（计算数学专业论文）基于改进xfem的路面反射裂纹断裂分析.pdf

捅要 在采用半刚性基层沥青路面的高速公路中。反射裂纹是破坏这种路面的性能和耐久性的主要 原因，研究反射裂纹裂尖处的应力强度冈子具有重要的理论意义和应用价值改进扩展有限元法 基于有限元的基本框架，采用水平集方法描述裂纹位置，按照结构外形尺寸生成有限元网格，以 裂尖渐进位移场函数改进裂纹尖端区域位移模式，避免了在裂纹尖端区域进行高密度网格剖分， 提高了裂纹尖端区域解的精度并在无后处理的情况下求解应力强度因子 本文在改进扩展有限元求解混合裂纹类型应力强度因子的基础上，确定了不同的单一裂纹类 型裂纹的裂尖渐进位移场函数，推导了单一裂纹类型改进扩展有限元求解应力强度因子的相关公 式，使用罚函数法迫使裂尖单元处相关系数相等，确保近似位移更接近于裂尖区域的实际渐进位 移场 通过编常l j f o r t r a n 程序，计算了受单向均匀拉应力的有限宽板条的应力强度因子，与公式计算 的应力强度因子进行了比较，并模拟了沥青路面反射裂纹求解应力强度因子，与有限元软件 a n s y s 的计算结果进行了比较比较结果显示，改进扩展有限元模拟沥青路面反射裂纹求解应力强 度因子的计算工作量大大降低，且具有很高的求解精度，是可行的这为研究沥青路面反射裂纹 开辟了新的道路 关键词：改进扩展有限元，沥青路面，反射裂纹，应力强度因子，f o r t r a n 程序设计 a b s t r a c t i nh i g h w a yp a v e m e n tw i t hs e m i - r i g i da s p h a l t ，r e f l e c t i o nc r a c k sa l et h em a i nr e a s o n sw h i c hd e s t r o yi t s p e r f o r m a n c ea n dd u r a b i l i t y , s os t u d y i n gt h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r si n t h er e f l e c t i o nc r a c kt i p sh a s i m p o r t a n tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n da p p l i c a t i o nv a l u e t h ei m p r o v e de x t e n d e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d i sb a s e do nt h eb a s i cf r a m e w o r ko ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o da n da d o p ml e v e ls e tm e t h o dt od e s c r i b e c r a c kl o c a t i o n ，g e n e r a t ef i n i t ee l e m e n tm e s hi na c c o r d a n c ew i t ht h es t r u c t u r a ls h a p ea n dt oi m p r o v et h e c r a c kt i pd i s p l a c e m e n tm o d e 谢也c r a c kt i pa s y m p t o t i cd i s p l a c e m e n tf i e l d ，i no r d e rt oa v o i dh a v i n g h i g h - d e n s i t ym e s ha n di n c r e a s es o l u t i o na c c u r a c ya tt h ec r a c kt i pf i e l d t h ei m p r o v e de x t e n d e d 缸沁 e l e m e n tm e t h o dc a ns o l v et h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sw i t h o u tp o s t - p r o c e s s i n g i nt h i sp a p e r , t h ec r a c kt i pa s y m p t o t i cd i s p l a c e m e n tf i e l df u n c t i o na b o u td i f f e r e n tt y p e so fs i n g l e c r a c ki sd e t e r m i n e d ，a n dt h er e l e v a n tf o r m u l a sa b o u ts o l v i n gt h es t r c s si n t e n s i t yf a c