（理论物理专业论文）网络上集体行为的动力学研究.pdf

摘要 摘要 我们每个人都身处相互联系的网络世界中。比如互联网，电力网，合作网，铁 路网，航空网，社会关系网，这些网络的良好运行直接关系到我们的生活和环境。 网络信息的同步发送给我们带来信息阻塞，中国南方雪灾对铁路网的破坏使我们出 行困难，恐怖主义事件的爆发严重影响人们生活和情绪。所以科学家们一直很关注 网络以及网络上的一些现象并努力了解其动力学行为以及背后的运行机制。 现在，网络研究已经渗透到各个科学领域，比如，社会学，生态学，各种自然学 科。同时，网络研究也为我们提供了一个巨大的平台，帮助我们更好的应对各种重 大社会挑战。为了研究网络上的现象和行为，我们不仅要从宏观上把整个系统作为 研究对象，而且需要从微观上来探究每个个体之间的相互作用，通过微观的个体活 动以及个体之间相互作用来预言丰富的整体行为并进一步揭示整个系统的宏观现象 形成机理。总之，网络分析的观点帮助我们从一个新的高度来理解世界中各系统是 如何运作的。 本文的主要研究内容和创新点如下： ( 1 ) 在同步能力方面，提出了广义自适应方法，在这种自适应方法中，节点所 受到的耦合强度不仅仅根据节点和它的邻居之间的局域同步性质变化，而且受到它 的局域结构特征量一度的调节。我们从数值模拟和理论分析上都证明，广义自适应 同步后，网络的输入耦合强度y 和度k 之间呈现幂律关系：v k 一，这里的指数0 为 a 的函数，他们之间存在关系0 = ( 1 + a ) 2 。对广义自适应方法，节点的强度可以 由口来调节，而且，当口1 时，网络更加均匀，因此，比原始自适应方法有更好的 同步能力。我们发现，网络的同步时间也能在很大程度上缩减。需要强调的是，我 们的理论工作不仅仅对真实系统中网络结构和动力学之间的相互作用给出了更深的 理解，而且提供了一种通过局域自适应来操控全局集体动力学的方法。 ( 2 ) 提出了一种具有历史记忆效应的意见动力学模型。考察了这个模型中四个 参数对序参量超过某一临界值这一现象发生的时间间隔概率分布的影响。其中，记 忆参数和序参数决定了分布曲线的所属类型。环境影响参数和类温参数决定了幂律 分布的指数。 ( 3 ) 通过对经验数据的统计，考察了恐怖主义时间间隔的分布，并且用意见动 力学模型解释了实证结果。实证结果表明：真实的恐怖主义爆发的时间间隔概率分 布服从幂律形式。我们认为这是个人意见演变的宏观结果。假设在整个恐怖主义演 变过程中，个体可以有反对和同意两种态度。当个体与邻居大部分人意见相同时， 个体会受环境和记忆的影响，以一定概率改变自己意见。当个体的意见和周围邻居 摘要 大部分人相反时，个体凭借记忆做出选择，在j 力史记忆的作用下以一定概率改变自 己意见。这里，类温参数是社会混乱程度的一个衡量，环境因素和记忆效应的影响 表现为以个体的社会从众性心理和自我认定心理为主的个人心理效应。我们定义了 新的序参量来衡量群体反对意见强度，当反对意见强度超过一定极限，也就是序参 量小于某个值时，恐怖主义事件爆发。最终，模型结果可以覆盖全部实证结果。我 们的假设是正确的。 这些工作已经分别发表于：p h y r e v e8 1 ，0 2 6 2 0 1 ( 2 0 1 0 ) ；c h i n p hy s l e t t 2 7 ， 0 6 8 9 0 2 ( 2 0 1 0 ) 。 关键词：复杂网络；同步；意见动力学；时间间隔分布；恐怖主义 i i a b s t r a c t a b s t r a c t e a c ho fu si sl i v i n gi nt h ew o r l do fc o n n e c t e dn e t w o r k s ，s u c ha st h ei n t e r n e t ，p o w e r g r i d s ，c o l l a b o r a t i o nn e t w o r k s ，r a i l w a yn e t w o r k ，a i rn e t w o r ka n d s o c i a ln e t w o r k t i l eg o o d p e r f o r n l a n c eo ft h e s en e t w o r k si sd i r e c t l yr e l a t e dt oo u rl i v e sa n dt h ee n v i r o n m e n t s y n c h r o n i z a t i o ni n f o r m a t i o ns e n tt ou sc a l lb l o c kt h en e t w o r k ，s n o w s t o r m si nt h es o u t ho f c h i n ad e s t r u c t e dt h er a i ln e t w o r ka n dm a d eo u rt r a v e ld i f ! f i c u l t ，a n dt h eo u t b r e a k so f t e r r o r i s ms e r i o u s l yi m p a c t so np e o p