（原子与分子物理专业论文）基态重重子质量的qcd求和规则研究.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 f 在f n o - 。的极限下，重夸克系统的自旋一味对称性在重味物理中起着重要的 作用。h q e t 显式的处理这种对称性，是处理重味物理的合适的理论框架。 由于q c d 渐近自由性质，重重子质量谱的计算必须借助于非微扰技巧。q c d 求和规则是非微扰方法中的一种，可以用来解析计算重子质量。q c d 求和规则从 关联函数出发，假设在从微扰向非微扰区域转移过程中，禁闭效应可以用o p e 级数 修正表征。只要可以获得关联函数的强子表示，q c d 求和规则就可以通过强子参 数来表示理论结果，这样就可以得到感兴趣的量。) ，一 本文在重夸克有效理论的框架内利用q o d 求和规则计算了到a q c d o 阶a o 和o 重子的质量。比较了对此问题的两种不同处理途径。对两种不同形式的流的 结果进行了讨论。通过计算得到，a o 重子的有效质量是 = 0 8 士0 1g e v ，e o 重子的有效质量是五= 1 0 0 1g e v 。直接方法的结果是：对于a o 重子，在嵌入流 贫时有结果一a l = 0 4 o 1 g e v 2 ；在嵌入流劈时有结果一a 1 = 0 5 0 1 g e v 2 。 对于口重子，在嵌入流j ? 时有结果一a l = 0 7 士0 2 g e v 2 ；在嵌入流碍时有 结果一a l = 1 0 0 2 g e v 2 。对于协变方法，两种流给出同样的结果：对于a o 重 子，一a 1 = - ( o 0 8 土o 0 2 ) g e v 2 ：对于o 重子，一a 1 = o 1 1 士o 0 3 g e v 2 。自旋 1 2 和3 2 双重态的分裂是刍2 一各! o 3 5 - t - o 0 3 g e v 2 ，这与目前的实验数据在 误差限内吻合。 关键词：重夸克有效理论、 质量。 7 q c d 求和规贝l j 、基态重子 第1 i i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t i nt h em q l i m i t t h es p i n f l a v o rs y m m e t r yo ft h eh e a v yq u a r ks y s t e mp l a y s a ni m p o r t a n tr o l ei nt h eh e a v yf l a v o rp h y s i c s h q e t ( h e a v yq u a r ke f f e c t i v et h e o r y ) m a k e st h i ss y m m e t r ye x p l i c i ta n dp r o v e st ob ead e s i r a b l ef r a m e w o r kt op r e d i c tt h e p r o p e r t i e so fh e a v yh a d r o n s d u et ot h ea s y m p t o t i cf r e e d o mo fq c d ，t h ed e t e r m i n a t i o no fh e a v yb a r y o nm a s s s p e c t r o s c o p ym u s tr e s o r tt on o n - p e r t u r b a t i v et e c h n i q u e q c ds u m r u l ei so n eo ft h o s e a p p r o a c h e sd e s i g n e df o ra n a l y t i cc a l c u l a t i o na n ds u i t a b l ef o rt h ep r e c e d i n ga i m t h e s t a r t i n gp o i n to fq c d s u mr u l ei st h es oc a l l e dc o r r e l a t i o nf u n c t i o nt h em a i n a s s u m p t i o no fq c ds u mr u l ei st h a t ，a tt h et r a n s i t i o nf r o mp e r t u r b a t i v et on o n p e r t u r b a t i v e r e g i m e ，t h ec o n f i n e m e n te f f e c tc a nb ed e s c r i b e da st h ep o w e rc o r r e c t i o n si nt h eo p e 0 n e eo b t a i n e dt h eh a d r o n i cr e p r e s e n t a t i o no ft h ec o r r e l a t i o nf u n e t i o ni nc o n s i d