（理论物理专业论文）稳态轴对称爱因斯坦—麦克斯韦伸缩子黑洞时空中标量场的衰减.pdf

摘要 弦理论是目前唯一能够量子化引力并将引力与电磁、弱和强相互作 用统一起来的自洽理论这一理论具有解释宇宙起源与运行以及现代物 理中很多难题的潜力由弦理论得到的伸缩子黑洞，其时空有着与通常 广义相对论中的时空不一样的性质，其原因在于伸缩子参数的存在因 此，多年来人们对伸缩子时空的各种研究极为关注但是，在含伸缩子 时空中扰动场的演化研究方面，由于问题的复杂性，人们目前只讨论了 静态球对称情况由于稳态时空具有更普遍的性质，所以研究低能弦理 论稳态轴对称解的伸缩子时空中标量场的衰减行为是非常有意义的本 文中我们将研究在该时空背景下标量场的拖尾以及似正模等问题 利用引入了频谱分解技术的格林函数，我们对稳态轴对称爱因斯坦 麦克斯韦伸缩子黑洞时空中无质量和有质量标量场的晚期拖尾进行 了解析的研究结果表明t 无质量扰动场的晚期渐近行为将由负幂律拖 尾t - ( 。f + 。) 主导，有质量标量扰动场的中晚期衰减行为由振荡负幂律拖 尾t - ( t + 3 2 ) s i n ( # t ) 主导，而极晚期则由一种衰减更缓慢的振荡负幂律拖尾 t _ 5 6s i n ( # t ) 主导我们认为，极晚期的振荡负幂律拖尾t - 5 6s i n ( # t ) 是任意 四维渐近平直旋转时空中有质量标量扰动场晚期衰减的普遍形式 另一方面，我们利用l e a v e r 最先提出的连续分数法对这一伸缩子时 空中无质量标量似正模进行了数值的计算我们获得了缓慢衰减的似正 频率即基频，并且对它们的行为进行研究结果表明；( 1 ) 这些标量似 正模受制于伸缩子参数d 、旋转参数n 、多极矩f 和磁量子数m ；( 2 ) 在o 、1 和m 相同的情况下，似正模基频的实部蛐随着d 的减小始终 是增大的，但是虚部u ，总会有一个先减小后增大的过程；( 3 ) 在d 和 f 相同的情况下，当m 0 时，似正模基频的实部o j r 和虚部u ，一般都 会随着n 的增加而增大，而当m 0 时，似正模基频的实部咖会随着a 的增加而减小，虚部u ，则一般出现一个先减小后增大的过程；( 4 ) 在 d 和a 相同的情况下，似正模基频的实部u r 会随着i 的增加而增大，除 个别情况外，虚部u ，一般也会增大；( 5 ) 在d 和f 相同的情况下，当 o = 0 即对于静态黑洞，m 对似正模不存在任何影响，而当o 0 即对于 稳态黑洞，似正模基频的实部u n 和虚部都会随着m 的增加而增大。 在s c h w a r z s c h i l d 和k e r r 极限下，我们的结果与已知的结果完全相同 关键词：晚期拖尾，稳态轴对称爱因斯坦一麦克斯韦伸缩子黑洞， 引入频谱分解技术的格林函数，负幂律衰减拖尾，似正模，连续分数法 i i a b s t r a c t s u p e r s t r i n gt h e o r ys p r i n g i n gu pi nr e c e n ty e a r si ss t i l l t h eo n l yk n o w ns e l f - c o n s i s t e n tt h e o r yw h i c hc a nq u a n t i z et h eg r a v i t ya n du n i f yt h eg r a v i t y , t h ee l e c t r o - m a g n e t i ci n t e r a c t i o n ，t h ew e a ki n t e r a c t i o na n dt h es t r o n gi n t e r a c t i o n t h i st h e o r y c a ne x p l a i nt h ec o s m i cg e n e s i sa n de v o l u t i o n 、a n df i g u r eo u tt h ep r o b l e m so fm o d e r np h y s i c s i nt e r m so ft h ed i l a t o ns p a c e t i m e si ns t r i n gt h e o r y , i th a sq u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n tp r o p e r t i e sf r o mt h o s ea p p e a r i n gi ng e n e r a lr e l a t i v i t yb e c a u s eo ft h ea p e a r a n c eo fd i l a t o n s ot h e r eh a v eb e e nm a n y i n v e s t i g a t i o n sc o n c e r n i n gt h es p a c e t i m e s o fd i l a t o nb l a c kh o l e b u tp e o p l eo n l yd i s c u s