（运筹学与控制论专业论文）确定期权定价模型中隐含波动率的本原对偶方法.pdf

t h ep r i m a l - - d u a lm e t h o df o rd e t e r m i n i n gt h e i m p l i e dv o l a ti l i t yi no p t i o np r i c i n gm o d e l b y h ul i a n g h o n g b s ( h u n a nu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o ry a n gy u f e i a p r i l ，2 0 1 1 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 嘲锄钞 日期：忉”年厂月多d 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密日。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 诩纠 导师签名：鳓 日期：伽j1 年 日期：枷) 1 年 f 月；0 日 箩月? d 日 硕士学位论文 摘要 本文研究支付红利的欧式期权定价问题和欧式期权中隐含波动率的计算问题 这里“欧式期权”指的是在期权到期日才进行交易的期权本文主要研究的是运用 数值计算方法来计算支付红利的b l a c k s c h o l e s 期权定价模型中的隐含波动率仃 关于期权定价的问题早在二十世纪初就被人们所关注，直到1 9 7 3 年由b l a c k 和s c h o l e s 提出了b l a c k - s c h o l e s 模型 警椰豢+ 12 s - 2 s 2 一等一r v - 0 ，刁f + 7 s 否虿+ 刁万一 2 o ， 才建立了对期权定价问题确切的而又严格的数学描述此后，期权定价的问题得到 了迅速的发展，同时还为数学应用与经济领域创立更多的控制风险和减少风险的 工具在b l a c k - s c h o l e s 公式巾，波动率矿是一个非常重要的参数，期权价格对它的 变化非常的敏感 在实际市场交易中波动率是一个变量，一般采用由期权价格来确定隐含波动 率，这是一个典型的反问题，需要使用正则化方法来求解本文在t i k h o n o v 正则 化方法的基础卜，结合t v 正则化方法的优点，提m 了确定隐含波动率的t v 正则 化方法，并利用变分法的思想推导出相应的e u l e r - l a g r a n g e 方程，然后结合本原一对 偶方法的思想，将非线性e u l e r l a g r a n g e 方程线性化，在此基础上提出了t v 正则 化模型中确定隐含波动率的本原一对偶方法，导出了及其离散化形式，并进行了相应 的数值实验这样计算出来的隐含波动率相较于其它的数值计算方法的优点在于 避免了高度非线性项计算的复杂性，并且计算出来的结果更加精确 关键词：期权定价；隐含波动率；t v 正则化；本原一对偶方法；t i k h o n o v 正则化 a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ed i v i d e n dp a i de u r o p e a no p t i o np r i c i n gp r o b l e ma n d t h e c o m p u t a t i o n a lp r o b l e mo ft h ei m p l i e dv o l a t i l i t yi ne u r o p e a no p t i o n s h e r e “e u r o p e a n o p t i o n ”m e a n st h eo p t i o nt r a d e du n t i lo p t i o n se x p i r a t i o nd a t e i nt h i sp a p e r ，w e m a i n l ys t u d yh o wt oa p p l yn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n a lm e t h o d st oc a l c u l a t et h ei m p l i e d v o l a t i l i t y 