t o r sa r co b t a i n e do n t h eb a s i so fs o l v i n gt h em i x e dm o d es t r e s si n t e n s i t yf a c t o rw i t ht h ei m p r o v e de x t e n d e df i n i t ee l e m e n t m e t h o d t h e nt h ea d d i t i o n a lc o e f f i c i e n t sc o r r e s p o n d i n gt ot h ee n r i c h m e n t sa tt h en o d e so ft h ee l e m e n t s s u r r o u n d i n gt h ec r a c kt i p a r ef o r c e dt ob e 酬b yap e n a l t yf u n c t i o n ，t h u se n s u r i n gt h a tt h e d i s p l a c e m e n ta p p r o x i m a t i o n sr e d u c et ot h ea c t u a la s y m p t o t i cf i e l d sa d j a c e n tt ot h ec r a c kt i p t h r o u g ht h ed e v e l o p m e n to ff o r t r a np r o g r a m st oc o m p u t et h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sa b o u tt h e l i m i t e dw i d t hb o a r dw i t hu n i d i r e c t i o n a lt e n s i l es t r e s sa n dt h er e f l e c t i o nc r a c k si na s p h a l tp a v e m e n t ，t h e n c o m p a r et h e m 埘t l lt h er e s u l t sw h i c ha r ec a l c u l a t e db yt h et h ef i n i t ee l e m e n ts o f t w a r ea n s y s ，i ti ss h o w n t h a tt h ei m p r o v e de x t e n d e df i n i t ee l e m e n ts i m u l a t i o no fa s p h a l tp a v e m e n tr e f l e c t i o nc r a c ks t r e s s i n t e n s i t yf a c t o rc a l lr e d u c et h ec o m p u t a t i o n a lt i m eh a sh i l g ha c c u r a c y , a n di sf e a s i b l e t h i sh a so p e n e d u pan e wr o a df o rs t u d y i n ga s p h a l tp a v e m e n tr e f l e c t i o nc r a c k s k e yw o r d s ：i m p r o v e de x t e n d e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，a s p h a l tp a v e m e n t ，r e f l e c t i o nc r a c k s ， s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r , f o r t r a np r o g r a m sd e s i g n i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明 确的说明并表示了谢意 一虢弘小多易 帆沥口年邶胴 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位 论文的全部或部分内容 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 导师签名： 农小声 i 墙护跏 时间：知z 口年( ，月夕lr 时间： 彦dlo 年岁月；日 1 1 研究背景及研究意义 第一章绪论 近几年我国高速公路建设b 速发展，因沥青加铺层具有修复周期短、 i 车舒适辞优点，其中 9 0 咀上采坩半刚性基层沥青路面，世由丁沥青路面结构要求各层粘结庄一起批同i ：作如果基 层中这些裂纹不加处理，基层中的裂纹会导致面层出现较大的应力集中，致使面层开裂在温度 梯度和湿度变化下和经过车辆荷载和温湿条件反复循环的作用f 使得裂缝向上反射到沥青面层 若使面层不开裂，则需要沥青溉台料在裂纹附近、较短的距离内具有很大的变形能力虽然沥青 材料具有较人的变形能力，但是仍然无法达到这样的要求故而在、 刚性基层沥青路面中常常山 现反射裂缝( 酗1 - 1 ) ( ”磺目裂缝( b j 纵自裂缝 圉i 1 反射裂纹 沥青路面反射裂缝会对路面性能和耐久性产生不利的影响通常表现为：l 防水性降低路表 出现任何裂缝，都会使路表水有机会进八路面结构内部，甚至进 对攫度敏感的路基士中：2 引起 路基过大压应力由于存在裂缝，造成路面板体不连续。