e r a t i o n ， q c d s u mr u l ea l l o w so n et oe x p r e s st h et h e o r e t i c a lc a l c u l a t i o nv i ah a d r o n i cp a r a m e t e r s t h u so n ec a nd e r i v et h ei n t e r e s t e dq u a n t i t y i nt h i sp a p e rw eu s et h eq c ds u mr u l ea p p r o a c ht oc a l c u l a t et h em a s s e so f a o a n d ob a r y o n st ot h ea q c d m qo r d e rw i t h i nt h ef r a m e w o r ko fh q e t w ec o m p a r et h e d i r e c ta p p r o a c ha n dt h ec o v a r i a n ta p p r o a c ht ot h i sp r o b l e m t w of o r m so fc u r r e n t sh a v e b e e na d o p t e di no u rc a l c u l a t i o na n dt h e i re f f e c t so nt h er e s u l t sa r e d i s c u s s e d n u m e r i c a i r e s u l t so b t a i n e di nb o t hd i r e c ta n dc o v a r i a n ta p p r o a c h e sa r ep r e s e n t e d t h ee f f e c t i v e m a s so b t a i n e di nt h i sp a p e ri sa = 0 8 土0 ，1g e vf o ra q b a r y o na n d 五= 1 0 士0 1g e v f o r 0b a r y o n t h ek i n e t i ce n e r g yf o ra qb a r y o ni s a l = 0 4 士o 1g e v 2w i t h i n t e r p o l a t i n gc u r r e n t 片a n d a 1 = o 5 士o 1g e v 2w i t hi n t e r p o l a t i n gc u r r e n t 定i n d i r e c ta p p r o a c h t h ek i n e t i ce n e r g yf o r 0 b a r y o ni s a l = 0 7 士0 2g e v 2w i t h i n t e r p o l a t i n gc u r r e n tj ；a n d a 1 = 1 0 士0 2g e v 2w i t hi n t e r p o l a t i n gc u r r e n t 龙i n d i r e c ta p p r o a c h i nc o v a r i a n ta p p r o a c h ，b o t hc u r r e n t sg i v et h es a m e r e s u l t ，i e ，f o ra 0 b a r y o n a l = 一( o 0 8 4 - o0 2 ) g e v 2a n df o r ob a r y o n a i = o 1 i4 - o 0 3g e v 2 t h e s p l i t t i n gb e t w e e ns p i n1 2a n d3 2d o u b l e t sd e r i v e df r o mo u rc a l c u l a t i o ni s 冬2 一毛竺 0 3 5 士0 0 3g e v 2w h i c hi si ng o o da g r e e m e n tw i t ht h ee x p e r i m e n t k e yw o r d s ：h e a v yq u a r ke f f e c t i v et h e o r y q c d s u mr u l e g r o u n d s t a t eb a r y o nm a s s 第1 i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章重夸克有效理论( h q e t ) n 有效理论是理论物理学中的一个重要工具。理由很简单：对于物理问题的理 解，考虑完全的理论往往是不必要的，在一个恰当的层次上来考虑问题反而会更为 行之有效。h q e t 是重夸克与轻自由度之间通过软胶子交换而形成的相互作用的一 个简单描述。重夸克质量m o 是高能标度，a o g d 是所感兴趣的重子物理的标度。 由于需要考虑包含重夸克重子的衰变性质，在有效理论中完全去除重夸克是不可能 的。