（应用数学专业论文）带有任意时频参数gabor框架的稳定性.pdf

t h e s t a b i l i t yo f g a b o rf r a m e s w i t ha r b i t r a r yt i m e f r e q u e n c y p a r a m e t e r s at h e s i s s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t f o rt h em s d e g r e ei nm a t h e m a t i c s b y d a n gy u n g u i p o s t g r a d u a t ep r o g r a m c o l l e g eo fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s c e n t r a lc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r ：h ex i n g g a n g a c a d e m i ct i t l e ：p r o f e s s o r s i g n a t u r e m a y , 2 0 1 0 ， 咖9 洲2川8798iy 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：受厶戋 日期：v l1 年妫苫日 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和借阅； 学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 储签名：、兹k 丧 日期：沙if 年岁月髫日戮，g 7 - 占酶驴 日期：2 奄l ，6 月7 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程中的 规定享受相关权益。园童途塞逞童卮澄卮；旦堂生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名：嵌乙麦 日期沙jrg - - f 月髫日 导师签名： 可茏l i “ 日期 z , o v g - e 月7 日 摘要 小波分析是应用数学的一个重要分支，框架理论是小波分析的一个重要组成部 分，框架的稳定性是框架理论的主要研究内容之一。g a b o r 框架在任意时频参数下 的稳定性研究对联合时频分析，信号处理，通信理论等方面有一定的作用，因此我 们有研究这种稳定性的必要性。 本文中主要研究：若窗i = 1 函数g ( x ) 满足g ( x ) ，x g ( x ) ，x 2 9 ( x ) h 2 ，g a b o r 框 架和蚰g ( x a 。) ：刀z ) 在任意时频参数 ( ，吒) ：刀z ) 下的稳定性，以及窗口函数 g ( x ) 有很小扰动时所构成的框架的稳定性，且明显给出框架界和稳定界。 关键词：g a b o r 框架；稳定性；时频参数 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si sab r a n c ho fa p p l i e dm a t h e m a t i c s f r a m et h e o r yi sa ni m p o t a n t p a r to ft h ew a v e l e ta n a l y s i s t h es t a b i l i t yo ff l a m e si so n eo ft h em a i nr e s e a r c ho ff r a m e t h e o r y g a b o rf r a m e sw i t ha r b i t r a r yt i m e f r e q u e n c yp a r a m e t e r sh a v eb e e nw i d e l yu s e di n t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s ，q u a n t u mm e c h a n i c s ，c o m m u n i c a t i o nt h e o r y , a n dm a n yo t h e r f i e l d s t h e r e f o r e ，w en e e dn e c e s s i t i l ys t u d yt h es t a b i l i t y i nt h i sp a p e rw es t u d y ：i ft h ew i n d o w e df u n c t i o ng ( x ) s a t i s f i e s ：g ( x ) ，x g ( x ) ， x 2 9 ( x ) h 2 ，g a b o rf r a m