在行车荷载作用f 将加大板体边缘的变 形，从而在裂缝处传递过大压力至路基顶面；3 增大路面戍力和变形由丁路面结构板体边缘变形 会在路面结构内( 尤其基层) 产生根人的应力和变形，在行乍荷载作用下将缩短这些结构层的寿命， 4 磨耗层沿裂缝的破坏在车辆、水分、霜冻等因素的综合作用t - 培耗层常会沿裂缝发生哥料或 小块溉青的剥落由丁反射裂缝对路面的种种不利影响，因此研究路面裂纹的稳定性、预测路面 裂纹的扩艘是评估路面的宜全性、可靠性和耐久性的重要内容和关键技术 研究沥青路面反射裂纹的主要计算方法有静力学法、有限单元注等而有限单元法1 1 1 2 1 ( f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ) 作为现代科学和 ：程研究中的重要数值方法，在研究沥青路面反射裂纹时能考 虑到实际的边界杂件和荷载情况且易求出并点的应力和位移然而f e m 在处理裂纹等强不连 续性问副时聚j 的接触单元( a o o d m 舳单元) 必须将裂纹面设置为单元的边、裂尖设置为单元的结 点，在裂尖附近的高应力区需要令人难咀接受的嗣格密度；在模拟裂纹生k 时需要对两格进行重 新剖分教率极低甚至无能为力 1 9 9 9 - 2 0 0 0 年咀美国西北大学b e l y r s c h k o 教授”j 为代袁的研究组提出了扩展有限元方法 ( e x t e n d e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) x f e m 作为新近发展起来的新型数值方法近年来庄裂纹扩展、 夹杂和孔洞菩问题的分析中引起了r 泛的重视采坩水平集方法来描述裂纹位置和片j 单元分解法 j 岖j 、。叫1 ； ir 、上，一：一+ r ：7 “i j ： 曼皇曼曼曼! 曼曼曼曼曼舅曼曼! 曼! 曼! 曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼i i i 一_ i i ；i i i i 一。一。舅曼曼曼! 曼曼! 曼曼曼! 皇! 曼曼曼皇曼曼曼皇曼鼍曼曼曼 来改进形状函数，网格剖分时不考虑结构的任何内部细+ 再( 例如材料特性的变化和内部几何的跳 跃) 按照结构外形尺寸生成有限元网格，在模拟裂纹增长时也无需对网格进行重新剖分由于可借 助于对所研究问题解的已有知识( 如裂尖解的基本形式) 和单元分解法改进影响区内单元的形状函 数，可以高精度的反映裂尖的存在和生长；由于仍然采用传统有限元的基本框架，从而保留了常 规有限元方法的优点( 如刚度矩阵具有对称、稀疏且带状的特性等) 【5 】 运用) a 正m 来研究沥青路面反射裂纹具有其它数值方法无可比拟的优越性： ( 1 ) 用x f e m 模拟沥青路面反射裂纹不但能考虑反射裂纹中实际的边界条件、荷载情况，而 且没有网格密度要求、无需网格重构： ( 2 ) 改进x f e m 通过使用裂尖渐进位移场模拟沥青路面反射裂纹无需后处理就能求出应力强 度因子，提高了求解效率和解的精度； ( 3 ) x f e m 可以很方便地处理沥青路面这样的多介质结构 总之x f e m 模拟沥青路面反射裂纹对于理解沥青路面反射裂纹的裂纹扩展机理、丰富计算 断裂力学的研究内容、拓展x f e m 的应用途径具有重要的理论价值和实际意义 1 2 沥青路面反射裂纹研究现状 反射裂缝是沥青路面尤其是沥青加铺层路面主要病害之一根据其产生机理一般可分荷载型 和温度型两种，其中，荷载型反射裂缝是由于车辆靠近或经过裂缝时朝下挤压裂缝边缘引起裂缝 边缘垂直和水平移动引起，裂缝边缘的移动使得基层裂缝项端附近产生应力集中，造成沥青路面 开裂并逐渐向上延伸荷载型反射裂缝一般可分为弯拉型、剪切型和撕裂型 由于沥青路在国内外是交通的主要渠道，所以对路面的维护、保护和保持路面的稳定性、耐 久性是非常重要的，而反射裂缝是沥青路面的主要危害之一，从而对反射裂缝的研究方法的探讨 也是相当重要的，主要有静力学分析方法、有限元分析方法、线弹性断裂力学方法、动力学分析 方法【6 】 静力学分析方法是以弹性理论为基础米分析反射裂缝，主要考虑两种破坏形式：张开型和剪 切型但由于静力学分析方法采用了很多假设，并且无法考虑许多实际的边界条件，影响了计算 结果的精确性i _ ，j 另一种常用的计算方法为有限元分析方法【8 j ，目前在各领域得到了广泛的应用，这种方法能 考虑各种实际的边界条件和荷载情况，易求出各点的应力、位移但此方法处理非连续问题时网 格要求密度人，效率极低周富杰、孙立军【9 