可行的是把完全理论中旋量的小分量( 描述质壳附近的涨落) 积分掉。 1 1有效拉格朗日 构建低能有效理论的出发点是以下事实：束缚在重子中的重夸克本质上几乎是 以重子速度 在移动，并且基本上是在质壳上的。它的动量可以写为p ( = m o ”+ k ，其中k 相对于m q v 很小。重夸克与轻自由度之间的相互作用对剩余动量有影 响x k a o c d ，但是对于重夸克速度的影响在极限a q - c d m q 斗。下消失。鉴于这 事实，引进大分量和小分量场h 。和上， 。( z ) = e x p ( i m q v z ) f l + q ( z ) ，月j ( z ) = e x p ( i m q v z ) 尸：一q ( z ) ( 1 1 ) 使得 q ( x ) = e x p ( 一i m q v z ) 【九。( 茁) + 巩( 。) 】 由于投影算子马= = ；( 1 土) 的作用，新场满足= h 。和风= 一凰。在静止系 中，对应于q 的两个上分量，而风则对应下分量。h 。湮灭一个速度为v 的重 夸克，王产生个速度为 的反重夸克。如果重夸克是在质壳上，场风就不会出 现。如果要处理包含反重夸克的重子，速度的符号就要改变。同样也可以定义大小 分量场 i ( $ ) = e x p ( - i m q v z ) p _ q ( x ) ，。h f ( z ) = e x p ( 一i m q v 茁) ，i + q ( z )( 1 2 ) 使得 q ( x ) = e x p ( i m q v 。) i ( 。) + ，玎( 。) 】 通过在夸克的有效拉格朗日中作代换v _ 一v 和h 。_ + i 就可以得到反夸克的有效 拉格朗日。q c d 拉格朗日中包含重夸克的部分 幺b = q ( z ) ( 舻一”1 q ) q ( 。) 第1 页 里堕型兰壑查奎兰丝堑竺堕兰堡垒奎 可以用新场( 1 1 ) 表不为 殇：五。i u d h 。一或( i u d + 2 m q ) 凰+ k 妒上风+ 鼠矽 ( 13 ) 其中， d i = d “一 ”u d 垂直于重夸克速度，”d = 0 。在静止系中，d i = ( 0 ，d ) 只包含协变导数的空 间分量。在( 13 ) 中，h 。描述无质量自由度，凰对应于两倍重夸克质量的涨 落。从经典的角度考虑，代表重自由度的场可以通过运动方程消除。把( 1 1 ) 带入 ( 妒一m o ) q = o 给出 印+ ( 妒一2 m q i i i - i = 0 ( 14 ) 两边同时乘p 士导出方程 一i v d h 。= 渺1 风，( i v d + 2 m q ) - = 妒l ( 1 5 ) 由第二个方程可以解出 风= ( i v d + 2 m 。一。e ) 1 妒i k ( 1 6 ) 可以看出小分量场凰确实是1 m o 的量级。把这个解带入第一个方程，就可以得 到大分量的运动方程。容易看出，所得到的运动方程可以由有效拉格朗日 。铭，= 无。如d h 。+ 五。i 矽l ( i v d + 2 m q i e ) 一1 妒1 p ( 1 7 ) 得到。这就是h q e t 的拉格朗日。 由于( 1 1 ) 中的相因子，有效重夸克场的z 依赖是很弱的。也就是说，h 。的 傅立叶变换只含有较小的剩余动量k 。微分作用到h 。上只给出k 的指数形式，因而 远小于m o 。这就允许在有效拉格朗日( 1 7 ) 中对i d m q 进行展开，得到 踟= h , i v d ”志圳d2 彘h a a o g * 4 h , + 0 ( 1 m ) ( 1 舟) 其中， i g g 。口= i 9 咒g ：4 = 【i d 。，i d 。】 为胶子场强张量。由于h 。含有投影算子尸+ ，需要用到等式 p + 妒i 舻i p + = p + ( 国上) 2 + ；9 口g 。4 i f + 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 两个1 m q 阶算子的物理意义在静止系中可以看得很清楚： 。= 壶m 帆) 2 g _ 丽1 ) 2 ( 1 9 ) 是重夸克离壳剩余运动所导致的动能的协变规范形式。第二个算子是p a u l i 项的非 阿贝尔类比，描述重夸克自旋与胶子场的相互作用： 。一。赤如a 矿”一老嫡b 成 ( 1 1 0 ) 这里，s 是自旋算予s = 矿, - 。，b ：= _ - 1 。i j k g j 是胶子场的色磁分量。这种色 磁“精细结构”是相对论效应，是重夸克自旋对称性的起源。 1 21 m q 展开 在不考虑辐射修正的情况下，( 1 7 ) 定义h q e t 拉格朗日的算符乘积展开为一一 系列局域、高维算子与1 m q 幂次的乘积。矾的形式( 1 6 ) 可以用来得到相似的 完全重夸克场q 的展开 q ( x ) = e x p ( - i m 妒z ) ( 1 + 矿再丢i 轨) z ) 一p ( - - i m q v x ) ( 1 + + ) 州z ) 1 1 ) 由此出发，就可以展开任何h q e t 中的含有重夸克场的算子( 树图近似) 。例如 由一重一轻夸克构成的矢量流= 咖i q 可以表示为 k ( z ) = e x p ( 一i m q v z ) 口( z ) ( 1 + 妒i 2 m q + ) 风( z )( 1 1 2 ) 矢量流的矩阵元可以用形状因子来表征。