仃i nt h ed i v i d e n dp a i db l a c k - s c h o l e so p t i o np r i c i n gm o d e l t h ep r o b l e mo no p t i o np r i c i n gd r a w sm u c ha t t e n t i o ne a r l yi nt h ee a r l yt w e n t i e t h c e n t u r y u n t i l19 7 3 ，a f t e rb l a k ea n ds c h o l e sp r o p o s e dt h eb l a c k - s c h o l e sm o d e l 筹椰纂+ 卜a z s 6 z 等州- o ，刁f + 7 s 否否+ 刁万一r c 2 o ， t h ee x a c ta n ds t r i c tm a t h e m a t i c a ld e s c r i p t i o no nt h eo p t i o np r i c i n gp r o b l e mw a se s - t a b l i s h e d s i n c et h e n ，t h eo p t i o np r i c i n gp r o b l e mo b t a i n e dr a p i dd e v e l o p m e n t ，a n d c r e a t e dm o r et o o l st oc o n t r o lr i s ka n dt or e d u c er i s ki na p p l i c a t i o no fm a t h e m a t i c sa n d e c o n o m i cf i e l d s i nb l a c k - s c h o l e sf o r m u l a ，v o l a t i l i t y 盯i sav e r yi m p o r t a n tp a r a m e t e r ， a n dt h eo p t i o np r i c ei sv e r ys e n s i t i v et oi t sc h a n g e i nt h ep r a c t i c a lt r a d i n gm a r k e tv o l a t i l i t yi sav a r i a b l e ，w eg e n e r a l l yl i s at h eo p t i o n p r i c et od e t e r m i n et h ei m p l i e dv o l a t i l i t y ，w h i c hi sat y p i c a li n v e r s ep r o b l e ma n d n e e d s t ob es o l v e du s i n gt h er e g u l a r i z a t i o nm e t h o d i nt h i sp a p e r ，b a s e do nt i k h o n o vr e g u - l a r i z a t i o nm e t h o da n dc o m b i n i n gt h ea d v a n t a g e so ft o t a lv a r i a t i o nr e g u l a r i z a t i o n ，w e p r o p o s e dt h et o t a lv a r i a t i o nr e g u l a r i z a t i o nm e t h o df o rd e t e r m i n i n gt h ei m p l i e dv o l a t i l - i t ya n dd e r i v e dt h ec o r r e s p o n d i n ge u l e r l a g r a n g ee q u a t i o nb ya p p l y i n gt h ei d e ao f t h e v a r i a t i o n a lm e t h o d t h e n ，c o m b i n i n gt h ei d e ao ft h ep r i m a l d u a lm e t h