】应用三维有限元方法分析了层间接触条件、层间拉开 宽度、脱空、罩面层厚度和基础模量对反射裂缝产生的单因素和多因素综合影响 线弹性断裂力学方法是一种应用断裂力学理论，计算分析沥青路面在荷载下的开裂机理按 照断裂力学的观点，可以认为沥青加铺层的破坏是由于旧水泥混凝土路面裂缝或接缝这种原始缺 陷的存在，引起沥青加铺层的应力集中与内部损伤，当这种应力集中与损伤累积超过材料与结构 抵抗破坏的容许值时，就造成沥青加铺层裂缝的发展，并导致路面结构的破坏在国外，通过断 裂力学理论来研究反射裂纹的工作开展较早，在2 0 世纪6 0 年代，p a r i sp c 等就开始了路面材料断裂 规律的研究1 9 8 0 年美国加州大学的c o e t z e en f 掣i o 】用平面有限单元法，以有效应力为标准，研 2 j i 、i | 。j ：- 一0 上：j j审? 7 洚 曼_ b il l il - - 一一i l i 1 i l i 皇曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇! 曼鼍 究了沥青路面开裂后在交通荷载和温度荷载作用卜裂缝附近的应力分布，同时还分析了橡胶沥青 夹层在防j ：反射裂缝中的作用他们认为，反射裂缝主要是由于f 卧基层开裂后的水平和乖直位 移引起的同时还指出，松软的中间夹层具有削减裂缝尖端应力集中的作用在国内，黄晓明等 l 应用权函数理论，推导出了层间完全连续路面裂缝的应力强度因子的计算方法郑健龙【1 2 l 、周 志刚、张起森等对沥青路面温度收缩开裂的热粘弹性进行了研究，并应用疲劳损伤力学理论与方 法研究沥青类路面疲劳破坏机理和各类抗裂措施的抗裂机理 1 3 扩展有限元的研究现状 自1 9 9 9 2 0 0 0 年，以美国两北大学b e l y t s c h k o 教授为代表的研究组提出扩展有限元方法 ( x f e m ) 以米，扩展有限元方法在国际上引起了极人关注，在很多领域得到了快速发展和广泛应 用，主要是在计算断裂力学、孔洞和夹杂等不连续问题上的应用，且在国外的发展和应用尤其快 速和广泛 第一，砸m 在计算断裂力学中的应用 a b d e l a z i zy 和h a m o u i n ea 【l 列综述了屯m 的基本原理和阐述了) a 陀m 与f e m 的关系，并概括 了) a 陋m 的应用领域1 ( 问1 a 1 0 0b l 和q z 1 4 综述了) a 甩m 在静态和扩展裂纹问题中的应用 并与广义有限元( g f e m ) 进行了比较，体现了x f e m 的优点n a g a s h i m at 等采用x f e m 研究了含 有水平界面裂纹的双材料应力强度因子的计算s t o l a r s k am 等【1 6 】把水平集方法( l s m ) 和x f e m 结 合起来研究裂纹扩展问题，以l s m 来表征裂纹位置，x f e m 来计算应力和位移，从而确定裂纹扩展 率s u l a a n a rn 等【1 7 】用x f e m 模拟了任意材料细观结构准静态裂纹扩展问题，并提出了一种用新的 约束三角化算法形成初始有限元网格d a u xc 和m o e sn 掣博】利用x f e m 研究了任意源自孑l 洞的分 支和交叉裂纹，基于不连续几何特征的相互作用，来对逼近空间进行改进c h a h i n ee 等【1 9 】使用 c u t o f f 函数局部化改进区域，与使用固体改进区域时相比，提高了收敛率和减少了计算代价 b o r d a ss 等【2 0 l 总结了x f e m 的计算模型和程序求解框架s u k u m a rn 等【2 1 把x f e m 用于研究三维裂 纹问题中，采用单位分解概念，在传统有限元的逼近中增加了不连续函数和二维裂纹的裂尖渐近 位移场，解决裂纹存在问题m o c sn 掣2 2 】f 2 3 】利用屯m 研究了非共面三维裂纹扩展问题，其中不 但使用t h v a v i s i d e 跳跃函数表征裂纹，而且引入了分支函数表示裂纹波前以改善方法的精度 d o l b o wj 等【2 4 】采用x f e m 模拟摩擦接触裂纹的扩展，接触面采用二种不同的非线性本构关系 ( 完全接触、摩擦接触和无摩擦接触) ，用l a t i n 法迭代求解非线性边值问题，数值结果和解析解或 实验结果吻合得很好k h o c ia r 和n i k b a k h t pm 2 5 1 采用只用跳跃函数加强的x f e m 模拟摩擦接触引 起的不连续问题基于单位分解法采用三角形子单元离散接触区域，对接触面分割的单元，利用 接触结合带上积分点处接触面材料性质矩阵计算劲度矩阵的积分，不需要在裂纹两面布置积分点 数值分析表明该方法能有效地模拟二维接触问题 r 6 t h o r 6j 等f 2 6 】采用) a 甩m 模拟动态裂纹的扩展，其正确性通过与理论解或试验数据得到验证 对动载荷的静态裂纹，该方法具有静态情况一样的优点；对移动裂纹，证明该方法是稳定的且能 满足能量守恒m e n o u i l l a r dt 等【2 7 】采用x f e m 模拟动态裂纹扩展，他们得到了这样的结论：x f e m 模拟动态裂纹扩展时，采用合适的时间步，可以使用显式时间积分技术b e l y t s c h k ot 等【2 s j 采用 x f e m 模拟弹性动力裂纹扩展s o n gj h 掣2 9 1 通过重新安排x f e m 基函数和结点自由度用叠置单 3 j - ，i1 、；j f 。