（逻辑学专业论文）哥德尔的柏拉图主义.pdf

内容提要 哥德尔的数学哲学根植于西方哲学史上深厚的理性主义传统。了解哥德尔的 数学哲学不仅有助于我们理解他的逻辑和数学成果，也能加深我们对理性主义哲 学的领会。 本文的主要目的是刻画哥德尔心目中数学知识的性质。哥德尔的数学哲学的 核心思想是存在客观的数学真理和既独立于物质世界也独立于人的心灵的数学 客体，数学世界能为人的直觉所把握。 本文共分为以下几个部分： 引论部分简单介绍了哥德尔的生平和主要成就，回顾了国内学者对哥德尔数 学哲学的研究，在此基础上交待了本文的主题和结构。 第一章概述了第三次数学危机；哥德尔所处时代主要的数学哲学思想，包括 逻辑主义、形式主义、直觉主义和逻辑实证主义，以此作为探讨哥德尔数学哲学 思想的一个理论背景。 第二章先概述了哥德尔数学哲学的基本思想，在对哥德尔数学哲学中的核心 概念做出细致分析的基础上重构哥德尔对数学柏拉图主义的论证，并考察哥德尔 从数学柏拉图主义出发对语言约定论、心理主义和亚里士多德式概念论的反驳。 第三章从整体上阐述及评价哥德尔的数学哲学。 关键词：数学柏拉图主义客观性数学客体数学直觉 a b s t r a c t g 6 d e l sp h i l o s o p h yo fm a t h e m a t i c s ，d e e p l yb a s e do nt h et r a d i t i o no f r a t i o n a l i s mi nh i s t o r yo fw e s t e r np h i l o s o p h y ，m a yh e l pu st og r a s ph i s c h i e fa c h i e v e m e n t si nl o g i ca n dm a t h e m a t i c s t h i sd i s s e r t a t i o ni se x p e c t e dt oe l a b o r a t eg o d e l sv i e wa b o u tn a t u r eo f m a t h e m a t i c a lk n o w l e d g e i ng o d e l so p i n i o n 。m a t h e m a t i c sd e s c r i b e sa n o n s e n s u a lr e a l i t y ，w h i c he x i s t si n d e p e n d e n t l yb o t ho fa c t sa n dt h e d i s p o s i t i o n so ft h eh u m a nm i n da n di so n l yp e r c e i v e d ，a n dp r o b a b l yv e r y i n c o m p l e t e l y 。b yt h eh u m a nm i n d t h i sd i s s e r t a t i o nc o n t a i n sa ni n t r o d u c t i o na n dt h r e ec h a p t e r si na l l ： t h i sd i s s e r t a t i o nf i r s ti n t r o d u c e sg o d e l s1 i f ea n dc h i e fa c h i e v e m e n t si n l o g i ca n dm a t h e m a t i c s ，a n dt h e ns t a t e st h es u b j e c ta n ds t r u c t u r ea f t e r s u m m a r i z i n gs c h o l a r s r e s e a r c ho ng o d e l sp h i l o s o p h yo fm a t h e m a t i c s t h ef i r s tc h a p t e rs u m m a r i z e sm a i ns c h o o l so np h i l o s o p h yo fm a t h e m a t i c si ng o d e l sp e r i o d ，n a m e l y ，l o g i c i s m ，f o r m a l i s m ，i n t u i t i o n i s ma n d l o g i c a lp o s i t i v i s m 。