l e sl i v e sa n de m o t i o n s t h u ss c i e n t i s t sh a v eb e e n v e r yc o n c e m e da b o u ta l lk i n d so fn e t w o r k sa n dt h ep h e n o m e n ao nn e t w o r k s t h e yh a v e a l s ob e e nw o r k i n gh a r dt o f i n do u tt h ed y n a m i cb e h a v i o ra n dt h eu n d e r l y i n gm e c h a n i s m s o 栅t h er e s e a r c h e sa b o u tn e t w o r kh a v ep e n e t r m e di n t oa l lf i e l d so fs c i e n c e ，f o r e x a m p l e ，s o c i o l o g y , e c o l o g ya n dn a t u r a ls u b j e c t s m e a n w h i l e ，t h en e t w o r k s a l s op r o v i d e u sag r e a tp l a t f o r mw h i c hh e l pu sb e t t e rd e a lw i t hs o m em a j o rs o c i a lc h a l l e n g e s i no r d e r t os t u d yt h ep h e n o m e n aa n dt h eb e h a v i o r so nn e t w o r k s ，w es h o u l dt a k et h ee n t i r es y s t e m a st h er e s e a r c ho b j e c tf r o mt h em a c r o s c o p i ca n ds h o u l de x p l o r et h ei n t e r a c t i o nb e t w e e n e a c hi n d i v i d u a lf r o mt h em i c r o s c o p i c w et r yo u rb e s tt op r e d i c tar i c hm a c r o s c o p i c p h e n o m e n o na n dt or e v e a lt h eu n d e r l y i n gm e c h a n i s mb yi n d i v i d u a l a c t i v i t i e sa n dt h e i n t e r a c t i o n sb e t w e e ni n d i v i d u a l s i ns h o r t ，t h em e t h o d so fn e t w o r ka n a l y s i sc a l lh e l pu s u n d e r s t a n dh o wt h es y s t e mi nt h ew o r l dw o r k sf r o mah i g h e rl e v e l t h em a i nr e s e a r c hc o n t e n ta n di n n o v a t i o n sa r ea sf o l l o w s ： i nt 1 1 ea s p e c to fs y n c h r o n i z a b i l i t y ，w ep r o p o s e dt h eg e n e r a l i z e da d a p t i v ec o u p l i n g m e t h o dw h e r et h ec o u p l i n gs t r e n g t ho fan o d ef r o mi t sn e i g h b o r sn o to n l yd e v e l o p s a d a p t i v e l ya c c o r d i n gt ot h el o c a ls y n c h r o n i z a t i o np r o p e r t yb e t w e e nt h en o d ea n di t s n e i g h b o r s ( d y n a m i c a lp a r t ) b u ta l s oi sm o d u l a t e db y i t sl o c a ls t r u c t u r e ，d e g r e eo ft h en o d e w ec a ns h o wt h en u m e r i c a la n da n a l y t i c a lr e s u l t st h a tt h ei n p u tc o u p l i n gs t r e n g t ho ft h e n e t w o r ka f t e rs y n c h r o n i z a t i o nd i s p l a y sap o w e r l a wd e p e n d e n c eo nt h ed e g r e e ，k 一， w h e r et h ee x p o n e n t0i sc o n t r o l l e db yaa n d 双l + 2 。