创新设计(苏教版)第二章第3讲函数的奇偶性与周期性.ppt

第3讲 函数的奇偶性与周期性,考点梳理,一般地，设函数yf(x)的定义域为A，如果对于任意的xA，都有_，那么称函数yf(x)是偶函数 如果对于任意的xA都有_，那么称函数yf(x)是奇函数 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称,1奇、偶函数的概念,f(x)f(x),f(x)f(x),(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 (2)在公共定义域内 两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的和、积都是偶函数； 一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数 (3)若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|) (4)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)0. f(0)0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件,2函数奇偶性的性质,(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外” (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个区间) (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期,3周期性,f(x),最小,一个命题规律 函数的奇偶性、周期性常和函数其他性质(如单调性)综合，奇偶性与单调性结合的题目常画示意图解决，周期性与三角函数相结合，以客观题型为主，一般为容易题对综合性解答题，常通过研究函数的单调性、周期性、奇偶性等，全面了解函数图象的变化趋势，画出函数的示意图，从而研究函数的最值、单调区间等，是解决函数最值、不等式恒成立等问题的基本思路,【助学微博】,解析 由f(0)0，得b1，所以f(1)f(1)(221)3. 答案 3,考点自测,1(2012海安中学)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)的值是_,解析 因为f(x3)f(x)，f(x)f(x)，所以mf(2)f(1)f(1)2. 答案 (2，),2(2013泰州学情调查)已知周期函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的最小正周期为3，f(1)2，f(2)m，则m的取值范围为_,3(2012盐城检测)设f(x)是定义在(1,1)上的偶函数，在(0,1)上递增，若f(a2)f(4a2)0，则a的取值范围为_,4已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_,(2)(2012苏州调研)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0，且a1)若g(2)a，则f(2)_.,考向一 函数奇偶性及其应用,方法总结 奇偶函数的判断，要考虑定义域所在区间关于原点对称对于奇偶函数的性质，要善于逆用奇偶函数性质以及奇偶函数的四则运算性质解题,【训练1】 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，若f(a22)f(a)0，则实数a的取值范围是_,解析 (1)f(x)是奇函数，且在0，)上单调递增，所以f(x)在R上单调递增于是由f(a22)0时，x0，由题意得f(x)f(x)， x2xax2bx，从而a1，b1，ab0. 答案 (1)(2,1) (2)0,【例2】 (1)已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2，0内递减，则满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围是_；,考向二 函数奇偶性与单调性的交汇问题,又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，在2,2上递减， f(1m)m21， 即2f(1m)f(m1)，得msin m1.,答案 (1)1,1) (2)(，1) 方法总结 (1)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称 (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,2是函数f(x)的周期； 函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； 函数f(x)的最大值是1，最小值是0；,答案 ,(1)试求f(0)的值并证明函数yf(x)为奇函数； (2)若f(m3x)f(3x9x)3对任意xR恒成立，求实数m的取值范围 解 (1)f(xy)f(x)f(y)， 令xy0，代入式，得 f(00)f(0)f(0)，即f(0)0. 令yx，代入式，得f(xx)f(x)f(x)， 又f(0)0，则有0f(x)f(x)， 即f(x)f(x)对任意xR成立，f(x)是奇函数,考向三 函数性质的综合应用,【例3】 (2012无锡一中期中调研)定义在R上的单调函数yf(x)满足f(2)3，且对任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y),(2)f(2)3，即f(2)f(0)， 又f(x)在R上是单调函数， f(x)在R上是增函数，f(m3x)f(3x9x)0对任意xR恒成立令t3x，则t0， 问题等价于：t2(m1)t20在(0，)上恒成立，,方法总结 函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题,【训练3】 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)，当,x0,2时，f(x)2xx2.,(1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x2,4时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 013) 思维启迪 (1)只需证明f(xT)f(x)，即可说明f(x)是周期函数； (2)由f(x)在0,2上的解析式求得f(x)在2,0上的解析式，进而求f(x)在2,4上的解析式； (3)由周期性求和,(1)证明 f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x) f(x)是周期为4的周期函数 (2)解 x2,4，x4，2，4x0,2， f(4x)2(4x)(4x)2x26x8， 又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8， 即f(x)x26x8，x2,4 (3)解 f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1. 又f(x)是周期为4的周期函数， f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 013)f(0)f(1)1.,探究提高 判断函数的周期只需证明f(xT)f(x) (T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题,函数奇偶性问题在高考中至多考一道填空题，且可能与函数单调性和周期性进行有机融合，判断函数奇偶性，除要用好定义，灵活运用奇偶函数的性质也会大大方便解题思维过程,热点突破6 函数奇偶性的判定方法,审题与转化 第一步：奇偶函数运算性质满足奇奇奇，奇偶非奇非偶，偶偶偶 第二步：若f(x)是奇函数或偶函数，则|f(x)|是偶函数,一、奇偶函数运算性质及其应用 【示例】 (2011广东卷改编)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论：|f(x)|g(x)是奇函数；|f(x)|g(x)是偶函数；f(x)|g(x)|是奇函数；f(x)|g(x)|是偶函数，其中恒成立的是_,规范解答 第三步：因为g(x)是奇函数，所以|g(x)|是偶函数，又f(x)是偶函数，所以f(x)|g(x)|是偶函数，所以仅恒成立 反思与回顾 第四步：函数|f(x)|不一定具有奇偶性，但f(|x|)一定是偶函数另外，若f(x)是偶函数，则必有f(x)f(|x|)还有，本题要求结论恒成立，是为了排除f(x)0，g(x)0这一特殊情况,审题与转化 第一步：y|f(x)|图象关于y轴对称，可得y|f(x)|是偶函数 第二步：y|f(x)|是偶函数|f(x)|f(x)|. 规范解答 第三步：若yf(x)是奇函数，则f(x)f(x)，从而|f(x)|f(x)|f(x)|，反之不成立，故填必要不充分,二、探求函数f(x)是奇偶函数的充要条件 【示例】 (2011山东卷改编)对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的_条件,解析 由题意，g(x)|xa|是偶函数，所以a0. 答案 0 解析 因为yf(x)x2是奇函数，f(1)1，所以f(1)12f(1)(1)20，即f(1)3，所以g(1)f(1)21. 答案 1,高考经典题组训练,1(2011浙江卷)若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a _.,2(2012上海