i n s p i r e db yt h et h i r dm a t h e m a t i c a lc r i s i s ，w h i c h p r o v i d e s ab a c k g r o u n df o r e l a b o r a t i n g g o d e l s p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s t h es e c o n d c h a p t e r r e c o n s t r u c t s a r g u m e n t s f o rp l a t o n i s mi n p h i l o s o p h yo nt h eb a s i so fa n a l y z i n gf u n d a m e n t a lc o n c e p t si ng 6 d e l s p h i l o s o p h yo fm a t h e m a t i c si nd e t a i l c o n v e n t i o n a l i s m ，p s y c h o l o g i c a l i s m ， a r i s t o t e l i a nr e a l i s ma n do t h e ra l t e r n a t i v e st op l a t o n i s t i cr e a l i s m ，h a v e n o tg i v e nas a t i s f a c t o r ye x p l a n a t i o no fm a t h e m a t i c s t h ep l a t o n i s t i cv i e w i st h eo n l yo n et e n a b l ei np h i l o s o p h yo fm a t h e m a t i c s t h et h i r dc h a p t e rs u m m a r i z e sa n de v a l u a t e sg 6 d e l sp h i l o s o p h yo f m a t h e m a t i c ss y s t e m a t i c a l l y k e yw o r d s ：p l a t o n i s mi nm a t h e m a t i c s o b j e c t i v i t y m a t h e m a t i c a lo b j e c t m a t h e m a t i c a li n t u i t i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名。争同期：2 坐量埠 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：? 琴址 导师签名： 日期：上_ 8 二_ 引论 引论 库尔特- 哥德尔( g 6 d d ，k u r t ) 是堪与亚里士多德( a r i s t o t l e ) 和g w 莱布 尼茨( l e i b n i z ) 相媲美的伟大逻辑学家。1 9 0 6 年4 月2 8r 生于奥匈帝国的布吕恩 ( 今属捷克) ，1 9 7 8 年1 月1 4 日卒于美国普林斯顿。哥德尔小时候好奇心很强， 家人叫他“为什么先生”。1 9 1 6 年至1 9 2 4 年间，哥德尔在布吕恩国立实验中学 读书。在语言、历史和数学上表现出色，对神学也有兴趣，成绩优秀。1 9 2 1 年， 哥德尔读歌德的颜色理论及其对牛顿的批评，但他赞成牛顿而非歌德。1 5 岁爱 上哲学，约在1 9 2 2 年阅读康德的著作，约在1 9 2 3 年通过戈尔申丛书自修大学数 学课程。1 9 2 4 年，哥德尔中学毕业后，入维也纳大学攻读理论物理，后来兴趣 转向数学。1 9 2 5 至1 9 2 6 年，哥德尔听富特文格勒的数论讲座和贡伯茨的欧洲哲 学史讲座，形成概念和数学实在主义的哲学立场。在当时的维也纳大学，维也纳 小组的逻辑实证主义风头正健，引起了哥德尔对数学基础问题的兴趣。哥德尔同 意他们用现代逻辑的方法分析哲学和科学概念，但不同意他们否定客观实在的哲 学立场。在回答得克萨斯大学社会学系格兰琼先生的问题时，哥德尔说自己的哲 学倾向是数学实在主义，即数学集合和定理是描述某种客体，从未主张数学是语 言的语法，是约定真理。哥德尔的学术生涯1 大致可以分为三个阶段：1 9 2 9 年至 1 9 4 3 年，数理逻辑研究；1 9 4 3 年至1 9 5 8 年，物理学哲学研究和数学哲学研究； 1 9 5 9 年至1 9 7 8 年，一般哲学研究。 哥德尔在现代逻辑中做出了革命性的贡献，他的贡献2 至少包括：( 1 ) 谓词 逻辑的完全性证明( 1 9 3 0 年) ；( 2 ) 对任何形式化的数学公理系统构造一个在该 系统中不可判定的数论问题的方法( 1 9 3 1 年) ；( 3 ) 任何古典数学系统的一致性 在同一系统中不可证的证明( 1 9 3 1 年) ；( 4 ) 选择公理、康托尔连续统假设与集 合论常设公理致的证明( 1 9 3 8 年) 等等。爱因斯坦将哥德尔对数学的贡献和 他本人对物理学的贡献视为同类，哈佛大学给哥德尔荣誉博士学位的时候，称他 为“2 0 世纪最有意义的数学真理的发现者”3 。 1 王浩：哥德尔，康宏逵译，上海：上海译文出版社，1 9 9 7 年，第1 6 页。 2 同上二伟，第3 4 页。 3 同上书，中译本序。 引论 哥德尔认为健全的哲学思想和成功的科学研究密切相关。