概率论试题及答案.doc

螆For personal use only in study and research; not for commercial use螄芃试卷一艿螈一、填空（每小题2分，共10分）膆设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为_。蚃. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示_。肀已知互斥的两个事件满足，则_。薅设为两个随机事件，则_。芄设是三个随机事件，、，则至少发生一个的概率为_。肂螀二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）蚆1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（ ）。莃(A) 取到2只红球 (B) 取到1只白球 薂(C) 没有取到白球 (D) 至少取到1只红球薀2对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（ ）。蚈(A) 随机事件(B) 必然事件螅(C) 不可能事件(D) 样本空间羁3. 设A、B为随机事件，则（ ）。芁(A) A (B) B 蒅(C) AB (D) 袄4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）。莀(A) 与互斥(B) 与不互斥羁(C) (D) 薆5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）。芆(A) (B) 肄(C) (D) 蒈6. 设相互独立，则（ ）。蚈(A) (B) 莄(C) (D) 00/35)=(x/35)-(-x/35)=0.9JI蒃7.设是三个随机事件，且有，则（ ）。 芈(A) 0.1(B) 0.6蒅(C) 0.8(D) 00/35)=(x/35)-(-x/35)=0.9JI0.7蒃8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（ ）。羂(A) p2(1 p)3 (B) 4 p (1 p)3 羈 (C) 5 p 2(1 p)3 (D) 4 p 2(1 p)3 蒇9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）。袅(A) (B) 莂(C) (D) 虿10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（ ）。薈(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) P (C) 1羃(C) P (A) + P (B) P (C) 1 (D) P (A) + P (B) P (C)螁三、计算与应用题（每小题8分，共64分）葿1. 袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。莅求取到的两个球颜色不同的概率。芆膀2. 10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。腿求能打开门的概率。莇蒄3. 一间宿舍住有6位同学，袄求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。羀蒈4. 50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个，薃求至少取到一个次品的概率。莃蚀5. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关。芅求该种零件的次品率。袅螃6. 已知某品的合格率为0.95，而合格品中的一级品率为0.65。蒁求该产品的一级品率。芇羃7. 一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，膂求其中确实没有次品的概率。膁莈8. 某厂的产品，按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9。现从该厂的产品中有放回地取5件来检验，莆求其中最多有一件次品的概率。薁羁四、证明题（共6分）膆设， 。证明 蒄肁莈试卷一 芇参考答案薂蒀一、填空膈1. 或 芈2. 出现的点数恰为5羅3. 膄与互斥螄 则 羁4. 0.6羈蒈薄肂莁故 袈芅肄5. 葿至少发生一个，即为莇又由 得 肅故 袁袂螆螅二、单项选择羃1羀2. A膆3. A蒆 利用集合的运算性质可得.羄4肈与互斥衿芆故 螁5蒁芈羆故 袃6蕿相互独立螈蒃羄羂膇7.膃螁 且 肀薇则 羄螃膈8. 肆蚄9. B袄薁10. B 蒅蒄蚂故 P (A) + P (B) P (C) 1 虿三、计算与应用题腿1. 解：膅设 表示“取到的两球颜色不同”，则蚃而样本点总数肁故 薈2. 解：羅设 表示“能把门锁打开”，则，而蒀故 膀3. 解：羇设 表示“有4个人的生日在同一月份”，则蚅而样本点总数为薂故 芈4. 解：蒇设 表示“至少取到一个次品”，因其较复杂，考虑逆事件=“没有取到次品”蒆则 包含的样本点数为。而样本点总数为薃故 蚀5. 解：袆设 “任取一个零件为次品”膆由题意要求，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格，莀则 蝿于是 芆6. 