，ii ；f - ，i i ：。；j ：7 “i 仑 元和虚结点描述不连续体算例表明该方法模拟动态裂纹的扩展具有有效性和健壮性g o a n g s e u p z 等【3 0 采用x f e m 模拟动态裂纹的扩展，数值分析表明x f e m 能很好地捕捉冲击载荷卜混合模式 断裂的实验现象 x f e m 除了用于研究前面提及的裂纹类型中，还被用于研究薄膜裂纹和粘性裂纹问题h u a n g r 等【3 l 】提出了一个基础为黏性层的弹性薄膜内槽型裂纹的二维模型。用x f e m 在相对粗糙的网格 上计算位移场和应力强度因子，并求解了由于两种材料弹性参数不匹配造成奇异性的不连续问题 一弹性薄膜结构中的裂纹问题，他们还证明了x f e m 在粗糙网格上非常有效网：l i a n gj 等【3 3 1 通过 引入一个搭接模型，使得扩展有限元在粗糙网格上也能处理弹性薄膜结构中的多裂纹演化问题 w e l l sg i n 等【蚓利用x f e m 求解粘着裂纹问题m o e sn 等【3 5 】在三角形单元上利用x f e m 模拟枯着 裂纹，如果某单元被裂纹完全分割，则用跳跃函数改进；如果裂尖位于单元内部，就用分支函数 改进z ig ，b e l y t s c h k ot 等【蚓提出了一种新的x f e m ，仅用一种改进函数就可以处理包括裂纹端 部的整个裂纹，该法已用于线性三结点单元和二次六结点三角形单元，为了保证粘着裂纹的光滑 闭合，使垂直于裂尖的应力投影与材料的强度被迫相等 第二) a 甩m 在孔洞和夹杂类问题中的应用 s u k u m a rn 等【37 j 在) a 陋m 中采用水平集方法描述孔洞和夹杂。且用水平集函数去形成材料界 面的局部加强，对于平面弹性静力问题，体现了该方法的精确性和潜能m o e sn 等【3 8 l 利用x f e m 进行细观结构的多尺度分析，他们认为，虽然计算中网格不需要与物理表面一致，但仍需要细到 足以捕捉这些表面的几何特征p a t z a kb 【3 9 将x f e m 应用于非局部连续损伤力学中，通过引入能准 确捕捉局部变化概貌的特殊形状函数在非常粗糙的网格上改进标准的位移逼近 第三x f e m 在其它问题中的研究与应用 陋m 除了用于研究固体力学范围内的不连续问题以外，还用于研究其它领域内的不连续问 题b e l y t s c l z k ot 等m 】处理了如材料界面、滑动界面等结构化有限元网格中的内部特征c h e 鸽, a j 等 【4 l l 利用三角形单元的x h ；m 研究了多维相变问题，模拟了相界面和单元内温度梯度下的不连续性， 并用实例展示了该方法的精度和有效性j ih 等【4 2 j 利用x f e m 通过夹杂数值方法在固定网格上模 拟剧烈变化界面的演化w a g n e rg j 等【4 3 l 用x f e m 模拟粒子在流体中的运动 最初采用扩展有限元方法研究裂纹问题时，在裂尖处位移模式中加进的是裂尖渐近位移场函 数的主要项，且围绕裂尖加强结点的相应系数是相互独立的，这样加强位移场并不是真实的裂尖 附近的渐近位移场，因此，局部位移场的精度仍不能令人满意，而且由文献【1 5 】可知应力强度因子 必须经过后处理才能求出l i ux y 。x i a oq z 等1 5 1 提出了一种改进的x f e m ，提高了局部位移场的 精度，且不需要经过后处理就可以直接求出应力强度因子，从而为分析裂纹扩展提供了方便 相对于x e f m 在国外的快速发展和广泛应用，国内对屯m 的研究还比较少金峰和方修君 4 4 1 综述了f e m 的发展和特点，并阐述了x f e m 与有限元法、无网格方法的联系陈胜宏等【4 习基于 复合单元采用有限元分析了小湾高拱坝坝踵开裂问题这种复合单元实际上就是简化的扩展有限 元，即只考虑跳跃函数反映不连续性文中简化了裂纹的扩展，认为单元开裂，裂纹则贯穿整个 单元，没有考虑到裂纹尖端单元，不能反映裂纹尖端的应力集中，在分析时受到单元尺寸的影响 较大余天堂【舶l 基于扩展有限元法的基本原理，导出了相应的公式，提出了求解不连续函数的积 分方法，进行了裂纹尖端应力强度因子的计算余天堂1 47 】还分析了文献【5 】提出的改进扩展有限元 的原理和特点李录贤等【4 8 】综述t x f e m i 拘基本思想，实施步骤及其应用，初步展望了该领域需 4 j 。il 、j 1i 川- i i 、上：，：一jj 省i f ? 曼曼曼皇! 笪曼皇曼曼曼寰曼曼曼曼曼曼曼笪曼曼曼曼曼曼曼曼曼i i i i。i n n ： = - - _ _ _i ! 