他强调客观主义数 学观在他的逻辑和数学发现中起到了指引的作用，并且也是他的逻辑和数学发现 的哲学意蕴之一。他的哲学根植于西方哲学史上深厚的理性主义传统，因此了解 哥德尔的数学哲学不仅有助于我们理解他的逻辑和数学成果，也能加深我们对理 性主义哲学的领会。 一、文献综述 国内学者关于哥德尔的数学哲学已经作了一定的研究工作，在具体阐述哥德 尔的数学哲学之前，有必要对于相关的研究做一个历史的回顾。 王宪钧在数理逻辑引论第三篇第六章概略地介绍了哥德尔哲学思想：哥 德尔同意逻辑实证主义者用数理逻辑分析哲学和科学概念的方法，不同意他们否 认客观实在的态度。哥德尔认为关于一般数学和元数学特别是关于超穷思想方法 的客观主义观点对自己的逻辑和数学研究起到了巨大的推进作用。王宪钧认为哥 德尔对古典数学、元数学和超穷思维的客观主义态度是科学的和实事求是的4 。 这是国内较早介绍哥德尔哲学思想的文章，比较简略，作者意在叙述数理逻辑发 展的历史，也就没有专门分析哥德尔哲学思想的内部结构。 张尚水在哥德尔5 一文中具体论述了哥德尔的客观主义观点对其几大逻 辑发现的指引作用；比较了数学中的柏拉图主义和直觉主义、形式主义关于数学 的本性、数学对象的存在性以及数学命题的真理性这样几个问题上的不同观点； 讨论了哥德尔关于感觉之外还存在第二种与料的观点；探讨了哥德尔基于客观主 义立场的概念理论。张尚水在文章中分析了哥德尔数学哲学的一些概念，介绍了 数学柏拉图主义的基本思想，但没有展开讨论，没有讨论哥德尔对数学柏拉图主 义的论证以及对其他数学哲学思想的反驳。 刘晓力在专著理性的生命：哥德尔思想研究6 中专门用一章论述哥德尔 的数学观。内容有：哥德尔数学哲学思想是柏拉图主义在当代的回响；哥德尔数 学哲学思想形成和确立的过程；以数论为范例论证数学客观主义；把客观主义从 4 王宪钧：数理逻辑引论，北京：北京大学出版社，1 9 9 8 年第二版，第3 6 0 、3 6 8 页。 5 涂纪亮主编：当代两方著名哲学家评传( 第五卷) ，张尚水编：逻辑哲学，济南：山 东人民出版社，1 9 9 6 年，第2 2 卜2 7 6 页。 6 刘晓力：理性的生命：哥德尔思想研究，长沙：湖南教育出版社，2 0 0 0 年。 2 引论 数学推广到概念领域；数学不是语言的语法；反驳数学仅仅是我们的创造的唯名 论观点；柏拉图式概念实在论面临的挑战；哥德尔从胡塞尔现象学寻求对自己数 学哲学思想进行系统化阐释的框架。刘晓力的文章内容丰富，大致上论述哥德尔 数学哲学的各个方面，但没有具体讨论除数学约定论之外与哥德尔的立场对立的 其他哲学立场，如心理主义和亚里士多式的概念论等等。 叶峰在数学真理是什么? 7 一文中探讨了哥德尔的不完全性定理能否否 证数学中的约定主义的问题。基于不完全性定理，哥德尔指出，数学真理的内容 甚至要超出我们任何可能的语言约定，因此卡尔纳普的约定论不能真实地描述数 学真理。叶峰认为，用不完全性定理反驳约定主义有一个前提，即任何数学命题 非真即假，其中包括那些独立于我们的约定的命题。这实际上也就是假设了一个 数学命题有着独立于我们的认识的真假，表达了某个客观上的真理或谬误。所以， 这种对约定主义的批评，并不是证明了约定主义有内在的严格的矛盾。它是在一 个反约定主义的假设之下，说明约定主义与这个假设相矛盾。假如约定主义者是 彻底的、自我一致的，假如一开始就不承认数学命题是在描述一个既独立于物质 世界又独立于我们心灵的客观的数学世界，因此也不承认一个数学命题在这个意 义上非真即假，那么由不完全性定理得出的对约定主义的反驳，就没有正面地驳 倒约定主义。除此之外，哥德尔还必须解决人如何认识抽象的数学实体这一认识 论难题。因此，哥德尔没能完成他的理论。叶峰本文旨在对历史上哲学家们关于 数学真理的本质的思考做一个通俗的介绍和评述，以引起普通读者对这一问题的 兴趣，这种文体决定了不可能在论述中繁琐地引证哲学家们原文来佐证自己的观 点。叶峰的文章集中论述了哥德尔不完全性定理能否否证数学约定论这个问题， 只是附带分析了与此问题相关的数学概念。 二、本文主题和结构 本文的主要目的是刻画哥德尔心目中数学知识的性质。哥德尔的数学哲学的 核心思想是存在客观的数学真理和既独立于物质世界又独立于人的心灵的数学 客体，抽象的数学客体能为人的数学直觉所把握。本文主要考察以下几个问题； 哥德尔所处时代主要的数学哲学思想是什么? 他是如何回应的? 关于数学是什 7 叶峰：数学真理是什么? ，科学文化评论第2 卷第4 期( 2 0 0 5 ) 。 3 引论 么和不是什么说过什么? 他是如何论证的? 哥德尔的数学哲学思想是在对自己 数学和逻辑成果进行哲学反思的基础上，通过对数学基础研究中各流派的思想进 行批判而形成的。本文将以此为序叙述哥德尔的数学哲学思想。 本文共分为三章： 第一章将概述第三次数学危机；哥德尔所处时代主要的数学哲学思想，包括 逻辑主义、形式主义、直觉主义和逻辑实证主义，以此作为探讨哥德尔数学哲学 思想的一个理论背景。 第二章先概述哥德尔数学哲学的基本思想，再对哥德尔数学哲学的核心概念 做出细致的分析，其中的核心概念有客观性、数学客体和数学直觉等，并在此基 础上重构哥德尔对数学柏拉图主义的论证。