解：袇设 表示“产品是一极品”，表示“产品是合格品”蒂显然，则膁于是 罿即 该产品的一级品率为莃7. 解：薃设 “箱中有件次品”，由题设，有，芀又设 “该箱产品通过验收”，由全概率公式，有莈膃莀于是 莈袈袄莂8. 解：螀依题意，该厂产品的合格率为，芇于是，次品率为 蚄设 表示“有放回取5件，最多取到一件次品”蒃则 衿蚆莄四、证明题芁证明膁 ， ，肆由概率的性质知 则肅节又 荿且 蝿袅故 莃蒈艿薆膁螀蚈试卷二莆膂一、填空（每小题2分，共10分）衿1. 若随机变量 的概率分布为 ，则_。肇2. 设随机变量 ，且 ，则_。肆3. 设随机变量 ,则 _。芄4. 设随机变量 ，则 _。芁5. 若随机变量的概率分布为蒇袇肁荿羆芃膂蒈莅则 _。肃膄二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)袀1. 设 与 分别是两个随机变量的分布函数，为使 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。聿(A) (B) 螄(C) (D) 羁2. 设随机变量的概率密度为，则（ ）。羈(A) (B) 蒈(C) (D) 薄3.下列函数为随机变量分布密度的是( )。肂(A) (B) 莁(C) (D) 袈4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。芅(A) (B) 肄(C) (D) 葿5. 设随机变量的概率密度为，则的概率密度为（ ）。莇(A) (B) 肅(C) (D) 袁6. 设服从二项分布，则（ ）。袂(A) (B) 螆(C) (D) 螅7. 设，则（ ）。羃(A) (B) 羀(C) (D) 膆8设随机变量的分布密度为 , 则（ ）。蒆(A) 2(B) 1羄(C) 1/2(D) 4肈9对随机变量来说，如果，则可断定不服从（ ）。衿(A) 二项分布(B) 指数分布芆(C) 正态分布(D) 泊松分布螁10设为服从正态分布的随机变量，则 ( )。蒁(A) 9 (B) 6 芈(C) 4 (D) -3 羆袃三、计算与应用题（每小题8分，共64分）蕿1. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。螈求抽取次数的概率分布。蒃羄2. 车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。羂求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？膇（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？膃螁3. 某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为肀薇求（1）常数；羄（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。螃膈4. 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且。肆求（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；蚄（2），使电池寿命在内的概率不小于0.9。袄薁5. 设随机变量。蒅求 概率密度。蒄蚂6. 若随机变量服从泊松分布，即，且知。虿求 。腿膅7. 设随机变量的概率密度为。蚃求 和。肁薈8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。羅求（1）的概率分布；蒀（2）。膀羇四、证明题（共6分）蚅设随机变量服从参数为2的指数分布。薂证明：在区间上，服从均匀分布。芈蒇蒆薃蚀袆膆试卷二莀参考答案蝿一、填空芆1. 6袇由概率分布的性质有 蒂即 ，膁得 。罿2. 莃，则薃芀莈3. 0.5膃莀莈袈4. 袄莂5. 0.25螀由题设，可设芇蚄蒃即衿蚆0莄1芁膁0.5肆0.5肅则 节荿蝿袅二、单项选择莃1. ()蒈由分布函数的性质，知 艿则 ，经验证只有满足，选薆2. ()膁由概率密度的性质，有 螀3. ()蚈由概率密度的性质，有莆4. ()膂由密度函数的性质，有 衿5. ()肇是单减函数，其反函数为 ，求导数得 肆 由公式，的密度为 芄6. ()芁由已知服从二项分布，则蒇又由方差的性质知,袇7. ()肁荿羆于是 芃 8. (A) 由正态分布密度的定义,有 膂 蒈 9. (D) 莅肃如果时,只能选择泊松分布.膄10. (D)袀 X为服从正态分布N (-1, 2), EX = -1 聿 E(2X - 1) = -3螄三、计算与应用题羁1. 解：羈设为抽取的次数蒈 只有个旧球,所以的可能取值为：薄由古典概型，有肂莁袈芅肄则葿莇1肅2袁3袂4螆螅羃羀蚇羇2. 解：蒆设 表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，薀，于是莁（1）的最可能值为 ，即概率达到最大的螈（2）芃羃螀蒈3. 解：莄（1）由 可得 肁（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用表示“线路正常工作”，则膀羅而 莆故 蒃4. 解：虿 蚅（1）膃薂肈（查正态分布表）蒅芅（2）由题意 蚀蒈膆芆即 查表得 。肂5. 解:羇对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，羆又由题设知 肃故由公式知： 膁6. 解:薁，则蚆而膅由题设知 蒃即 肀可得 莇故 羂查泊松分布表得，蚂葿膇7. 