o d ，w el i n e a r i z e d t h er e l a t e dn o n l i n e a re u l e r l a g r a n g ee q u a t i o n o nt h i sb a s i s ，w ep r o p o s e dt h ep r i m a l d u a lm c t h o df o rd e t e r m i n i n gt h ei m p l i e dv o l a t i l i t yi nt h et vr e g u l a r i z a t i o nm o d e l ， d e r i v e di t sd i s c r e t i z a t i o nf o r ma n di m p l e m e n tt h er e l a t e dn u m e r i c a le x p e r i m e n t c o m - p a r e dw i t ho t h e rn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n a lm e t h o d s ，t h ei m p l i e dv o l a t i l i t yo b t a i n e db y o u rp r o p o s e dm e t h o dh a st h ea d v a n t a g e so fa v o i d i n gt h ec o m p l e x i t yo ft h ec a l c u l a t i o n o ft i l eh i g h l yn o n l i n e a rt e r ma n dh a v i n gt h em o r ea c c u r a t ec o m p u t a t i o n a lr e s u l t s - k e yw o r d s ：o p t i o np r i c i n g ；i m p l i e dv o l a t i l i t y ；t o t a lv a r i a t i o nr e g u l a r i z a t i o n ； p r i m a l d u a lm e t h o d ；t i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n i l l 硕士学位论文 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t i i i 第1 章绪论1 1 1 期权定价模型的研究背景1 1 2 隐含波动率的研究现状4 1 3 本论文的章节安排6 第2 章期权定价模型及其相关理论7 2 1 期权定价的基本理论7 2 2 支付红利欧式期权定价的b l a c k - s c h o l e s 模型1 3 2 3 隐含波动率1 7 第3 章确定隐含波动率的t v 正则化方法2 1 3 1反问题及其止则化方法2 1 3 2 确定隐含波动率的t i k h o n o v 正删化方法2 4 3 3 确定隐含波动率的t v 正则化方法2 6 第4 章确定隐含波动率的本原一对偶方法2 9 4 1e u l e r 方程的求解方法2 9 4 2 确定隐含波动率的本原一对偶方法3 0 4 3 本原一对偶方法的离散化3 2 4 4 数值实验3 6 结论3 9 、 参考文献4 0 致谢4 3 i v 硕士学位论文 第1 章绪论 在本章中我们将首先给出“b l a c k - s c h o l e s ”期权定价模型的研究背景及研究过 程中一些主要研究现状，然后介绍本文中主要研究的对象，期权定价模型中的隐含 波动率及其研究现状，最后就本文的主要_ t 作作一些介绍 1 1 期权定价模型的研究背景 期权是指其持有人在确定的时间，按确定的价格向出售方购买或者销售一定 数量和质量的原生资产的协议，但是他不承担必须购入或者销售的义务期权又称 为选择权，是在期货的基础上产生出来的种衍生金融工具从期权的本质上讲， 期权实质上是在金融领域中将权利和义务分开进行定价，使得权利的获得人在规 定的时间内对于是否进行交易，具有判断行使的权利，而义务方对于权利方做出的 决定必须履行 每一份期权合约都包含四个特别的项目：标的资产，期权敲定价格，数量和到 期日每一份期权合约都对应有一种标的资产，标的资产可以是市场中繁多的金融 