采用有效理论的目的是使形状因子对r n q 的依赖明显显示出来。 考虑k ( o ) 在真空和重介子m ( v ) 之间的矩阵元 ( 0ikim ( ) ) = ( 0l 孕h 。im ( u ) ) + ( 1 2 , n q ) d ( o ，。) 对于有相互作用的情况，数函数g ( o ) ，_ 0 时仍然有标度行为 c k ( z ) 。一_ + oz 一“，a 。三d ( a ) + d ( b ) d ( o 。)( 21 0 ) 只是算符的维数不再是简单维数，它们变得反常了。尽管如此，仍有一些算符维数 维持简单维数不变，包括：单位算符和产生理论对称性的算符，例如，电磁流扩 或能量动量张量t u ”( l o r e n t z 不变性导致的) 。对于，j o 对全空间的积分得到 电荷( 无量纲) ，所以d ( j o ) = 3 ，由l o r e n t z 不变性，明显d f ) = 3 。同样的， 由动量是l 维的，可以得到d ( t p ”) = 4 。 算符乘积展开的应用很广泛。在q c d 求和规则中主要是用它来展开格林函数。 考虑一般的两个流的时序积 i e 睁。t j r ( z ) 舟( o ) _ 凹+ 碟( q ) o 。 ( 21 1 ) j n 其中w i l s o n 系数g 可以逐阶微扰计算。算符0 。可以用它们的简单维数来分类。 由于所考虑的格林函数是时序积的真空平均，需要加以考虑的是自旋为零的算符， 如 i ，d = 0 ， o 。= m 驰，d = 4 ， o a = g ：，d = 4 ， o r = q f q q r q ，d = 6 ， o ，= m 口。丁a a q ”p a ，d = 6 ， o ，= 厶6 c g ：，g ：7 g 缸 ，d = 6 ， e t c 5 2 2 色散关系【4 】 色散关系的精神可以由光学中的k r a m e r s k r s n i g 关系看的很清楚。k r a m e r s k r s n i g 关系将固定频率u 的光在原子上的向前散射振幅实部表示为所有频率的光在 原子上的吸收截面的一个积分。用宏观的术语来讲，即这些原子构成的介质的折射 率的实部由其虚部对所有频率的积分给出。这种关系是通过向前散射振幅在u 复平 面的上半平面是解析的这一数学性质导出的。这个性质的物理基础是电磁信号不能 以超过光速的速度传播。 第1 3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 为确定起见，考虑单色波 a 。( w ) e ( 。) 沿z 轴传播并投射n - 个散射中心上。沿x 轴的向前散射波通过向前散射振幅 a s c ( u ) = ，( u ) 。( u ) 与入射波线性的相联系，并渐近地成为 a s c ( z ，t ) z 赢，。( u ) l = 叠加不同的波以构成一个一般的波包，可以将入射波与向前散射波写为 a 。( z ，t ) = d u7 n ：。( u ，) e 1 “，( 1 ( 2 1 2 ) 眦，啦赢；仁幽t a s c ( u ，) e 却”叫 ( 2 1 3 ) 假定入射波包( 2 1 2 ) 代表一个当x t 时为零的信号。这一物理条件意味这给 f o u r i e r 振幅一个数学条件 ( 沪去o ) e 粕。 ( 2 1 4 ) 其中积分上限来自当x t 时a i 。为零的条件。因为对于u u + i 川积分 ( 川川) = 去0 ) e 嘲叫圳叫( 2 1 5 ) 是绝对收敛的，因此a 。可以解析延拓到复u 平面的上半平面。因果性的要求是 a 。( z ，t ) = 0 ，x t 即，没有信号传播到z t 而超过入射波前。用同样的论证，通过( 2 1 3 ) 我们可以 得到a i n ) ，) 也可以解析延拓到上半平面。于是，) 在上半平面解析且对于在 上半平面上任一z = u + i 和积分回路c 有c a u c h y 关系 化) = 刍z 喾( z 1 6 ) 让z 从上半平面趋于实数值u ，得到 似) = 。臻m 帐) = 丽1p 仁等掣+ ；m ) + 互1 魄 ( 2 ，7 ) 第1 4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 其中pr 指沿实轴由一。到。的主值积分。绕极点u 7 = w 的半圆给出第二项，来 自无穷半圆的贡献是复量= c o o + i c 7 。式( 2 1 7 ) 的实部及虚部分别是 兄e m ) = _ 1 。一d w l m f ( w ) 。+ ( 2 1 8 ) ，m ，) = 一；1 _ p 上二警+ 吒 ( z ，。) 方程( 2 1 8 ) 是 似) _ 。t i m + f ( w + i e ) = l i ml f ”，竽拦+ ( 2 2 。) 的实部而且是色散关系更普遍的有用形式。 如果当u _ 0 时，) 不趋于零，则来自o 。处半圆的贡献不是零。它可以 通过作减除而去掉。不是用，) 而是用振幅，) 加来构造c a u c h y 关系( 2 1 7 ) ： 仅有的差别是厂( u ) 加在u = 0 有一额外的极点，但在处有较好的行为。