c o m p a r e dt ot h eo r i g i n a l a d a p t i v ec o u p l i n gm e t h o d a f t e rt h ea d d i t i o no fm o d u l a t i o n ，t h ed i s t r i b u t i o no f t h en o d e s i n t e n s i t yi st u n a b l ea n dc a nb em o r eh o m o g e n o u sw i t ha = l ，w h i c hr e s u l t si nt h eb e u e r s y n c h r o n i z a b i l i t y i ti sa l s of o u n dt h a tt h es y n c h r o n i z a t i o nt i m ec a n s h r i n kg r e a t l y o u r t h e o r e t i c a lw o r ki nt h ec o n t e x to fs y n c h r o n i z a t i o np r o v i d e s n o t o n l y ad e e p e r u n d e r s t a n d i n go ft h ei n t e r a c t i o nb e t w e e ns t r u c t u r ea n dd y n a m i c si nr e a lw o r l ds y s t e m s ， s u c ha so p i n i o nf o r m a t i o na n dc o n c e n s u s ，b u ta l s op o t e n t i a la p p r o a c h e st om a n i p u l a t et h e g l o b a lc o l l e c t i v ed y n a m i c st h r o u g h l o c a la d a p t i v ec o n t r 0 1 w ep r o p o s e da no p i n i o nd y n a m i c sm o d e lw i t hh i s t o r ym e m o r ye f f e c t i n v e s t i g a t e d i a b s t r a c t t h ei n f l u e n c e so ff o u rp a r a m e t e r si nt h i sm o d e lo np r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o no ft h ei n t e r - e v e n tt i m ew h e r et h eo r d e rp a r a m e t e re x c e e d sac r i t i c a lv a l u e f i n a l l y , w ef o u n dt h e m e m o r yp a r a m e t e ra n do r d e rp a r a m e t e rd e t e r m i n et h ec u r v et y p eo ft h ed i s t r i b u t i o n e n v i r o n m e n t a li m p a c tp a r a m e t e ra n dt h et e m p e r a t u r e - l i k ep a r a m e t e rd e c i d et h ee x p o n e n t o fp o w e r - l a wd i s t r i b u t i o n t h ei n t e r - e v e n tt i m eo ft e r r o r i s ma t t a c ke v e n t si si n v e s t i g a t e db ye m p i r i c a ld a t aa n d t h ea n a l y s i so fo p i n i o nd y n a m i c sm o d e l e m p i r i c a le v i d e n c es h o w st h a tt h ed i s t r i b u t i o n o fi n t e r - e v e n tt i m ef o