曼曼曼曼皇曼曼曼曼皇 进一步研究的课题方修君等j j l j x f e m 对混凝士梁复合型开裂过程进行了模拟韦朱1 5 0 在介绍 混凝十扩展模拟研究进展时也介绍了该方法李建波等【5 i j 在有限元框架内完整地推导了能模拟 宏观裂纹力场的扩展有限元实现公式，在理论上考虑了内部裂纹面上分布外荷载及缝内枯连刚度 的影响，提出了统一构建扩展有限元刚度矩阵形成模式杜效鹄等【5 2 】采用局部富集函数表征混凝 土的开裂区域，进行了混凝土粘结裂纹扩展的数值模拟，研究了预制缝重力坝模型的断裂特性， 数值模拟得到了和试验结果一致的裂纹扩展路径和荷载响应曲线，并模拟了混凝土梁在剪切作用 下的断裂过程。证明了该方法的有效性 1 4 本文的研究内容 在采用半刚性基层沥青路面的高速公路中。反射裂纹是破坏这种路面的性能和耐久性的主要 原因，而反射裂纹裂尖处的应力强度因子是研究路面裂纹的稳定性、评估路面的安全性、可靠性 和耐久性的必不可少的因素因此，研究反射裂纹裂尖处的应力强度因子具有重要的理论意义和 应用价值本文将完成以下内容： ( 1 ) 阐述改进x f e m 模拟反射裂纹的研究意义，总结反射裂纹国内外的研究现状和扩展有限 元方法处理不连续问题的研究现状： ( 2 ) 推导出单一裂纹类型情况下的改进x f e m 基本公式，并讨论改进扩展有限元相对扩展有 限元的优点： ( 3 ) 改进x f e m 的f o r t r a n 程序设计，解决程序实现中的几个关键问题，即通过水平集方法确 定结点类型( 裂尖改进结点、裂面改进结点和普通结点) 、单元类型( 普通单元、裂面单元和裂尖单 元) ，给出裂面单元和裂尖单元的数值积分方案； ( 4 ) 基于改进x f e m 求解路面反射裂纹的应力强度因子，比较各种参数对应力强度因子的影 响，并与用其它方法得到的数值结果对比验证其可行性及精确性 5 一l 、知1 川。“j ，i j ：i ：j ；i j1 l ：；：，j 、i ：，一j0 w 川1 7 曼_ _ii i i。 。曼曼曼! 曼鼍曼曼! 曼皇曼曼曼曼曼量曼曼曼曼曼 2 1 引言 第二章断裂力学和断裂力学数值计算 断裂力学是一门研究带裂纹物体的强度及裂纹扩展规律的。与工程结构重大破坏事故的发生 紧密相关的学科，其先导者是英国科学家饼伍t l la a 他在1 9 2 0 年和1 9 2 4 年相继发表的两篇论 文中建立了脆断理论的基本框架【5 引g r i f f i t ha a 在研究玻璃与陶瓷这类脆性材料断裂时，认为裂 纹的存在与传播是导致断裂的原因，提出了破裂的能量判据：使裂纹扩展所需要的能量刚好小于 裂纹扩展时所降低的( 释放出来的) 弹性变形能i r w i n 和o f o w a n 在同一历史时期内分别独立地建 立了：1 ：程材料脆性断裂理论提出了把g r i 伍t l l 学说应崩予不局限于表面能控制的脆性断裂过程 的物理基础和操作方案i r w i n 在1 9 5 7 年从裂纹尖端应力场出发提出了应力强度冈子理论【5 4 1 。并 提出弹塑性材料的小范嗣屈服理论从而g r i f t i t h 理论( g 理论或g 准则) 和应力强度因子理论( k 理论或k 准则) 一起构成了线弹性断裂力学的基本理论 2 2 断裂力学的基本理论 2 2 1 裂纹类型及其应力位移场 对于裂纹的类型可以从两个方面来考虑，从几何特征可以把裂纹分为穿透裂纹、表面裂纹和 深埋裂纹；从裂纹的受力和断裂特征可以把裂纹分为张开型( i 型) 裂纹、滑开型( 型) 裂纹、撕开 型( h i 型) 裂纹，如图2 - l 所示 i i 型裂纹 i i i 型裂纹 图2 - 1 三种裂纹示意图 i 型裂纹的特征是外荷载垂直于裂纹面，在外力作用下裂纹张开扩展，并且裂纹扩展方向是 沿着原裂纹方向；型裂纹的特征是剪切应力作用于平行于裂纹的方向，裂纹滑开扩展；i i i 型裂纹 的特征是作用了使上、下裂纹面错开的剪切应力，发生出平面位移 6 j 。ti 、h i 、“j ，【j2：j jh r ? ! “；j ：? ：i1 7 皇曼皇曼曼曼曼蔓鼍曼毫曼量。 。mmm。i m l 曼曼量曼曼曼曼曼曼曼曼量曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼鼍曼璺 通过复变函数方法可以推导出三种不同类型裂纹的虑力位移场 ( 1 ) i 型裂纹的应力位移场 a f1 1 ff f f 。k yjl z 厂一彳一 l 一1 r x j aa j 1 li ，l jj ， r 1r + ，r1 r yjky jl z = x 。貉z 一 l ，一歹、厶0 。 卜 o 一 o 气 如图2 - 2 所示，把图的坐标原点从裂纹中心移剑裂纹右尖端处，并以之作为新坐标，如图2 - 2 所示则通过复平面内坐标变换可得到i 型裂纹的裂尖渐近应力分量表达式为： 咿去c o s 争s m 兰咖3 0 ， 仁- ， 旷去c o s ( 1 + s i n 鲁s 证参 c 2 国 f 矽= 历k i l 锄了o c o s 了0 c o s 3 0 ，( 2 - 3 ) 2 面锄i 0 0 8 j 哪2 裂纹尖端区域应力场的位移分量表达式为： 舻硎k , f z 2 万卜- 胁罢一s 珥 c 2 川 y = 急寺ic 2 后州s t n 兰一s m 詈i c 2 固 其中，k i 为应力强度因子，g 为剪切模量 七：j 3 一红 平面应变问题(2-6) 【( 3 一) ( 1 + )平面应力问题 f 2 1i i 犁裂纹的应力位移场 图2 3i i 型裂纹分析图 如图2 - 3 所示，则通过复平面内坐标变换可得到i i 型裂纹的裂尖渐近应力分量表达式为： 印老s 砸j 0 c o s 扣 c 2 忉 7 矿去c o s 争s 加鲁s m 裂纹尖端区域应力场的位移分量表达式为： 材= 鲁崩删s m 扣n 习 一叠4 g v 压2 万k l3 炳詈斟 其中，k j r 为应力强度因子，g 为剪切模量， 七= 。