st h ee v o l u t i o no fp e r t u r b a t i o n si n t h es t a t i c ，s p h e r i c a l l ys y m m e t r i cb l a c kh o l eg e o m e t r yu pt ot h ep r e s e n tb e c a u s eo f t h ec o m p l e x i t y t h u s ，i ti sw o r t h w h i l et oi n v e s t i g a t et h ed e c a yo fs c a l a rf i e l d si n t h eb a c k g r o u n do fd i l a t o nb l a c kh o l eb e i n gt h es t a t i o n a r ya x i s y m m e t r i cs o l u t i o no f t h es o - c a l l e dl o w - e n e r g ys t r i n gt h e o r y w ew i l ls t u d yt h es c a l a rl a t e - t i m et a i l sa n d q u a s i n o r m a lm o d e s ( q n m s ) i n t h i sc o n s i d e r e db l a c kh o l e w ei n v e s t i g a t ea n a l y t i c a l l yt h el a t e - t i m et a i l so fm a s s l e s sa n dm a s s i v es c a l a r f i e l d si nas t a t i o n a r ya x i s y m m e t r i ce i n s t e i n - m a x w e l ld i l a t o n a x i o n ( e m d a ) b l a c k h o l eg e o m e t r yu s i n gt h eb l a c k - h o l eg r e e n sf u n c t i o nw i t ht h es p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n m e t h o d i ti ss h o w nt h a tt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fm a s s l e e sp e r t u r b a t i o n si s d o m i n a t e db yt h ei n v e r s ep o t h e r - l a wd e c a y i n gt a l lt - ( 2 2 + 3 ) a n dt h ei n t e r m e d i a t e a s y m p t o t i cb e h a v i o r o fm a s s i v e p e r t u r b a t i o n s i sd o m i n a t e d b y t h e o s c i l l a t o r yi n v e r s e p o w e r - l a wd e c a y i n gt a i lt - ( + 3 “s i n ( u t ) b u ta ta s y m p t o t i c a l l yl a t et i m e sb yt h e a s y m p t o t i ct a i lt 5 ，6s i n ( p t 、w h i c hm a y b eaq u i t eg e n e r a lf e a t u r ef o rt h ee v o l u t i o n o fm a s s i v es c a l a rf i e l d si na n yf o u r - d i m e n s i o n a la s y m p t o t i c a l l yf l a tr o t a t i n gb l a c k h o l eg e o m e t r y w ea l s oc a l c u l a t e dn u m e r i c a l l yt h em a s s l e s ss c a l a rq n m so ft h i se m d ab l a c k h o l eu s i n gt h ec o n t i n u e df r a c t i o nm e t h o df i r s tp r o p o s e db yl c a v e r w eo b t a i nt h e s l o w l yd a m p e dq n m s ( f u n d a m e n t a lq u a s i n o r m a lf r e q u e