l l o w sas c a l e - f r e ep r o p e r t y h e r ew ec o n s i d e rt h ea s s u m p t i o nt h a t t h eb u r s to fat e r r o r i s me v e n t si sc l o s e l yr e l a t i v et ot h ef o r m a t i o no fo p i n i o n s i nt h e p r o g r e s so fp u b l i co p i n i o nf o r m a t i o n ，e v e r yi n d i v i d u a lh a sh i s h e ro w nv i e w p o i n t ， s u p p o r to ro p p o s r i o n t h ei n d i v i d u a lc h a n g e sh i s h e ro w no p i n i o n 、析ms o m ep r o b a b i l i t y d e t e r m i n e db yt h ec i r c u m s t a n c ea n dh i s t o r ym e m o r yw h e nt h ei n d i v i d u a lh a sc o n s i s t e n t o p i n i o nw i t ht h em a j o r i t yo fh i s h e ra d ja c e n tn e i g h b o r s h o w e v e r ，t h ei n d i v i d u a lc h a n g e s h i s h e ro w no p i n i o nw i t l ls o m ep r o b a b i l i t ya c c o r d i n gt ot h eh i s t o r ym e m o r yi nt h e o p p o s i t ec a s e h e r et h et e m p e r a t u r e l i k ep a r a m e t e ri sam e a s u r eo fs o c i a lc h a o s ，a n dt h e e n v i r o n m e n t a lf a c t o ra n dt h e h i s t o r ym e m o r y e f f e c t r e p r e s e n t t h ei n d i v i d u a l p s y c h o l o g i c a le f f e c t so fs o c i a lc o n f o r m i t ya n ds e l f - a f f i r m a t i o n an e wo r d e rp a r a m e t e r d e f i n e dd e n o t e st h ei n t e n s i t yo ft h ep u b l i co p p o s i t i o no p i n i o n t h et e r r o r i s me v e n t o u t b r e a k sw h e nt h en e wo r d e rp a r a m e t e ri sl e s st h a nac r i t i c a lv a l u e u l t i m a t e l y , t h e m o d e lr e s u l t sc a nc o v e ra 1 1t h ee m p i r i c a lr e s u l t sa n do u ra s s u m p t i o ni sc o r r e c t k e yw o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ；s y n c h r o n i z a t i o n ；o p i n i o nd y n a m i c s ；t h ed i s t r i b u t i o no f i n t e r - e v e n tt i m e ；t e r r o r i s m i v 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成果。 除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写过的研 究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：丛墨垄签字日期：型! 生皇旦翌p 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥有 学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人提交的电 子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 回瑟开口保密( 年) 作者签名：盔星苎 签字日期：型呈垒兰旦望9 导师签名： 签字嘲冽d 誓尹 第一章绪论 第一章绪论 1 1 网络动力学研究的意义 我们每个人都时刻处在相互联系的网络世界中。