产：品中的任何一种，如普通股票，股价指数，期货合约，债券，外汇等等敲定价格是 指在行使期权的时候，进行标的资产交易的价格在人多数交易的期权当中，一般 标的资产价格是接近于期权的敲定价格敲定价格在期权合约中都有明确的规定， 通常是由所在的交易所按一定标准以减或增的形式给出，故同一标的的期权可能 存在若干个不同敲定价格一般米说，在某种期权刚开始交易时，每一种期权合约 都会按照一定的间距给出几个不同的执行价格，然后再根据标的资产的变动适时 增加或者减少在期权合约上还明确规定了合约持有人有权买入或卖出某种对应 的标的资产的数量比如，一张标准的股票期权合约所买卖股票的数量为1 0 0 股 每一份期权合约都具有有效的行使期限，我们称这个期限为到期口如果超过到期 日还没有进行交易，期权合约随即欠效般来说，每一种期权的行使时限为三个 月，六个月或者九个月刁i 等期权合约规定在到期h 执行购入或者销售标的资产称 为实施 在期权进行交易时，购买期权的一方称作为买方，而出售期权的一方则叫做为 卖方；买方即是权利的受让人，而卖方则是必须履行买方行使权利的义务人 期权按期权合约中购入和销售标的资产来划分，_ 口j 以分为看涨期权和看跌期 权【1 】看涨期权是指在一个确定的时间，按确定的价格有权购入一定质量和数量的 标的资j 舡的合约对看涨期权的多头方而言，多头方为看涨期权合约的获得付出了 期权价格，因此他有是否执行合约的权利看跌期权是指一张在一个确定时间，按 确定价格有权出售一定数量和质量的原生资产的合约同样对看跌期权的多头方 一1 一 确定期权定价模型中隐含波动率的木原列偶方法 而言，多头方为看跌期权合约的获得付出了期权价格，因此他有是否执行合约的权 利 按期权执行时间的不同，期权还可分为欧式期权和美式期权两种美式期权， 是指可以在成交后有效期内任何一天被执行的期权，多为场内交易所采用欧式期 权，是指只有在合约到期日才允许执行的期权，它在大部分场外交易中被采用 期权思想的萌芽最早可以追溯到公元前1 8 0 0 的汉穆比法典，而且早在公 元前1 2 0 0 年，期权的交易就已经出现在古希腊和古腓尼基国的贸易当中【2 】然而 期权真正的快速发展是在2 0 世纪5 0 年代以后才开始的，发展至今，期权体系已经 比较成熟和完善了 根据前面关于期权一些基本概念的介绍，可以看出期权具有良好的风险规避、 增值保值和价值发现等功能，而且还具备非常好的灵活性和多样性等特点因此近 3 0 多年以来，特别是上世纪九十年代，期权被称为是最有活力的金融衍生产品，得 到了迅速的发展以及非常广泛的使用，期权迅速的发展也是受益于期权理论的不 断深化的结果期权理论的研究重点主要在于以卜的两个方面：其一是怎样构造出 新的期权，来适应不断变化的市场投资的需要；其二是怎样确定出这些日趋复杂的 期权价格 期权定价是一个比较古老的问题早在1 8 2 7 年，英国植物学家b r o w n 用显微 镜观测到悬浮丁溶液中的微粒子呈现出连续而不规则的运动，后人称之为布朗运 动【3 】( 也称维纳过程) 虽然人们对布朗运动己进行了许多研究，但是对其数学理论 方面的研究却很少【4 】 一 在1 9 0 0 年，b a c h e l i e r 【5 】发表了他的学位论文“t h d o r i ed el as p d c u l a t i o n ”( 投 机交易理论) ，这被公认为现代金融理论学的基础在投机交易理论这篇论文中 第一次尝试在金融问题中应用高等数学知识，并引进了布朗运动他认为股票价格 运行是一个随机的过程，并且首次利用随机游动的思想给m 了股票价格运行的随 机模型 d s t = a d w t ， 在这篇论文巾他还提及到了期权定价的问题 在1 9 6 4 年，s a m u e l s o n | 6 】对b a c h e l i e r 的模型进行了修正十要的改变是应用 股票的回报警代替b a c h e l i e r 模型中的股票价格s ，s a m u e l s o n 提出的随机微分 方程是 下a d t ：p a t + 仃( f w t 广2 十仃“ ) 这毕人们称股价s 适合几何布朗运动，显然这个模型克服了原先b a c h e l i e r 模型中 可能使得股票价格出现负值的不合理情况 基丁上述模型，s a m u e l s o n 还研究了看涨期权的定价问题，与此同时研究这个 一2 一 硕士学位论文 问题的还有s p r e n k l e ，b o