e s g b x g ( x 一) ：刀z w i t ha r b i t r a r yt i m e f r e q u e n c yp a r m a - e t e r sa r es t a b l e i tr e m a i n saf r a m ew h e nt h ew i n d o w e df u n c t i o ng ( x ) h a ss o m es m a l l p e r t u r b a t i o n ，a n de x p l i c i ts t a b i l i t yb o u n d sa r eg i v e n k e yw o r d s ：g a b o rf r a m e s ；s t a b i l i t y ；t i m e - f r e q u e n c yp a r a m e t e r s 摘要 a b s t r a c t 第一章引言 目录 1 1 研究现状及其背景1 1 2 预备知识标注及其记号3 第二章一些引理及其定理( 一) 的证明 2 1 一些引理及其证明一4 弓i 理2 1 1 4 引理2 1 2 5 推论2 1 3 5 引理2 1 4 6 2 2 定理( 一) 的证明7 定理2 2 1 。7 推论2 2 2 9 第三章引理及其定理( 二) 的证明 3 1 引理及其证明1 0 引理3 1 1 1 0 引理3 1 2 1o 3 2 定理( 二) 的证明1 1 定理3 2 1 1 1 第四章推论及其一些其它结果 参考文献 1 4 。1 6 致谢1 8 4 4 5，11 一 一 一 一 一 一 “ 一 一 一 1 2 3 4 4 4 题理论 命定推 第一章引言 1 1 研究现状及其背景 小波分析是上世纪8 0 年代由ym e y e r , s m a l l a t 及i d a u b e c h i e s 等人的奠基工 作而迅速发展起来的- - ! 3 应用数学学科。它是f o u r i e r 分析发展史上里程碑式的发 展，它同时具有深刻理论与广泛应用的双重意义( 见文【2 】- 【5 】) ，框架概念是由r j d u f f m 和a qs c h a e f f e r 于1 9 5 2 年在研究非调和f o u r i e r 分析时引入的( 见文【6 】) ，因 为框架在表示向量时具有冗余性，所以很备受人们的关注，并且这种冗余性可以在 低精度下比较精确地重构信号。而g a b o r 框架是空间r ( r ) 中一种具体且重要的框 架，自g a b o r 在文【1 4 】中提出了用窗口的傅里叶变换表示信号以来，它对时间频率 分析，通信理论，信号处理，量子力学，图像处理以及其它方面发挥一定的作用。 c h d s t e n s e n ，d e n g 和h e f t ( 见文【7 】) 研究了：如果 ( ，九) ：刀z ) 是相对一致离散 1 且最小b e u r l i n g 密度不小于圭时，和雌g 一) ：刀z ) 是一个框架，在此基础上 上7 r 1 r a m a n a t h a n ，s t e g e r ( 见文【8 】) 证明了当密度取时，得至u t - - 个确切的框架。f e i z 2 1 c h t i n g e r 和g r o c h e n i g ( 见文【9 】) 证明了若疋g 在r 2 上可积， ( a n ，屯) ：疗z ) cr 2 且 v 【( ，) + 们= r 2 ，则存在开集【，尺2 ，有和岍g ( x - a , ) ：刀z ) 是r ( r ) 中的框架， 得到了很多吸引人的结果。而不足之处是他们未给出如何选取一个恰当的开集u 。 g r o c h e n i g ( 见文【1 0 】) 研究了：如果g ( x ) ce ( r ) 是一个“b a n d - l i m i t e d 窗口函数 ， 对g ( x ) 足够的限制则得到了和蚰g ( x t u m 。) ：m ，职z ) 是一个框架，并且框架界明显 给出，特别的选样点 如，九) 在一条平行线上。 孙文昌和周性伟( 见文【1 2 】，【1 3 】) 研究了：若 e a - x g ( x - l u , , , 。) ：m ，胛z ， ( ，。，丸，j ，) 【n t t l ，( 行+ 1 ) 口】【m b ，( 聊+ 1 ) 6 】， ( 其中a , b 为充分小的正数) ，则存在一些函数g ( x ) ，得到 p ”g ( x - l j , ，) ：刀z ) 是 个框架，且明显给出框架界。 f a v i e r 和z a l i k ( 见文【1 5 】) 研究了：对于缈( x ) l 2 ( r ) ，口，b 0 ，设。( x ) = 2 缈 一加) ，若妒( x ) ，m ，力有很小扰动时g a b o r 框架的稳定性。 其它关于框架稳定性的结果见【11 】，【1 6 】等等。 