从人体细胞组成的网络到世界 各国相互联系的网络，比如神经网络、互联网、电力网、合作网、铁路网、航空网、 社会关系网，这些网络的良好运行直接关系到我们的生活和环境。网络信息的同步 发送给我们带来信息阻塞，中国南方雪灾对铁路网的破坏使我们出行困难，恐怖主 义事件的爆发严重影响人们生活和情绪。所以科学家们一直很关注网络以及网络上 的一些现象并努力了解其动力学行为以及背后的运行机制。 现在，网络研究已经渗透到各个科学领域，比如社会学、生态学以及各种自然学 科。同时，网络研究也为我们提供了一个巨大的平台，帮助我们更好的应对各种重 大社会挑战。a d r i a nc h o 在报告中说n 1 】，最近物理学家们旨在使用定量的方法 来预测索马里发生的种族冲突，观察因特网用户的情绪变化，追踪新的行为范式的 出现。j o h nb o h a n n o n 2 】调查研究了网络分析中一个最具争议性的用途：查明恐怖 组织的重要头目并且消灭他们。此外，网络可以帮助我们理解一些潜在的机制，这 些机制可影响到我们人类个体和一些社会系统，诸如意见动力学系统等。在许多问 题上，我们需要更多更好的数据。幸好，近几十年来，计算机的飞速发展使得人们 对网络的数据采集更为方便和系统，计算能力的提高使得人们可以对更大规模更为 复杂的网络及网络动力学行为进行研究。但是，只观察结构斑图是不够的，我们还 需要深入研究他们是如何演化和改变的。比如，网络上个体的行为可以从无序到有 序，从混沌到同步，同步现象中也有丰富的演化过程和潜在的演化机理。总之，网 络分析的观点帮助我们从一个新的高度来理解世界中各系统是如何运作的。 要了解网络上的现象和行为，必须对网络先有一个描述。一个典型的网络是由许 多节点和连接两个节点的一些边组成。网络中的每个节点对应于真实系统中的一个 个体，连接节点的边对应于个体之间的联系或相互作用，这些信息可用一个邻接矩 阵来存储，每个矩阵元非l 即0 ，分别表示节点之间存在连边与否。基于图论的方 法，网络的最早研究主要集中在规则网络和随机网络，随着计算机技术的发展，人 们可以从现实中抽取更接近事实的数据对网络进行研究，于是发现大部分真实网络 并不是规则网络和随机网络，而是具有定的小世界效应 3 ，4 】和无标度特性 5 , 6 】 的复杂网络。 用网络的方法研究各种自然和社会现象，不仅仅要把整个系统作为研究对象， 而且要关注每个个体间的相互作用，通过微观的个体活动以及个体间相互作用来预 言丰富的整体行为并进步揭示整个系统的宏观现象形成机理。目前，网络研究主 要集中在网络结构和网络上动力学行为以及两者的相互作用方面。网络结构是网络 第一章鳍论 上动力学行为研究的基础，网络动力学行为也会反作用于网络结构，他们互相影响， 共同演化。下面先简要介绍一下我们经常使用的网络模型，网络结构的基本特征以 及网络上的一些动力学行为。 1 2 网络模型 早期的网络研究属于离散数学中图论的一个分支，研究对象是一些规则网络( 图 1 1 ) ，即节点按照确定的规则连接的网络，如一维有限规则网络，二维平面网格。 一维有限规则网络由围成一个环的n 个节点组成，其中每一个节点只和它周围的k 个 邻居节点相连，具有周期边界条件。如图ll 左图即为k = 4 时的一维有限规则网络。 相似地，如图ll 的右图，在一个l * l 的二维格子网络中，每个节点和它相邻的四个 节点连接具有周期边界条件。 幽左图一维有限规则网络：右图：二维平面网格 k o 。，o 图l2 随机网络示意图 第一章绪论 1 9 5 9 年，匈牙利帮 学家p a u le r d 6 s 和a l f r 6 dr n y i i 。7 提出e r 随机网络模型。他 们用随机作图理论来分析网络的拓扑复杂性，这一理论后来被成为分析网络的经典 数学方法，被称为“随机理论”。e r 随i 机网络模型可以描述如下：假设网络中有n 个节点，以概率p 连接网络中任意两个节点，这样网络就生成一个a n 个节点和 p n + ( n 1 ) 陀条边构成的随机网络，如图1 2 。 ， - 、 7 一 口 l r a n d o m n e s s 图13 重连概率从小到大增加时对应的小世界网络。此图来自于文献【4 l 1 9 9 8 年以来，科学家终于冲破了随机网络理论的禁锢，取得了突破性进展。为了 在规则网络和随机网络中架起一座桥梁，w a t t s 和s t r o g a t z 4 】引入了小世界网络的概 念，这种网络的形成如图13 所示。在n 个节点组成的最近邻耦合网络的基础上假 设每条边的重连概率为p ，则以概率p 随机选择某条边的一个端点断开并重新连接，重 新连接的另一个点从期于点中随机选取。在这个过程中不允许边的重连( 连接两个节 点的边不只一条) 和自连( 边的两端连接到同一个节点上) 。图1 3 中表示了重连概率 p 从o 到1 增加时，网络结构的变化：但p 为o i 对，网络为最近邻耦合网络，随着p 的增加， 网络中多了一些捷径，当p 增加到1 时，便成为随机网络。