离散型随机变量(高等数学).ppt

第二章 离散型随机变量,一维离散型随机变量及分布列 二维随机变量、联合分布列和边际分布列 随机变量函数的分布列 随机变量的数学期望 随机变量的方差 条件分布及条件数学期望,2.1一维离散随机变量,一、定义：设S=e是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个e S ，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。 随机变量常用X、Y、Z 或 、等表示。,：引入适当的随机变量描述下列事件： 将3个球随机地放入三个格子中， 事件A=有1个空格，B=有2个空格， C=全有球。 进行5次试验，事件D=试验成功一次，F=试验至少成功一次，G=至多成功3次,例1,随机变量,随机变量的分类,二、一维离散型随机变量,1、定义2.1 若随机变量X取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称X为离散型随机变量，而称 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )， 或,X x1 x2 xK Pk p1 p2 pk ,(1) pk 0, k1, 2, ; (2),例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X的分布列。,2. 分布律的性质,某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。,例2:,3、几个常用的离散型分布,（1） (0-1)分布(p63) 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(01)分布(两点分布) XPXkpk(1p)1k, (0p1) k0，1 或,（2）二项分布(p63),若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布， 记作XB（n,p)。其分布律为：,.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.,例3,例4. 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。,普哇松定理(p65)： 设随机变量XnB(n, p), (n0, 1, 2,), 且n很大，p很小，记=np，则,上题用普哇松定理 取 =np(400)(0.02)8, 故 近似地有,PX21 PX0P X1 1(18)e80.996981.,（3）普哇松 (Poisson)分布P()(p64) XPXk , k0, 1, 2, (0),普哇松定理表明，普哇松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的普哇松分布,.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。,例5,2.2 二维离散型随机变量 一、 多维随机变量,定义2.2：将n个随机变量X1，X2，.,Xn构成一个n维向量 (X1,X2,.,Xn)称为n维随机变量。,1、若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列个值(xi, yj),(i, j1, 2, )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。 2、若二维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij,则称 PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, ) 为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律。可记为 (X, Y) PXxi,Y yj pij (i,j=1,2, )，,二、二维离散型随机变量及其联合分布律,X Y y1 y2 yj p11 p12 . P1j . p21 p22 . P2j . pi1 pi2 . Pij .,.,.,.,.,.,.,.,.,3、联合分布律的性质 (1) pij 0 , i, j1, 2, ； (2),x1 x2 xi,二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:,：袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次， 令,求(X,Y)的分布律。,X,Y,1 0,1 0,例1,4、边际分布律,若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i,j1, 2, ，则称 PXxipi. ，i1, 2, 为(X, Y)关于X的边际分布律；,PY yjpj ，j1, 2, 。 为(X, Y)关于Y的边际分布律。 边际分布律自然也满足分布律的性质。,.已知(X,Y)的分布律为 xy 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 求X、Y的边际分布律。,例2,问题：联合分布列与边际分布列有什么关系？,例3：袋中有5张外型相同的卡片，其中3张写上数字0，另两张写着数字1现从袋中任取两张，分别以X、Y表第一张与第二张上的数字，对有放回与不放回两种方式，分别求（X，Y）的联合分布列。,三、随机变量的相互独立性,定义2.3：设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为PX=xi,Y=yj=Pij,i,j=1,2,。若对任意i,j，有Pij=PiPj 。则X与Y相互独立。,例4：判断例3中的X与Y是否相互独立。,例5：已知随机变量(X,Y)的分布律为,且知X与Y独立，求a、b的值。,X,Y,1 2,0 1,0.15 0.15,a b,一、一维离散型随机变量函数的分布律,2.3 离散型随机变量函数的分布,1、 设X一个随机变量，分布律为 XPXxkpk, k1, 2, 若yg(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.,例:已知,X,Pk,-1 0 1,求：Y=X2的分布律,Y,Pk,1 0,或 Yg(X)PYg(xk)pk ， k1, 2, （其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）,一般地,X,Pk,Y=g(X),例21：设X服从参数为 的普哇松分布的随机变量，又,试求的Y=f(X)分布列。,二、二维离散型随机变量函数的分布律,设二维离散型随机变量（X，Y）， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 则 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, ,或,例：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为 X 0 1 Pi q p (1) 求WXY的分布律; (2) 求Vmax(X, Y)的分布律； (3) 求Umin(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。,例212：设X、Y是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为 的普蛙松分布，求Z=X+Y的分布列。,说明：（1）普蛙松分布具有可加性； （2）习题2.27可证明二项分布也具有 可加性。,2.4数学期望的定义与性质,数学期望描述随机变量取值的平均特征,1. 若XPX=xk=pk, k=1,2,n, 则称,定义 2. 若XPX=xk=pk, k=1,2,且,为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。,，则称,为r.v.X的数学期望,定义,一.数学期望的定义,掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。,例2:,1.0-1分布的数学期望,EX=p,2. 二项分布B(n, p),二.几个重要r.v.的期望,3.普哇松分布,例1：设随机变量X的分布律为,求随机变量Y=X2的数学期望。,X,Pk,-1 0 1,三.随机变量函数的期望,2.2： 若 XPX=xk=pk, k=1,2, 且 则Y=g(X)的期望E(g(X)为,定理2.3:若(X, Y)PX=xi ,Y=yj,= pij,i,j=1,2, , 且 则Z= g(X，Y)的期望,定理,设随机变量(X,Y)的分布列如下，求E(XY)。,例4：,X,Y,1 2,0 1,0.15 0.15,0.45 0.25,1. E(c)=c,c为常数; 2. E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),a,b 为常数; 3. 若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).,四.数学期望的性质,解:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,例3 ：若XB(n,p),求E(X)。,一. 方差的定义,方差是衡量随机变量取值波动 程度 的一个数字特征。,如何定义？,2.5方差的定义及性质,： 若E(X),E(X2)存在，则称 EX-E(X)2 为r.v. X的方差，记为D(X),或Var(X).,称 为r.v.X的标准差,易见：,1.定义,推论：D(X)=E(X2)-E(X)2.,(1) D(c)=0 反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 PX=C=1, 且C=E(X);,(2) D(aX)=a2D(X), a为常数；,二、 方差的性质,(3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);,1. 二项分布B(n, p)：,三、几个重要r.v.的方差,2. 普哇松分布p()：,例2：设随机变量X1、X2、X3、X4相互独立，且有EXi=i，DXi=5-i，i=1,2,3,4 设Y=2X1-X2+3X3-0.5X4，求：E(Y)，D(Y),设随机变量X与Y的联合分布列为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )， X和Y的边际分布列分别为,2.6条件分布与条件数学期望 一. 条件分布列,为Y yj的条件下，X的条件分布列;,若对固定的j, p.j0, 则称,同理，对固定的i, pi. 0, 称,为X xi的条件下，Y的条件分布列。,二、条件数学期望,定义2.7：若随机变量X在Y=yj条件下的条件分 布列为 则称 为X在Y=yj条件下的数学期望，简称条件期望， 记为,例2.19：某射手进行射击，每次