n e s s 等人基于s a m u e l s o n 的模型，s p r e n k l e 通过引入风险 厌恶度z 得到了看涨期权定价公式m 其中 = c p t s n ( d 1 ) 一( 1 一z ) k n ( d 2 ) ， d 1 d 2 n ( x ) z n 嘉+ ( 7 + 譬) t 盯行 d 1 一仃行， 去仁e 名山 风险厌恶度是依赖于投资人客) ! ! l l 偏好的，凼此这样个看涨期权的定价公式 是4 i 好在实际中应用的 b o n e s s1 8 1 在s p r e n k l e 的基础上考虑了现金贴现率，并且假设现金贴现率与股 票的同报率是相同的从而，在假设股票价格适合几何布朗运动的前提下，得到了 期权金的表达式 v 0 = s n ( d 1 ) 一e p t k n ( d 2 ) s a m u e l s o n 对b o n e s s 的工作进行了修改，将其现金贴现率与股票回报率相同的假 设改成两个不同的参量，从而看涨期权定价的公式被修改为 v 0 = s n ( d 1 ) 一e ( p 一。) t k n ( d 2 ) 前面所列举的几个较早研究期权定价的结果都不是风险中性的，他们都依赖 丁股票的期望回报率和期权的期望回报率这体现了在当时学者们已经认识到了 应对不确定收益进行贴现，但同时又因为贴现率无法确定而幽惑事实上，贴现率 反映的是投资者对风险在未米变化的预期，是一个主观的变= 蕈= ，凶此是不可量化的， 更是小具备可预测性的 直到1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s1 9 利用股票价格满足的儿何靠朗运动，巧妙地 运用一对冲技巧建立了欧式看涨期权定价模型 罾朋筹+ 2 翥一r v 一o ，瓦+ 7 s 丽+ s 丽一2 o ， 与前面提及的那些工作相比，这里不再出现表示个人偏好的变量，取代它们的是无 风险利率r 因此这个模型不冉依赖于投资人的偏好，它把所有投资人引向一个用 无风险利率作为投资回报率的风险中性世界巾其后，b l a c k 和s c h o l e s 还通过偏微 分方程求解的过程给出了模型所对应的期权定价公式 v = s n ( d 1 ) 一k e ”( t - t ) ( d 2 ) 一3 一 确定期权定价模型中隐含波动率的本原一对偶方法 期权定价的b l a c k - s c h o l e s 模型是一个非常光辉的模型，乃至于现今也是期权 定价研究的重点所在，但是这个定价模型当中有一个假设，认为原生资产波动率盯 是一个常数然而在实际交易市场当中，我们知道这是不合理的在下一节中我们 将引入隐含波动率并对其相关的研究成果进行介绍， 1 2 隐含波动率的研究现状 一般地，波动率盯在实际交易市场中是一个变量 1 0 , 1 1 】从金融的角度来看，波 动率的增大和减小，代表着股票价格的上扬和下跌的幅度的变化，波动率的变化蕴 含着投资的风险所在从理论意义上讲，就股票本身而言，因为e ( a d w t ) = 0 ，所 以由随机因素产生的风险( 获益或损失) 是相互抵消的但是从期权持有人的角度 来看这是不成立的，以看涨期权为例，当股票价格上升得越高，期权持有人的获益 也就越大；但是当股票的价格下跌时，情况就不一样了股票的价格哪怕是低于敲 定价格，期权持有人的损失最大是全部的期权金而已，是有限的因此股票波动的 影响对看涨期权持有人来说损益是不均等的由此可见，波动率是一个很重要的参 数，确认波动率以便了解资产的未来风险结构是有重要意义的 怎样运用期权交易市场的报价来获取有关未来原生资产波动率的信息的问题， 虽是比较困难的，但是非常重要求解隐含波动率o r 最早是由d u p i r e 1 2 1 提出，并且 得到了求解波动率的一个显示表达式 盯( k ，t ) = 因此，当t = t + ，s = s 时，我们可以从期权市场获取不同敲定价格和不同到期r 的 期权的价格v ( s + ，+ ；k ，t ) ，从而可以得到函数 f ( k ，t ) = v ( s 4 ，尤k ，丁) 那么我们就可以根据波动率的显示表达式来求得波动率o ( k ，t ) 了但这种方法 对数据的变化异常敏感、是不可靠的 事实上，由期权价格米获取波动率盯的信息是一个典犁的反问题这里反问题 是指利用解的部分信息来求解定解问题r f l 的某些未知量众所周知，反问题一般都 是不适定的，这里问题的适定性指的是问题解的存在性，唯一性及连续依赖性，不 适定则是指不同时满足上述三个条件对于不适定的问题，一般采取正则化方法求 解 最为广泛使用的止则化方法是t i k h o n o vf m l6 】止则化方法。