如果当 u _ 0 ( 3 时，( u ) 不超过一个常数，则代替( 2 1 8 ) 有 了r e f ( w ) = 掣+ 扣o 一0 。鬻等 ( 2 z - ) 叫u7 r、u l u 一uj 这是一次减除的色散关系。如果作更强的收敛假定，即当u _ 0 0 时，) - - + 0 ，又 可以得到( 2 1 8 ) 的无减除形式，这时g 。= 0 。 不管是哪一种形式，色散关系都可以通过虚部的知识去计算完全的散射振幅， 如果需要减除，则还要知道其在u = 0 处的值( 如果需要更多的减除，还要知道 u = 0 处，) 的导数值) 。得到这种好处的代价是：为了计算任意频率处的完全散 射振幅，需要知道所有频率的振幅的虚部。实际上，在目前的情况下这几乎不是一 个缺点，因为正频率u 向前散射振幅的虚部与该频率光的吸收截面按光学定理有下 式联系 i m f ( w ) = 筹( u ) ， “j 0 ( 22 2 ) 而且，由( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 可以看出入射波以及散射波的实数性要求是 a i 。( 一u ) = n 氯( u ) ，( 一u ) = ，+ ( u ) 因而 i r a f ( 一u ) = - i m f ( w ) 因此我们可以从色散积分中去掉负频u 的积分，色散积分只需要考虑正频谱： 脚( 班；p z 。嵩州( u ，) ( 2 。3 ) 第1 5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 茑 r e f ( w 、：r e f ( o 、+ 等pi i ) =) + = p 嵩2 州( u )u f u7 一叫2 1 。、“7 f 2 2 4 1 这样，应用光学定理( 22 2 ) ，就可以得到一个确定的预言，而这只是非常一般的 根据光信号传递的因果性以及通过光学定理表达的散射过程中几率的守恒性( 幺l f 性) 。原子介质中光的相干散射的实部，即折射率的实部，可以通过色散关系由测 量或计算得到的的描写介质中光吸收的较简单量来算得。这种关系 叫( 沪娜) + 杀p z 。茄 ( 2 2 5 ) 就是原来的k r a m e r s k r s n i g 关系。一般色散关系都紧密遵循k r a m e r s k r s n i g 关系 的做法。 2 3q c d 求和规则 1 9 7 9 年，s h i f m a n ，v a i n s h t e i n 和z a k h a r o v 提出了一种动力学的、基于q c d 的计算强子性质的新方法。方法的基本精神就是研究小( 但又不是太小) 的欧氏距 离上、对应于给定流的关联函数，因为渐近自由允许在这样小的距离上进行微扰计 算，同时，非微扰效应可以作为算符乘积展开中的级数修正而加以考虑。q c d 的 非平凡真空结构导致非微扰效应。因而在计算中包含局域夸克胶子算符的真空平均 值是求和规则方法的重要成分。通过色散关系，可以把关联函数用谱密度表出，而 由于夸克一强子对偶性，谱密度又与物理中间态有关，这样就可以得到求和规则。 在h q e t 的框架内，求和规则的计算过程可以通过简单的例子看的很清楚。定 义基态赝标介子和矢量介子嵌入流j m = 钆f m q 为 r ”= 一- - 7 5 ；霎錾弈季 c z z 。， 如上所定义的流可以产生基态介子m ( v ) ，同时也可以产生任何具有正确量子数、并 且包含速度为 的重夸克q 的激发态。考虑关联函数 h ( u ) = i d 4 x e “。( oit 站( z ) ，j i f ( o ) ) 10 )( 2 2 7 ) 其中，u 三2 v k 是有效能量。在静止系v = ( 1 ，0 ) 中，关联函数描述产生一个由静 止重夸克和轻自由度组成的系统，并随后湮灭的过程。在一般的参照系中，两点关 联函数除了正实轴上的间断点之外，是u = 2 v k 的解析函数。这可以由q c d 中 相应的、在h q e t 中被h 。代替的q 的关联函数是外动量除p 2 m 刍割线外( 不 第1 6 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 考虑轻自由度质量) 的解析函数看出。由于重夸克场的重新定义，和p 之间有关 系p = r n q v + ，这样，在重夸克极限下， ( p 2 一m ) m q _ 2 v k = u ( 22 8 ) 在u 0 的远欧氏区域，渐近自由允许对( 2 2 7 ) 进行微扰计算，把关联函数展 开为o 。( 一u ) 的级数。然而，我们所关注的是基态介子的性质，需要很靠近共振态 区域，这里非微扰效应变得越来越重要。求和规则的解决办法是考察过渡区域的性 质。在过渡区域，非微扰效应尽管已经是重要的了，但它们仍然是局域化的，并且 足够小，可以用算符乘积展开中的级数修正来描述。展开系数与局域夸克胶子的真 空平均值有关，这些平均值就是所谓的真空凝聚。在微扰理论中它们直接根据定义 为零。但是，在求和规则中它们是参数化q c d 非平凡真空结构的一个简单途径。 因此，在过渡区域，关联函数可以近似为 ( u ) p 。