其中的主要论题有：数论中有客观的 算术真理；集合论中的连续统假设具有客观的真假；数学知识不仅仅是我们创造 的；数学知识不是约定的；数学知识不是心理规律以及对亚里士多德式实在论可 能的反驳等等。 第三章从整体上阐述及评价哥德尔的数学哲学。 4 第一章哥德尔柏拉图主义的理论背景 第一章哥德尔柏拉图主义的理论背景 哥德尔的数学哲学思想是在对自己数学成果进行哲学反思的基础上，通过对 数学基础研究中各流派的思想的批判而形成的。因此有必要对哥德尔柏拉图主义 的理论背景，即数学基础各流派及其由以发生的第三次数学危机作一个详细的介 绍。 第一节第三次数学危机 一致性是一个数学理论得以成立的必要条件。根据数学家们的研究，通过解 释的方法，非欧几何的一致性可以归约为欧氏几何的一致性，欧氏几何的一致性 可以归约为实数论的相容性。另方面，微积分可以建立在极限论基础之上，而 极限论又建立在实数论基础之上，几何和分析都要求建立实数论的一致性。根据 戴德金和康托尔的定义，实数论的一致性可以归约为自然数论和集合论的一致 性。根据戴德金和弗雷格的定义，自然数论的一致性又可以归约为集合论的一致 性8 。于是，康托尔创立的朴素集合论就成了现代数学的基础。但是在朴素集合 论中却出现了悖论，这就是第三次数学危机。朴素集合论中出现的悖论有：布拉 里福蒂最大序数悖论、康托尔最大基数悖论和罗素悖论。 最大序数悖论是布拉里福蒂18 9 7 年发现的。在朴素集合论中，所有序数 按照大小次序可以形成一个良序集，这个良序集也确定了一个序数q ，这个序数 q 按照定义应该属于这个良序集。可是根据序数的定义，这个序数q 应该大于这 个良序集中的任一序数，因而不属于这个良序集，矛盾9 。 最大基数悖论是康托尔1 8 9 9 年发现的。假设m 为所有集合的集合。p ( m ) 为集合m 的幂集，即m 的所有子集所组成的集合。因为p ( m ) 的元素都为集 合，故p ( m ) 为m 的子集，集合m 任一子集的基数应当小于或等于集合m 的 基数，即lp ( m ) l im l 。根据康托尔定理，任集合的基数小于该集合的幂 8 莫绍揆：数理逻辑初步，上海：上海人民出版社，1 9 8 0 年，第3 卜3 l 页。 9 胡作玄：第三次数学危机，成都：r i l l 人民出版社，1 9 8 5 年，第8 3 8 4 页。 第一章哥德尔柏拉图主义的理论背景 集的基数，即lm i lp ( m ) i ，矛盾1 0 。 罗素悖论罗素1 9 0 1 年发现的。罗素把所有的集合分为两类：一类为本身不 能作为自身的一个元素的集合，即( x x ) ；一类为可以作为自身一个元素的 集合，即x x 。令a 为所有不能作为自身的一个元素的集合所组成的集合， 即a - ( xi ( x x ) ) ，问：a 是否属于自身? 如果a a ，根据定义，a 不 属于自身，即( a e a ) ；反过来，如果( a a ) ，根据定义，a 为所有不属 于自身的集合所组成的集合，因此a e a ，矛盾。 在这些悖论中，最大序数悖论和最大基数悖论涉及到“幂集”、“良序”和 “基数 等复杂概念，而罗素悖论只用了“集合、“集合的元素 等少数几个集 合概念，运用人们公认的逻辑推导规则，得到了自相矛盾的结果。这说明朴素集 合论是不相容的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，集合论实际上成了 数学的基础，集合论中悖论的发现自然地引起了对数学知识的有效性的怀疑。 第二节数学哲学思想 集合论悖论的根源在哪儿呢? 如何解决? 逻辑和数学的关系如何? 数学知 识的本质是什么? 什么是数学中的存在? 在数学中可接受的证明方法是什么? 针对这些问题，数学家和哲学家纷纷提出自己的见解，形成了逻辑主义、直觉主 义、形式主义和逻辑实证主义等各大学派。下面我们依次考察这些学派的观点。 一、逻辑主义 逻辑主义的论点是：数学是逻辑的一个分支。数学的概念可以用逻辑概念定 义，数学的定理能够通过纯粹的逻辑演绎从逻辑公理中推导出来，数学定理能够 作为逻辑的定理而证明1 2 。 现代逻辑的先驱莱布尼茨把逻辑理解为包含其他一切科学所依据的概念及 原则的- i 1 科学1 3 。这个主张比逻辑主义的主张更强，只是“科学的观念和原则 m 胡作玄：第三次数学危机，成都：四川人民出版社，1 9 8 5 年，第8 卜8 7 页。 同上书，第6 页。 位保罗贝纳塞拉夫希拉里普特南：数学哲学，朱水林应制夷凌康源等译，北京： 商务印书馆，2 0 0 3 年，第4 8 页。 1 3 s c 克林：元数学导论上册，莫坌 揆译，科学出版社，1 9 8 4 年，第4 l 页。 6 第一章哥德尔柏拉图主义的理论背景 的范围不那么明确。戴德金和弗雷格用逻辑概念定义数学概念。皮亚诺发明了一 种表意语言，并且用这种语言分析了数学各分支中大量的命题，说明可以用这种 语言表达数学的思维和内容，在逻辑符号的体系内表示了数学定理，但他只是列 出了一些逻辑规则，没有组成一个完整的逻辑演算。在数学基础方面，皮亚诺 提出了算术公理，给出了四个基本概念和九条公理，促进了把数学归约为逻辑的 进程b 。 数学的概念可以用逻辑概念而定义这一观点可以进一步精确化，为了说明这 一点，我们必须详细规定在表达数学概念时用到的逻辑概念。