卜面考虑求解线 性不适定问题k x = y ，其中k 是线性算子，通过给定的数据y 来求解未知量z 这 是一个典型的反问题，一般是通过在有限维窄间x 上极小化泛函i i k z 一洲来获 一4 一 硕士学位论文 得z 的数值解，这个问题一定是有解的但是如果k 是紧算子，而空间x 是无限 维的，那么这个极小化问题就是不适定的了因此需要在目标函数上加上一个罚项 也就是所谓的正则项，使得新的目标函数是一个适定的问题t i k h o n o v 正则化提出 来的目标函数是 厶( 。) = i l k z 一可i i + 口i i z | 1 支 然而，对于非线性的不适定问题，t i k h o n o v 正则化方法面临着一些新的问题， 对于这一类的问题，一般通过对t i k h o n o v 正则化方法作出改变来适应非线性的问 题，特别是8 0 年代后期，已经有了一定程度的发展f 1 7 - 1 9 | 下而就运用t i k h o n o v 正 则法来确定隐含波动率的已有研究成果分两种情况作出介绍 其一考虑波动率只是关于股价s 的函数，即盯= o ( s ) 的情况一般通过对偶 及对数代换的技巧，我们可以将b l a c k - s c h o l e s 方程转化为抛物问题 百o v = 知) 等一中12 川苗m 叫矿 通过这个抛物方程，i s a k o v 2 0 】在他的文章( t h ei n v e r s ep r o b l e mo fo p t i o np r i c i n g ) ) 中进行稳定性分析并且给出了解的存在性、唯一性条件n g n e p i e b a 2 1 】提出应用最 优控制的方法，通过运用均匀网格，在时间和空间上分别对价格y 进行剖分i ：引入 伴随模型，得到求解盯的伴随公式j i a n g 和t a o 2 2 】针对以上提出的抛物模型提出 了变分模型，应用变分的思想来解，并且证明了其解的存在性及给出了存在最优解 的必要性条件d e n gy u 和y a n g 2 a 】考虑到期权平均价格最人程度包含金融市场的 实际信息，对j i a n g 和t a o 提出的模型作出了修改，并且也类似地给出了相关结论 其二考虑波动率是股价s 和时问的二元函数，即盯= o ( s ，t ) 的情况考虑到 波动率盯与股价s 和时间t 都有关，那么所对应的期权价格y 所满足的抛物方程 为 石o v = 知，丁) 雾一( 知刊苗地叫y 叶和伊基于t i k h o n o v 正则化的数值微分方法，通过利用d u p i r e 公式来重构资 广：的未来预测波动率，得到仃( s ，t ) 的数值解，进而运用蒙特卡洛模拟得到s ( t ) 的 概率分布，从而确定标的资产的风险管理v a r l a g n a d o 和o s h e r 2 5 l 基于正则化的 思想，运用强范数的理论，有别丁t i k h o n o v 正则化，引入梯度算子改进了极小化函 数当中的正则化项c r e p e y1 1 5 ，2 6 1 通过期权的模型价格和i l ，场观测值的差来建立极 小化函数，应用a a o 来作为罚项，建立起目标函数，并月对其解存存性、唯一性以 及收敛性作出了详细的分析e g g e r 和e n g l 2 t 】在c r e p e y 所提出模型的基础上，对 其模型进行了相应的改进，并给出改进后的模型的收敛率 上述是芙丁隐含波动率的一些已有成果的简介，在本文中，我们将引用总变分 ( t y ) j 下则化1 2 8 - 3 2 方法并且提出一种新的线件化方法来求解隐含波动率 一5 一 确定期权定价模型中隐含波动率的本原一对偶方法 1 3 本论文的章节安排 在本文第一章巾，我们就期权定价模型与本文主要研究对象隐含波动率的研 究背景及其目前的研究状况作了简单的介绍 在第二章中，我们就期权定价的基本理论作出了简单的讨论，引入了股票价格 所满足的随机微分方程以及i t 5 公式，并利用一对冲的技巧推导出支付红利的欧 式看涨期权所满足的b l a c k s c h o l e s 方程及b l a c k - s c h o l e s 定价公式然后引入了隐 含波动率，并且说明利用期权来求解隐含波动率的过程是一个反问题 