解:肃由数学期望的定义知,螀而 衿故 袈8. 解:肅（1）的可能取值为且由题意,可得肂莈蚈袂芁即螇莈0羄1薃2蒁3袅羅蚁袀薅螂（2）由离散型随机变量函数的数学期望，有螀艿莅袄膂四、证明题蝿证明：肆由已知 则袅芁又由 得 连续，单调，存在反函数膈 且 袆当时， 则 蚂故 蚃薈薇即 螄螁芁莇袅袀试卷三蚀一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分）肇1. 设二维随机变量的联合分布律为，蚃节膀螈蚄莀蕿薈螅螃羈则 _，_.芈2. 设随机变量和相互独立，其概率分布分别为，薃袁莈螅薄罿袇蒅蚅莂薁芆蒃蒀羀羆蒄则 _.袃3. 若随机变量与相互独立，且，荿则 服从_分布.螆4. 已知与相互独立同分布，且薆羁蝿蒇莃莃芈则 _.芇5. 设随机变量的数学期望为、方差，则由切比雪夫不等式有蒄_.蒂蚇二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)羇1. 若二维随机变量的联合概率密度为 ，则系数（ ）.蒆(A) (B) 薀(C) (D) 莁2. 设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则下列结论正确的是（ ）.螈(A) (B) 芃(C) (D) 羃3. 设随机向量(X , Y)的联合分布密度为, 则（ ）.螀(A) (X , Y) 服从指数分布(B) X与Y不独立 蒈(C) X与Y相互独立(D) cov(X , Y) 0莄4. 设随机变量相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（ ）.肁(A) (B) 膀(C) (D) 羅5. 设随机变量与随机变量相互独立且同分布, 且莆, 则下列各式中成立的是（ ）.蒃(A) (B) (C) (D) 虿6设随机变量的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是（ ）.蚅(A) (B) 膃(C) (D) 薂7. 若随机变量是的线性函数，且随机变量存在数学期望与方差，则与的相关系数（ ）.肈(A) (B) (C) (D) 蒅8. 设是二维随机变量，则随机变量与不相关的充要条件是（ ）.芅(A) 蚀(B) 蒈(C) 膆(D) 芆9. 设是个相互独立同分布的随机变量，肂则对于，有（ ）.羇(A) (B) 羆(C) (D) 肃10. 设,为独立同分布随机变量序列，且Xi ( i = 1,2,)服从参数为的指数分布，正态分布N ( 0, 1 ) 的密度函数为, 则（ ）.膁 薁三、计算与应用题（每小题8分，共64分）蚆1. 将2个球随机地放入3个盒子，设表示第一个盒子内放入的球数，表示有球的盒子个数.膅求二维随机变量的联合概率分布.蒃2. 设二维随机变量的联合概率密度为肀莇（1）确定的值；羂（2）求 .蚂3. 设的联合密度为葿膇（1）求边缘密度和；肃（2）判断与是否相互独立.螀4. 设的联合密度为衿袈求的概率密度.肅5. 设，且与相互独立.肂求（1）的联合概率密度；莈（2）；蚈（3）.袂6. 设的联合概率密度为芁螇求及.莈7. 对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5.羄求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.薃8. 抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受.蒁问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.袅四、证明题（共6分）羅设随机变量的数学期望存在，证明随机变量与任一常数的协方差是零.蒃蚂莇薄薂肂试卷三膈参考解答蚆一、填空羄1. 薁由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得袈蚇 肃2. 羀蚈蒅3. 蒅相互独立的正态变量之和仍服从正态分布莀且，荿，薆薃4. 肃腿蚇蚂5. 蒂衿蒅肄二、单项选择羂1. (B)薀由 蒆即 膂选择(B).莁莀2. (B)薇由题设可知，薅故将标准化得 螁肁莅蚃选择(B).膀3. (C)薇莆选择(C).螂4. (C)虿随机变量相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布, 则芇蒈选择(C).膄5. (A)莃肈选择(A).芅6. (A)节 由期望的性质知螂螈选择(A).芆7. (D)蚅膁薈莈螃薁选择(D).艿8. (B)膅与不相关的充要条件是膆即 肀则 聿选择(B).芆9. (C)芄 蒀 螀芈选择(C).莂10. (A)膃Xi ( i = 1,2,)服从参数为的指数分布，则薀肅故 螅薂选择(A).芀三、计算与应用题膇1. 解袃显然的可能取值为；的可能取值为羂注意到将个球随机的放入个盒子共有种放法,则有螇膈芅蒁蒇即 的联合分布律为羅莄袀芇肇蒂芀羈肈袅蝿螈袅羃2. 解莃（1）由概率密度的性质有葿羇芅可得 袂（2）设，则腿螄蒄芁罿3. 解袆（1） 薂蚁即 蚀 即 ，（2）当时故随机变量与不相互独立.4. 解先求的分布函数显然，随机变量的取值不会为负，因此当 时，当 时，故 的概率密度为5. 解（1） 与相互独立 的联合密度为（2）（3）6. 解于是 由对称性 故 .7. 解设 表示第次炮击命中目标的炮弹数，由题设，有 ，则次炮击命中目标的炮弹数 ，因 相互独立，同分布，则由中心