n c i e s ) a n ds t u d yt h ep e e u l i a rb e h a v i o r so ft h e m t h em a i nc o n c l u s i o n sa n dt h e i rp h y s i c a li m p l i c a t i o n sa r e t h ef o l l o w i n g ：( 1 ) t h em a s s l e s ss c a l a rf u n d a m e n t a lq u a s i n o r m a lf r e q u e n c i e so ft h e e m d ab l a c kh o l ea r ea f f e c t e db yt h ed i l a t o np a r a m e t e rd ，t h er o t a t i o n a lp a r a m e t e r a ，t h em u l t i p l em o m e n tz a n dt h ea z i m u t h a ln u m b e rm ( 2 ) i f a ，fa n dm a r ef i x e d ， i i i t h er e a lp a r to ft h ef u n d a m e n t a lq u a s i n o r m a lf r e q u e n c y 咖i n c r e a s e sa sd d e c r e a s e s ， b u tt h ei m a g i n a r yp a r t0 3 1d e c r e a s e sf i r s ta n dt h e ni n c r e a s e s i ti ss h o w nt h a tt h e i n t e r m e d i a t ed e c a yo ft h em a s s l e s ss c a l a rp e r t u r b a t i o na r o u n dt h ee m d ab l a c kh o l e d e p e n d s 0 nt h ed i l a t o np a r a m e t e rd t h e o s c i l l a t i n gf r e q u e n c yo ft h i sd e c a yw h i c h c o r r e s p o n d st oo ) ri n c r e a s e sa sd d e c r e a s e s 、a n dt h ea m p l i t u d ep e ru n i tt i m e 一一 w h i c hd e p e n d so nu jd e c r e a s e sf i r s ta n dt h e ni n c r e a s e s ( 3 ) i fda n d2a r ef i x e d ，咖 a n d0 ) 1g e n e r a l l yi n c r e a s e sa soi n c r e a s e sf o rt h ec a 8 et f t 0 ，b u tf o rt h ec a s em 0 ， u rd e c r e a s e sw h i l e5 d id e c r e a s e sf i r s ta n dt h e ni n c r e a s e s ( 4 ) i fda n doa r ef i x e d ， 咖a n dh 9 1g e n e r a l l yi n c r e a s e sa sj i n c r e a s e se x c e p tf o rs o m es p e c i a lc a s e ( 5 ) i fd a n dfa r ef i x e d ，t h e s eq n m 8a r ei n d e p e n d e n to fmf o rt h es t a t i cb l a c kh o l ea = 0 ， b u t 咖a n d i n c r e a s ea s 仇i n c r e a s e sf o rt h es t a t i o n a r yb l a c kh o l e 口0 w ea l s o n o t et h a tt h e s eq n m sh a v et h es a i t l ev a l u e sw i t ho t h e ra u t h o r sa tt h es c h w a r z s c h i l d a n dk e r rl i m i t k e yw o r d s ：l a t e - t i m et a i l ，t h es t a t i o n a r ya x i s y m m e t r i ce i n s t e i n - m a x w e l l d i l a t o n - a x i o n ( e m d a ) b l a c kh o l e ，t h