在第三章中，我们就确定隐含波动率仃提出了t y 正则化阐述了反问题及 其正则化方法，反问题一般是不适定的，因此需要采用正则化的策略来求解然后 介绍了t i k h o n o v 正则化方法，并讨论了l a g m a d o 和o s h e r 提出的求解隐含波动 率的t i k h o n o v 正则化方法在此基础上利用t y 正则化思想，建立新的模型，从 而提出了求解隐含波动率的丁y 止则化方法，并利用变分法的思想推出了相应的 e u l e r l a g r a n g e 方程 在第四章中，我们就确定隐含波动率提出了本原一对偶方法首先阐述e u l e r l a g r a n g e 方程的求解方法，然后结合奉原一对偶方法的思想将非线性e u l e r - l a g r a n g e 方程线性化，在此基础上提出了丁y 正则化模型中确定隐含波动率的本原一对偶方 法及其离散化形式，并给出相应的数值试验，结果验证了该算法的有效性及可行性 一6 一 硕上学位论文 第2 章期权定价模型及其相关理论 本章讨论期权的定价问题，主要针对欧式期权首先假设k 为期权敲定价格， t 为期权到期日，在到期日期权的收益即期权的价值设为y r ，则期权收益可以表示 许= ( 昂一k ) +( 2 1 ) 或 y r = ( k 一曲) + ，( 2 2 ) 这两个式子分别表示看涨期权和看跌期权的收益，其中踯表示原生资产在到期日 捌，+ = 言嘉朊 c o p 岫np 啦q p - 图2 1看涨看跌期权 期权作为一种衍生证券，其定价取决于标的资产的价格变化由于标的资产是 一种风险资产，而风险资产的价格变动是不确定的，是随机变化的，因此期权的价 格变化也是随机变化的但是一旦标的资产的价格确定下来了，那么做为标的资产 的衍生物一期权的价格亦将随着确定下来也就是说，期权价格是标的资广：价格的 一个未知函数假设在时间t 标的资产的价格为s ，期权价格是k ，则存在函数 v ( s ，) 使得 k = y ( & ，) ， 这里v ( s ，t ) 是一个确定的二元函数本章所要做的工作就是通过建立期权定价偏 微分方程模型来确定v ( s ，) 的具体形式 2 1 期权定价的基本理论 我们知道在期权到期口t ，期权的价值是一个确定的值婚，它就是前面所述期 一7 一 确定期权定价模型中隐含波动率的本原对偶方法 权的收益，表示为： 婚： 曲“) + ， i ( k s t ) + 期权定价的问题就是由期权的价值得到期权金，因为期权收益在t = 0 时刻的值就 是期权金也就是说，由于在任意时刻期权的收益y 就是期权的价格v ( s ，) ，即 v = v ( s ，t ) ( 其中0 s s 有( t ) 一 w ( s ) 一n ( o ，t s ) ， 3 增量独立jw ( t 。) 一w ( t 。一1 ) ，w ( t n 一1 ) 一w ( t n - 2 ) ，w ( t 2 ) 一w ( t 1 ) 与w ( t 1 ) 都是互相独立的，其中0 t 1 t 2 t 竹 、 我们称满足以上三个性质的随机过程w ( t ) ( 简写为m ) 为布朗运动或者维纳过程 下面讨论标的资产价格演化的连续模型，多i ：证明它是满足布朗运动的为此引 入标的资产价格的贴现值譬，满足 s = 鲁， ( 2 3 ) 接下来同样引入无风险资产的贴现价值四，同理有口= 警，此时无风险利率是零， 即：r + = 0 并且有p + = 1 + r a t = 1 事实上，对_ 丁无风险资产a 有： a + t = p g( p = 1 + r a t ) ：b t + ，a tc t 觑 8 一 硕士学位论义 因此由g = c _ q b _ t ，知道： g + g。 u + a t2 b t + a t5 瓦2 这说明了对于无风险资产的贴现值，则有矿= 1 ，r = 0 成立 对于标的资产的价格肆，我们知道在时间段【t ，t + a t 】之内，标的资产的价格 有可能上升也有可能下降我们假设其上升后的值为曰：，其下降后的值为嚣芳，并 且设u 0 称为是式( 3 3 ) 的正则化 算子，如果它满足 l i r a 。1 - i 。k x = z ， ( 3 6 ) 对所有的z x 成立，其中o l 称为正则化参数 从上述定义很容易知道以下几点：1 对任一固定的o l 0 ，r 。是有界的o ，2 在 x 上，q 0 时凰k 逐点收敛于单位算子，；3 该定义等价予r a y k _ 1 y 对一 切的可k