本文在文献【1 】的基础上主要对框架界进行了修改以及对引理2 1 1 ，引理2 1 4 ， 引理3 1 1 ，引理3 1 2 做出了详细的证明，并且给出了函数缈o ) r ( 尺) 有扰动时 g a b o r 框架的稳定性。 记号1 1 1 i t 2h 5 = g ：j0 + 1 r 1 2 ) 5 陪( f ) 1 2d r ，则h 5 是一个s o b o l e v 空间。 定义1 1 2 设月是一个可分的h i l b e r t 空间，l ，为指标集， 厂：，乃为日上 的一个序列，如果存在常数a ，b 0 ，使得对任意f ( x ) h ，有 么岍x ) 1 1 2 硝n i f ( x ) 1 1 2 那么称 六：，以为h 上的一个框架，其中a ，b 分别叫做框架上，下界若上式右面 不等式成立，则称 乃：歹j r 为一个b e s s e l 序列。这里他睁为日上的内积，f h 的 范圳厂( x ) 1 1 2 - ( i ，厂) j 。 定义1 1 3 令人= ( ，b o ) ：刀n ) cr 2 ，若对任意，l m ，有l a n - - g 肌l p 或者 l 屯一6 卅l q ，则称人为( p ，g ) 一致分离的。如果人是有限多个一致分离序列的并集， 则称人为相对一致分离。若g ( x ) r ( 尺) 是一个窗口函数，如果 e j h g ( x - a 。) ：r l z 是r ( r ) 中的框架，则称其为g a b o r 框架，如果g ( x ) ，( a n ，既) 有小扰动时， e j b , , g ( x a n ) ：以z ) 仍是框架，则称g a b o r 框架是稳定的。 本文的主要两个结果： 定理( 一) 假设g ( x ) ，x g ( x ) h 1 ，p ，q 0 记 m ( g , p , q ) = i l g ( 郴+ ( 翻g ( 帅2 + ( 匆蚋) 1 1 7 + ( 等m 冲2 ， 若 ( ，巩) y z ) 是任意一个( p ，g ) 一致离散序列，则p g 一) ：玎z ) 是r ( r ) 中的一个b e s s e l 序列，且界为竺m ( g ，p ，g ) 。 p q 定理( 二) 若g ( x ) ，x g ( x ) ，x 2 9 ( x ) h 2 ，令艿，r l 0 ，满足： 人= m ( g , p , q ) + 等m ( 聊砌+ 等地。删+ 等等m ( x g 删 ， ( 人 = 去( 衲口一俄川) ) = 去( 夕( 什砒如矿脚) = 去p c 什国，丽打d f = 去p c f ，丽巾哪) ，d f 2 瓦1p 枷少f 2 ( ) 一雪( r - c o ) e 口如 2 2 石e - i a v ( 忍夕) ( 缈，叫) 上述第三个等式应用了等式( 厂，g ) = 去( 夕，雪) 。 ( 2 ) 1 1 ( e 舭甜i i ：l ( x ) 一g ( x - t ) e 刮2 揪 = 2 万j ， f ( r o ) g ( c o - t ) ld o m t = 2 万肌彩) l 如，l 而习d t = 2 - 1 i s ( x ) 1 1 2l i g ( x ) 1 1 2 4 上述第二个等式中应用了p a r s e v a l 等式引夕( 国) l 如= 2 万门厂( x ) i 如及其f u b i n i 定 理。 ( 3 ) 因为 f c 学，= 严岽型p 叫出= 去弘圳叫班喇出 2 去( p ( h 缸) e - n d x - ：( x ) e - 掌d x ) ：_ e 出毒- 1 季( 善) ， f ( g ( x ) ) = 卜 如吨出= g ( x 弦啦5 i 竺+ f 孝卜。弦嘶出= f 菇( 善) ， l 等l _ - 是r 2 中一列可测集，且对任意刀m ，l er 、已l = o ， 如果甜。( x ，y ) ，( x ，y ) 旧 r ( e ) ，且蚝( x ，力，( x ，y ) 佃，则 (到蚝(x，y)一(x，y)哦毛)2nez ， 证明：r ( e ) 中的范数定义为：陋i i ：( ，k ( x ) 1 2 出) j 1 2 i ，2 ( z ) 中的范数定义为：= ( k i ) j ，其中“= ) ：。 由r ( e ) 及z 2 ( z ) 中的三角不等式知 另一方面， n = l ( 互训) 一k ( x ，y ) l l ( 乓) ) i ( 沙加慨旷i i ( 训b 弦 旧( 训k ，) j i 一( 剖啡洲) j | 2 1 ) ll l (三慨(x，y)一(x，y)哦乓)2neg 1 。z 。z i i 材n ( x ，y ) l i l 2 ( 毛) + 0 ( x ，y ) i l r t 矗，) 2 ) j 由( 2 1 ) ，( 2 2 ) 得证 6 ( 2 2 ) l 一2 、， r 2 r 、，y x ，l玎 v 臌 ，l 、 一 l 一2 、， 厶 2 r 、月y x ，l l 一2 、， 瓦 2 r 、y x l 脚 ，l + l 一2 、j k 2 f 、，y x ，l月 纵 眦 l 是任意一个( p ，g ) 一致离散序列，则 p g ( x - a 。) ：刀z 是r ( 尺) 中的一个b e s s e l 序列，且界为望m ( g ，p ，g ) 。 