eb l a c k - h o l eg r e e n sf u n c t i o nw i t ht h es p e c - t r a ld e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，t h ei n v e r s ep o w e r - l a wd e c a y i n g t a i l ，q u a s i n o r m a lm o d e s ( q n m s ) ，t h ec o n t i n u e df r a c t i o nm e t h o d i v 第一章绪论 爱因斯坦广义相对论的提出，使人们对于时空和引力有了一个全新 的认识，引力场的研究获得前所未有的发展，新的观念也不断地涌现当 人们研究质量超过中子星临界质量( 质量上限) 的恒星时，发现简并中子 气体产生的简并压无法抵抗强大的引力而使得恒星继续收缩于是，广 义相对论预言这一类大质量恒星演化的归宿是一类特殊的天体一黑洞 之所以称之为黑洞，是因为早期人们认为它只吸收而不辐射( 这正是黑 的定义) ，好像空间出现了一个有半径的洞，任何物质可以掉进去但出不 来1 9 7 4 年，霍金在考虑量子效应的情况下证明黑嗣可以辐射，解决了 广义相对论和热力学之间的矛盾，并且揭示了量子论、热力学和引力理 论( 广义相对论) 之间的内在联系【1 1 此后，有关黑洞的研究愈加兴盛 起来 但是，随着现代物理学尤其是黑洞物理学的不断发展以及人们认识 的不断深入，广义相对论凸现出比如奇性和引力量子化等困难这里， 我们重点介绍一下引力量子化困难众所周知，自从e i n s t e i n 建立起广义 相对论以来，人们试图对引力场量子化然而，广义相对论与量子理论 这两门学科存在冲突：广义相对论认为一切参照系都是平权的，且时空 是一不可分割的整体；量子理论中则要用固定的时空背景，且把时间和 空间分开这种根本性的区别使得人们在引力场量子化研究中遇到了极 大困难但是，近年来兴起的超弦理论使人们看到了曙光，学者们认为 超弦理论将是克服这些问题的最佳候选理论 研究表明，从弦的低能有效场理论得到的四维伸缩子时空解有着与 一般爱因斯坦引力场理论很不一样的性质当时空曲率足够小，广义相 对论中的真空解可以看作是弦理论中的近似解在奇点附近，时空曲率 变得很大，爱因斯坦场方程的解不再能看作弦理论的近似解比如对弦 理论中的爱因斯坦一麦克斯韦方程来说，有一项伸缩子与俨相耦合， 其每一个毋，非零的解必定含有一个不是常数的伸缩子因此，广义相 对论中描述带荷黑洞的r e i s s n e r - n o r d s t r s m ( r n ) 解不再是弦理论中的近似 解，这就使得人们极为关注有关伸缩子时空的研究 另一方面，r e g g e 和w h e e l e r 开创了对黑洞外部扰动场的理论研究 2 众所周知，当黑洞受到一扰动，其周围的时空就会“响铃”，这一过 程的演化可分为如下三个阶段：( 1 ) 由扰动引起的初始波动，此时的波 动与初始扰动相关；( 2 ) 衰减振动阶段，其震荡频率与衰减时间完全 由天体参数( 如质量、角动量、电荷或磁荷) 确定，且与初始扰动无关； ( 3 ) 最后阶段是由于引力散射引起的幂律拖尾现象第二阶段，即衰 减振动阶段，可以精确地用似正模( q n m s ) 来描写似正模是引力场中 扰动方程满足特定边界条件的一组解，由于以下三个原因，似正模已成 为当前国际物理学极为关注的热点课题：( 1 ) 似正模是一种与初始扰 动源无关而只与天体本身参量( 质量、角动量、电荷或磁荷) 相关衰减振 动，被称为是黑洞或致密天体的“足迹”或“指纹”，因此可以用于探测 黑洞、中子星等致密天体的质量、角动量和电荷或磁荷等，人们预期具 有这种振荡模的辐射可望在几年后的引力波实验中观测到；( 2 ) 具有大 虚部似正模频率的实部等于圈量子引力理论中的b a r b e r i - i m m i r z i 参数 在圈量子理论中为了得到正确的熵而人为地引入的一参量，从而似正模 与圈量子引力、黑洞量子熵等建立起了密切的联系；( 3 ) 由于在渐近 a d s 时空中的黑洞可对应于共形场中的热态，黑洞的扰动对应于该热态 的扰动，由此我们可得到强耦合共形场的热态时标，而在共形场理论中 要计算此时标是极其困难的因此，黑洞的似正模还可用于验证超弦理 论提出的a d s c f t ，d s c f t 对应性 近年来，越来越多的学者致力于用扰动理论对从弦理论得到的伸缩 子时空进行研究，如m o d e r 8 k 和r o g a t k o 等但是，他们研究的黑洞都是 静态的，没有任何人研究旋转伸缩子时空中扰动场的演化这正是促使我 们研究旋转的e m d a 时空中标量扰动场演化的原因通过研究，我们发 现旋转伸缩子黑洞有着与一般黑洞不一样的性质，即它的伸缩子参数d 会影响扰动场的中期衰减但不会影响晚期幂律拖尾：对于扰动场的中期 衰减行为，在旋转参数a 、多极矩z 和磁量子数m 相同的情况下，e m d a 时空中无质量标量似正模基频的实部随着d 的减小而增大，但是虚部总 会有一个先减小后增大的过程；对于扰动场的晚期衰减行为，无质量标 量扰动场的晚期拖尾将由负幂律拖尾西一t - ( 。