n ( u ) + i i c o 。d ( u )( 2 2 9 ) 其中， ( 沪咖告氅+ s u b , i i c o n d ( 加莓g 南 ( 2 。) 微扰贡献被写成一个色散积分，s u b 表示以u 为变量的减除多项式。谱密度卯。，t 和 w i l s o n 系数g 都可以微扰展开为o 。( 一“j ) 的多项式。 q c d 求和规则的关键是建立关联函数理论近似与强予表示之间的关系。强子表 示是通过插入物理中间态的完备集而得到的。用x ( v 1 表示由速度为v 的重夸克构 成的态 捌，：悭剑掣栅6 ( 2 3 1 ) 气，w x w 一暑e 求和符号表示对离散态的求和与对连续谱的积分。u x 是态的有效质量，也就是物理 质量与重夸克质量之差的二倍。为了分离出基态介予m ( v ) 的贡献，令式( 2 2 8 ) 中 p 2 = m 勃，可以得到w m = 2 ( r a m m q ) = 2 。定义衰变常数 ( ol 庐lm ( ”) ) = ；i f ( p ) t r 【r m ( 训( 2 抛) 其中，m ( v ) 为介子的协变表示 脚，= 丁i + f ；怒季 协。， 第1 7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 极化矢量e 满足e = 0 ，e + = 一1 以及 ：( p ( “= v , u ”一g ”( 23 4 ) 利用等式 ( ) 丁r f m m ( ”) ) t r 厨( ”) r ”) = 一2 t r f m p + f m ( 2 3 5 ) tp o l 就可以得到强子矩阵元 胁( 沪一知r m p + m 燕+ ( 2 3 6 ) 从h q e t 的f e y n m a n 规则可以看出，任何对关联函数的贡献一定正比于同样的 d i r a c 阵迹。自旋对称性就是这样引入公式中的。为了方便起见，定义约化关联函数 h ) = - - ；t r f m p + p m r ( w ) ( 2 3 7 ) 分别写下函数7 r ( u ) 的理论和强子表示，并令其相等，有 # 生= r d 然一三者生+ s u b - 4 - 7 f c o n d 。s ， 激发态的贡献是用约化矩阵元取( 肛) 表示的，定义与，( p ) 类似。为简单起见，在 上式中用微扰谱密度符号表示提出了阵迹后得到的约化谱密度。 现在需要求和规则的一个主要假设：为了在没有详细的关于激发态谱和矩阵元 的知识的情况下，能够估计求和规则的的右边，可以借助于局域) 夸克一强子对 偶性。形象化的图像是：非微扰q c d 相互作用产生微扰谱密度与强子谱密度之问 的差异，相互作用使谱变形，使得如果用一个光滑的权函数对几个能级进行积分的 话，局域地就可以得到微扰论的谱密度。这样就允许用连续阈u o 之上的对微扰谱 密度的积分代替对激发态的求和： 黑厂。d 尝兰 (2。)xcm x j w o uu 一。e 一u 一已e 、 这等效于用一个参数表征了对更高共振态贡献的所知有限。一个更加精细的描述是 对几个较低的激发态求和，而对更高、更宽的共振态作积分近似。然而这就会引入 一系列未知的参数f x 和“x ，丧失了理论的简单性和预见能力。 在简化( 2 3 9 ) 下，求和规则可以写为 燕=(羔+s“6+丌。一(u)(240iej ) 2 a u n 一u i e 。 。7 7 第1 8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 这个形式仍然不是很有用。要想的到基态的信息，一u 的值就要小，以便色散积分中 的权重函数( 相对于高能激发态) 增加基态低能贡献。可是，另方面，理论计算 只有在一u 非常大时候才是可靠的。求和规则认为，通过b o r e l 变换，可以达到这 两个互相矛盾的要求的最佳平衡。具体过程如下：一个可行的、把函数7 r ( u ) 由大 一“j 外推到小一u 的途径是微分。当一u 趋向于无穷时，任意阶数n 的微分都可以 可靠地计算。通过同时考虑极限一u - 和n 叶o 。，且t = 一u n 是固定的，就 可以获取函数在标度丁时的行为。这一过程定义了b o r e l 变换， 鼢( 啦竖踹( 似 = 詈固定( 2 4 1 ) t 0 称为b o r e l 参数。b o r e l 变换对求和( 2 4 0 ) 有三方面的改善。注意到 酬志28 z p ( - 丁) ，群南2 南( 2 4 2 ) 第一个关系表明，积分中的权重因子变为了指数形式，对基态的敏感度增高；而根 据第二个式子，非微扰级数修正被乘上了因子1 n ! ，通过压低更高维真空凝聚的贡 献，改善了级数的收敛性。最后，就是无穷次微分可以消掉色散关系中不想要的减 除多项式。求和规则的的最终形式为 f 2 ( u ) e x p ( 一2 3 , t ) = d w p p 。，( u ) e 一。t + b 芋丌。d ( u ) 三k ( w o ，t ，肛)( 2 4 3 ) 积分变量已经由变为u 。由于是理论计算的结果，求和规则的的右边是依赖于重 整标度肛的。这就要求左边强子参数f 2 ( 卢) 对p 的依赖必须与之相匹配。定义重整 化参数f r 。