也可以说，规则网络和随机 网络是小世界网络的特例。 然而，不可否认，w a r s 承 s t r o g a t z 4 1 这种随机假设所取得的成功确实也提出了 一个问题：真实世界的网络系统是否也是随机联系的? 1 9 9 9 ：年，a l b e r t , j e o n g j 和 b a r a b f i s i 对个包含3 2 5 7 2 9 个节点万维网结构调查得到的情况 5 】。暗示真实世界的网 络体系明显地显示出非随机分布的特征。他们发现，一个网页有t 个链接的概率( 换 句话说，度数为t ) 遵循幂律分布( 图14 右图) ， p ( ) = k 这吃惊地背离了随机网络理论所预言的泊松分布。然而，直到我们认识到公式( 11 ) 也能够概括通过电影联系的演员合作网络、通过引用联系的科学文献网络的动力学 第一# 绪论 特征【8 之后我们才开始怀疑无标度特性 9 tl o 并不只限于万维网。1 9 9 9 年在科 学杂志上发表的论文【1 0 】就报道了在具有完全不同自然属性的网络之间所存在的出 人意料的相似性，并显示出增长和优先连接这两种机制是其潜在的产生原因。这种 度分布具有幂律性质的网络叫无标度网络。 露麓。：， 圭_ 黪帮静 罐嚣j ： 。 a k 幽1 , 4 左酗无标度网络摘自文献 9 】。右图b a 网络的度分布具有无标度性质摘自文献 0 上面四种网络模型中，小世界网络和无标度网络属于自组织方式连线演化而成 的网络，这类网络被称为复杂网络。在具体的研究问题中，我们应该针对具体问题 具体选择。此外，从不同的角度考虑，网络还可有不同的其他分类。比如，从方向 性角度看，可以分为有向网络和无向网络；从网络的边是否有权重，可以分为加权 网络和无权网络。在研究中也要综合考虑这些因素。 1 3 网络结构特征量 网络研究的特点在于首先从统计角度考察网络中大规模节点及其连边的性质， 这些性质的不同意味着不同的网络内部结构，而网络内部结构的不同导致系统功能 有所差异。所以，对这些统计性质的描述和理解是进行网络相关研究的基础常见 的统计特征包括平均路径长度、簇系数、度、度分布、介数、度度相关性和网络模 块化强度等。 平均路径长度：网络中任何两节点间的距离指从网络中的一个节点出发到达另 外一个节点，所经过的边的最少数目。将网络中任何两点的距离做平均就得到网络 的平均距离，也叫平均路径长度。 簇系数：单个节点簇系数定义为它所有的邻居节点中仍然是邻居占总的可能性 的百分比。举个例子来说，如果某个节点有5 个邻居，如果它们之间都是邻居，那 么它们之间就有1 0 条边，但实际上这些节点间只有6 条边，那么该点的簇系数就是 6 1 0 = 06 。将网络中所有节点的簇系数做平均就得到了网络的簇系数。可以看出， 簇系数是一个0 到1 之间的数。 第一章绪论 度：表示与网络中某节点相连的其他节点的数量，一般用k 表示。它是单独节 点属性中简单而又重要的概念。 度分布：通常情况下，网络中不同节点的度并不相同，因此网络中度的分布规 律也是刻划网络特点的一个重要参量。般，节点的分布用分布函数p ( k ) 来表示， 它是随机选择一个度为k 的点的概率。对规则网络，其度分布遵循8 函数，随机网络 和小世界网络度分布为泊松分布，无标度网络度分布服从幂律分布。 最大介数：某个节点的最大介数被定义为网络中的最短路径经过该节点的次数。 同样，某条边的介数是指任意两节点对之间。通过这条边的最短路径的数目。 度度相关性：一个度为k 的节点到一个度为k 1 的节点相连的概率。 网络模块化强度：群落之间边的数目比群落内部边的数目。 不同的网络会表现出不同的网络结构特征，表1 1 给出了规则网络，随机网络和 复杂网络的结构特征量，从中可以看出这些网络之间既有共同点又有不同点。对于 介数，由于它与度之间存在很强的相关性，所以，不同类型的复杂网络，其介数也 大不一样 1 l 】。 表1 1 不同网络的不同结构特征量比较。 平均路径长度簇系数度分布最大介数 规则网络大大6 函数大 随机网络 小小泊松分布小 复杂网络小大幂律分布与具体类型有关 1 4 网络上集体行为的动力学研究 正如m e j n e w m a n 1 2 所指出的“研究网络结构的最终目的是为了理解和解释 构建于这些网络之上的系统的运动方式，未来研究最重要的方向就是发生在网络上 的动力学行为。 可见网络结构研究固然重要，但其最终目的是通过研究结构来了 解和解释基于这些网络之上的系统运作方式。一般将这种建立在网络上的系统动态 性质称为网络上的动力学行为，特别是网络上集体行为动力学是人们关注的一大分 支，如网络同步 1 3 】、相变 1 4 1 、致意见的出现 1 5 】等。关于网络上集体行为的动 力学研究主要包括以下几个方面。 1 4 1 网络同步的研究 如果在网络的每个节点上加上一个动力学系统，这个动力学系统既可以是极限 环也可以是混沌的，而让有边相连的两个节点的动力学系统之间存在相互的耦合作 用，就形成了一个动力学网络。在耦合作用下，经过一段时间的演化，使得每个节 点的状态都相同，网络就进入了同步状态。当然并不是所有的网络在任意耦合强度 第一章绪论 或耦合方式下都能实现同步。