其中有：在命题演 算中，最重要的逻辑概念如下：否定、合取、析取、蕴含、等值，可以分别用符 号1 、八、v 、一和h 来表示。命题的否定可以记为- 1 p 。命题“如果p 则q 可 记为p j q 。在谓词演算中，最重要的概念是全称量词和存在量词，可以分别用 v 和| 表示。v xf ( x ) 意为给定论域中所有个体具有性质f ，| xg ( x ) 意为 给定论域中存在个体x ，且个体x 具有性质g 。还有同一概念，用= 表示，表示 论域上个体之间的同一关系，如x = y 表示x 和y 指称的个体是同一的。在上述逻 辑概念中，并非每一个逻辑概念都是不可定义的初始概念，其中一些概念可以归 约为另一些概念。例如，可以用否定和蕴涵来定义合取、析取和等值，全称量词 和存在量词可以相互定义。逻辑主义的观点就是，上述逻辑概念就足以定义一切 数学概念，除了这些概念之外，构造数学不需要别的数学概念了1 6 。 逻辑主义的第二个论点是，数学定理能从逻辑公理通过演绎推导出来。这里 的逻辑公理就是通常的包含命题逻辑为之部分的谓词演算。根据第一个论点， 数学中描述数学对象的性质和关系的谓词。可以通过定义引入。定义是一种用简 洁的记法来代替复杂记法的约定。新引入的定义反过来总是可以通过约定消除 的。这样每一数学语句能被翻译为一个只包含逻辑词项的语句。如此，第二个论 点的意思就是：每一个可证明的数学语句可以翻译成一个只包含逻辑符号且在逻 辑上可以证明的语句1 7 。 在罗素的公理系统中，不得不引用了非逻辑的选择公理和无穷公理，否则无法推 1 4 王宪钧：数理逻辑引论，北京：北京人学出版社，1 9 9 8 年第二版，第3 2 5 页。 1 5 同上，第3 5 7 页。 1 6 保罗贝纳塞拉夫希拉里普特南：数学哲学。朱水林应制夷凌康源等译，北京： 商务印书馆，2 0 0 3 年，第4 8 页。 1 7 同上书，第5 l 页。 7 第一章哥德尔柏拉图主义的理论背景 导出全部算术，更不用说全部数学。无穷公理是说存在一个集合n ，使得空集 在n 中，并且只要x 是n 的成员，则x 的后继x u x ) 也是n 的成员。选 择公理有很多相互等价的定义，其中之是：设定一个由非空集合所组成的集合， 我们可以同时从该集合中的任一集合选择一个成员组成一个新的集合。这两个公 理都是存在性语句，而非逻辑公理。据此罗素把一个在证明中需要用到无穷公理 和选择公理的数学语句转换成一个以无穷公理或选择公理为前件且以该语句为 后件的条件语句。 二、形式主义 形式主义是为对付由悖论引起的危机和直觉主义对古典数学所作的攻击而 发展起来的1 9 。希尔伯特承认，古典数学中凡是涉及实无穷的那些命题都是缺乏 直觉显明性的，但古典数学有巨大价值，不能像直觉主义那样放弃古典数学。为 了保证数学的绝对可靠，拒斥古典数学中的实无穷和以实无穷为前提的定理，是 得不偿失的。希尔伯特认为悖论的根源不在于实无穷。为了给古典数学辩护，希 尔伯特提出了一个著名的方案：研究古典逻辑和古典数学，将古典逻辑和古典数 学形式化，并将其表述成一个形式系统，用有穷方法证明这一理论的一致性2 0 。 如果做到了这一点，在古典数学中使用实无穷就是合理的，实无穷就是数学中 的合法的存在。 什么是数学中的存在昵? 希尔伯特认为，数学中的存在不限于感觉经验的存 在。从对物理世界的经验中，没有无穷小、无穷大和无穷集合。无穷不是通过感 觉给予的，当人们相信能够由感觉和经验得出一个无穷时，实际上并没有给出一 个无穷，只是人的理智的抽象。但是人们在数学理论的各个分支中却运用了无穷 集合，如数论中所有自然数的集合，几何中一条线段上所有点的集合，数学分析 中许多概念的定义和定理的证明都运用了无穷的概念，等等。无穷在现代数学中 是个不可缺少的概念，应当说明无穷和以实无穷的存在为前提的命题在数学体系 中的地位。像无穷这样不能够经验直接验证的对象，希尔伯特称之为“理想元素”。 数学命题分为理想命题和现实命题。理想命题以实无穷的存在为前提，没有直观 意义。现实命题则是具有直观意义的2 1 。把一个理想元素引进数学理论体系得需 要具备什么条件呢? 理想元素不能靠直观经验来验证，只能靠逻辑来核证。因此， 捕保罗贝纳塞拉夫希拉里- 普特南：数学哲学。朱水林应制夷凌康源等译，北京： 商务印j b 馆，2 0 0 3 年，第5 卜一5 2 页。 1 9 s c 克林：元数学导论上册，莫绍揆译，科学出版社，1 9 8 4 年，第5 5 页。 2 0 同上，第5 6 页。 2 1 王宪钧：数理逻辑引论，北京：北京大学出版社，1 9 9 8 年第二版，第3 5 3 页。 8 第一章哥德尔柏拉图主义的理论背景 在一个理论体系内引入一个理想元素的必要条件就是引入该元素不会导致理论 的矛盾。除此之外，引入一个理想元素还必须有充足的理由，即引入该元素可以 夯实理论基础，简化理论系统，使理论的结构更加简洁优美。引进理想元素的方 法在数学中其实由来已久，比如几何中无穷远点的引进，代数中虚数的引进，等 等。在古典数学中引进实无穷作为理想元素富于成果，可以证明许多不假定实无 穷就不能证明或者会使其证明变得异常复杂的定理。