= f ( 肛) i ( p ) 其中f ( p ) 为重整化系数，就可以得到重整化群不变的 求和规则： 只毫。e x p ( 2 天t ) = k 瓷f ( p ) k ( u o ，t ，p )( 2 4 4 ) 等式右边对肛的依赖到微扰论的所有阶必须抵消。通过取相对于b o r e l 参数倒数的 对数导数，还可以得到一个与耳。无关的求和规则： a = 一；( 0 0 t 。) i n k ( w o ，t ，肛) ( 2 4 5 ) 它也是与“无关的。通过b o r e l 变换，可以探讨相对丁值较小区域的关系，而这在 以前是不行的。 余下的过程可以概述如下：函数的理论表达式可以利用h q e t 的f e y n m a n 规 则，计算微扰谱密度和前几阶级数修正得到。然后，选取合理的连续阈u 。，使得求 和规则( 2 4 5 ) 的右边近似与b o r e l 参数t 无关，最后，把确定的u 。和 作为输入 第1 9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 参数带入( 2 4 4 ) 得到f r 。能够使两个求和规则同时稳定的参数的存在性并不总是 可以保证的。稳定区域的存在可以作为对偶性的后验证明。一个非常重要的概念就 是“求和窗口”，它决定了参数丁的范围，在此范围之内，求和规则的假设与近似 都是成立的。当参数t 太小时，非微扰效应贡献就会变得很大，使算符乘积展开无 效。另一方面，丁在谱积分中起相当于温度的作用，要保证只有最低的激发态才能 给出不可忽略的贡献，要求它足够小。因此目的就是在大致范围a o c d t 0 的求 和规则计算，在技术上并不是容易的。另外，光锥求和规则( l c s r ) 也被用来分 析形状因子伴。”。最近，对这一求和规则的次领头阶( n l o ) 修正也得到了初步 的结果。 半轻与稀有b 衰变 所有这些衰变典型的都会包含对于末态强子的大动量转移，因此处理起来要格 外小心。相应的处理技术就是8 0 年代末、9 0 年代初提出的l c s r 。在过去的几年 里，l c s r 得到了快速的发展。就本质来说，它是对于关联函数的标准的、平均场 式展开的s v z 途径在迅变( 大动量) 介子场背景下的推广。从技术上来讲，区别在 于它用在光锥上按扭曲递增的展开代替了标准途径中按维数递增的短距算符展开。 这样，夸克与胶子场的真空平均( 凝聚) 就不会出现，取而代之的是光锥介子分布 振幅。这种重新组织的前提保障是它与重夸克展开是明显一致的。 衰变b _ ”e 除了唯象性的重要性之外，还可以作为各种求和规则与其它理论 思考的一个方便的检验场，因此对于它，不仅有传统方法的计算，也有l c s r 的计 算。比较新的结果是包括辐射修正的次领头阶l c s r 计算。在计算中幺正条件是自 动满足的。值得一提的是，l c s r 途径只有在足够远离零反冲时才是经过充分验证 过的，并且在这一区域不会破坏幺正边界。 对于b 到其它轻矢量介子的衰变，也获得了很多新结果。主要是计入了对于早 期l c s r 计算结果的辐射修正、介子有限质量修正、更高扭曲介子波函数的贡献。 第2 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 b 衰变中的其它应用 作为b 衰变应用的最后部分，提及两个求和规则的其它的应用。 第一个，非因子化对b _ j t f ，k 衰变贡献的探索性研究。在一般的因子化近 似下，相应的矩阵元正比于和0 2 = c 2 ( m 6 ) + ；c 1 ( m 6 ) ! o 1 5 5 ，其中，c 1 和c 2 是有 效拉格朗日中的系数。实验数据的分析引进了系数。呈臻以包括非因子化效应，当 前值1 8 臻i = o 3 1 士o 0 2 可以看作因子化的强烈破坏。有效系数n 2 可以通过为研 究d 衰变而发展起来的标准q c d 求和规则，或者是l c s r 进行估计。尽管初步的 数值结果还不是很稳定，但是，有意思的是，求和规则看起来预示a 。的负结果。 第二个，l c s r 可以而且已经被用来估计像b _ k + 吖，b - p + 吖衰变之类的衰 变的长程分布。最重要的是，此类计算预言了长程与短程幅度的相对符号，因而也 预言了它们的相互干扰。现有的结果有待改进，还可以推广到b _ k + 距以及相似 的跃迁。对于这种类型的求和规则已经有了很好的了解，可以期望能够给出可靠的 结果。 重重子 在q c d 求和规则中研究重重子一般来说是困难的。尽管这种研究已经开展了一 段时间，可以说结果还是很初步的。这里主要讨论两个直接有唯象应用的例子。 第一个是产生b 重子与介子寿命差异1 m 阶修正的四费密算符重子矩阵元的 计算。相应的求和规则由于较高的维数，是很不稳定的，只能给出一个数量级的估 计。计算结果是否定的：即便考虑了所有的不确定度，仍然可以断言相关矩阵元不 可能大到可以解释观测到的比值r ( a d ) r ( b a ) 。 第二个是关于q c d 求和规则对于重重子的半轻衰变- a 。肋，a 。_ a b ) ， _ p g p 以及稀有衰变_ a ，y ，- a g e 的计算。所有以上的研究采用的都是 传统的三点求和规则。由于关于高扭曲的重子波函数信息的完全缺乏，l c s r 还没 有被应用起来。