3 3 - ，代4 。p + ，辜：震雾离鬈 f 3 1i i i 型裂纹的应力位移场 如图2 - 4 所示，则通过复平面内坐标变换可得剑i i i 型裂纹的裂尖渐近应力分量表达式为： 铲一去咖争 倍聊 铲鲁c o s 拿 倍 裂纹尖端区域应力场的位移分量表达式为： 国：每堡s i i l 旦 ( 2 1 5 ) gv1 2 、 其中，k ，为应力强度冈子，g 为剪切模量 值得注意的是，i i i 型裂纹问题本不属于平面问题，但由于此问题的应力分量和位移分量仅依 赖于坐标工和) ，而与z 无关因此仍属于二维问题 8 缈 d 芍 二 0 d 0 q q q jt 、r | j ，i 乏：，7 ：j ? ：j 。j | f 1 4 r ：j j 、：! i ：j 【】= ft 7 皇曼曼曼舅舅曼! 曼曼曼! ! ! 曼曼曼曼曼曼曼曼! 曼曼曼曼皇曼曼曼曼曼舅皇曼曼曼皇! 曼舅_ 一m m i m m i i n i l 一i i l 曼曼曼曼量曼曼曼曼! 曼曼曼 2 2 2 应力强度因子的计算 前面得到了裂纹尖端附近区域的应力场，得出了三种类型裂纹问题的应力分量和位移分量的 表达式。对其应力分量的表达式可统一表示为： k 仃 = 二去些厶( p ) + o ( r o ) + ( 2 - 1 6 ) z 氕r 由于在裂尖区域很小，所以上式的首项远大于后面诸项，略去零次幂以后各项后有： 嘞= 些( d ( 2 一1 7 ) 上? 耳 此式表示裂纹尖端附近区域的应力解式中五( 9 ) 是角分布函数，k 。是应力强度因子，分别代 表i 型、型和i i i 型裂纹尖端应力场的强弱程度 在线弹性断裂力学中，由于裂纹尖端应力场的强弱程度主要由参量应力强度因子来描述，且 通过它可以建立断裂准则，以解决工程实际的断裂问题因此，应力强度因子的求解至关重要 应力强度因子的求解方法大体可分为解析法、数值法和实验法解析法是其它方法的基础， 它包括复变函数法、积分变换法和应用弹性力学守恒率等方法，但解析法要精确地满足边界条件， 通常是很难做到的，目前仅仅在无限板或无限体的情况下才获得了解析解；数值法中广泛采用的 是有限单元法、边界元法和边界配置法等，主要用于求解有限尺寸的裂纹体应力强度因子；实验 法主要有柔度法、光弹性法、激光全息法等 2 3 断裂力学数值计算的常用方法 普遍认为，2 0 世纪6 0 年代初出现的有限元法( f e m ) 是计算力学诞生的标志【l 乃习在传统的r i t z 法的基础上，利用变分原理导出代数方程组求解它将连续介质离散成有限多个单元来进行数值 计算，通过对连续体的离散化，在每个单元上建立插值函数从而建立整个求解区域上的函数， 求解结点位移，最后利用结点位移求出应力分量有限元法具有统一的计算模型、离散方法、数 值求解和程序设计方法，能广泛地适应求解复杂结构的力学问题因此，该方法自问世至今已得 到了迅猛发展，从最初的用于结构和同体力学的计算分析不断向其他领域扩展，也成为分析断裂 力学问题的数值方法 在处理裂纹时，由于裂纹尖端的奇异性，用普通单元求解应力强度因子往往需要过多的自由 度，同时解的收敛性也没有保证为此，特殊的有限单元p 6 】被采用来处理裂纹尖端，使其位移模 式反映奇异性，避免细分网格，且解的精度也得剑了保证这种用于裂纹奇异性模拟的有限单元 称为奇异单元，其中典型的两种是奇应变单元和等参数单元但对于一个已取定的特定网格，由 于其准确解未知，无法对其解做出可靠性判断为此，人们提出自适应有限元法p7 1 ，在已求得有 限元解的情况下，通过应力恢复、误差估计和新网格自动划分，进而再进行有限元求解，重复这一 过程直至得到满意的有限元解自适应分析的数值方法在有效误差估计及初始定义可接受的误差 水平的网格基础上，可自动形成高精度的数值分析模型在文献 5 6 】中，杨庆生和杨卫在研究断 裂过程的有限元模拟时，基于自适应有限元法的一般原理，提出了一种简化的高精度和高效率有 限元网格的动态重新划分策略文献【5 8 】采用自适应有限元法来确定裂纹尖端塑性区文献【5 9 】研究 9 j 、+ i _ ；j l t 、, 乏，jt rl j i ；2 ，j 。川i 【：? ：，j 。