目前研究的比较多的是网络同步的稳定性问题，网络 实现同步的条件和网络拓扑结构对同步的影响等等。p e c o r a c - 和c a r r o l l 研究了线性耦 合网络同步的稳定性问题，给出了主稳定函数判据 1 6 1 ，完成了当网络上的耦合振 子系统的同步混沌态存在短波分岔时的同步稳定性分析，并提出用主稳定性函数方 法确定动力学网络同步的稳定性。汪小帆和陈关荣【1 7 】研究了耦合振子是连续系统 的复杂网络的同步稳定性问题，在文献【1 8 】中进一步研究了动力学网络的同步条件。 c h e n 1 9 等人将主稳定性函数方法与( 衙s h 9 6 血圆盘理论( g e r s h 9 6 r i nd i s kt h e o r y ) 结 合，为网络结构对混沌耦合振子系统同步稳定性的影响给出了更精确的分析方法。 除了上述工作之外w u 2 0 ，2 1 、t i m m e 2 2 和e a r l 2 3 等人也采用不同的方法分析了动 力学网络的同步稳定性。 1 4 2 同步能力的研究 2 0 0 0 年g u a r d i o l a 2 4 等人比较研究了规则网络和小世界网络的同步能力，发现 与规则网络相比，小世界网络具有更强的同步能力，这归因于小世界网络有较短的 平均距离。然而2 0 0 3 年n i s h i k a w a 等人 2 5 】发现，虽然无标度网络比小世界网络有更 短的平均距离，但是同步能力却没有小世界网络强。这表明网络的平均最短路径与 网络同步能力并没有明显关系。后来，人们认为度和和介数才表征网络同步能力的 结构特征量 2 6 】。网络的度和介数的分布越均匀，网络同步能力越强。但是在这些 研究中，在改变网络一个结构特征量的同时，网络其他结构特征量也发生了改变， 所以研究结果并不能准确得到某个特征量与同步能力之间的关系。因此，赵明等人 2 7 提出了随机交叉边的方法，该方法既不改变节点度，也不改变网络度分布，因 此达到了把度分布和平均距离分开来的目的。结果表明，只有小的网络平均距离和 度的均匀分布相结合才能表征网络的同步能力。在这种方法中，虽然网络的度分布 不变，但其他特征量如平均距离，簇系数等会改变，所以，到目前为止，网络结构 特征量与同步能力之间的关系并不明朗。 由于大多数网络是有权重特点的，所以加权网络的同步问题更具有现实意义。 于是，2 0 0 5 年m o t t e r 2 8 等首先讨论t a n 权网络的同步问题。针对度分布不均匀的网 络，他们提出了新的耦合方法，对应的耦合矩阵为：g 。= l 。k f 。研究结果表明： 当= l ，也就是网络的耦合强度为l 时网络同步能力最强。 应用上面方法，在整个网络同步的过程中，网络的权重结构是静态的。但是对 于许多真实的网络，由于动力学状态对结构的影响，网络在同步过程中是自适应调 节权重的。z h o u 和k u r t h s 2 9 】已经提出一种自适应方法，在这种方法中，每个节点根 据最近邻邻居的平均状态调节自己的状态，以达到通过局部同步导致全局同步的目 的。最终，网络的耦合强度和度之间存在一个鲁棒的幂律关系，网络同步能力得到 6 第一章绪论 加强。 目前，网络同步能力的研究还尚未成熟，很多问题有待研究。网络上的同步以 及网络的结构与动力学之间的关系也尚未清晰。这些问题倍受关注，研究意义重大。 1 4 3 意见形成动力学 有时候网络上动力学并不能达到完全同步状态，但是可以出现一种集体行为， 表现出一种宏观现象。社会学中意见形成就是一个显著的例子。目前，一些意见形 成模型已经建立 3 0 5 3 1 。这些模型都遵从如下的思想：一个个体可以在其他个体的 影响下改变自己的意见，个体改变自己的意见遵从一个比较简单的规则。例如在 s z n a j d 模型 4 8 5 0 】中，当一对相邻节点具有相同意见时，他们的最近邻邻居与之有 相同意见，当一对相邻节点具有相反意见时，他们的最近邻节点与之各自持有想反 的意见。最终，演变结果有三种：全部有a 意见，全部有b 意见，或a 意见与b 意见 各占一半。进一步，d e f f u a n t 等人 5 4 】把意见的两种不同表示推广到实数范围( 0 ，1 ) ， 随机选择两个个体的意见进行比较，如果两者差别小于一阈值，就相互靠拢，如果 大于这个阈值，就保持原来的意见不变。如果阈值大于0 5 ，整个群体表现出单一的 意见，如果小于0 5 ，则最终有不同的意见共存。在k r a u s e 和h e g s e l m a n n 5 5 提出的 模型中，在每个时步，随机选择一个个体，与邻居的平均意见比较，若在一定阈值 内，该个体便采取与邻居平均意见相同的意见值。对于不同的阈值，可以出现不同 数量的集体，每个集体中的个体具有相同意见，当阈值达到一临界值时，可以出现 完全一致的意见，也就是同步现象。关于意见形成的模型还有许多，比如投票模型 【3 0 3 6 ，g a l a m 的多数者原则模型 3 8 4 6 等。 意见形成动力学模型，通过微观个体的意见演变，表现出丰富的宏观行为。一 方面，对这些模型本身的研究有重要的意义。一些文献已经注意到网络结构对意见 形成的影响，但是有待进一步研究。