对于轻重子末态，情况也是同样的。 以上是求和规则在重味物理中的大致应用。总结起来，可以看到，在过去的十 年左右时间里，q c d 求和规则的新发展，是n l ol c s r 计算( 包括辐射修正和关 于介子领头与更高扭曲波函数的结果) 时代的到来。利用这一求和规则，可以精细 的计算重轻跃迁大反冲时的形状因子。 在可以期望其中会有进一步发展、求和规则会在其中起作用的课题中，可以列 举几例： 重重子的光锥求和规则。对于高扭曲重子分布振幅的专门研究将是此一研究的 第一步。 第2 3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 各种稀有衰变的长程贡献。 对于半轻衰变( 诸如b - ”7 r 衰变等) 的非因子化贡献。 企鹅算符的矩阵元。 有一些问题的处理，需要进行q c d 求和规则有效性的探索性研究。这些问题 包括：粲素色八重态的矩阵元、b 和b 。衰变的部分子分布。更进一步的进展可以 通过求和规则与格点规范计算、研究包含轻强子的在比较大的动量转移处的遍举过 程而获的。 第2 4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第三章a q ，q 重子质量计算【1 5 】 3 1 引言 在重夸克质量趋于无穷时，重夸克和轻自由度的自旋、宇称是分别守恒的。这 种自旋对称性对于确定重强予的物理性质有重要作用。然而，它在q c d 并不 是明显的。h q e t 【1 是重夸克极限下的有效理论，自旋对称性是h q e t 的自然 结论，是处理重强子物理的有力工具。近几年重强子物理的进展【1 6 】有力地证明了 h q e t 的理论预言能力。h q e t 的有效拉格朗同可以写为： 钿= h , i v d h ”+ 丽1 咒+ 志s + 。( 志) ， ( 。- ) 除了领头阶之外，还有两项i m 。阶修正。项是非相对论动能项 疋= k ( i d l ) 2 h 。( 3 2 ) 另一项 s = ；( 错) 3 伊。肌 ( 3 。， 是由夸克与胶子之间的相互作用引起的p a u l i 项。d p = 钆一i g a p 是协变导数， 风= 1 1 一；n ，是卢函数的第一系数。上代表相应的垂直于速度札的量： g 西= g “一屯v ， ( d 1 ) 2 = 巩d “( d ) 2 色磁相互作用的反常维数是非平凡的，因而它前面的系数要受到耦合常数的高 阶修正。相反，动能算符的反常维数为零，它的系数精确的是1 【1 7 1 8 】。这是由有效 理论在非相对论推进下的剩余对称性决定的，事实上，非相对论哈密顿的动能在此 变换下是不变的。到i m o 的更高阶，会有更多的修正项出现，比如，d a r w i n 项和 自旋一轨道相互作用项等等f 1 9 】。如果只考虑一阶修正，有贡献的就只有上述两项。 定义两个五维矩阵元 ( b ( v ) l 咒ib ( ) ) = a - ( b ( v ) ls b ( ) ) = d m a 2 f 3 4 ) 第2 5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 虻塞 m q + a _ 去( d m 糊 孑一南= ；a z ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) a l 和a 2 是h q e t 框架之内、次领头阶的基本的参数。它们不仅决定了强子质 量的1m o 阶修正，而且，在其他很多h q e t 的唯象应用中起着重要作用。它们出 现在，例如，重强予谱分析 2 2 2 3 、单举衰变衰变率与谱的描述2 5 】中，还出现在 零反冲时跃迁形状因子的归一化中。a 2 是o 重子分裂的主要贡献，可以直接 由试验数据确定。可是，对于a 1 ，情况就不一样了：尽管可以由质量谱得到不同 强子a ，的差别，a 。本身却是无法直接确定的。实际上，目前对于a 。是否一个可以 通过非微扰途径明确定义的“物理的”参数都还存在疑问。有可能任何非微扰定义 都会因为红外重整子的出现而本质上是不明确的；还有可能因为某种原因，红外重 整子不会在a 1 中出现2 7 ，2 8 】。从实用的观点出发，只要选定了一种处理h q e t 中 微扰修正的方案，a 。就是一个有价值的参数。一般常用的是丙霭减除方案并且假设 a 1 的值是与具有单圈精度的理论表示相联系的。 鉴于a 】和a 2 的重要性，从理论上或实验上确定它们的值就很重要。对于基态 介子，a 。的值的理论计算，不管是文献 8 】的两点函数计算，还是后来分别由文 献f 9 ，1 0 1 所作的三点函数计算，理论结果大致上都是a 2 = o 1 2g e v 2 。这与试验 结果苦2 一当= 4 a 2 = o 4 8g e v 2 是符合的。可是对于a 1 ，情况就不是这么简单 了。早期文献f 8 ，2 9 1 中，给出的两点函数的结果大致都是a 1 型一1 5g e v 2 ，后来， b a l l 等【9 】又用三点函数进行了计算，得出结果：a l = - 0 6 0g e v 2 ；然而，同样利 用三点函数，n e u b e r t 1 0 通过不同的途径给出a 1 =