l + 。) 主导，有质量标量扰动 场在中晚期p ( m d ) 彬i i 阻( m d ) 】2 的衰减行为由振荡负幂律拖 2 尾西t - ( r + 3 2 ) s i n ( # t ) 主导，在极晚期s t 1 吣( m d ) 1 2 则由一种衰减更 缓慢的振荡负幂律拖尾垂一t - 5 6s i n ( u t ) 主导，这些晚期衰减行为都与伸 缩子参数d 无关但是也存在着共同的地方，即扰动场极晚期的振荡负 幂律拖尾垂一t - 5 6s i n ( # t ) 与其它时空背景中的完全一致，这种晚期衰减 行为适用于标量扰动场在任意四维渐近旋转平直时空背景中极晚期的演 化衰减，具有一般性这一点得到了国外专家b u r k o 和k h a n n a 的认同 他们不仅引用了我们的结果，还将我们及其前人的结论进行了推广以 上结论将会在第四章中详细地表述，在此不再一一给出。当然，这些研 究依然不够完全，例如只讨论了标量扰动场的演化情况等等，对其它物 质场的问题将在我们以后工作中继续研究 本文的结构如下：第二章将回顾黑洞扰动场理论的源起和发展，讨论 其研究对象以及到目前的研究成果和现状；第三章将介绍研究黑洞外扰 动物质场演化的方法，重点介绍研究晚期拖尾的格林函数法和求饵似正 模的连续分数法；第四章汕本文的核心，将讨论旋转的e m d a 时空中标 量扰动场的演化行为，并且详细给出我们所得的结论最后是全文的总 结以及本人对这一研究领域的一些展望 3 第二章黑洞扰动理论及其进展 2 0 世纪7 0 年代，w h e e l e r 的“黑洞无毛”理论阐明【3 ，4 】t 经典黑洞均 可由只有质量、电荷和角动量为物理参数的k e r r n e w m a n 度规来描述 如何去确定黑洞的以上三个参量? 或者说，如何从理论上给出对于天文 观测真正有用或者可依靠的数据来从事傻上证明黑洞的存在呢? 这一直 是摆在科学家和学者们面前的棘手问题。此时，人们想到了1 9 5 7 年r e g g e 和w h e e l e r 开创的对黑洞外部扰动场的理论研究1 2 】这一理论使人们看 到了曙光从此之后，利用扰动场理论来研究黑洞便成为物理学研究领 域内炙手可热的课题 本章第一节将回顾“黑洞无毛”理论及黑洞扰动理论的形成，第二节 将讨论黑洞扰动理论的研究对象，第三节将简要回顾扰动物质场衰减方 面研究的成果 2 1 理论形成 任何一种物理理论的建立都有其物理基础，或者能给出对某一物理 现象和物理问题的解释“黑洞无毛”理论及黑洞扰动理论的形成正是 如此 2 1 1“黑洞无毛”理论 我们知道，黑洞的形成至少存在如下三个过程【5 】5 ： 1 、恒星塌缩成白矮星，直接垮过中子星阶段而形成黑洞； 2 、白矮星塌缩成炙热的中子星，然后冷却塌缩成黑洞； 3 、先形成稳定的中子星，然后其慢慢吞噬周围的物质，等到本身质 量增加到塌缩临界点后形成黑洞 不管是其中的哪一个过程，物质均经过引力塌缩的过程时空强烈的 弯曲和超强的引力使得物质被撕碎，甚至连光线也不可能逃逸。这样，掉 入黑洞中的任何物质都失去了原来的本性，仅仅保留质量、电荷和角动 量，而没有任何人可以区分具有相同质量、电荷和角动量的两个黑洞 因此，塌缩为黑洞的天体仅具有质量、电荷和角动量，即所谓的黑洞 “三根毛”，再无任何其它物理参量这就是。黑洞无毛”定理 2 1 2黑洞扰动理论 一般来说，黑洞扰动理论考虑的物质场为弱场，这种场足够的弱以 致于其能动张量对时空度规的影响可以忽略通常，我们仅考虑史瓦希 ( s c h w a r z s c h i l d ) 时空和科尔( k e r r ) 时空中的线性微扰这种研究对于完全 的非线性讨论也是大有裨益的，因为它本身就是非线性研究的有用近似 黑洞扰动场的理论研究要追溯到上世纪5 0 年代末期1 9 5 7 年，r e g g e 和w h e e l e r 发表了关于s c h w a r z s c h i l d 黑洞奇点稳定性研究的理论成果【2 】 他们当时讨论的焦点是；如果根据爱因斯坦场方程的线性描述演化，黑洞 的微小扰动是否将变得无法限制，如果这种微小扰动被无限放大，黑洞 显然与天体物理学的研究无关在他们的原始工作中，r e g g e 和w h e e l e r 直接从度规的扰动讨论出发，即引入： 鼬”= 9 秽9 “+ h ( 2 1 ) 这里1 1 ( 在某种程度上) 被认为是微小量这样，计算中的线性 项才是与讨论相关的以此出发，r e g g e 和w h e e l e r 得到了有效势主导下 s c h w a r z s c h i l d 时空中线性扰动的波动方程，即著名的r e g g e w h e e l e r 方程： 【焉州( r ) m ，小o ， ( 2 2 ) 其中：波函数 雪( r ，t ) ；咖( r ，u ) e 一“，( 2 3 ) 乌龟坐标 r 2 7 - i - 2 m l o g ( 萄订一1 ) + c o n s t a n t ， ( 2 4 ) 有效势 嫩r ) _ ( ，一半) 【掣+ 丁2 m ( 1 - s 2 ) ( 2 s ) 6 当然，取s = 士2 给出r e g g e 和w h e e l e r 得到的原始方程 在这篇开创性的文献之后，学者们逐渐开始了对黑洞扰动场的研究。 