证明：因为g ( x ) ，x g ( x ) h 1 ，由性质2 8 1 1 ，得到g ( x ) ，x g ( x ) r ( r ) 令e = 【一詈，+ 争p l b 一i p ，巩+ i p 】，则对任意的m 力，有l en k l = o ，且 e ：r i z ) cr 2 是可测集。 任取厂r ( r ) ，有 j l ( 忍力( f ，c o ) e - ( f g f ) ( t ，”b n xi b n t 1 2 d o m t 2 薹l 衍嘉l ( 喽叙妒沪( 愿氟钆一) 1 2 如 n e z 争p 等聊叫2 如僖一， = 了4 q 2 f l ( b 力( f ，一国) 1 2 删z ( 季 ) = - i x g ( x ) ) - 4 q 2 f g m 讲= 等驯砒) | 1 2 i l m ) 1 1 2 ， ( 2 3 ) 上式第一个等式应用引理2 1 1 ( 2 ) ，第一个不等式应用推论2 1 3 ，第二个等式应 用引理2 1 i ( 3 ) ，最后一步应用引理2 1 1 ( 1 ) 。 f f i ( 厂) ( f ，缈) p j 耐1 2 = i i ( 忍厂) ( ，) f 1 2 = 2 1 i f ( x ) | 1 2 i l g ) 1 1 2 ( 2 4 ) 上式第二个等式应用引理2 1 1 ( 1 ) 。 7 因此， 州( e 厂) ( f ， n g ze m = l ( 气厂) ( f n c ze 盯l ( 忍厂) ( ， n c z 吒) 1 2 揪 ，t o ) e 枷- ( ( 厂) o ，国弦埘一( t 门( ，瓦弦峨7 ) 1 2 d & 幼 ，国弘。甜1 2 础+ l ( 疋厂) ( f ，弦一( f g f ) ( t ，b 户j b n l l 2 d a d t n e z 日 2 谁( x ) h 匆昭( 拂2 ) l l s ( 琊 l ( 忍) ( f ，玩弦蛳一( 以) ( ，b n x 严i b n t1 2d a ，d t n e ze 。 “ ，2 西厂l ( 乓厂) ( r ，吒) 一( 乓厂) ( ，既) 1 2 如 “号 等肛m 以，1 2 础 鳓) 1 1 2 等( 1 l g ( 哪+ 譬瞰帅2 ) 最后一步应用上面( 2 5 ) 式 ( 2 3 ) + ( 2 6 ) ，有 于是，有 l ( 忍厂) ( f ， n e ze l ( 忍厂) ( r n e z 昂 + l ( 忍似 n e ze 。 弦触一( 疋厂) ( ，玩) e 1 2 d w d t ，缈) p 埘一( f s f ) ( t ，玩弦”1 2 d w d t f ，) e 姊一( 最厂) ( ，) p 蛳1 2 d o g d t ( 2 5 ) ( 2 6 ) 鳓) 1 1 2 等胁) 1 1 2 + ( 纠糟( 帅2 ) + 等驯蚋) 1 1 2 i l m ) 1 1 2 嘲) l | 2 【譬l | g l ( 冲2 + e 陋帅2 + ( 等引硌( 帅2 】， e 肌n p 蚧贴一) ) 1 2 = l e l l ( 疋厂) ( 巩，巩) 1 2 3 瞄 脚 臌瞄 = n 。_ _ z 盯e nl ( 以门( 口辟，既) 1 2 如访 = 臌i k f ：s ) ( 删_ ( ( 乓供耐一( t 似p 锤。晶， 稽zi i f ) 懈脚k ，+ 秒c 傩耐一( f g f x 砒叫已n e z廿t e 、 h e zl 、b i s 2 万琊【l i g ( 埔+ ( 等阢帅2 + ( 睾恬( x ) | 1 ) 2 + 磐鲁峪( 帅2 i = 2 , , l l s v ) h 2m ( g ，p ，g ) ， ( 2 7 ) 最后可得 乏l 0 ，满足： 人= 引g 。( 卅动神) | i + 7 4 a b l i 降i ( 小u 酬l ， 若e 为一个长度不超过( 口，6 ) 的矩形，对任意的刀历，有l e 厂、厶l = o ，芝邑= r 2 ， 则对任意的( 口。，屯) e ， i e 卢p 蛳g 一) l i ez ) 是p ( r ) 中的框架，且框架上， 下界为：2 , r ( 1 l g ( x ) l l 一人) 2 ，2 r ( 1 l g ( x ) l l + a ) 2 。 证明：令e = i t ，l 乙，2 】i s ，1 s n , 2 ，且厶。l - t n ，2 口，l s 啦6 ，类似于上述定理 的证明可得： 蚓( 厂( 破g ( x 一) ) r = j j l ( t 厂) ( 蚪d c o d t = 薹l l ( 名厂) ( ，国弦埘一( ( 忍厂，国矽耐一( e 厂) ( ，瓦弦蛳) 吧。