因此，只要证明古典数学的 一致性，就能说明在古典数学中引进实无穷作为理想元素具有合理性。 为了证明古典数学的一致性，在逻辑演算的基础上，把古典数学的一个基本 理论，如初等数论严格形式化，构造一个形式系统。希尔伯特证明论必须完成以 下任务2 2 ： ( 1 ) 列出在逻辑和数学中使用的所有符号，包括联结词1 、八、v 、一和 付、量词v 和弓、变元、个体常元、函数字母和谓词字母等，这些符号称为初始 符号，通过语义规则可以解释为逻辑概念、数学理论中一个论域上的对象、对象 上的运算和关系，但在给以解释之前，没有任何实质意义。 ( 2 ) 在初始符号的基础上，确定形成合式公式的规则，使得这些合式公式 是无歧义的，并且在经过解释后数学理论中的有意义的命题。 ( 3 ) 规定特定的合式公式为公理，作为形式系统的出发点。并且规定如何 变换公式的规则。从公理出发运用规则逐步得出的形式定理经过解释后就是一个 数学理论中的真命题，即该数学理论中的定理。 从( 1 ) 到( 3 ) 的构造程序必须满足下列条件：可以用机械的方法在有穷步 骤内判定一个符号是否初始符号；一个符号序列是否合式公式；一个合式公式是 否公里；从一组合式公式是否可以变换为某一合式公式。 形式系统已经构造完毕，现在需要证明其一致性。通过上述方法构造的形式 系统撇开了符号的数学意义，是具体的对象。并且其中的初始符号是可数集合、 合式公式和形式定理具有有限生成的特征因而也是可数集合。这样的形式系统完 全可以用有穷方法来研究。 在古典逻辑演算也假定了实无穷，因此，为了避免循环论证，在证明古典数 学无矛盾时，只能应用不以实无穷为前提的逻辑规则。在研究形式语言的逻辑性 2 2 保罗贝纳塞拉夫希拉里普特南：数学哲学。朱水林应制夷凌康源等译，北京： 商务印书馆，2 0 0 3 年，第7 3 _ 7 4 页。 9 第一章哥德尔柏拉图主义的理论背景 质是必须应用初等数论，因此也要建立不假定实无穷的初等数论。这样建立起来 的逻辑是所谓的有穷方法。有穷方法特征如下：只承认潜无穷，每一步只考虑确 定的有穷对象；定义的对象可以彻底给出；判断的过程可以彻底进行；全称命题 和存在命题的意义于排中律的适用范围按直觉主义观点理解；数学归纳法乃。 这就是希尔伯特的有穷主义证明论的大致内容。但是，哥德尔第二不完全性 定理表明一个包括初等数论在内的形式系统的一致性在本系统中不可证，不仅用 有穷方法不能证明，而且以全部初等数论为工具也不能证明。希尔伯特方案不能 成功。 三、直觉主义 荷兰数学家布劳维是直觉主义的倡导者。为了消除悖论引起的数学基础危 机，布劳维质疑古典逻辑的绝对有效性和古典数学的可靠性，认为古典逻辑并非 发现真理的绝对可靠的工具。在直觉主义的观点看，数学知识是人类精神的产物。 数学研究是智力的一种自然功能，是心灵的一种创造性的思想活动。在数学中， 必须从直觉出发，运用严格构造的方法定义概念和推导定理。 数学直觉。布劳维的数学直觉概念由康德发展而来。在康德看来，时间和 空间是人类先天的感觉形式2 4 ，算术和几何公理是先天综合判断2 5 。尽管就命题 之间的关系而言，一个数学命题可能根据逻辑规则依赖于另一数学命题，但是就 命题本身而言，数学命题是综合的。数学命题是先天判断，具有无法从经验中得 出的必然性。算术和几何公理作为先天综合判断其普遍必然性在于时间和空问的 先天性。但是，布劳维认为非欧几何的出现否证了空间的先天性，但是时间依然 具有先天性2 6 。笛卡儿通过解析几何把几何化归为算术，所以时间的先天性不仅 保证了算术，也保证了几何具有先天综合判断的性质。那么数学就来源于直觉的 先天形式，即时间。 数学对象。数学对象不具有独立于人的思想之外的存在。人类心智在时间 2 3 王宪钧：数理逻辑引论，北京：北京大学出版社，1 9 9 8 年第二二版，第3 5 2 页。 2 4 康德：纯粹理性批判，邓晓芒译，杨祖陶校，北京：人民出版社，2 0 0 4 年，第2 7 页。 2 5 同上书，第l l 1 2 页。 2 6 保罗贝纳塞拉夫希拉里普特南：数学哲学。朱水林应制夷凌康源等译，北京： 商务印书馆，2 0 0 3 年，第9 2 页。 1 0 第一章哥德尔柏拉图主义的理论背景 的绵延中通过分离和组合的二性( t w o o n c r l c s s ) 直觉创造出了数学对象2 7 。 在知觉中分离出一个“知觉单位”作为心灵中的实体，随着时问的延续，又可以 分离出另一个实体，这就形成了一个对偶。这一过程虽然是在心灵中进行的， 但是也可以符号为辅助工具把这个过程显示出来，这一对偶可用 来表示。 从 出发，可以逐步生成 、 、，这样便从直觉出发用构造性 的方法创造了自然数2 8 ，继而构造出以自然数为基础的其他数学对象。 数学中只存在潜无穷。从直觉主义的观点看，数学中的存在必须被构造出 来。而时间无限延伸，构造不可终止，不可能够创造出一个完成了的实在的无穷 总体。因此直觉主义者反对把实无穷当作数学中的存在，古典数学一切以实无穷 为前提的定义和定理都是非构造性的，都是不可接受的，是悖论的根源所在2 9 。 直觉主义者把无穷看作_ 个可以不断构造而又不可能最终完成的过程。只把自然 数当作一个无限延伸的序列，而不把所有的自然数当作一个确定的集合。 排中律不普遍有效3 0 。