1 9 7 4 年，z e r i l l i 将r e g g e 和w h e e l e r 的方法拓展到带电( r e i s s n e r n o r d s t r s m ) 黑洞的情况【6 】6 但问题远未达到更复杂的情况，即旋转的k e r r 时空幸 运的是，t e u k o l s k y 于1 9 7 2 年利用n e w m a n - p e n r o s e 形式将k e r r 时空中的 场方程进行了分解，给出了旋转度规下的波动方程7 1 此后，关于各种 扰动物质场在不同黑洞背景中演化的研究便兴盛起来，而近二十年俨然 是黑洞扰动场研究的鼎盛时期 2 2 研究对象 图2 1 ：黑洞扰动理论研究对象示意图 如图( 2 1 ) 所示，黑洞扰动理论包括以下三个研究对象t 初始场源( t h e i n i t i a lf i e l d ) ，似正模( t h e q u a s i n o r m a lm o d e s - q n m s ) 和晚期拖尾或称幂律 拖尾( t h e l a t e - t i m et a i l 或称t h ep o w e r - l a wt a i l ) 其中初始扰动源即为所给 定的初始扰动物质场，可以分为标量场s = 0 、d i r a c 场s = 土 、电磁场 s = 士1 和引力场s = 土2 等等因此，我们不会加以详细讨论而似正模 7 和晚期拖尾因与其时空背景的性质有着紧密的联系，所以成为黑洞扰动 场理论研究的重点 2 2 1似正模 如图( 2 2 ) 和图( 2 3 ) 所示，黑洞似正模研究的是黑洞外部扰动场的中 期衰减行为似正模被认为是黑洞对外部扰动的响应，人们形象的将它 比喻成为“黑洞的特征声音”。这是由于似正模能给出黑洞三个参数即质 量、电荷和角动量的信息因此，一直以来学者们对似正模的研究就从 未间断过特别是近几年，由于空间引力波探测的升温和实验仪器精度 的提高，黑洞似正模的理论研究就变得更加迫切：人们希望理论上的结 论能够成为推动实验发展强大的动力从而最终了解神秘的黑洞如2 0 0 4 年，在美国的物理评论上发表有关黑洞似正模的研究论文就有2 0 余 篇。 我们知道，黑洞的似正模形式上可以表达为u = w n + i w z 正是由于频 率u 既含实部又含虚部，使得波函数既有振荡项又有衰减项，图( 2 3 ) 清晰 地描述了这种行为这与我们经典物理学中的频率只含实部而无虚部不 同，所以人们将黑洞扰动的响应频率称之为似正模h o d 研究s c h w a r z s c h i l d 时空中似正模时发现：u n = 赡l n 3 【8 1 综合波尔对应原理和黑洞热力学 第一定理，他获得了黑洞视界面积量子化的新信息虽然系数l n 3 能否 推广至其它任意黑洞背景中还未得到肯定，但这一所谓的h o d 假设仍然 使人们看到了黑洞量子化的曙光这是似正模研究如此重要的第二大原 因 同时，由于在渐近a d s 时空中的黑洞可对应于共形场中的热态，黑 洞的扰动对应于该热态的扰动，由此我们可得到强耦合共形场的热态时 标而在共形场理论中要计算此时标是极其困难的因此，黑洞的似正 模还可用于验证超弦理论提出的a d s c f t 对应性f 9 】，而a n t i - d es i t t e r 时 空中似正模的研究正好能给出这种对应关系【1 0 12 】这是似正模研究如 此炙手可热的第三大原因 因为本文重点讨论的是稳态轴对称爱因斯坦一麦克斯韦伸缩子( e m d a ) 时空中标量扰动场的晚期拖尾1 1 3 ，1 4 1 ( 见4 1 节) ，所以我们仅研究e m d a 8 图2 2 ：史瓦希( s c h w a r z s c h i l d ) 黑洞周围高斯引力波包的演 化示意图我们选取此高斯引力波包皿一e - ( 挚p ，其中； o r = 3 ，珈= 1 0 ， = t + n 是所谓的超前时间坐标 时空中无质量标量似正模的一些简单行为( 1 5 j ( 见4 2 节) 以后的工作将 在此基础上进一步研究各种扰动物质场在e m d a 时空中的演化，讨论伸 缩子参数和旋转参数的性质 2 2 2晚期拖尾 如图( 2 2 ) 和图( 2 3 ) 所示，黑洞的晚期拖尾，又称幂律拖尾，研究的 是黑洞外部扰动场的晚期衰减行为正是由于波函数在晚期的衰减行为 有如拖长的尾巴，故称为晚期拖尾而这种晚期拖尾，后来经过众多学 者证明，必将由时间的幂函数垆( o t 为小于零的常数) 主导，所以又称 幂律拖尾作为黑洞外部扰动场的又一大研究重点，从上世纪7 0 年代开 始这种幂律拖尾行为便引起了学者们的浓厚兴趣其原因在于晚期拖尾 9 鲁 a 图2 3 ：用对数函数表征的史瓦希( s c h w a r z s c h i l d ) 黑洞周围 高斯引力波包的演化示意图显然，此图清晰描述了演化中 期的似正模和晚期的幂律拖尾 也能给出黑洞三个参数即质量、电荷和角动量的某些信息本文将重点 讨论e m d a 