b ， 2 ( 1 i g ( x ) l 一人) 2 揪x ) 1 1 2 同理有 吲( ，( 砷，钗x 飞) 汗s2 万( 1 l g ( x ) 1 1 + 人) 2 x ) 1 1 2 9 第三章引理及其定理( 二) 的证明 3 1 引理及其证明 弓i 理3 1 1 若( x ) r ( 尺) ，则 ( 忍厂) ( + f 。，吃+ 缈o ) = e - i ( b + 铀) t o ( 厂( x + f 0 ) p 一吣，p 以。g ( x 一) ) 对任意f o ，r 成立。 证明： ( t 厂) ( + t o ，瓦+ 嘞) = f ( x 顽i 丽- u ( 聃蚶d x = f + t o ) g ( x - a ) e 一( x + t ox d x 蝴 一 = p 一+ 蛳，厂( x + t o ) e 叫嘞g ( x a ) e b ：d x = e - i ( “+ 铀( 厂( x + f o ) p 一，州，p 以g ( x 一) ) 引理3 1 2 对任意的g ( x ) r ( 月) ，若 e b ：g ( x a n ) r l z ) 是i f ( r ) 中以a ，b 为 界的框架，则对任意的气，r ，k + 炳p g ( x a n - t o ) ：刀z ) 仍为i f ( r ) 中的框 架，且框架上，下界相同。 证明：对任意的t o ，c o o r ，因为和 g ( x - - a 。) ：甩z ) 是r ( r ) 中以a ，b 为界的框 架，则任取厂( x ) r ( r ) ，有 4 i f 琊陬x ) ，p 。g ( x 一) ) 卜b 帜琊， 而f ( x + t o ) e 一州r ( r ) ，因此得到， 彳忱x + ，0 ) 一。1 2 乏阢x “) 产。，产贴飞) ) 1 2 召岍x “) p 一研i i 由引理3 1 1 ，得 4 i s ( x ) 1 1 2 陬x + 咖一蚶，扩如一) ) b i i s 0 ，满足 人堋舢劫+ 等m ( 聊，g ) + 等撇。删+ 等等m ( 糟。圳 ( 人 仍为r ( r ) 中的框架，且框架上，下 界为：( a - a ) ，( b + a ) 。 证明：由性质2 8 1 1 可得 m ( x g ，p ，g ) ，m ( g ，p ，g ) ，m ( x g ，p ，g ) 棚 任取厂( x ) f f ( r ) ，由定理2 2 1 ，可得 薹三如孵似州，刊旧4 a , 7 朋2 万m ( 卯，g ) ) i | 2 由引理2 1 1 ，引理3 1 1 和定理2 2 1 ，可得 薹，功引( t 厂) ( + r ，九+ 国) p f ( 帕x + r ) 一( 忍) ( + ，瓦弦以( 卅) f 如 。薹r l 衍三嘉阿地+ c o , - a - t ) - ( 忍碱，鸭卅1 2 如 丕等弘胁呦盹坞叫2 如 = 薹等弘骑( 5 1 ) + f ，帅) 1 2 如 ( 腓蜊砌 等响2 阳zm ( x g 删) f | 2 再由引理2 1 4 ，可得 乏，如j 1 ( 名厂) ( + ，瓦) l 衍 ：于毋j i ( 疋似q + ，既+ 国) 靠蜘x + ， n e z 一叩 巧 | 2 1 2 同理可得 2 薹高三如肛似州) l 面 = 薹砺1 严l i 野i i , ) ( 瓦，咖枇1 2 毋 2 荟击羔功妒。似叫 神他帕地州 ( 忍厂) ( + f ，吃+ 国) p 蛾+ x + ，l 一( 疋厂) ( 屯，瓦弦峨( + ，) 1 2d 国 薹高p 肛i i 似叫射国) i 旃 + 薹砺| p 8 妒r l , 似州，屯+ 炒俐删一( 聊叫，既+ 国) p 椰l 出 击4 却邶+ 人) 孵 薹) ，g ( x 一以) p 略) 卜2 砺1 响州训删1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第四章推论及其一些其它结果 命题4 - 1 1 1 1 哪设 仍：j 乃是h i l b e r t 空间上以a ，b 为框架界的框架，如果 ：，j ch ，使得 纺一：j f 以是以m ( m 彳) 为界的b e s s e l 序列，则 _ ：刀也是一个框架，且框架界为( 1 一学) ；) 2 彳，( 1 + 喏) j i ) 2 曰。 定理4 1 2 令r = ( ，吃) ：r l z ) cr 2 ，和蚧g ( x 一) ：甩z ) 是r ( 尺) 中以彳， b 为框架界的框架，若函数g ( x ) cr ( r ) ，且满足 z l g ( x 一) 一g ( x 一) i 万，( m 0 ， 满足： 人圳c p , p , q ) + 等m ( x q ，, p , q ) + 等m ( c p , p , q ) + 7 1 6 6 27 1 6 1 1 2m ( 砷删 瓦冗死7 ( 人 彳) ，若矽( x ) r ( 尺) ，满足眵( z ) 一伊( z ) 峨只) m ，则对任意序列( 以，反) ：满足 k 一屯 7 7 ，k 一瓦j 万，有 p 略矽( x 一瓦) ：聆z ) 仍为r ( 火) 中的框架，且框架上，下 界抓1 一( 羔) 瓴彳一人) ( 1 + 意) b + a ) 。 