从直觉主义的观点看，古典逻辑中的排中律是从有穷 事物中抽象出来的，而数学中又不存在实无穷，排中律不能应用到无穷集合上， 不具有绝对的普遍有效性。排中律说的是每一个命题不是真的就是假的。可证明 的命题为真，可否证的命题为假。于是排中律就转换为：任一命题不是可证明的 就是可否证的。考虑如下命题：的十进制小数展开式中出现序列0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 。 在兀的十进制小数展开式既没有具体找出序列，并且不能给出找出这个数列的构 造性的方法，命题不可证；同时的十进制小数展开式时无限延伸的，不能证明 其中一定没有此序列，命题的否定不可证，因此存在既不可证明又不可否证的不 可解命题。排中律失效。 数学和逻辑的关系。逻辑是数学的一部分，不是数学的基础。没有一种逻 辑可以作为数学的前提。不可以应用任何逻辑原则作为数学证明的工具，因为表 述逻辑原则已经用到了数学概念。相反，逻辑的基础是数学，逻辑的有效性依赖 于数学的可构造性。因此古典逻辑中的一些不可构造的推理规则和逻辑定理是无 2 7 保罗贝纳塞拉夫希拉里普特南：数学哲学。朱水林应制夷凌康源等译，北京： 商务印： 5 馆，2 0 0 3 年，第9 3 页。 2 8 冯棉：经典逻辑与直觉主义逻辑，上海：上海人民出版社，1 9 8 9 年，第4 8 页。 2 9 s c 克林：元数学导论上册，莫绍揆译，科学出版社，1 9 8 4 年。第5 0 页。 如王宪钧：数理逻辑引论，北京：北京人学出版社，1 9 9 8 年第二版，第3 4 3 页。 第一章哥德尔柏拉图主义的理论背景 效的”。 数学和语言的关系。数学是人类心智的构造。语言，不管是自然语言和形 式语言都只是为了交流思想而存在的，语言不是数学的代表，更不是数学本身3 2 ， 只是非数学的辅助工具，可以帮助人产生数学记忆或者使不同的人构造出相同的 数学对象的3 3 。 四、逻辑实证主义 传统的经验主义者认为，一切知识都来源于经验。逻辑和数学知识与自然科 学和常识一样，也是经验知识的一部分，只具有建立在经验上的有效性。数学知 识是从经验中得出的最普遍的概括，是关于实在的最高规律3 4 。从这种观点看来， 数学知识与一般科学知识和常识只有概然性上的区别，在本质上都是相同的，都 是基于经验的综合命题，没有绝对的确定性。 这种对数学知识的说明表面上维护了知识的统一性，但是，这种数学观与人 的直观不符。虽然从发生学的角度说，经验是数学知识产生的原始场合，但是在 数学定理和人的观察有差异时，我们不会根据经验否证或者修正数学定理，而是 认为定理比经验更为可靠，这就说明数学知识的有效性不依赖于经验，与经验无 关。也就是说，从经验中发展而来的数学知识在某种程度上是自足的”。为了解 决经验主义在说明数学知识性质上的困难，逻辑实证主义者提出：逻辑和数学并 没有对经验的实在做出任何断言，因而也就不是关于世界的经验知识。从逻辑实 证主义的观点看，数学知识不涉及经验事实，不是综合命题。数学知识是在逻辑 和公理的基础上建立起来的一种精致的思想结构或严整的符号体系，而公理是约 定的。数学知识不过是约定的真理，是对世界无所说明的重言式体系3 6 。因此， 在语义学上，数并不指称经验对象，几何中的点线面等概念也不是指称真实空间 中的实体。与此同时，逻辑实证主义者对思辩形而上学拒斥蕴含着对抽象数学对 3 1 冯棉：经典逻辑与直觉土义逻辑，上海：上海人民出版社，1 9 8 9 年，第4 8 页。 3 2 保罗贝纳塞拉夫希拉里普特南：数学哲学。朱水林应制夷凌康源等译，北京： 商务印书馆，2 0 0 3 年，第6 l 页。 同上书，第9 3 页。 m 克拉夫特：维也纳学派，李步楼陈维杭译，北京：商务印书馆，1 9 9 8 年，第2 4 页。 巧同上书，第2 5 页。 珀同上书，第2 5 1 6 页。 1 2 第一章哥德尔柏拉图主义的理论背景 象的拒斥了7 。在认识论上，人们既不是根据先天的观念也不是根据经验的实在来 判定数学命题的真假，而是根据数学命题的逻辑形式和概念的定义而知道数学命 题的真假3 3 。数学中的对象既不是经验对象又不是抽象对象，那数学知识是关于 什么的知识呢? 仅仅是在一个给定的符号系统内对符号的操作吗强? 哥德尔正 是从否认这一点出发论证数学知识不仅仅是约定的符号系统进而论证数学对象 的客观存在的。 3 7 克拉夫特：维也纳学派，李步楼陈维杭译，北京：商务印书馆，1 9 9 8 年，第2 0 、2 6 页。 3 8 同上书，第2 7 页。 3 9 同上书，第2 5 页。 1 3 第二章哥德尔的柏拉图主义 第二章哥德尔的柏拉图主义 第一节柏拉图主义和数学柏拉图主义 在西方哲学史上，柏拉图的影响深远，以至于有整个西方哲学史都是柏拉图 哲学的注脚这种说法。在柏拉图哲学中，世界分为可见世界和可知世界两部分钾。 在可见世界中存有可感觉的事物和事物的肖像引。可感觉的个体事物永远处于流 变之中，处在实在与不实在之间，是不可能认识的4 2 ，人们只能获得关于感性事 物的意见。在可知世界中存在着数学对象和理念。数学对象和理念是永恒的、不 变的，人们能获得关于数学对象和理念的知识4 3 。