另一方面，这些模型在社会学中的应用也非常 重要。比如，投票模型曾经成功预言了巴西选举的结果。然而这方面的发展还非常 少。用这样的模型来模拟真实社会现象，或揭示真实社会现象背后的形成机理也是 值得我们进一步探索的方向。 1 4 4 恐怖主义统计性质的研究 恐怖主义主要是一种有政治目的的突发性的非法暴力或暴力威胁活动，恐怖分 子采取爆炸、绑架、暗杀、劫机等方式发动恐怖袭击活动，很大程度上影响了社会 稳定。但只是在2 0 0 1 年美国“9 1 1 ”恐怖事件之后，人们才引起重视。自此，恐怖 主义成为一个全球问题。恐怖注意的爆发虽然是不可预测的，但是许多研究已经表 明，它遵从一定的统计特征。 7 第一章绪论 早在第二次世界大战期间，r i c h a r d s o n 5 6 就搜集了每次战争中的伤亡数并惊奇 地发现它的分布并不服从泊松分布，而是非常接近于幂律分布。这已经给于我们对 战争的初步认识：损伤严重的战争发生的概率非常少，但是仍然可能会发生。这就 对我们预测战争形势带来了很大的困难，使的我们不得不把最坏的情况也考虑在内。 之后，l a r sc e d e r m a n 5 7 用一个森林火灾模型给出了一个可能的解释。2 0 0 5 年，a a r o n c l a u s e t 和m a x w e l ly o u n g 5 8 贝j j 对每次恐怖主义行动中的伤亡数做了统计，得到与 r i c h a r d s o n 类似的幂律分布的结果。 最近对恐怖主义事件全球数据的统计也表明了恐怖主义事件伤亡数服从幂律分 布结果。然而，由于恐怖主义事件的复杂性和多样性，所以，对其发生的根本原因 和机制，我们至尽仍然无法给出十分圆满的解释。目前出现的对恐怖主义的解释主 要从三种观点出发。第一种是基于个体的自组织临界模型 5 9 6 2 ，通过恐怖组织之 间相互作用而导致分解和合并来解释伤亡数的统计分布。第二种是通过个体被动支 持者进行扩张的渗流理论来说明恐怖主义威胁的产生和演变 6 3 6 6 。第三种是竞争 选择的观点 6 7 ，6 8 】。由恐怖主义组织之间的竞争和他们所采取的策略的替代来说明 恐怖主义演变过程。 目前，恐怖主义的根本机制尚未明确，需要我们更进一步的努力来完整数据， 发展更好的模型对恐怖主义演变做出诠释。 1 。5 本文的工作 对网络同步方面，在了解了网络结构特征量和网络基本模型的基础上，我们首 先介绍了网络同步能力与的研究现状，重点在于网络自适应同步。在前人自适应同 步研究的基础上，我们试图通过引进度对耦合强度的调节作用，来得到一种推广的 自适应方法。由这种方法，网络的同步能力得到了提高，同时网络同步时间也被缩 短，更重要的是我们对网络结构和动力学的相互作用结果更为清晰，并提供了有力 的理论分析和证明。对于意见动力学方面，我们在介绍各种意见动力学模型之后， 提出一种新的意见动力学模型，在这个模型中，我们引进了历史记忆效应的影响并 得到宏观序参量超过某一临界值发生时间间隔的统计规律。之后我们对恐怖主义时 间间隔统计规律进行了研究，并利用我们提出的意见动力学模型，重新定义序参量， 模拟恐怖主义统计规律。模拟结果正好与恐怖主义事件实证结果相吻合，我们猜测， 这可能是恐怖主义时间爆发规律的一个内在形成机制。具体内容安排如下。 在第二章中，首先介绍网络精确同步概念，网络同步稳定性的判定以及网络结 构特征量与网络同步能力之间的关系。重点介绍改变耦合强度提高同步能力的方法。 通过这种方法提高网络同步能力的方法有静态方法和动态方法。静态方法比较经典 的就是2 0 0 5 年m o a e r , z h o u 和k u r t h 2 8 提出的耦合方法。此方法通过度对耦合强度在 不同程度上的调节作用的比较，证明利用度将耦合矩阵归一化得到的网络具有最强 8 第一章绪论 的同步能力。此外，还有通过邻居节点度，以及介数等网络结构特征参量来改变网 络耦合强度等许多方法。动态耦合方法利用反馈自适应机制，在同步的过程中逐渐 调整耦合强度，在网络同步后耦合强度也达到一稳定值，最终使网络具有较强的同 步能力。z h o u 等人 2 9 1 以b a 网络为研究对象，通过节点与邻居平均状态差来调节耦 合强度，证明网络达到同步后，自适应耦合加权网络比无权网络同步能力更好，并 且发现了网络结构参数一度与耦合强度之间的幂律关系。由于这种自适应耦合更符 合实际情况，所以很值得我们进一步研究。 在第三章中，从前面的研究我们知道，度在网络同步能力优化中对耦合强度的 静态改变有重要的作用，但是网络的同步过程是动态的。因此，我们提出了一种推 广的自适应方法，为了进一步了解在同步过程中网络结构特征量度和网络动力学相 互作用，我们将度的归一化引入同步过程中，通过度和网络动力学状态的共同调节 作用，使网络达到同步状态。结果发现，与z h o u 等人【2 9 】的方法比较，网络同步后 具有更好的同步能力和更短的同步时间。而且，这种同步优化的网络中，最终存在 度和耦合强度的幂律关系，这是网络同步优化的一个必然结果，我们也给出了理论 的分析证明。该部分内容已经发表在p h y s r e v e 2 0 1 0 ，8 1 ，0 2 6 2 0 1 。 在第四章中，我们首先回顾了各种意见动力学