：j | l 了臼适席有限元模拟裂纹扩展的网格生成技术，通过修改裂纹周嗣单元的形状及单元间的邻接关 系，实现网格动态划分对裂纹扩展进行跟踪另外，用于分析断裂力学问题的有限元法研究成果 还有：研究动态断裂问题的空时有限元法，解析法与有限元法相结合的j 卜解析有限元法等弹塑 性有限元法和刚塑性有限元法也有一些应用 有限元方法应用性灵活，但随着计算精度要求的提高，有限元网格的划分十分困难，计算工 作量十分庞大，且在求解裂纹扩展时要预先知道裂纹的扩展路径或重新划分网格，这给求解造成 了很人的困难 边界元法 e l ( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) 是继有限元法之后发展起来的一种求解力学问题的数 值方法其构成包含如下三个主要部分：( 1 ) 选用基本解和确定其特性大多数基本解是前人已经 得出的带奇异性的某个特殊问题的解例如在无限大弹性介质中的某点受某方向集中力作用时 的开尔文解；在无限大弹性介质中沿某个带状平面的两侧有一定量的相对位移时的克劳奇解等 ( 2 ) 离散化及选取边界单元通过b e t t i 互换定理为基础的s o m i g l i a n a 公式将问题转化为边界积分方 程再通过边界离散手段，将边界划分为有限多个边界单元，将边界积分方程化为代数方程组求 解( 3 ) 叠加法与求解技术当单元划分之后，剩下的主要问题就是将有限多个奇异解叠加起来， 使其在结点处的结果等于结点上已知的边界值，并由此得出基本方程，求出奇异解的待定量 用边界元法进行三维裂纹问题的瞬态分析目前主要有时域法、拉氏或傅氏变换法和用静态基 本解的对偶互等法陆山等 6 1 1 采用二次非协调元技术分析二维和三维一般裂纹问题( 边裂纹和非 平片裂纹) ，使双重边界元法逐步进入实用阶段，并进一步应用于分析二维和三维裂纹扩展问题 后来的双重边界元法的研究逐渐集中在三维裂纹问题上针对裂纹动态扩展问题。崔海涛和温卫 东1 6 2 1 提出了时域的对偶边界元法，将裂纹体当成单独区域来划分单元，使裂纹扩展的计算更为方 便 边界元法的优点是应用g u a s s 定理使问题维数降为低一阶，与有限元法相比较，边界元解法 需要处理的空间维数少，使得输入数据的准备上大为简化，网格的划分和重新调整更为方便，最 后形成的代数方程组的规模也小得多，因此能够大大缩短计算时间和减少计算工作量边界元法 中作为权函数的基本解能严格满足问题的微分方程，基本解的奇异性使最后形成的代数方程组的 系数矩阵中对角线和近对角线元素的值远大于其他元素的值，此特点使边界元法的计算精度大大 提高，并能较好地处理应力集中问题、无限域和半无限域问题，对变化梯度很大的问题特别适用， 在解决三维空间和无界域中含裂纹的问题时具有特殊的优点并保持了较高的精度对裂纹扩展 问题，边界元法只需在包括裂纹在内的边界上划分单元当裂纹扩展时，仅需在裂纹尖端处加上 新的单元边界元法的缺点是必须求出问题的基本解，尤其对于非线性问题，基本解的求出十分 困难 无网格法【6 3 l ( m e s h l e s sm e t h o d ) ，亦称为无单元法( e l e m e n t f r e em e t h o d ) ，起源于2 0 多年前该 方法将整个求解域离散为独立的结点，而无须将结点连成单元，即不需要划分网格，从而克服了 有限元法在计算过程中要不断更新网格的缺陷位移场的近似采用了基于节点的函数拟合( 常规 有限元采用单元内节点插值) ，可以保证基本场变量在整个求解域内连续计算过程中可以实时跟 踪裂纹尖端区域进行局部细化将连续的裂纹扩展过程看作多个线性增量，每一个增量内裂纹扩 展角可以根据应力强度因子确定通过在裂纹尖端细化节点，引入基函数来提高计算精度因为 脱离了单元约束，所以在处理裂纹扩展这类具有动态不连续边界时具有很高的精度和效率无网 1 0 j 丝、1 h 11 ：叫jr 沦卫 ：j ，i f l = ? ：。 ：j 1 _ i ? m ：7 格法只需要计算域的几何边界点及计算点，不需要单元信息，因此具有边界元法的优点，且可在 裂问布置可移动加密。肖点以跟踪裂纹扩展又冈为无网格法基本方程的数学基础与有限元方法相 同，所以它也有有限元方法相同的优点，比边界元法应用更广泛 首先，无网格法在光滑离子方法的基础上发展了移动最小二乘法( m l s ) ，单元分解法( p l 0 等 而后义将无网格法引入边值问题的研究中，并采用移动最小二乘法( m o v i n gl e a s ts q u a r e s ) 构造位 移函数寇晓东等科隧用无网格法追踪裂纹扩展张雄等【6 5 】在最小二乘法和移动最小二乘近似的 基础上提出了加权最小二乘无网格法，给出了最小二乘法中泛函的简化格式，降低了计算量，提 高了计算效率，该方法效率高、精度高和稳定性好 数值流形方法( n u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d ) 由石根华于1 9 9 1 年提出f 蛔数值流形方法的基本 思想是将微分几何的流形原理引入材料分析，以拓扑流形与微分流形为基础，同时吸收有限元中 插值函数构造方法与非连续变形分析中块体运动学理论两方面的优势把连续和非连续变形力学 问题统一起来传统的有限元法一般适用于连续介质问题。但难于分析非连续介质问题数值流 形方法则通过考虑块体运动学或几何学理论。运用张开闭合迭代可以自然地处理连续与非连续 问题，且适合任意复杂边界条件，同时可以直接应用局部解析解，是经典解析法与现代数值计算 方法的有机结合目前，数值流形方法研究的重点集中在以下两个方面：( 1 ) 连续与非连续问题的 统一分析理论与计算方法；( 2 ) 裂纹与裂缝扩展的数值模拟数值流形方