数学物理方程与特征函数.ppt

,在电场强度为E0的均匀电场中放一个接地导体球，直径为a，求球外电场。,均匀电场产生的电势,球面上的感应电荷产生的电势,拉普拉斯方程：,热传导方程：,波动方程：,三类偏微分方程,两种特殊函数,贝赛尔,勒让德,拉普拉斯方程：,热传导方程：,波动方程：,空间的静电场分布,热传导中的温度分布,琴弦的振动,静磁场分布、稳定温度场分布,流体的扩散、粘性液体的流动,杆、膜、液体、气体等的振动 电磁场的振荡,线性方程、非线性方程，齐次方程、非齐次方程,线性方程具有叠加特性,定解条件,初始条件：,边界条件：,初始位置、初始温度,初始速度,第一类边界条件，固定端、恒温端、恒压端,第二类边界条件，自由端、绝热端,第三类边界条件，弹性支承端、热交换端,方程,边界条件,初始条件,齐次,非齐次,齐次,齐次,非齐次,波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程,一维的、二维的、三维的,直角坐标系、极坐标系、球坐标系,标准形式、非标准形式,第一类、第二类、第三类,对拉普拉斯方程来说指另一个边界条件,分离变量法,解法,齐次,特征函数法,驻波法,非齐次,齐次,非齐次,特征函数法,u=V(x,t)+W(x,t),非齐次,非齐次,非齐次,u=V(x,t)+W(x,t),u=V(x,t)+W(x),齐次初始条件齐次边界条件非齐次方程,非齐次初始条件齐次边界条件齐次方程,非齐次初始条件齐次边界条件非齐次方程,非齐次边界条件,非齐次初始条件齐次边界条件齐次方程,非齐次边界条件非齐次方程,如果方程和边界条件的非齐次项和t无关,用分离变量法主要求解一下四个方程,对这四个方程进行分离变量均可以化成两个常微分方程,求特征值和特征函数,另一个方程的求解,写出方程的通解,求解常数,特征函数法,要求会对下面三个方程使用特征函数法,首先根据齐次方程和齐次边界条件求出特征函数，比如,然后将方程的解写成,将非齐次项也写成特征函数的级数形式,求解关于 的常微分方程,，带到方程里面去,齐次化,只需要掌握通过一次变换将方程和边界条件都变成齐次的,行波法可以用来求解无界域内的双曲型方程,双曲型方程可以写成如下形式：,因式分解的过程是：,令,，,方程的通解可以写成：,最后在根据定解条件来确定两个任意函数。,方程变为：,行波法的特例是一维波动方程的达朗贝尔公式,它的物理意义是，第一项表示初始位移的效果，第二项表示初始速度的效果。 一个波动问题在x处t时的位移和 xat处的初始位置有关、和这两点之间的初始速度有关。,积分变化法的基本思想是降维,先通过积分变化对时空域内的方程进行降维变成频域,解题的步骤 ：,然后求解频域方程,最后通过积分反变换将方程的解变成时空域,该选择哪个变换？,1 傅立叶变换的区间是,，拉普拉斯变换的区间是,；,2 拉普拉斯变换需要阶数个的初始条件；,3 如果两个变换都可以,，哪个容易选哪个。,格林函数法求解拉普拉斯方程的思路是：,先求解具有相同区域齐次边界条件下点源的拉普拉斯方程的解，即格林函数；,然后将原问题的解表示成格林函数与源的积分、以及格林函数的方向导数与边界条件的积分,用数学语言表示：,如果,是方程,的解，,则方程,的解可以表示为：,自由空间的格林函数为,求解某一区域内的格林函数，我们介绍了两种方法， 物理法、即镜像法， 数学法、即直接求解非齐次的偏微分方程。,镜像法是利用了拉普拉斯方程解的唯一性。,用镜像法可以求出上半空间点,的镜像点为,格林函数为：,球内的格林函数为,镜像点,处于,的延长线上，并且,，电荷量是原来的,倍。,贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。,贝塞尔方程是在用分离变量法来求解圆域内波动方程或热传导方程时所遇到的。,性质1 有界性,性质2 奇偶性,性质3 递推性,性质4 初值,性质5 零点,有无穷多个对称分布的零点,和,的零点相间分布,的零点趋于周期分布，,性质8 正交性,能够利用这些性质做一些简单的证明计算题。,能够把定义在,上的函数,展成贝塞尔函数,的级数形式。,勒让德多项式是勒让德方程的解。,勒让德方程是在用分离变量法来求解球域内拉普拉斯方程时所遇到的。,n次的勒让德方程，,定义在-1,1,性质1 正交性,性质2 奇偶性,将定义在-1,1内的函数展成勒让德多项式的级数形式。,将定义在a,b内的函数展成勒让德多项式的级数形式。,能够利用这些性质做一些简单的证明计算题。,思考题,谈一下对特征方程、特征值、特征函数的