感性事物所以存在是靠分有理 念，感性事物变化无常因而没有普遍的定义，是按照感性事物所分有的理念命名、 因所分有的理念而得名的4 4 。人是通过回忆认识理念的，所谓学习不过是灵魂对 已知的东西的回忆。而这又预设了灵魂是不死的4 5 。在这里我们可以看出柏拉图 哲学中神秘主义成分。所谓的“回忆说”和“灵魂是不死的”等等思想又以改变 了的形式出现在哥德尔的哲学中。 在柏拉图哲学中，除了感觉的事物和理念外，还有数学对象，数学对象是永 恒和不变化的，区别于可感觉事物，数可以离开可感觉的事物而存在4 6 。虽然人 们可以获得关于数学对象的知识，但是数学知识和关于理念的知识的清晰程度不 同，相应地，数学对象和理念在本体论上的地位也不同，数学对象是居于感性对 象和理念之间的一类实体4 一。从认识论上看，人们研究数学对象是通过思想，而 不是通过感官，虽然在几何学中也使用看得见的图形，但是人们在推理时心里所 柏北京大学哲学系外国哲学史教研室编译：两方哲学原著选读( 上卷) ，北京：商务印书 馆，1 9 8 1 年，第9 0 页。 引同上书，第9 l 页。 铊同上书，第7 l 页。 郇同4 0 。 私同上二f 5 ，第7 2 页。 同上二f 5 ，第7 6 页。 拍亚里士多德形而上学，李真译，上海世纪出版集团，2 0 0 5 年，第3 3 页。 4 7 北京大学哲学系外国哲学史教研室编译：两方哲学原著选读( 上卷) ，北京：商务印书 馆，1 9 8 1 年，第9 3 页。 1 4 第二章哥德尔的柏拉图主义 想的并不是这些看得见的形象，而是这些形象所分有的理念4 8 。 从柏拉图哲学中，我们可以看到，不变的理念世界和数学对象的存在是知 识得以形成的基础，没有不变的东西就没有知识。我们甚至可以设想，正是为了 论证知识如何可能柏拉图才确认与可知世界相应的理念世界的存在。与意见相对 的知识如何可能? 这是柏拉图哲学思维的起点。 现代数学哲学中的柏拉图主义是在围绕数学基础问题的争论中形成的。代 表人物有贝奈斯和哥德尔等4 9 。哥德尔在逻辑和数学领域贡献卓著。他在对自己 的数学成果反思的基础上，通过对数学基础各流派的批判，从各种角度论证了自 己的柏拉图主义数学观。他用“客观主义和“柏拉图主义来表达其数学观。 客观主义即关于数学对象和概念的命题或者为真或者为假。我们对数学命题真假 的客观性的直觉表明了命题所涉及的对象是客观实在的。那么，数学柏拉图主义 就意味着对数学对象和概念一种可知的客观实在性的信念。一句话，在数学中存 在着客观性5 0 。在下文我们将在相同的意义上使用“柏拉图主义”和“客观主义” 两个术语。 哥德尔数学哲学的主要内容可叙述如下：数学知识的客观性蕴含着数学对 象的存在性。数学客体具有类似于物理客体那样的独立的客观实在性。数学陈述 是关于实在的。数学陈述的真假取决于独立于人的思想和构造的客观事实。我们 没有数学客体的直接的感觉基础，就像我们没有物理客体的直接的感觉基础一 样，但是物理客体的存在对于导出直接的感官知觉是必要的。就像假定物理客体 和基本的自然规律对于一个令人满意的对现象世界的解释是必要的一样，假定数 学客体和公理对于获得令人满意的数学系统也是必要的。然而数学客体和它们的 性质不可能直接通达于我们，数学直觉就是真的数学知识的来源，通过深入的研 究改进我们的数学直觉可以获得作为公理的基本命题。以柏拉图主义数学观为工 作假说在数学研究中富于成果是柏拉图主义成立的另一证据。实证主义和唯名论 没有对数学知识的性质做出合理的说明5 1 。为了对哥德尔的数学哲学做出整体的 4 8 北京火学哲学系外国哲学史教研室编译：两方哲学原著选读上卷，北京：商务印书馆， 1 9 8 1 年，第9 2 9 3 页 4 9 保罗贝纳塞拉夫希拉里将特南：数学哲学。朱水林应制夷凌康源等译，北京： 商务印书馆，2 0 0 3 年，第3 0 0 页。 ”w a n g ，h a o ：al o g i c a lj o u r n e y ：f r o mg 6 d e lt op h i l o s o p h y , c a m b r i d g e ，m a s s ：m i tp r e s s ， 19 9 7 p 2 0 9 钉c w l , p p 3 m 一3 1 1 5 第二章哥德尔的柏拉图主义 把握，下文将在厘清基本概念和基本命题的基础上重构哥德尔对其哲学立场的论 证。 第二节基本概念 简而言之，哥德尔数学柏拉图主义的基本思想是：数学描述的是非感性的实 在，这种实在独立于人的心灵活动和意向。只有人的心灵才能感知这种实在并且 人的心灵对这种实在的感知可能还是不完全的5 2 。客观性、数学客体和数学直觉 是哥德尔数学哲学的基本概念。下面对这些基本概念做一细致的分析。 一、客观性 在黑格尔看来，客观性有三层意义：( 1 ) 外部现实存在的东西的意义，与单 纯主观的、意谓的和梦想的东西等等相对；( 2 ) 思维中的普遍必然的东西的意义， 与感觉中特殊的、偶然的和主观的东西相对；( 3 ) 所思的自在东西的意义，既有 别于单纯所思的东西，又有别于现实存在的东西5 3 。在我看来，哥德尔的“客观 一词从不同的方面与这三种意义相关。就数学中存在客观的知识而言，哥德尔在 第( 2 ) 种意义下使用“客观性 一