时空中标量扰动场的晚期衰减行为，故在此不再作详细的叙 述 但是，在完成两篇论文 1 3 i1 4 j 后我们发现，仅仅讨论黑洞外部扰动场 的晚期拖尾显然是不够的只有将似正模和晚期拖尾的研究结合起来， 才能够更全面地了解黑洞的性质并给出真正有意义的信息这就促成了 我们对e m d a 标量似正模行为的一些简单讨论【1 5 】，但是这些讨论还远 远不够，遗留下来的问题将成为我们以后工作的重点 1 0 2 3 研究成果 从上世纪7 0 年代人们开始真正研究黑洞外部扰动物质场的衰减以 来，似正模和晚期拖尾的讨论一直是黑洞物理学研究的焦点，学者们做 了大量的工作【6 ，8 ，1 0 _ 6 0 】由于文章的篇幅问题及其似正模的复杂性，我 们将只对黑洞外部扰动物质场晚期幂律拖尾的研究作简要的回顾有关 似正模的回顾请参阅引文 1 8 】为方便起见，我们按不同时空进行分类 2 3 1s c h w a r z s c h i l d 时空 众所周知，史瓦希( s c h w a x z s c h i l d ) 解是众多黑洞解中最简单的情形， 描述的是静态无荷时空； o ，o ， d s 2 = 一( 1 一竺兰) 出2 + ( 1 一! 羔二) 一1 d r 2 + r 2 ( d e 2 + s i n 2 口d _ p 2 ) ( 2 6 ) rr 、 p r i c e 于1 9 7 2 年讨论了黑洞外部无质量标量扰动场的晚期衰减行为，得到 的结论是t 在类时无限远i + 处，初始静态多极子z 扰动场按负幂律函数 t - ( 2 f + 2 ) 衰减；在塌缩过程中形成的多极子l 扰动场按t - ( m + 。) 衰减，较之 前者迅速1 2 4 ，2 5 】这说明扰动场的晚期拖尾依赖于其初始条件这些结 论分别经l e a v e r 2 6 ，g u n d l a c h 2 8 ，2 9 和a n d e r s s o n 【3 1 】等人证实 当考察z e r i l l i 于1 9 7 0 年获得的偶宇称性引力扰动弯曲势能方程【6 1 】， 我们得到结论；当时间t 很大时，引力扰动场的解与标量场情况惊人的 一致，特别是当t 一时，引力多极扰动场( f 2 ) 在晚期按t - ( 。z + 2 ) 或者 t - ( 斟a ) 衰减并依赖于初始条件 2 0 0 1 年，k o y a m a 和t o m i m a t s u 讨论了s c h w a x z s c h i l d 时空中有质量标量 扰动场的晚期衰减行为阻1 他们指出：当时间t 很大并满足皿1 ( p m ) 2 即极晚期时，振荡负幂律拖尾圣一t - 5 es i ( p ) 将主导有质量标量扰动场 的晚期衰减，这种拖尾行为比任何其它晚期衰减行为都缓慢其中芦为 标量扰动场的质量，m 为黑洞的质量他们认为该衰减行为源于时空曲 率的共振逆散射这一结论被b u r k o 和k h a n n a 证实并加以推广5 6 1 最近，荆继良教授研究了s c h w a r z s c h i l d 时空中有质量d i r a c 扰动场的 晚期衰减行为【5 3 】如图( 2 4 ) 所示，他得到如下结论：( 1 ) 与有质量 标量场的振荡负幂律拖尾截然不同，d i r a c 场的晚期渐近行为将由无任 何振荡的拖尾形式主导；( 2 ) d i r a c 场的晚期拖尾不仅依赖于扰动场多 极子参量，也依赖于d i r a e 场的质量灿；( 3 ) d i r a e 场的晚期衰减明 显慢于标量场 2 3 2r e i s s n e r n o r d s t r 6 m 时空 我们来回顾荷电时空背景中扰动物质场晚期拖尾的研究成果众所 周知，质量为a 彳、电荷为q 的球对称r e i s s n e r n o r d a t r 6 m 黑洞可以用如下 度规描述： d s 2 = 一( 1 一坐+ 嬖) d t 2 + ( 1 一坐+ 霉) 一1 d r 2 + r 2 d f l 2 ，( 2 7 ) rr rr 其中：d r 2 = d 俨+ s i n 2 口却2 b i c a k 在研究r e i s s n e r - n o r d s t r s m 时空中无质量标量扰动场的晚期渐近 行为时发现 27 】：对于iqi m 情况，晚期拖尾被幂函数t - ( 。m ) 主导；而 当l q l = m 时，则为一u + 2 】g u n d l a c h 、p r i c e 和p u l l i n 等讨论了中性扰动 场沿类光无穷远和未来视界的晚期衰减行为，指出它们将分别由u - ( i + 2 ) 和v - ( f + 3 ) 主导这里的让= t r 称为出射e d d i n 9 1 c o n - f i l k e n s t e i n ( e d ) 坐 标， = t + r 称为入射e d 坐标【2 8 】 1 9 9 8 年前后，h o d 和p i r a n 等人对荷电时空背景中扰动物质场晚期衰 减行为作了较为详尽的讨论【3 3 3 6 】他们的主要结论如下：荷电时空背景 中无质量带电标量场主要按t - ( 2 斛2 ) 衰减，比中性标量场的t - 协+ 3 ) 衰减得 更缓慢( 这在于中性扰动场的衰减由时空曲率迭塞：面堂电扰动场的衰减 则由平直时空效应决定) ，其中常数p = 型型堕2 竺巡，标量场的电量 为e ，取le q i 1 时p = f ；有质量标量场的中晚期m r m i c # m ) 2 渐近行为由振荡负幂律拖尾m t - ( 1 + 砷8 i n ( p ) 主导，与背景电荷q 无关 ( 源于中晚期有质量场的渐近行为由平直时空效应决定) ，其中p 为标量 场的质量 2 0 0 1 年，k o y a m a 和t o m i m a t s u 同样讨论了r e i s s n e r n o r d s t r s m 时空中有 质量标量扰动场的极晚期衰减行为 4 3 j 他们指出；在极晚期p t i i ( # m ) 情况下，振荡负幂律拖尾壬一t - 5 6s i n ( ) 将主导有质量标量扰动场的晚 1 2 期衰减，这种拖尾行为比之前的中晚期拖尾衰减得更缓慢。 近期，荆继良教授研究了r e i s s n e r - n o r d s t r s m 时空中有质量d i r a c 扰动 场的晚期衰减行为【5 4 】他指出：有质量d i r a c 场的晚期渐近行为将由无 任何振荡的衰减形式主导；这一拖尾不仅依赖于扰动场多极子参量i 和 d i r a c 场的质量肛，也依赖于扰动场的自旋参数s 和电荷e 以及黑洞的电 荷q ，s e q 0 则延缓其衰减( 如图 ( 2 5 ) 所示) 他同时指出；在极晚期f n 1 似m ) 。情况下，振荡负幂律拖 尾西一t - 5 1 es i n ( # t ) 仍将主导有质量d i r a c 场扰动场的晚期衰减，这种拖尾 行为与以上参量无关这或多或少暗示了d i r a c 场与整数自旋场即玻色场 的共性 2 3 3k e r r 时空 一直以来，对旋转时空尤其是k e r r 时空各种性质的讨论都占有极其 重要的地位，k e r r 时空中扰动物质场晚期拖尾的研究也是如此 3 7 - 3 9 ，4 2 ， 4 9 ，5 2 ，5 5 57 】我们知道，如取m 为黑洞的质量而n = 击为单位质量角动 量，k e r r 度规可表达为： d s 2 ：1 一半1d t 2 + 下4 m a r s i n 2 8 删妒一要d r 2 o1j “ 一z d 0 2 一s i n 2 6r + a 2 + 下2 m a 2 r s i n u 0 1 如2 ， ( 2 8 ) 厶 其中#e = r 2 + 0 2 c o s 2 扫，a = r 2 2 m r + a 2 1 9 9 8 年，h o d 讨论了k e r r 时空中标量场s = 0 、中微子场s = 士 、 电磁场s = 士1 和引力场s = 4 - 2 等无质量扰动场的晚期演化| 3 7 1 他的 结论是：自旋为；1 整数倍的无质量扰动场的晚期拖尾在类时无穷远处将 由t - ( 2 l + 3 ) 主导，在类光无穷远处将由u - ( 1 - s + 2 ) 主导，在沿黑洞视界外则 由v - ( 蚪3 ) 主导；以上三种渐近行为，除了类光无穷远处的拖尾与自旋参 量s 有关外，其他两种情况均与之无关；三种情况下的拖尾形式均与黑 洞的旋转参数。无关他的结论似乎暗示了旋转时空与静态时空某些相 同的性质对于该极晚期拖尾t n 中的指数常数n ，之后有众多文献予以 讨论【3 8 ，3 9 ，4 2 ，4 9 ，5 2 ，5 5 】，但是至今仍然存在争论 4 2 ，4 9 ，5 2 ，5 5 ，57 1 】3 而对于有质量标量场的晚期衰减行为，b u r k o 和k h a n n a 于2 0 0 4 年研 究了其极晚期情况，得出的结论与静态时空情形惊人的一致一振荡负幂 律拖尾t - r , 6 s i n c p t ) 【5 6 1 他们的结论正是在以往所有工作并推广了我们的 结论【1 3 】的基础上得出的因此，他们指出：在所有的四维渐近平直时空 中，有质量标量场的极晚期拖尾形式具有普遍性 2 3 4伸缩子( d i l a t o n ) 时空 据我所知，仅有m o d e r s k i 和r o g a t k o 对伸缩子时空中扰动场的晚期拖 尾进行了讨论 4 5 ，4 6 他们研究的是带电荷q 的伸缩子时空： d s 2 _ - ( t 一半m 2 ”一半广n r 一等) 艘 ( 2 。) 利用解析和数值的方法，m o d e r s k i 和r o g a t k o 得到如下结论：在以上 给定的伸缩子时空中，带电无质量标量场的晚期拖尾由t - ( 2 f + t ) 主导，明 显慢于不带电情况；有质量情况的则与其它静态时空中的一致，即中晚 期拖尾由l - ( h s 2 ) s i n ( p t ) 主导而极晚期时为l - 5 6s i n ( # l ) ；这三种衰减行为 均与背景电荷0 无关 最近，我们研究了旋转伸缩子时空中标量场的晚期衰减行为【1 3 ，14 】 本文将在第四章中给出详细讨论和结论 2 3 5整体单极子时空 作为其它时空的代表，余洪伟教授研究了整体单极子时空中有质量 标量场的晚期拖尾行为【4 7 】我们知道