ht h ed i e d h a n t i n ec o n d i t i o nb u t a l s oc o n s i d e rt h ec a s eo ft h e e i g e n v a l u ea tar o o to ft h eu n i t y , w h i c ho b v i o u s l yv i o l a t e s t h ed i o p h a n t i n ec o n d i t i o n k e yw o r d s ：d e l a yi n t e g r a li n e q u a l i t y ；d e l a ys u m - d i f f e r e n c ei n e q u a l i t y ：m o n o - t o n i z a t i o n ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；b o u n d e d n e s s 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和敛谢的地方外，论文中不包禽 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包禽为获得四川大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志剥本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期f “j 在导师指导f 取得的，论文成 果归四川大学所有，特此声明。 导师 作者 二零零七年三月二十五同 9 1 、 致诩 本文是在张伟牟教授的精心指导下完成的从博士入 学以来，无论在学习上还是在生活中张老师都给予我大量 的关心，鼓励和帮助，对本文的写作进行了悉心指导，提出 了大量宝贵的意见张老师高尚的师德、和他在科学研究中 永无穷尽的热情、严谨的科学态度和毫不畏惧的勇气都曾让 我在自己的研究工作中充满动力，他对微分方程与动力系统 方面深邃的洞察、精辟的见解使我对从事数学研究工作有了 更加深刻的认识，这对我以后的科研和教学工作都将起到巨 大的影响，使我受益非浅在此，我向恩师表示深深的敬意 和感谢! 我也非常感谢张教授的爱人，三年来她积极支持张 老师利用一切可用的时间，包括节假日和休息时间为我修改 论文 我还要感谢徐冰副教授、杜正东副教授以及所有微分方 程与动力系统讨论班上的同学，他们也对我的研究提出了许 多富有建设性的建议和有益的鼓励我也感谢四川大学数学 学院提供的良好的科研环境，感谢四川大学数学学院其他老 师和同学的关心和帮助 作者感谢河池学院领导对我的关心和帮助感谢我的父 母和妻子对我的大力支持和爱 第一章绪论 积分不等式是含有未知函数积分的不等式积分不等式足不等式的一个重 要类型由于来源于自然科学、工程技术，特别足数学各个分支的非线性微分方 程很难求m 显式解，多数情况下根本不可能求卅显式解这样存研究北线性微 分方程解的行为时，知道解的界是很有意义的，而积分不等式恰好能提供非线 性微分方程和积分方程解的界，所以积分不等式足研究非线性微分方程、积分 方程和积分微分方程的一个重要工具 1 1积分不等式的提出 考虑齐次变系数线性微分方程组 x = a ( t ) x ，x ( a ) = x c ，( 1 1 1 ) 其中x 足n 维向量，月( t ) 足【o t ，绷上的nxn 阶连续的矩阿函数尽管这个微分 方程组求解十分困难，但我们可以做下而的估计由( 1 11 ) 可以推卅不等式 r c l i x ( ) | i i i x o l l + 4 ( s ) l l l l x ( s ) l l d s ，( 112 ) 从这个不等式可以得到方程( 1 1 1 ) 的解的模的估计 i i x o ) 1 1 o ，n b ，c ，d ，r ，i = 1 ，2 ，m ，且n ，b ，c 非负之后【9 2 】考虑了 更一般的形式 “( f ) sa ( t ) + 6 0 s ) 让( s ) d 台+ c ( s ) u ( + s ) d s ，v t 0 ( 1 26 ) j 0 j 0 并在连续的情况给卅了未知甬数“的估计在 9 3 】中又进步把条件放宽到可积 与北单调情彤，在不假设l i ma ( t