1 5 ： 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】s u nw a n dz h o ux ，i r r e g u l a rg a b o rf r a m e sa n dt h e i rs t a b i l i t y p o r ea 1 t l e rm a t hs o c ( 2 0 0 3 ) 131 ：2 8 8 3 - 2 8 9 3 【2 】d e b n a t hl ，w a l v e l e tt r a n s f o r m sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n si m b i r k h u s e r , b o s t o n , ( 2 0 0 2 ) 【3 】王建中，小波理论及其在物理和工程中的应用。数学进展【j 】( 1 9 9 2 ) ，2 1 ( 3 ) ：2 9 0 310 【4 】c h u ick ，a ni n t r o d u c t i o nt ow a v e l e t s m a c a d e m i cp r e s s ，( 19 9 2 ) 【5 】5h o l s c h n e i d e rm w a v e l e t s ：a na n a l y s i at o o l m o x f o r du n i v e r s i t yp r e s s ，( 19 9 5 ) 【6 】6y o u n gr m a ni n t r o d u c t i o nt on o 岫o n i cf o u r i e rs e d e s m 】n e r k y o r k ，a c a d e m i c p r e s s ，( 19 8 0 ) 【7 】o c h r i s t e n s e n ，b d e n g ，a n dc h e i l ，d e n s i t yo fg a b o rf r a m e s ，a p p l c o m p u t h a r m o n a n a l ，7 ( 19 9 9 ) ，2 9 2 3 0 4 8 】8 r a m a n a t h a nj a n ds t e g e rt ，i n c o m p l e t e n e s so fs p a r s ec o h e r e n ts t a t e s ，a p p lc o m p u t h a r m o n a n a l ，2 ( 1 9 9 5 ) ，1 4 8 - 15 3 【9 】f e i c h t i n g e rh ga n dg r o c h e n i gk ，b a n a c hs p a c e sr e l a t e dt oi n t e g r a b l eg r o u pr e p r e s e n t a t i o n sa n dt h e i ra t o m i cd e c o m p o s i t i o n ，j f u n e t a n a l ，8 6 ( 1 9 8 9 ) ，3 0 7 3 4 0 【10 】g r o c h e n i gk ，i r r e g u l a rs a m p l i n go fw a v e l e ta n ds h o r t - t i m ef o u r i e rt r a n s f o r m s c o n s t r a p p r o x ，9 ( 19 9 3 ) ，2 8 3 - 2 9 7 【11 】r o naa n ds h e nz ，w e y l h e i s e n b e r gf r a m e sa n dr i e s zb a s e si nr ( ) d u k em a t h j ，8 9 ( 19 9 7 ) ，1 4 8 1 5 3 【12 】s u nwa n dz h o ux ，o nt h es t a b i l i t yo fg a b o rf r a m e s a d v a n c e si na p p l i e dm a t h e m a t i c s ，2 6 ( 2 0 0 1 ) ，1 8 1 1 9 1 【13 】s u nw a n dz h o ux ，i r r e g u l a rw a v e l e t g a b o rf r a m e s ，a p p l c o m p u t h a r m o n a n a l ， 13 ( 2 0 0 2 ) ，6 3 - 7 6 【14 】g a b o rd ，t h e o r yo fc o m m u n i c a t i o n s ，j i n s t e l e c t e n g ( l o n d o n